第2章 第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第二章　方程(组)与不等式(组) 第三节　一元二次方程及其应用 (3年2考，3分) 人教：九上P1～P26；湘教：九上P25～P60；沪科：八下P18～P50. 概念 举例 一元二次方程：只含有1个 未知数，并且未知数的最高 次数是2的整式方程 (1)x2＋2＝0① 一元二次方程；2x2＋ 3x－1＝2(x2－4)② ⁠一元二次方 程.(填“是”或“不是”) (2)方程3x2－2x＝1的二次项系数是 ③ ，一次项系数是④ ，常数项 是⑤ ⁠. 是　 不是　 3　 －2　 －1　 例1　(人教九上P4T1改编)已知关于x的方程(m＋1)x2－3x＋2＝0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ⁠； (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 ⁠； (3)若m＝0，则该方程的二次项是 ，二次项系数是 ，一次项 是 ，一次项系数是 ，常数项是 ⁠. 变式若方程(k－2)x｜k｜＋2x＋5＝0是一元二次方程，则k的值是 ⁠⁠. 【注意事项】 (1)若题目中有“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0”，则必然隐含着a≠0这 一条件； (2)若未说明方程类型，则需分类讨论：①当a＝0时，方程是一元一次方 程；②当a≠0时，方程是一元二次方程. m≠－1　 －1　 x2　 1　 －3x　 －3　 2　 －2 a≠0 例2　求下列方程的解： (1)方程3(x－3)2－24＝0的根为 ⁠； (2)用三种方法解方程：x2＋4x－12＝0. 配方法：移项、配方，得x2＋4x＋ ＝ ⁠， 即(　 　)2＝ ⁠， x1＝3＋2 ，x2＝3－2 　 4　 16　 x＋2　 16　 解得 ⁠. x1＝2，x2＝－6　 公式法：原方程中，a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠， b2－4ac＝ ⁠， 由求根公式，得x＝ ⁠， 即方程的解为 ⁠. 因式分解法： 原方程可转化为(　 　)(　 　)＝0， 即 ＝0或 ＝0， 解得 ⁠. 1　 4　 －12　 64　 ＝－2±4　 x1＝2，x2＝－6　 x－2　 x＋6　 x－2　 x＋6　 x1＝2，x2＝－6　 【方法总结】 (1)直接开平方法：形如(x＋n)2＝p(p≥0)的根为x＝⑥ ⁠； (2)配方法：适用二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的方程； (3)公式法：适用于所有一元二次方程，化为一般式ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，b2－4ac≥0)，方程的解为x＝⑦ ⁠； (4)因式分解法：(x－a)(x－b)＝0，根为x1＝⑧ ，x2＝⑨ ⁠. (5)解法选择(优先顺序)： 直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法 【注意事项】用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边含相同的未知 数的因式，勿直接约去公因式，避免漏解. －n± 　 　 a　 b　 针对训练 1. 多解法解方程：x2－6x＋8＝0. 配方法： 解：由原方程得x2－6x＋9＝－8＋9， 即(x－3)2＝1， 解得x1＝2，x2＝4. 公式法： 解：a＝1，b＝－6，c＝8， Δ＝b2－4ac＝4＞0，∴x＝ ， 解得x1＝2，x2＝4. 解：原方程可以转化为(x－2)(x－4)＝0， 即x－2＝0或x－4＝0， 解得x1＝2，x2＝4. 因式分解法： 1. 多解法解方程：x2－6x＋8＝0. 2. (沪科八下P31T6改编)选择合适的方法解下列一元二次方程： (1)(x－2)2＝5； 解：∵(x－2)2＝5， ∴x－2＝± ， ∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . (2)x2－ x－ ＝0； 解：移项，得x2－ x＝ ， 配方，得x2－ x＋ ＝ ＋ ，即(x－ )2＝1， ∴x－ ＝±1，∴x1＝ ，x2＝－ . (3)x2＋3x＋1＝0； 解：∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝5＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . (4)2x(x－3)＋x＝3. 解：移项，得2x(x－3)＋(x－3)＝0， 因式分解，得(x－3)(2x＋1)＝0， ∴x－3＝0或2x＋1＝0， ∴x1＝3，x2＝－ . 根的判别式与方程根的关系(根的判别式为b2－4ac，用Δ表示，即Δ＝b2 －4ac)： (1)Δ＝b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个⑩ ⁠ 的实数根； (2)Δ＝b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个⑪ ⁠ 的实数根； 不相 等　 相等 (3)Δ＝b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)⑫ ⁠实 数根. 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系 数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 没有　 针对训练 3. (沪科八下P36练习2改编)已知方程5x2＋kx－6＝0. (1)若该方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值； 解：将x＝2代入方程，得20＋2k－6＝0，解得k＝－7. 由k＝－7，得原方程为5x2－7x－6＝0， 解得x1＝2，x2＝－ .即它的另一个根为－ ，k的值为－7. (2)试判断方程根的情况； 解：由题意得b2－4ac＝k2＋4×5×6＝k2＋120＞0，则方程有两个不 相等的实数根. (3)小聪在求解时，误将方程抄写成5x2＋kx＋6＝0，则当k为何值时，方 程有两个相等的实数根？ 解：由题意得b2－4ac＝k2－4×5×6＝k2－120，当k2－120＝0，即k ＝±2 时，方程有两个相等的实数根. 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2 ＝⑬ 　－ 　，x1x2＝⑭ 　 　. 【拓展变形】根据完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和分式的性质填 空： (1) ＋ ＝(x1＋x2)2－⑮ ； (2)(x1－x2)2＝⑯ ⁠； (3) ＋ ＝⑰_________； － 　 　 2x1x2　 (x1＋x2)2－4x1x2　 　 (4) ＋ ＝ . 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a≠0；(2)Δ≥0. 针对训练 4. (人教九上P16例4改编)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k＝0的两个 实数根分别为x1，x2. (1)当k＝2时， ①x1x2＝ ，x1＋x2＝ ； ② ＋ ＝ ， ＋ ＝ ⁠. (2)若x1＝2x2，则常数k的值为 ⁠. 2　 －3　 5　 － 　 2　 例3　根据下列实际问题列方程. (1)[变化率问题]南宁市大力推进“以旧换新”政策，某店月销售额从一月 份的2.8万元增长到三月份的4万元.设这两个月的平均增长率为x，根据题 意可列出方程： ⁠. 2.8(1＋x)2＝4　 变式某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3 200元降到了1 600元.设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ⁠. 3 200(1－x)2＝1 600　 (2)[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了 流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ⁠ . (3)[握手、单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队 之间都赛一场)，共进行了36场比赛.若设共有x支队伍参加比赛，则可列 方程为 . 1＋x＋x(1 ＋x)＝121　 ＝36　 (4)[互赠礼物问题]联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共 有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数.若设参加联欢会的同学有x 人，那么可列出方程： ⁠. (5)[每每问题]一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗. 园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买 树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价 降低0.5元.若该校最终向园林公司支付树苗款8 800元.设该校共购买了x 棵树苗，则可列出方程： . x(x－1)＝870　 x[120－0.5(x－60)]＝8 800　 【方法总结】 一元二次方程的常见类型及数量关系： (1)变化率问题：设a为原来的量，b为变化后的量. ①若平均增长率为x，增长次数为2，则⑱ ⁠； ②若平均下降率为x，下降次数为2，则⑲ ⁠. a(1＋x)2＝b　 a(1－x)2＝b　 (2)病毒传播问题：若初始数据为a，每次传播x个，则第一轮后共有a(1 ＋x)个，第二轮后共有⑳ 个. (3)握手、单循环赛问题：若共有n人，则握手(单循环赛)总次数为㉑ ⁠. (4)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为㉒ ⁠. (5)每每问题：单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为 ㉓ ⁠. a(1＋x)2　 　 n(n－1)　 ·b　 针对训练 5. [每每问题](湘教九上P50T2改编)某品牌童装平均每天可售出20件，每件 盈利40元，为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售 量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：若每件童装降价1元，则 平均每天可多售出2件.如果要使平均每天销售这种童装盈利1 200元，那么 每件童装应降价多少元？ (1)填空：设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出 件，一天 可售出 件，每件盈利 元； 2x　 (20＋2x)　 (40－x)　 (2)列方程求解上述问题. 解：根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200， 整理，得x2－30x＋200＝0， 解得x1＝10，x2＝20. ∵要扩大销售量，尽快减少库存，∴x＝20. 答：每件童装应降价20元. 6. [面积问题](人教九上P25T8改编)如图，利用一面墙(墙的长度为20 m)， 用34 m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 1 m宽的门.设AB的长为x m，两个鸡场的面积和为S m2. (1)求S关于x的关系式；(不用写出自变量的取值范围) 解：由题意，得S＝x(34－3x＋2)＝－3x2＋36x， 即S关于x的关系式是S＝－3x2＋36x. (2)两个鸡场的面积和可以等于160 m2吗？如果可以，求出此时AB的长； 如果不可以，请说明理由. 解：不可以，理由如下：由题意，得－3x2＋36x＝160， 即3x2－36x＋160＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－36)2－4×3×160＝－624＜0，原方程无实数解， ∴两个鸡场的面积和不能等于160 m2. 变式如图，在矩形ABCD中，BC＝a，CD＝b.设阴影部分的宽为x，则 图1中S空白＝ ，图2中S空白＝ ，图3 中S空白＝ ⁠. 图1 图2 图3 (a－2x)(b－2x)　 (a－x)(b－x)　 (a－x)(b－x)　 27 $