第6章 第2节 与圆有关的位置关系-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（广西专用）

数 学 广西 分层练习册 1 第六章　圆 第二节　与圆有关的位置关系 (必考，常在解答题中涉及) 一阶　基础巩固 二阶　能力提升 考点1　点、直线与圆的位置关系 1. “红红的太阳升东方，鸟语伴花香”，如图是记录的日出美景，图中太 阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是(　B　) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 B 返回目录 2. (2025柳州城中区模拟)已知☉O的半径r为6，若点P在☉O内，则点P 到圆心的距离可能是(　A　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A 返回目录 3. 如图，在☉O中，弦AB的长为4 ，点C在☉O上，OC⊥AB， ∠ABC＝30°.☉O所在的平面有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置 关系是(　C　) A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内 C. 点P在☉O外 D. 无法确定 C 返回目录 考点2　切线的性质与判定(2024.24，2023.23) 4. 如图，☉O为△ABC的外接圆，BD与☉O相切于点B，连接CO并延 长，交BD于点D. 若∠D＝40°，则∠BAC的度数为(　D　) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° D 返回目录 5. 如图，点A，B，C在☉O上，过点B作☉O的切线，交CA的延长线于 点 D，连接AB，BC，若∠ABD＝40°，则∠ACB的度数为(　A　) A. 40° B. 30° C. 25° D. 15° A 返回目录 6. [真实情境](2025南宁模拟)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小 是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两个底角均为90°， 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触 点，该球的大小就符合要求.图2是过球心及A，B，E三点的截面示意 图，已知☉O的直径就是铁球的直径，AB是☉O的弦，CD切☉O于点 E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁 球的直径为(　C　) C 图1 图2 A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 24 cm 返回目录 7. 如图，△ABC内接于☉O，BD是☉O的直径，过点D作☉O的切线与 BC的延长线交于点P. 若∠BAC＝40°，则∠P的度数是(　A　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° A 返回目录 8. (2025福建)如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C. AB∥PC，且交☉O于点B. 若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　C　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° C 返回目录 考点3　切线长和切线长定理※ 9. 如图，已知AB为☉O的直径，CB切☉O于点B，CD切☉O于点D， 交BA的延长线于点E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为(　B　) A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 B 返回目录 10. 如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是P，C，D. 若 AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　B　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 返回目录 考点4　三角形的外接圆和内切圆(2024.24涉及) 11. 如图，等边三角形ABC的内切圆☉O的半径为2，则△ABC的边长为 (　C　) A. 2 B. 4 C. 4 D. 6 C 返回目录 12. 如图，AB是☉O的弦，AB＝8，点C是☉O上的一个动点，且 ∠ACB＝45°.若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最 大值是 ⁠. 4 　 返回目录 13. 如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB相交，连接BD，过点C作☉O 的切线，交AB的延长线于点P，若∠P＝45°，则∠BDC的度数为 (　D　) A. 45° B. 30° C. 15° D. 22.5° D 返回目录 14. 易错(2025自贡)PA，PB分别与☉O相切于A，B两点.点C在☉O上， 不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　D　) A. 50° B. 100° C. 130° D. 50°或130° D 返回目录 15. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BC是☉O的直径，D为劣 弧AC的中点，过点D作☉O的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD. 若BE＝4AE＝4，则☉O的半径为(　B　) A. 5 B. C. 2 D. 1 B 返回目录 【解析】如解图，连接OD. ∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE. ∵D为 的中点，∴∠ABD＝∠CBD. ∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠CBD，∴∠BDO＝∠ABD，∴AB∥OD. ∵OD⊥DE，∴DE⊥AB. 过点D作DF⊥BC于点F. ∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠BFD＝90°. 又∵∠EBD＝∠FBD，BD＝BD， ∴△BDE≌△BDF(AAS)，∴BE＝BF，DE＝DF. ∵D为 的中点，∴ ＝ ，∴AD＝CD. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴AE＝CF. ∵BE＝4AE＝4，∴AE＝1，∴BC＝BF＋CF＝BE＋AE＝5， ∴⊙O的半径为 BC＝ . 第15题解图 返回目录 16. 如图，☉O为△ABC的外接圆，其中∠B＝50°，点I为△ABC的内 心，连接AI并延长交☉O于点D，连接IC，CD，则∠ICD＝ ⁠°. 65　 返回目录 17. [胡不归](2025南宁三中模拟)如图，☉O是等边三角形ABC的外接圆， 其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，P为线段BE上一动点(点P不与 B，E重合)，则CP＋ BP的最小值为 ⁠. 6　 返回目录 【解析】如解图，过点P作PD⊥AB于点D，连接CO并延长交AB于点F，连接AO. ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC＝30°.∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，∴OA＝OB＝4，CF⊥AB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∴∠OAE＝∠OAB＝ 30°.∵BE⊥AC，∴OE＝ OA＝2，∴BE＝BO＋OE＝6.∵PD⊥ AB，∠ABE＝30°，∴PD＝ BP，∴CP＋ BP＝CP＋PD≥CF，∴CP＋ BP的最小值为CF的长度.∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB，∴CF＝BE＝6，∴CP＋ BP的最小值为6. 第17题解图 返回目录 18. 如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB长为半径 作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD，已知∠CAD＝∠B. (1)求证：AD是☉O的切线； 证明：如图，连接OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B. ∵∠B＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODB. 在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠ADC＋∠ODB＝90°， ∴∠ADO＝180°－(∠ADC＋∠ODB)＝90°， ∴OD⊥AD. 又∵OD为☉O的半径，∴AD为☉O的切线. 返回目录 (2)若AC＝4，BD＝6，求AE的长. 解： ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA，∴ ＝ ＝ ， ∴AC2＝CD×BC＝CD(CD＋BD)， 即42＝CD(CD＋6)，解得CD＝2(负值已舍)， ∴AD＝ ＝2 ，AB＝ ＝4 . 设☉O的半径为x，则AO＝4 －x. 在Rt△ADO中，AD2＋DO2＝AO2， 即(2 )2＋x2＝(4 －x)2，解得x＝ ， ∴AE＝4 －2× ＝ . 返回目录 19. [广西人文信息]南宁老友粉、桂林米粉、柳州螺蛳粉，俗称广西 三大碗，如图1是从正面看到的一个“碗”，其横截面可以近似地看成如 图2所示的以AB为直径的半圆O，MN为台面截线，半圆O与MN相切于 点P，水面截线CD＝6 cm，连接OP，与CD相交于点E. MN∥CD， AB＝12 cm. 图1 图2 图3 返回目录 (1)如图2，求水深EP； 解：如解图1，连接OC. ∵半圆O与MN相切于点P，∴OP⊥MN. ∵MN∥CD，∴OP⊥CD. ∵CD＝6 cm，∴CE＝ CD＝3 (cm). ∵AB＝12 cm，∴OA＝OB＝6 cm. 在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE＝ ＝3(cm)， ∴EP＝OP－OE＝6－3＝3(cm). 解图1 图2 返回目录 (2)将图2中的碗先沿台面MN向右作无滑动的滚动到如图3的位置，使得点 A与点C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长. 图2 图3 解：如解图2，过点B作AD的平行线，与PO的延长线相交于点F. ∵AD∥BF，∴∠OAE＝∠OBF. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF(ASA) ， ∴AE＝BF ，OE＝OF. 由(1)可得OE＝3 cm，CE＝3 cm， ∴OF＝OE＝3 cm，BF＝AE＝CE＝3 cm， ∴PF＝OP＋OF＝9(cm). 在Rt△BFP中，由勾股定理，得BP＝ ＝6 (cm). 解图2 返回目录 20. (2025南宁三模)如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点 C，D在直线l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交于点 E，F，连接EF，AF，AE. (1)求证：∠BEF＝∠BDC； 证明：∵直线l与☉O相切于点A， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BDC＋∠ABD＝90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠BFA＝90°， ∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∴∠BAF＝∠BDC. ∵∠BAF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠BDC. 返回目录 (2)若☉O的半径为2，AD＝3，AC＝4，求EF的长. 解： ∵☉O的半径为2，∴AB＝4. ∵∠BAD＝90°，AD＝3，∴BD＝ ＝5. 又∵AC＝4，∴AB＝AC. ∵直线l与☉O相切于点A， ∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵AB是☉O的直径，∴∠BEA＝90°，∴BE＝AB· cos 45°＝2 . ∵∠BEF＝∠BDC，∠EBF＝∠DBC， ∴△BEF∽△BDC，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EF＝ . 返回目录 21. (2025泸州)如图，AB，CD是☉O的直径，过点C的直线与过点B的 切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB＝EC，连接DE交AB于 点G. (1)求证：EF是☉O的切线； 证明：如解图，连接OE. ∵BE是☉O的切线，∴OB⊥BE，即∠OBE＝90°. 在△OEC和△OEB中， ∴△OEC≌△OEB(SSS)，∴∠OCE＝∠OBE＝90°，∴OC⊥CE. ∵OC是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 返回目录 (2)若AF＝10， sin F＝ ，求EG的长. 解：如解图，过点C作CH⊥BF于点H，过点D作DM⊥BF于点M. 设OA＝OC＝r，则OF＝OA＋AF＝r＋10. 由(1)可得∠OCF＝90°. 在Rt△OCF中， sin F＝ ＝ ， ∴3OC＝OF，∴3r＝r＋10，解得r＝5， ∴OA＝OC＝5， ∴AB＝CD＝2OA＝10，OF＝15， ∴BF＝OF＋OB＝20. 在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝ ＝10 ， ∴ cos F＝ ＝ . 返回目录 在Rt△BEF中，EF＝ ＝15 ， ∴CE＝EF－CF＝5 ，BE＝EF· sin F＝5 . 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝ ＝5 . ∵S△OCF＝ CH·OF＝ OC·CF， ∴CH＝ ＝ . ∵∠CHO＝∠DMO＝90°，∠COH＝∠DOM，OC＝OD， ∴△DOM≌△COH(AAS)，∴DM＝CH＝ . ∵∠DMG＝∠EBG＝90°，∠DGM＝∠EGB， ∴△DGM∽△EGB，∴ ＝ ＝ ， ∴EG＝ DE＝3 . 返回目录 33 $