第3章 第9节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（广西专用）

数 学 广西 分层练习册 1 第三章　函数 第九节　二次函数的实际应用 (3年2考，2分或12分) 一阶　基础巩固 二阶　能力提升 三阶　实践操作 类型1　利润最值问题 1. (2025南宁四十七中模拟)某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场 调查与预测，种植茶树的利润y1(万元)与投资量x(万元)成正比例关系，如 图1所示；种植果树的利润y2(万元)与投资量x(万元)成二次函数关系，如 图2所示.如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共10万元，那么他能获 取的最大总利润是(　D　) A. 20万元 B. 32万元 C. 48万元 D. 50万元 D 图1 图2 返回目录 【解析】设y1＝kx，把P(1，2)代入y1＝kx中，得2＝k，∴y1＝2x.设 y2＝ax2，把Q(2，2)代入y2＝ax2中，得2＝4a，解得a＝ ，∴y2＝ x2. 设这位专业户投入种植果树的资金为m万元，则投入种植茶树的资金为 (10－m)万元，他获得的利润为w万元，由题意，得w＝2(10－m)＋ m2＝ m2－2m＋20＝ (m－2)2＋18.∵ ＞0，0≤m≤10，∴当m＝10时， w最大＝50，∴能获取的最大总利润是50万元. 返回目录 类型2　抛物线形问题(2024.18) 2. (2025山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x＜1 000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围 (x≥1 000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是(　B　) A. 当x≥1 000时，y随x的增大而减小 B. 当x＝2 000时，y有最大值 C. 当y≥0.6时，x≥1 000 D. 当y＝0.4时，x＝600 B 返回目录 【解析】A. 当x≥1 000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错 误，不符合题意；B. ∵抛物线过点(1 000，0.6)，(3 000，0.6)，∴抛物线的 对称轴为直线x＝ ＝2 000.∵抛物线的开口向下，∴当x＝2 000 时，y有最大值，故B选项正确，符合题意；C. 由图象可得当y＝0.6时， x1＝1 000，x2＝3 000，∴当y≥0.6时，1 000≤x≤3 000，故C选项错误， 不符合题意；D. 由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错 误，不符合题意. 返回目录 3. (2025柳州模拟)如图1，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近 似地看成抛物线.图2是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中 喷灌架置于点O处，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)设置的是1 米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米. (1)求水流运行轨迹的函数解析式； 解：由题可知抛物线的顶点为(8，5)， 设水流运行轨迹的函数解析式为y＝a(x－8)2＋5， 将点(0，1)代入可得a＝－ ， ∴水流运行轨迹的函数解析式为y＝－ (x－8)2＋5. 图1 图2 返回目录 (2)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否能喷射到这 棵果树？请通过计算说明. 解：不能，理由如下： 当x＝12时，y＝－ ×(12－8)2＋5＝4＞3.5， ∴水流不能喷射到这棵果树. 图1 图2 返回目录 类型3　面积最值问题(2025.22) 4. (2025广西模拟)用12米长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了 让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半 圆形这三种方案，最佳方案是(　C　) A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 都一样 C 返回目录 【解析】设围成的图形的面积为y平方米，方案1：设与墙相邻的边长为 x 米，则另一边为(12－2x)米，由题意，得y＝x(12－2x)＝－2(x－3)2＋ 18，当x＝3时，y有最大值，最大值为18.方案2：易得等腰三角形的腰为 6米，当顶角为直角时，面积最大，为 ×6×6＝18.方案3：设圆的半径 为r米，则πr＝12，解得r＝ ，∴y＝ π×()2＝ ≈23.∵23＞18， ∴最佳方案为方案3. 返回目录 5. (2025南宁外国语学校二模)九年级学生在数学社团课上进行了项目化学 习研究，某小组研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计 了实验活动.请你尝试帮助他们解决相关问题. 素材1 利用一边长为40 cm的正方形纸板可以设计成如 图所示的无盖纸盒 素材2 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样 大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒 返回目录 (1)初步探究，制作一个底面积为484 cm2的无盖纸盒，需要剪掉的小正方 形边长为多少？ 解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长 为(40－2x)cm的正方形， ∴(40－2x)2＝484， ∴x1＝9，x2＝31(不符合题意，舍去). 答：剪掉的小正方形的边长为9 cm. 返回目录 (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和剪 掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由. 解：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为 a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2， ∴S＝4(40－2a)a＝－8a2＋160a＝－8(a－10)2＋800. ∵－8＜0，∴当a＝10时，S取得最大值，最大值为800. 答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800 cm2，此时剪掉的 小正方形的边长为10 cm. 返回目录 6. [中华优秀传统文化](2025南宁邕宁区民族中学模拟)廊桥是我国古老的 文化遗产，如图，是某座抛物线形的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛 物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线 上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平 距离EF等于 米. 8 　 返回目录 【解析】如解图，以AB所在直线为x轴、线段AB的垂直平分线为y轴建 立平面直角坐标系，由题意，得A(－20，0)，B(20，0)，C(0，10).设过 点A，B，C 的抛物线的解析式为y＝a(x＋20)(x－20)(a＜0)，把点C(0， 10)的坐标代入，得10＝a(0＋20)(0－20)，∴a＝－ ，则y＝－ (x＋ 20)(x－20)，把 y＝8代入，得 8＝－ (x＋20)(x－20)，即 x2＝80，解得 x1＝4 ，x2＝－4 ，∴EF＝｜x1－x2｜＝｜4 －(－4 )｜＝ 8 (米). 返回目录 7. (2025玉林三模)【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在 晚会上悬挂一串彩灯，如图1.挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物 线拼接而成. 【素材2】将图1的两段抛物线抽象成如图2所示的抛物线L1和抛物线L2， 抛物线L1和抛物线L2大小形状完全相同，AO，BC，DE三个支撑杆均垂 直于地面OE，垂足分别是点O，C，E，AO＝BC＝DE＝3 m. 【素材3】点C是OE的中点，OC＝4 m.以点O为原点，OE所在直线为 x轴，OA所在直线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，抛物线L1的函 数表达式为y＝ax2－bx＋6b. 图1 图2 返回目录 (1)求a，b的值； 解：根据题意得 解得 (2)求抛物线L2的函数表达式； 解：由(1)可得抛物线L1的函数表达式为y＝ x2－ x＋3＝ (x－2)2＋ ， 则抛物线L2的函数表达式为y＝ (x－2－4)2＋ ＝ (x－6)2＋ . 【任务】 图1 图2 返回目录 (3)在抛物线L2上的点M处绑一根竖直彩带(彩带绷直，打结处的长度忽略 不计，抛物线的形状不改变)，彩带末端恰好接触到地面N处，MN⊥OE 于点N，NE＝3 m，求彩带的长度MN. 图1 图2 解：∵点C是OE的中点，OC＝4 m，∴OE＝8 m， ∴ON＝OE－NE＝5(m)， ∴当x＝5时，代入抛物线L2的函数表达式中， 得y＝ ×(5－6)2＋ ＝ ，∴彩带的长度MN为 m. 返回目录 8. 综合与实践(2025兰州)在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为 “生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解 决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高 抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学 模型进行解决. 返回目录 生长素浓度x(标 准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y(％) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准 单位)为自变量，种子的发芽率y(％)为因变量，进行“生长素浓度对植物 种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据如下： 返回目录 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直 角坐标系中描出相应的点. 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 返回目录 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的 表达式； 解：观察各点的分布规律可知，y关于x的函数是二次函数，设该二次 函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入， 得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝－7x2＋28x＋35. 返回目录 (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 解：当x＝0时，y＝35， ∴种子自然发芽率为35％， ∴当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35， 解得x1＝0，x2＝4， 当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0， 解得x1＝－1(舍去)，x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5. 返回目录 25 $