17.1 平行四边形的性质 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

17.1 平行四边形的性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 1 17.1 课时1 平行四边形的性质定理1、2 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 2 1.理解平行四边形的概念，对能其进行判断 2.理解平行四边形对边相等、对角相等的性质，应用性质解决相关问题 3.能理解两条平行线之间的性质,能计算两条平行线间的距离 学习目标 BY YUSHEN 22251 观察下图，平行四边形在生活中无处不在. 你还能举出它在 生活中的其他例子吗？ 情境导入 BY YUSHEN 22251 探究一：平行四边形的定义 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD记作 ABCD ( 要注意字母顺序). 1.定义: A B D C 语言表述： ∵AD∥BC,AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 归纳 BY YUSHEN 22251 画一画 根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形ABCD. 探究二：平行四边形的性质1,2 D A B C 新知探究 BY YUSHEN 22251 活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗? A B C D 测得AB=DC，AD=BC. 新知探究 BY YUSHEN 22251 活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗? A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？ 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 ● A D O C B D B O C A AB=DC，AD=BC， ∠A =∠C，∠B =∠D. 如图将平行四边形ABCD绕O点旋转180°，你得到了哪些结论？ 两个平行四边形完全重合 平行四边形是中心对称图形，O点是 对称中心，由此还可以得到： 验一验： 几何画板验证 新知探究 BY YUSHEN 22251 证明猜想： 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. A B C D 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB∥CD, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴ △ABC≌△CDA, ∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3， ∴∠BAD=∠BCD. 1 4 3 2 BY YUSHEN 22251 思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ A B C D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠A+∠B=180°， ∠A+∠D=180°， ∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. BY YUSHEN 22251 几 何 语 言 边 角 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC. ∴ AD=BC ，AB=DC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， A B C D 平行四边形的性质 性质定理1 性质定理2 归纳 BY YUSHEN 22251 1.如图，在 ABCD中. (1)若∠A =32。,求其余三个角的度数. A B C D ∵四边形ABCD是平行四边形， ∠A =32。(已知), 解： ∴ ∠A = ∠C=32。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）, ∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补), ∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 32。=148。. 平行四边形的 邻角互补 巩固练习 BY YUSHEN 22251 (2)连接AC，已知 ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AB=CD，BC=AD(平行四边形的对边相等). 又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知), ∴AB+BC= 10cm. ∵AC=7cm, ∴ △ABC的周长为AB+BC+AC= 17cm. A B C D 1.如图，在 ABCD中. 巩固练习 BY YUSHEN 22251 活动3 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A= ∠C，AD=CB. 又∠AED= ∠CFB=90°， ∴ △ADE≌△CBF（AAS）, ∴AE=CF. 思考 DE与BF有怎样的关系？（位置、大小），你有什么想法？ D A B C F E 探究三：平行线间的距离 新知探究 BY YUSHEN 22251 若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F. C B F E A D 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 夹在两条平行线间的平行线段相等. m n 由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形. 新知探究 BY YUSHEN 22251 平行线间的距离处处相等. 若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m于A、C、E. B F E A n m C D 点到直线的距离 同前面易得AB=CD=EF 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 归纳 BY YUSHEN 22251 2.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC =12cm2， 求△ABD中AB边上的高． 解：S△ABC = AB•BC, = ×4 ×BC=12cm2， ∴BC=6cm. ∵AB∥CD， ∴点D到AB边的距离等于BC的长度， ∴△ABD中AB边上的高等于6cm． 讨论：你还能反推出什么结论？ 等底同高的三角形其面积相等 巩固练习 BY YUSHEN 22251 1.平行四边形的定义： 2.平行四边形的性质： 3.平行线间的距离： 平行四边形 课堂总结 BY YUSHEN 22251 1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)： (1)平行四边形两组对边分别平行且相等. ( ) (2)平行四边形的四个内角都相等. ( ) (3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( ) (4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和 3cm，那么它的周长是10cm. ( ) (5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°， 那么∠B=48°. ( ) (6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°. ( ) √ √ √ × × × 随堂练习 BY YUSHEN 22251 2.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8， △ABD的面积为16，则△ACE的面积为 . A B C D E 10 提示：可过点F作AF⊥BD于点F,再由△ABD的面积求出AF的长. F 随堂练习 BY YUSHEN 22251 3.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？ 解：∵AE//BC，AB//CF， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴∠D=∠B=60°， AD=BC=80cm. ∴ED=AD-AE=20cm. 答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°. 随堂练习 BY YUSHEN 22251 17.1 课时2 平行四边形与邻边有关的计算和证明 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 24 1.平行四边形的性质定理1： . 平行四边形的对边相等 2.平行四边形的性质定理2: . 平行四边形的对角相等 复习导入 BY YUSHEN 22251 1.能灵活运用平行四边形的性质1,2解决与邻边相关的计算和证明问题. 学习目标 BY YUSHEN 22251 活动1 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长. 解：设AB的长为 x ,则BC的长为 x+4. 根据已知，可得 2（AB+BC）=24, 即 2（x+x+4）=24, 4x+8=24, 解得 x=4. 所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8. B C D A x 如何表示？ 如何表示 ？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 1. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 2.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 归纳 BY YUSHEN 22251 1.已知平行四边形ABCD的周长为60cm，两邻边AB，BC长的比为3：2，求AB和BC的长度 . A B D C ∴AB=18,BC=12. 解得x=6, ∴平行四边形ABCD的周长10x=60, 解：设AB=3x,则BC=2x, 巩固练习 BY YUSHEN 22251 活动2 已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E， 求证：BE+BC=CD． B C D A E 思考：(1)在□ ABCD中，你能找出哪些边角关系？ (2)由∠ADC的平分线DE再结合(1),你得出哪些结论？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 活动2 已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E， 求证：BE+BC=CD． B C D A E ∴∠CDE=∠AED， ∴AB=CD(平行四边形的对边相等), AB∥CD(平行四边形的对边平行)， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE+BC=BE+AE=AB=CD. ∴AE=BC， 又∵AD=BC(平行四边形的对边相等), ∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE, 又∵DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE， 新知探究 BY YUSHEN 22251 2.如图，在▱ABCD中，DE,AE分别为∠ADC，∠BAD的平分线，与BC交于点E．求证：AD=2CD． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∴∠ADE=∠CED，∠DAE=∠AEB， ∵DE，AE分别是∠ADC，∠BAD的平分线， ∴∠ADE=∠CDE，∠DAE=∠BAE， ∴∠CED=∠CDE，∠BAE=∠AEB， ∴CE=CD，BE=AB， ∴AD=BC=CE+BE=CD+AB=2CD. 知识归纳：平行四边形一内角的 平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形. 巩固练习 BY YUSHEN 22251 1. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 2.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 与平行四边形两邻边长有关的计算和证明： 3.在求证平行四边形中的边或角关系时，注意结合平行四边形的性质以及等腰三角形的相关性质. 课堂总结 BY YUSHEN 22251 1. 已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为________. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵平行四边形ABCD的周长是32， ∴2（AB+BC）=32， ∴2（4+BC）=32， ∴BC=12． 12 B C D A 随堂练习 BY YUSHEN 22251 2. 如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，求BC的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC， ∴∠AFB=∠FBC， ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC， 则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6， 同理可证 DE=DC=6， ∵EF=AF+DE-AD=2，即6+6-AD=2， 解得 AD=10. ∴BC=10. 随堂练习 BY YUSHEN 22251 3.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F. (1)求证：△ABF≌△CDE; (2)如图，若∠1=65°，求∠B的大小. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC,∠B＝∠D， ∴∠1＝∠BCE. ∵AF∥CE,∴∠AFB＝∠ECB, ∴∠AFB＝∠1. 在△ABF和△CDE中， ∠B＝∠D，∠AFB＝∠1，AB＝CD ∴△ABF≌△CDE. (2)由(1)得∠1＝∠BCE， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠DCE=∠1＝65°， ∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°. 随堂练习 BY YUSHEN 22251 17.1 课时3 平行四边形的性质定理3 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 37 问题：我们学习了平行四边形的哪些性质？ 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. 思考：平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？ 平行四边形的邻角互补. 复习导入 BY YUSHEN 22251 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质，能运用平行四边形对角线的性质解决相关几何问题 学习目标 BY YUSHEN 22251 A B C D O 活动 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系? 猜一猜 OA=OC,OB=OD 怎样证明这个猜想呢？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 证一证： 已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌△COB（A.S.A.）, ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 BY YUSHEN 22251 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质定理3 语言表示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 归纳 BY YUSHEN 22251 1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　 　） A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD C．AO=CO D．AC⊥BD B C D A O D 巩固练习 BY YUSHEN 22251 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6， 则对角线AC、BD的长度的和是多少？ 证明： 在▱ABCD中， ∵ AB=6,AO+BO+AB=15, ∴ AO+BO=15-6=9, 又∵AO=OC,BO=OD ∴ AC+BD=2(AO+BO)=2×9=18. 例题分析 BY YUSHEN 22251 2.如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD 于点E，F.求证：OE=OF. A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌△BOE（A.A.S.）, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考：改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? 提示：证明OE，OF所在的两个三角形全等即可. 例题分析 BY YUSHEN 22251 ● O D C B A E F (1) 议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由． ● ● O D C B A E F (2) ● ● ● BY YUSHEN 22251 议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图(3)、(4)的位置时，上述结论是否仍然成立？ E F ● O D C B A ● O D C B A E F (3) ● ● ● ● E F 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等． (4) BY YUSHEN 22251 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF. 求证:BE=DF. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O, ∴OB=OD,OA=OC. ∵E,F分别是OA,OC的中点, A B C D O E F 巩固练习 BY YUSHEN 22251 平行四边形对角线的性质定理3 定理：平行四边形的对角线互相平分 运用平行四边形对角线的性质解决相关几何问题 课堂总结 BY YUSHEN 22251 1.在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是( ) A. 24<m<39 B.14<m<62 C.7<m<31 D.7<m<12 B C D A O C 随堂练习 BY YUSHEN 22251 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长. 8 10 B C D A O 解： ∴△ABC是直角三角形. 又∵AC⊥BC ∴BC=AD=8，CD=AB=10 又∵OA=OC ∴ ∴ ？ ？ ？ ∵四边形ABCD是平行四边形. 随堂练习 BY YUSHEN 22251 17.1 课时4 平行四边形中周长与面积的相关计算 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 52 1.进一步巩固平行四边形的相关性质，能运用平行四边形的性质求平行四边形的周长和面积 学习目标 BY YUSHEN 22251 活动1: 如图，平行四边形ABCD的周长为16，三角形AOB的周长比三角形BOC的周长小2. 求AB和BC的长. 解： ∴AB=3，BC=5. 又∵△AOB的周长+2= △BOC的周长 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC 又∵平行四边形ABCD的周长为16， ∴AB+OA+OB +2=BC+OB+OC，即AB+2=BC. ∴2(AB+BC)=16， 即4AB+4=16. 探究一：平行四边形周长的计算 试试用图中字母表示 △AOB、△BOC、 ▱ABCD的周长. 新知探究 BY YUSHEN 22251 1.如图,在平行四边形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______. 5 A B C D O 解：∵在▱ABCD中，AB=CD, OA=OC, OB=OD ∴△AOB的周长=AB+OA+OB=AB+10=15 ∴CD=5 ∴AB=5 ∴OA+OB=10 又∵AC+BD=20， 巩固练习 BY YUSHEN 22251 探究二：平行四边形面积的计算 活动2: 如图,在平行四边形ABCD中，AC=21,BE⊥AC, BE=5，AD=7.求AD和BC之间的距离. 解：设AD和BC之间的距离为x, 则平行四边形ABCD的面积等于AD•x. ∵S▱ABCD=2S△ABC =AC•BE ∴AD•x=AC•BE, 即7x=21×5 即AD和BC之间的距离为15. AD和BC之间的距离代表什么？它与S▱ABCD、S△ABC有什么关系？ ∴x=15 新知探究 BY YUSHEN 22251 活动3: 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积. 解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80． S▱ABCD如何表示？与它的周长有怎样的关系? 请说说你的想法和发现. 思路点拨: 若设AB=x，则BC= . S▱ABCD=DE · =DF · . 24-x x 24-x 新知探究 BY YUSHEN 22251 思考：平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？说明理由 解：相等 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 还可结合全等来证. 归纳: 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等. 等底同高的三角形其面积相等! BY YUSHEN 22251 2.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积． 解：（9+12）×2 =21×2 =42（cm2） 答：平行四边形的面积是42cm2． 巩固练习 BY YUSHEN 22251 平行四边形中周长与面积的相关计算 平行四边形的周长= 平行四边形的面积 课堂总结 BY YUSHEN 22251 1.如图， □ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 B B C D A O 随堂练习 BY YUSHEN 22251 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别 相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为 （　　） A.16 B.14 C.12 D.10 A D C B F E O C 随堂练习 BY YUSHEN 22251 3.如图，平行四边形ABCD的面积为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______． 1 提示：过O作OG垂直AB于点G,作OH⊥CD于点H 随堂练习 BY YUSHEN 22251 4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD，BC =AD，OB =OD. ∵OE⊥BD， ∴BE =DE. ∵△CDE的周长为10， ∴DE +CE +CD=BE+CE+CD=BC+CD=10， ∴平行四边形ABCD的周长为 2×(BC+CD)=20． 随堂练习 BY YUSHEN 22251 5.如图，在▱ABCD中，AB= cm，AD=4cm，AC⊥BC，求△DBC比△ABC的周长长多少． 解：在▱ABCD中，∵AB=CD= cm， AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO， 又∵AC⊥BC，∴AC= =6cm， ∴OC=3cm， ∴BO= =5cm， ∴BD=10cm， ∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC） =BD﹣AC=10﹣6=4(cm). 随堂练习 BY YUSHEN 22251 $