专题08 几何最值模型之逆等线模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题08 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 2 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 16 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 24 17 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 1）逆等线模型（三角形边上的逆等线） 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 2）逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 3）逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 例1（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ． 例5（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图：在中，，，，为，上的动点，且，连接，，当取得最小值时，线段的值为 ．（逆等线） 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 例1（2025·安徽宿州·校考二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 例2（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 例1（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ． 例2（25-26八年级上·浙江湖州·期末）知识呈现 我们已经学习过“将军饮马”问题（如下图），在解决该类问题时，常常利用“旋转”、“构造全等”等方法． 请据此回答下面问题： (1)如图1，在中，，，点、分别为线段、上的动点，且． ①求证：；②在点、运动过程中，求的最小值； (2)如图2，在中，，，是斜边上的中线，、为线段上的两个动点，且，求的最小值； (3)如图3，，在中，，，，点、分别为线段、上的动点，且，请直接写出的最小值． 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 2.（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 4.（25-26八年级上·北京朝阳·校考期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 5.（24-25七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．    6．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 . 7．（2025·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 8．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级下·福建宁德·期中）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ． 10．（25-26八年级下·成都·期中）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．    12．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在，，点D、E分别是边、上的动点，满足，连接、，则的最小值为______________． 14．（2025·陕西西安·一模）如图所示，已知，，，点D和点E分别是和边上的动点，满足，连接，点F是的中点，则的最大值为 _________________． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在直角坐标系中，轴于，连接，E，F分别是线段，上的动点，，则的最小值为__________．此时，点的坐标为__________． 16．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）在中，于点D，点E是上一点， (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，连接，且，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，，点F是线段上一点，且，连接交于点P，连接，当取最小值时，直接写出的面积． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题（2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究（3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               18．（24-25八年级上·重庆·期中）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接．(1)若，求点到边的距离；(2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，探索，，之间的数量关系并证明；(3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．(提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方) 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 2 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 16 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 24 17 该模型并非源自某一特定历史文献或数学典籍，而是‌在中考数学命题实践中逐步总结形成的解题模型‌。并被一线教师和教研群体归纳为“逆等线”这一通俗名称。逆等线模型源于初中几何中的双动点最值问题‌，是解决“两条不相连线段相等且含动点”这类题型的典型方法，其核心思想是通过构造全等三角形实现线段转化，将复杂的双动点问题转化为可求解的折线段最短问题。 其理论基础可追溯到几何变换思想，如平移、翻折与旋转，通过构造SAS全等三角形，把原本分散的动线段“拼接”成共端点的路径，最终利用“两点之间线段最短”求解最值。这种思想也与“将军饮马”“胡不归”等经典模型一脉相承，体现了初中数学中“转化与构造”的核心思想。 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 （2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【详解】（1）证明∵为等边三角形，∴， ∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴， ∵，，∴，∴； （2）证明：∵在中，，，∴是等腰直角三角形， ∴，由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 同理（1）证明，∴，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴； （3）解：∵，∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，即， 在和中，，∴， ∴，∴，在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵，∴， ∴，∴，在中，，∴， 解得，（负值舍去），∴，∴， 在中，，∴的最小值为． 1）逆等线模型（三角形边上的逆等线） 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 2）逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 3）逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 例1（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可得如图所示：       过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE， ∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD， ∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值， ∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴， ∵，∴，∵， ∴（AAS），∴，， ∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴， ∴，∴在Rt△MNC中，， ∴，∴CD+BE的最小值为；故答案为． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 例4（25-26八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ． 【答案】． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ，，，，，， ，的最小值为的长， ∵∴ ∴在中，，， ，，∴ 在中，．故答案为：． 例5（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图：在中，，，，为，上的动点，且，连接，，当取得最小值时，线段的值为 ．（逆等线） 【答案】1 【详解】解：如图，作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，． ∵，，∴， ∵C，D关于对称，∴，，， ∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∵在和中，，∴，∴，∴， ∵垂直平分线段，∴，∴， ∵，∴的最小值为线段的长，∴当点E在上时，取得最小值， 此时：在和中，，∴， ∴，∴，∴，∴的值为1，故答案为：1． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 例1（2025·安徽宿州·校考二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．    是等边三角形，，， ，，， ，，，， ∴．连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，，∴， ∵，即，∴， ∴，∴在中，，即m的最小值为．故选：B． 例2（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接， 是等腰三角形，，，， ，，， ，在与中，， ，∴当F为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，，故答案为：． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于直线：， 当时，可有，当时，可有，解得，∴， 又∵，∴，如下图，取点，连接， ∵，∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴的最小值为线段的长，即当共线时，的值最小， 设直线的解析式为，将点代入， 可得，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为．故选：C． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 例1（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，∴， 如图，分别过、作、的垂线交于，则四边形是矩形，连接， ∴，，，∴， ∵，，，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，最小，最小为，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 例2（25-26八年级上·浙江湖州·期末）知识呈现 我们已经学习过“将军饮马”问题（如下图），在解决该类问题时，常常利用“旋转”、“构造全等”等方法． 请据此回答下面问题： (1)如图1，在中，，，点、分别为线段、上的动点，且． ①求证：；②在点、运动过程中，求的最小值； (2)如图2，在中，，，是斜边上的中线，、为线段上的两个动点，且，求的最小值； (3)如图3，，在中，，，，点、分别为线段、上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析；(2)2(3) 【详解】（1）解：∵，∴，， 在和中，，∴，∴． 如图，过点作，使得，过点作交的延长线于点，连接，， ∵，∴，在和中，∴，∴， ∴，∴当、、共线时，的最小值为， ∵∴是等边三角形，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴， ∴，， ∴，∴的最小值为． （2）解：如图，延长到点，使得，连接， ∵是斜边上的中线，∴，∴， ∵，∴，即， 在和中，∴，∴， ∴，∴当、、共线时，的最小值为，∴的最小值为2． （3）解：如图，在上截取，过点作交延长线于点， 同理（1）可得，∴，∴， ∴当，，共线时，最小值为， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∴，， ∴，∴最小值为． 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 【答案】B 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH， ∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°， ∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH， ∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小， 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B． 2.（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则，，，， ，当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，，，，， ，即最小时，的度数为．故选：C． 4.（25-26八年级上·北京朝阳·校考期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，，，，，， ，，，， ，，，， 当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，． 的最小值是的长，，，， ，，，的最小值是．故答案为：． 5.（24-25七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，交于点，    ∵，∴，∴，∴， 当且仅当三点共线时，的值最小，此时点与点重合， ∵，，∴， ∴，∴， ∴；故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 . 【答案】 【详解】过点C作CG⊥DC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示： ∵为等边三角形，∴，， ∵CD平分，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，，， 当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小， 的值最小为：．故答案为：． 7．（2025·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 8．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G， 连接，∵为等腰的高，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴ ∵为等腰的高，，∴，∴， 当F与点G重合时，取得最小值， ∴，∴，∴，∴， ∴． 9．（24-25八年级下·福建宁德·期中）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示： ∵CD平分，∴， ∵为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，， ，当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小， 的值最小为：．故答案为：． 10．（25-26八年级下·成都·期中）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴，故答案为：，． 11．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：过点C作，并截取，连接，设交于点E， ∵，∴，，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，在中，，∴的最小值为， 如图，过点B作于F，∴，∴，∴，    ∴，，∴，∴，故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：要求的最小值及使最小，时，最短， 在是边长为的等腰直角三角形中，， 根据等面积法：，解得 的最小值为．故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在，，点D、E分别是边、上的动点，满足，连接、，则的最小值为______________． 【答案】 【详解】解：过点C作，截取，连接，，    ∵，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∴，当B、D、F三点共线时，取最小值， 在中，，∴， 在中，，，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 14．（2025·陕西西安·一模）如图所示，已知，，，点D和点E分别是和边上的动点，满足，连接，点F是的中点，则的最大值为 _________________． 【答案】/ 【详解】解：过E作，且，连，． 取中点N，连、、． ∵，，∴. ∵，，∴，∴． 设，∵F为中点，∴，∴. ∵N为中点，∴．∴. ∵，∴最大值，∴.故答案为：. 15．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在直角坐标系中，轴于，连接，E，F分别是线段，上的动点，，则的最小值为__________．此时，点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：∵点，，轴于，∴，，， ∴，即垂直平分，，∴， 如图，在x轴上截取，连接，，则， ∵轴，∴轴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，即当A，F，M三点共线时，为最小值， ∴，∴的最小值为； ∵，，设直线的表达式为：， ∴将点A，M代入表达式中，解得：，∴直线的表达式为：， ∵，∴直线的表达式为：， 联立，解得：，，∴此时， ∴，∴，则，∴． 16．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）在中，于点D，点E是上一点， (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，连接，且，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，，点F是线段上一点，且，连接交于点P，连接，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)；见解析(3)12 【详解】（1），，，，， ，，． （2）；证明：如图，过作，作，两线交于点，则四边形是平行四边形．作于点， 设，则，，四边形是平行四边形，，， ，，，， ，，，，， ，，，，， ，． （3）过作，且， ，，，，， ，，当、、三点共线时，最小 ，，，，， ，，是等腰直角三角形，，，． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题（2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究（3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示；∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴的最小值． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接．(1)若，求点到边的距离；(2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，探索，，之间的数量关系并证明；(3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．(提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方) 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：过点作延长线于点， 是等边三角形，，， 是等腰直角三角形，，， ，，即点到边的距离为； （2）解： 证明：证明：在上取，连接，， 是等边三角形，，， 是等腰直角三角形，，，， ，，，，， ，，垂直平分，， ，，，， ，，垂直平分，， ，，， ，， 在和中，，，，； （3）解：过点作，且，连接，过点作于点， ，，，， ，，当、、三点共线时，最小， 由（2）知，，，，，， ，是等腰直角三角形，， 过点作于点，则是等腰直角三角形，， ，，， ，，，， ，即，解得：，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $