第3章 第10节 利用函数解决几何动态问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第三章　函数 第十节　利用函数解决几何动态问题 (3年2考，10分或12分) 人教：九上P52～P57；湘教：九下P32～P39. 1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形， 得到四边形EFGH. 设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y. (1)y与x的函数图象可能为(　B　) A B C D B (2)求y关于x的函数解析式； 解：∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4－x， ∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠GHD＝90°， ∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形， ∴y＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16. (3)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ 解：当y＝10时，即2x2－8x＋16＝10，解得x＝1或x＝3， ∴当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. (4)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存 在，请说明理由. 解：四边形EFGH的面积存在最小值. 由(2)得y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8. ∵2＞0，∴当x＝2时，y有最小值，最小值为8， 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 【通性通法】 (1)判断几何动态函数图象问题，常有两种方法：①直接分析法：此类问题 的选项中函数图象只有大致曲线，没有其他数据信息，直接分析动态图形 的变化特点即可；②关系式确定法：此类问题中，题设所给的函数图象一 般为直线、抛物线，且图象中拐点的横坐标与纵坐标一般是已知的，解决 此类问题可按图象拐点情况对自变量分段，并确定每一段的函数关系式 (面积问题常用到面积公式，一般要作对应边上的高)，再根据函数关系式 进行判断； (2)分析判断函数图象，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的 图象用水平线段表示；②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表 示；③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，简单记为：一变一不 变，图象是直线；两个都变图象是曲线；同增同减口向上，一增一减口向 下；④函数图象的最低点和最高点 2. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P从点A出发运动 到点B时停止，过点P作PQ⊥AB，交直角边AC(或BC)于点Q，设点P 运动的路程为x，△APQ的面积为y，y与x之间的函数关系图象如图2所 示，当x＝5时，△APQ的面积为(　C　) 图1 图2 A. B. 2 C. D. 4 C 【解析】根据图2知AB＝8，当x＝5时，AP＝5，BP＝3.∵∠B＝30°，∴PQ＝BP∙tan30°＝ ，∴S△APQ＝ AP∙PQ＝ . 【思路点拨】分析图象横纵坐标代表的含义，根据图2可知，AB＝8，利 用正切函数的定义求得PQ的长，再利用三角形面积公式求解即可 3. 如图，长为2、宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形 沿该水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过的时间为t，正方形与矩形重 叠部分的面积为S，则S与t的函数关系大致图象为(　B　) A B C D B 【思路点拨】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角的 三角函数值可得高为 x，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积 固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得高和面积，两个 三角形重合时面积正好为 ，由二次函数图象的性质可判断答案 变式1如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC， EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿直线l向右移动，直至 点B与F重合时停止移动，在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三 角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为(　B　) B A B C D 【解析】∵C点移动到F点，即当0≤x≤2时，重叠部分三角形的边长为 x，由于是等边三角形，则高为 x，面积为y＝ x∙ x＝ x2；B点移 动到F点，即当2≤x≤4时，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 (4 －x)，面积y＝ (4－x)∙ (4－x)＝ (4－x)2，两个三角形重合时面积 正好为 ，由二次函数图象的性质可判断答案为B. 变式2如图1，△ABC和△A'B'C'是两个边长不相等的等边三角形，点B'， C'，B，C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右 平移.开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止.设 △A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函 数关系如图2所示，则△ABC的边长是 ⁠. 图1 图2 5　 【解析】当点B′移动到点B时，重叠部分的面积不再变化.根据图象可知B′C′＝a，S△A′B′C′＝ .如解图，过点A′作A′H⊥B′C′于点H，则A′H为△A′B′C′的高.∵△A′B′C′是等边三角形，∴∠A′B′H＝60°，∴A′H＝A′B′∙ sin 60°＝ a，∴S△A′B′C′＝ × a∙a＝ a2＝ ，解得a＝2(负值已舍)，当点C′移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图象可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的边长是5. 【思路点拨】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B 点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之 前，重叠部分的面积慢慢变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为 a＋3，再根据△A'B'C'的面积即可列出关于a的方程，求出a即可 变式3如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'， C'，B，C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右 平移.开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止.设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，求y与x之间的 函数关系式. 解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三角形重叠部分是等边三角形，底边为x，底边上对应的高为 x，∴y＝ x× x＝ x2. 当移动距离x的取值范围为2＜x≤5时，三角形重叠部分是△A'B'C'，底边为2，底边上对应的高为 ，∴y＝ ×2× ＝ . 当移动距离x的取值范围为5＜x≤7时，三角形重叠部分是等边三角形，底边为2－(x－5)＝7－x，底边上对应的高为 (7－x)， ∴y＝ ×(7－x)× (7－x)＝ (7－x)2. 综上所述，y与x之间的函数关系式为y＝ 【思路点拨】把△A'B'C'的移动分为三个阶段，0≤x≤2，2＜x≤5，5＜ x≤7，对每一个阶段讨论重叠部分的面积y与x的关系，求出解析式 20 $