第3章 第9节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第三章　函数 第九节　二次函数的实际应用 (3年2考，2分或12分) 人教：九上P49～P57；湘教：九下P29～P32；沪科：九上P36～P42. 1. [广西人文信息](人教九上P50探究2改编)广西百色是“中国芒果之 乡”，芒果有抗菌消炎、祛痰止咳、防治便秘等功效.某水果超市推出一 款成本为100元的芒果礼盒，当每盒售价为150元时，每天可销售300盒.为 增大市场占有率，在保证盈利的情况下，超市采取降价措施，根据市场调 查发现，每盒售价每降低1元，每天销量可增加10盒.设每盒售价降低x元 时，超市销售该礼盒每天所获利润为W元. (1)每盒售价降低x元时，每天的销量可增加 盒，每天可销 售 盒；降价后每盒的售价为 元，每盒的利润 为 元. (2)W与x之间的函数关系式为 ⁠； 10x　 (300＋10x)　 (150－x)　 (150－x－100)　 W＝－10x2＋200x＋15 000　 (3)当每盒售价降低 元时，超市销售该礼盒每天所获的利润最大，最 大利润为 元. (4)若要满足超市销售该礼盒利润率不低于10％，不高于30％，那么当每盒 售价降低多少元时，每天所获的利润最大？最大利润为多少元？ 解：由题意，得10％≤ ≤30％，解得20≤x≤40. 由(2)知，W＝－10x2＋200x＋15 000＝－10(x－10)2＋16 000， ∵－10＜0，∴当x＝20时，W取得最大值15 000. 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大利润为 15 000元. 10　 16 000　 【解题步骤】 审题，找出题目中的数量关系 ↓ 根据数量关系确定二次函数解析式和自变量的取值范围 ↓ 利用二次函数的性质(增减性或最值)，结合自变量的取值范围进行求解 2. (湘教九下P32T3改编)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量 相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)与产量x(单 位：kg)之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价格y2(单位：元)与产 量x(单位：kg)之间的函数关系，且关系式为y2＝－ x＋90(0＜x≤120). (1)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式； 解：由题意，得y2＝－ x＋90(0＜x≤120)， ∴当y＝50时，－ x＋90＝50，∴x＝120， ∴D(120，50)，∴B(120，40). 设y1＝kx＋b，将(0，60)，(120，40)代入， 得 ∴ ∴线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝－ x＋60. (2)该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：由题意，设产量为x kg时，获得的利润为W元.根据题意， 得W＝x[(－ x＋90)－(－ x＋60)]＝－ x2＋30x＝－ (x－90)2＋1 350. ∵－ ＜0，∴当x＝90时，W取得最大值，最大值为1 350. 答：该产品产量为90 kg时，获得的利润最大，最大利润是1 350元. 【常用等量关系】 (1)常用公式： ①每件利润＝每件售价－每件成本； ②总利润＝每件利润×销售数量； ③利润率＝利润÷成本×100％. (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为 ·b件. 3. (2024广西18题2分)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P 处)的高度 OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M，则OM＝ m. 　 【特别提醒】选择合适的位置建立坐标系，要方便图象上的点的表示，使 点坐标尽可能为正数. 4. (湘教九下P38T12改编)鹰眼技术助力“苏超”，提升球迷观赛体验.如 图，分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图 (如图2)，攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于 点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水 平距离s(m)与离地高度h(m)的鹰眼数据如下表： s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 图1 图2 (1)根据表中数据可得，当s＝ m时，h达到最大高度 m； (2)求h(m)关于s(m)的函数解析式； 解：由表中数据可知，抛物线关于直线s＝15对称， 设h＝a(s－15)2＋5，把(12，4.8)代入， 得a(12－15)2＋5＝4.8，解得a＝－ ， ∴h＝－ (s－15)2＋5＝－ s2＋ s. 15　 5　 图1 图2 (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度 2.6 m时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s＝ 24 m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明. 解：不能防守成功. 当s＝24 m时，h＝－ ×242＋ ×24＝3.2(m). ∵3.2＞2.6，∴这次守门员不能防守成功. 【思路点拨】求高度，一般是求二次函数图象顶点的纵坐标，或求出自变 量的取值范围，利用函数的增减性求二次函数的最值. 5. (课标P148例71改编)如图，用一段长为40 m的篱笆围出一个一边靠墙的 矩形菜园，已知墙足够长.设矩形的AB边的长为x m，面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式； 解：根据题意，得AB＝x m，则BC＝(40－2x)m， ∴y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x， 即y与x之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x(0＜x＜20). (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：由(1)得y＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200. ∵－2＜0，∴当x＝10时，y取得最大值，最大值为200. 答：当AB边的长为10 m时，菜园的面积最大，最大面积为200 m2. 变式如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形的长为x m，面积为S m2，则宽为 m， ∴菜园的面积S＝x· ＝－ x2＋15x＝－ (x－15)2＋ (0＜x≤12). ∵－ ＜0，∴当x＜15时，S随x的增大而增大， ∴当x＝12时，S取最大值，S最大＝－ ×9＋ ＝108. 答：这个矩形的长为12 m、宽为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是108 m2. 【解题思路】 用含有自变量的代数式表示相关线段的长度 ↓ 根据几何图形的相关计算公式，列出所求几何量与自变量之间的关系 式，并确定自变量的取值范围 ↓ 根据二次函数的性质(增减性或最值)，结合自变量的取值范围解决问题 17 $