第5章 第4节 正方形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（广西专用）

数 学 广西 分层练习册 1 第五章　四边形 第四节　正方形 (3年2考，2分或3分) 一阶　基础巩固 二阶　能力提升 三阶　实践操作 考点　正方形的性质与判定(2024.12，2023.18) 1. 已知矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列条件中能判定矩形 ABCD是正方形的是(　D　) A. OA＝OC B. OA＝OB C. AB⊥BC D. OA⊥OB D 返回目录 2. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若 ∠BCE＝70°，则∠EAD的大小为(　B　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° B 返回目录 3. 如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接 BD，DE，则∠BDE＝(　C　) A. 37.5° B. 35° C. 30° D. 25° C 返回目录 4. (2025陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在 AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为(　C　) A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 C 返回目录 5. [开放性试题](2024深圳)如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为 正方形，且S正方形ABCD＝10，S正方形GHIJ＝1，则正方形DEFG的边长可以 是 .(写出一个答案即可) 2(答案不唯一)　 返回目录 6. (2025防城港模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BD为对角 线，点E在BD上，且BE＝2DE，连接CE，则CE的长为 ⁠. 4 　 返回目录 7. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作 BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F，连接AF，若正方形ABCD 的边长是5，BE＝2，则AF的长为 ⁠. 　 返回目录 8. 如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E， F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； 返回目录 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，　 ∴∠FBE＝∠GCF＝∠HDG＝∠EAH＝90°. ∵BE＝CF＝DG＝AH， ∴AB＋BE＝BC＋CF＝CD＋DG＝DA＋AH，即AE＝BF＝CG＝DH， 在△FBE和△GCF中， ∴△FBE≌△GCF(SAS)，∴EF＝FG，∠BFE＝∠CGF， ∵∠GCF＝90°，∴∠CGF＋∠GFC＝90°， ∴∠BFE＋∠GFC＝90°，即∠EFG＝90°， 同理可得△GCF≌△HDG，△HDG≌△EAH，△EAH≌△FBE，　 ∴FG＝GH，GH＝HE，HE＝EF， ∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形. 又∵∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是正方形. 返回目录 (2)若AH＝1，AB＝2，求正方形EFGH的面积. 解： ∵AH＝BE＝1，AB＝2，∴AE＝AB＋BE＝3， ∴HE＝ ＝ ，∴S正方形EFGH＝HE2＝10. 返回目录 9. 如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与四边形OGDF也都是 正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG的长为(　B　) A. B. 2 C. 10 D. 20 【解析】连接AO，∵四边形OHBE，四边形OGDF 都是正方形，∴FO＝OG，HO＝OE，∵阴影部分 的面积是10，∴ OG×OF＋ OE×OH＝10， ∴OG2＋OE2＝20，∴EG2＝20，∴EG＝2 . B 返回目录 10. (2025广西模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点， 点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E， B'F. 点F在BC边上移动，当四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长 为(　A　) A. B. C. 2 D. 3 A 返回目录 11. (2025广西模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为a，延长BC到点 E，使CE＝BC，取CD的中点F，连接DE，BF，DE与BF的延长线相 交于点G，则BG的长为(　B　) A. a B. a C. a D. a B 返回目录 【解析】如解图，过点C作CP∥BG，交DE于点P，连接BD. ∵BC＝CE，∴CP是△BEG的中位线，∴P为EG的中点. ∵F是CD的中点，∴FG是△DCP的中位线，∴DG＝GP＝PE. ∵正方形ABCD的边长为a，CE＝BC， ∴BC＝CD＝CE＝a，∠BCD＝90°，BD＝DE＝ ＝ a，∠BDC＝∠EDC＝45°， ∴DG＝ ，∠BDG＝90°， ∴BG＝ ＝ a. 返回目录 12. (2021河池)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在 CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是(　B　) A. 2 B. C. D. B 返回目录 【解析】如解图，过点F作AB的垂线交AB于点N，交CD于点M. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝ BC＝CD＝4，∴四边形CMNB为矩形，∴MN＝BC＝4，CM＝BN. ∵BF⊥EF，∴∠EFB＝∠FNB＝90°，∴∠FBN＋∠NFB＝∠NFB＋ ∠EFM，∴∠FBN＝∠EFM. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴∠MFC＝∠MCF＝45°，∴MF＝MC＝NB，在△MEF与△NFB中， ∴△MEF≌△NFB(ASA)，∴ME＝ FN，设ME＝FN＝x，则MC＝MF＝BN＝1＋x.∵MN＝MF＋FN＝4，∴1＋x＋x＝4，解得x＝ ，∴FN＝ .∵四边形ABCD为正方形，MN⊥AB，∴∠NAF＝∠NFA＝45°，∴FN＝AN， ∴AF＝ ＝ FN＝ . 第12题解图 返回目录 13. (2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂 足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为 ⁠. 　 返回目录 14. (2025桂林二模)如图，正方形ABCD中有两个小正方形，两个小正方 形的面积分别为S1和S2，边长分别为a，b，当AB＝4时，ab的值 为 ⁠. 　 返回目录 15. (2025南宁模拟)如图，三条相互平行的直线l1，l2和l3分别经过正方形 ABCD的三个顶点，l2交边AD于点E. 若l1与l2之间的距离为6，l1与l3之间 的距离为14，则CE的长为 ⁠. 　 返回目录 【解析】如解图，过点D作DN⊥CE于点N，过点B作BM⊥CE于点M. 由题意得DN＝6，BM＝8.∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC，∠DCB＝∠CDE＝90°. ∵DN⊥CE，BM⊥CE，∴∠DNC＝∠CMB＝90°， ∴∠NCD＋∠NDC＝∠MCB＋∠NCD＝90°，∴∠NDC＝∠MCB，∴△DNC≌△CMB(AAS)，∴CN＝BM＝8. 同理可证∠NDE＝∠NCD. 又∵∠DNE＝∠CND＝90°，∴△DNE∽△CND， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴NE＝ ，∴CE＝NE＋CN＝ . 返回目录 16. (2025内江)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴 上，点B的坐标为(1，0).点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在 点F处.若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标为 ⁠. (－ ，5)　 返回目录 【解析】设CD与y轴交于点G，AB＝x.易知四边形OADG是矩形， ∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x.∵点B的坐标为(1，0)，∴OA＝x－1. ∵点F的坐标为(0，3)，∴OF＝3，AF＝AD＝x，DE＝EF. 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＝OA2＋OF2， 即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴DG＝OA＝x－1＝4. 设EG＝a，则DE＝EF＝4－a，FG＝OG－OF＝2. 在Rt△EFG中，由勾股定理得EF2＝EG2＋GF2， 即(4－a)2＝a2＋22，解得a＝ ，∴点E的坐标为(－ ，5). 返回目录 17. (2025河池宜州区期末)如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根 木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成如图1所示的菱 形，测得∠A＝120°，对角线AC＝8 cm，接着将该活动学具调成如图2 所示的正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接 BE，则图3中△BCE的面积为(　C　) A. 32 cm2 B. 32 cm2 C. 16 cm2 D. 16 cm2 C 返回目录 18. (2025德阳)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 ABCD进行测量规划使用，如图，点E，F处是它的两个门，且DE＝ CF，要修建两条直路AF，BE，AF与BE相交于点O(两个门E，F的大 小忽略不计). (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； 返回目录 解：两条路等长；它们的位置关系是：互相垂直.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°. ∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，∴AE＝DF. 在△BAE和△ADF中， ∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠BAE＝∠BAO＋∠DAF＝90°，∴∠BAO＋∠ABE＝90°. 在△AOB中，∠AOB＝180°－(∠BAO＋∠ABE)＝90°， ∴AF⊥BE，∴道路AF与BE等长，且它们互相垂直. 返回目录 (2)同学们测得AD＝4米，AE＝3米，根据实际需要，某小组同学想在四 边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一 端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处 的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条， 并说明理由. 返回目录 解：能修建一条这样的直路.理由如下： ∵AD＝AB＝CD＝4米，AE＝3米，∴DE＝CF＝1米， 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝ ＝5(米)， 由(1)得AF＝BE＝5米，AF⊥BE，∴S△ABE＝ BE·OA＝ AB·AE， ∴OA＝ ＝2.4(米)，∴OF＝AF－OA＝2.6(米). 根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为2.6米， ∴路段OB上不存在符合题意的点P，∴点P不在路段OB上. 当点P在边界BC上时，在Rt△PCF中， 由勾股定理得PC＝ ＝ ，∴BP＝BC－PC＝(4－ )米. ∵4－ ＞4－ ，∴4－ ＞1.5，∴点P符合题意， 即能修建成一条这样的直路. 返回目录 31 $