第3章 第6节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第三章　函数 第六节　二次函数的图象与性质 (必考，10分或12分) 人教：九上P27～P42；湘教：九下P2～P20；沪科：九上P2～P21. 概念 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数项，且a≠0)的函数 开口方向 a＞0，开口向① ⁠ a＜0 ，开口向② ⁠ 大致图象 (抛物线) 解析式 (三种形式) 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0) 上　 下　 对称轴 直线③ ⁠ 直线④ ⁠ 直线⑤ ⁠ 顶点坐标 ⑥ ⁠ ⑦ ⁠ 将x＝⑧ ⁠代入 解析式，求y值 最值 在对称轴处，y取得最 ⑨ ⁠值 在对称轴处，y取得最⑩ ⁠ 值 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大 而⑪ ⁠； 在对称轴右侧，y随x的增大 而⑫ ⁠ 在对称轴⑬ ，y随x的 增大而增大； 在对称轴⑭ ，y随x的 增大而减小 x＝－ x＝ h x＝ 　 (－ ， ) (h，k)　 　 小　 大　 减小　 增大　 左侧　 右侧　 针对训练 1. (人教九上P41T7改编)已知抛物线y＝－x2＋2x＋3. (1)该抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，与x轴有 ⁠个交 点，交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ⁠， 有最 (填“大”或“小”)值，最 值为 ，顶点坐标 为 ⁠； (2)将抛物线的解析式化为顶点式是 ，化为交点式 是 ⁠； 下　 x＝1　 2　 (－1，0)和(3，0)　 (0，3)　 大　 大　 4　 (1，4)　 y＝－(x－1)2＋4　 y＝－(x＋1)(x－3)　 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； (4)当x≤0时，y随x的增大而 ，最大值为 ⁠； (5)若抛物线经过点(－2，a)和(－1，b)，则a b；若抛物线经过点 (－3，m)和(4，n)，则m n.(填“＞ ”“＜ ”或“＝”) 增大　 3　 ＜　 ＜　 变式1[横坐标含参数]已知点A(n2，y1)，B(n2＋1，y2)在抛物线y＝－(x＋ 2)2＋1上，则y1 y2.(填“＞”“＜”或“＝”) ＞　 变式2[抛物线含参数]如果点A(－1，yA)，B(2，yB)和C(6，yC)都在抛物 线y＝mx2－6mx＋4(m＞0)上，求yA，yB，yC的大小关系.(完成下面的解 答过程) 解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线 ⁠， 则点A(－1，yA)，B(2，yB)在对称轴的 侧，点C(6，yC)在对称轴 的 侧， 点A，B，C与对称轴的距离分别为dA＝ ，dB＝ ，dC＝ ⁠. x＝3　 左　 右　 4　 1　 3　 ∵m＞0，∴抛物线开口向上，画草图如解图. 方法一——直接由距离判断：观察图象可知，离对称轴越近的点的纵坐标 越 ⁠. ∵dB＜dC＜dA，∴ ⁠. 小　 yB＜yC＜yA　 方法二——异侧转同侧，利用增减性判断：易知点C关于对称轴的对称点 C'的坐标为 ，则点A，B，C'都在对称轴的 侧，且横坐 标的大小排序为 ⁠. ∵在对称轴左侧，y随x的增大而 ，∴ ⁠. 方法三——结合增减性和距离判断：∵在对称轴左侧，y随x的增大 而 ，∴ ⁠. ∵dB＜dC＜dA，∴C的纵坐标也介于A，B的纵坐标之间， ∴ ⁠ ⁠. (0，yC)　 左　 －1＜0＜2　 减小　 yB＜yC＜yA　 减小　 yA＞yB　 yB＜yC＜yA　 思考：如果本题中未指明m的正负，三个纵坐标的大小关系如何呢？(提 示：需分类讨论) 若m＞0，yC＜yB＜yA，若m＜0，yA＜yC＜yB. 二次函数含参最值问题 2. 已知二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3. (1)[定轴定范围]①当－1≤x≤1时，函数的最大值为 ，最小值 为 ⁠； ②当4≤x≤8时，函数的最大值为 ，最小值为 ⁠； ③当0≤x≤3时，函数的最大值为 ，最小值为 ⁠； ④当1≤x≤7时，函数的最大值为 ，最小值为 ⁠. 8　 0　 35　 3　 3　 －1　 24　 －1　 (2)[定轴动范围]若当a≤x≤a＋2时，二次函数的最小值为0，则a的值 为 ⁠. 【解析】令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.∵当a≤x≤a＋2时，二次函数有最小值0，∴a＝3或a＋2＝1，∴a＝3或a＝－1. －1或3　 3. (2025崇左二模)课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数y＝ax2＋ 2ax＋a2＋2(a≠0)展开探究. 【问题探究】 (1)求该二次函数图象的对称轴； 解：∵二次函数y＝ax2＋2ax＋a2＋2(a≠0)， ∴对称轴为直线x＝－ ＝－1. (2)若a＜0，当－2≤x≤1时，函数的最大值为4，求实数a的值； 解：∵a＜0， ∴二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x＝－1， ∴当x＝－1时，函数取得最大值， 最大值ymax＝a－2a＋a2＋2＝a2－a＋2. 当－2≤x≤1时，函数的最大值为4， ∴a2－a＋2＝4，解得a1＝－1，a2＝2(不合题意，舍去)， ∴a＝－1. 【问题拓展】 (3)若a＝2，当t－1≤x≤t(t＞0)时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n， 求实数x0的取值范围. 解：当a＝2时，二次函数为y＝2x2＋4x＋6＝2(x＋1)2＋4， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－1. ∵t＞0，∴t－1＞－1， ∴当x在t－1≤x≤t的范围时，y随x的增大而增大， 当x＝t－1时，得y＝2(t－1＋1)2＋4＝2t2＋4， 当x＝t时，得y＝2(t＋1)2＋4＝2t2＋4t＋6. ∵当t－1≤x≤t(t＞0)时，8≤y≤n， ∴当y＝8时，得2t2＋4＝8，解得t＝ (负值已舍)， ∴当y＝n时，得n＝2t2＋4t＋6＝2× ＋4× ＋6＝10＋4 . ∵当x＝x0时，总有y≥n，且当x≥t时，y随x的增大而增大， ∴x0≥t，即x0≥ . ∵点(，10＋4 )关于对称轴直线x＝－1的对称点为(－2－ ，10 ＋4 )，∴当x0≤－2－ 时，y≥n. 综上所述，实数x0的取值范围为x0≥ 或x0≤－2－ . 方法总结 解决二次函数的最值问题时，通常会用到分类讨论思想. (1)若自变量的取值范围未限定，则在对称轴处取得最值，此时需要由二次 项系数a的符号来确定是最大值还是最小值；若a的符号未知，则需要分 类讨论：①二次项系数大于0；②二次项系数小于0. (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围或二次函数解析式中 含有参数，通常需要分类讨论：①自变量的取值范围全部落在对称轴的左 侧；②自变量的取值范围全部落在对称轴的右侧；③对称轴在自变量的取 值范围内. 以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，自变量的取值范围为x1≤x≤x2为例： 对称轴与 取值范围 的关系 对称轴在 x1≤x≤x2 右侧 对称轴在x1≤x≤x2 内 对称轴在x1≤x≤x2 左侧 离x1 近 离x2 近 图示 结论 x＝x1时，y最大；x＝x2时，y最小 x＝x2时，y最大；x＝－ 时，y最小 x＝x1时，y最大；x＝－ 时，y最小 x＝x2时，y最大；x＝x1时，y最小 以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，自变量的取值范围为x1≤x≤x2为例： 18 $