辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（三）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 敬 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 已知之1十在复平面内复数之对应的点所在的象限艺 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={0,1,2},B={x|0≤x<2},则A∩B= A.(0,1) B.[0,2) C.{0,1} D.{0,1,2} 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=S6十3，a4=0,则a6= 弼 A.-1 B.-2 C.1 D.2 4.已知函数f(x)=log。(x一b)(a>0且a≠1)的部分图象如图所示，则 A.0<a<1,-1<b<0 B.0<a1,b<-1 C.a>1,-1<b<0 D.a>1,b<-1 帝5.已知函数fx)=as血ar-bc0sar的部分图象如图所示，其中点A(0,1,B(行，则后- A.-3 B.√3 D. § 3 3 数学·调研卷（三）1/4页 鬟 .已知双曲线C:乙-1Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F,E2,过F1的直线与C的左 右两支分别交于P,Q两点.若△PQF2为等边三角形，则C的离心率为 A.√2 B.3 C.2 D.√7 7.某商家欲制作一种圆锥形的饮料杯，其中放人一枚半径为1的巧克力球，当加满饮料时小球 淹没在饮料中，则该饮料杯的最小容积为 A智 B.2π c D.3π 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=4,点D满足AD=3DB,若CD=5, 则a+b的最大值为 A.42 B.4√3 C.3√6 D.2+3√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知P,Q是单位圆0上不同的两点，且向量O与0Q的夹角为5，则 A.O+OQ为单位向量 B.OP-OQ为单位向量 C.(OP+OQ)⊥(OP-OQ) D.(2OP-OQ⊥O反 10.在棱长均为1的正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，过点A1,D与BC1平行的平 面为a,则 A.平面α截该三棱柱所得截面为直角三角形 B.AC1⊥平面a C.BC,到平面a的距离为5 D.平面ABB1A1⊥平面a 11.已知随机变量X的取值为0,1,2，…，n(n∈N),X的分布列为P(X=i)=:,i=0,1,2, …n.定义由X生成的函数f(x)=2x,i=0,1,2,…m,f'(x)为f(x)的导函数.现将 一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y表示正面向上的次数，由Y生成的函数记为 g(y)=之力y,i=0,1,2,3,4,g'(y)为g(y)的导函数，则 i=0 A.f(1)=g(1) B.E(X)=f'( C.E(Y)=g'(1) D.D(Y)=g(1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到A,B 两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共 种 (用数字作答). 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线1过F与C相交于A,B两点，若点A的 坐标为(4,4)，则△AOB(O为坐标原点)的面积为 14.已知直线l:y=ax与曲线y=lnx和y=e2+b都相切，则ab= 数学·调研卷（三）2/4页 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+c2=b2十ac. (1)求B; (2)若b(sinA+sinC)=8sin2B,求△ABC的面积S的最大值. 16.(15分) 近几年来，某市绿地面积逐年增加，空气质量逐步转好，人们居住环境得到改善，全民健身 运动引起广泛关注.某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园 锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天） 锻炼人次 空气质量 [0,200] (200,400](400,600] 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 (1)求空气质量优良的概率的估计值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： 锻炼人次 空气质量 合计 人次≤400 人次>400 优良 污染 合计 (3)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当 天的空气质量有关？ 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a十b十c十d. 0.050 0.010 0.001 To 3.841 6.635 10.828 数学·调研卷（三）3/4页 E 17.(15分) 已知函数f(x)=ae,x∈(0，十∞). (1)当a=1时，求f(x)的最值； (2)若函数g(x)=f(x)+lnx一x有三个极值点，求实数a的取值范围. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,CD=2PD=2AB=4AD,且PD,AD,BD两两垂 直，点M满足Pi-号Pd (1)证明：PA∥平面MBD; (2)求平面PBC与平面MBD夹角的余弦值. 19.(17分) 已知椭圆E:言+名=1(a>6>0过点P1,),且离心率为分 (1)求E的方程； (2)直线11经过E的左焦点F1与E相交于A,B两点，直线L2与E相交于C,D两点，且 AC,BD的交点为E的右焦点F2,记11，l2的斜率分别为1，k2,2=λk1 (i)证明：入为定值； (ⅱ)求点P到L2的距离的最大值. 数学·调研卷（三）4/4页数学 202年普通高等学校招生全国 选择题答案速查 题号 2 3 X 5 答案 D C B A A 一、选择题 1D【解析1由之=1+i=1一i,得z对应的点 为(1，-1)，位于第四象限 2.C【解析】由A={0,1,2},B={x0≤ X<2},得AnB={0,1}. 3.B【解析】由已知得a6=一1，又a4=0,则 公差d=-1,所以a6=-2. 4.A【解析】由图象可知函数为减函数，故 0 点故-1 5.A【解析】将A(0,1)代入f(x)得1=-b, b=-1,f(x)=asin wx cos wx= aFsin(ex十p,其中ang=日又 君-登-若-则T-名==2汉当 w 女=吾时，fx有最大值 √a+1,即 an+os管-T,即停。+名 Va中，解得a=5故号=-5. 6.D【解析】由已知得|PQ=|PF2=|QF2, 由双曲线定义知|PF,|=|QF,|-|QF2|= a,|PF2|=|PF1|+2a=4a,故|QF2|= a,|QF,|=6a.在△QFF2中，由余弦定理 得16a2+36a2-2x24a2×号-4c放c= 7a2,e=√7. 7.C【解析】圆锥的轴截面如图所示，设底面 半径AD=R,高PD=h,小球的球心为O. 由Rt△PEO一Rt△PDB,得 -即 1h一1二，所以h=R2一1故圆锥的体 R√R+h 11 答案与解析 统一考试模拟调研卷（三） 6 7 6 9 10 11 D C A BCD ACD ACD 积V=写Rh=号*R令R-1- 2R4 2R4 tt>o1,则V-号不R=号x(+} 2 2）≥，当且仅当t=1时，等号成立此时 R=√2，h=4. 8.A【解析】如图，由题可得AD=3,DB=1, 设LADC=0,由余弦定理得 b2=12- 6V3cos0,a2=4+2√3cos0,故3a2+ 62=24 a=22 sin a,b=26 cos a(< a<z).Ma+b-2/2sina+2/6cosa- 4 Zsin(a+-)≤4E,当且仅当a=若时取 等号，此时a=√2，b=32. 二、选择题 9.BcD【惭析1已知得O妒.0过=， 10p+01?=0p2+20.0+0=3, 故A错误；由OP-0012=02-2OP, 0元+00=1，故10庐-01=1，故B正确； 由(o妒+0Q)·(0p-0成)=0驴：-0= 高考模拟调研卷 0,故c正确：由已知得O币·0过=2 (20驴-0).0=20p.0-0Q=0, 故D正确. 10.ACD【解析】如图，连接AC1,A1C,交点 为E,连接CD,DE,由已知可证，BC‖ DE,故BC1平面A1CD,故a截该三棱 柱所得截面为△ACD,又CD⊥平面 ABBA1,故CD⊥A1D,平面ABB1A1⊥ a,所以A,D正确；显然AC1与DE不垂 直，故B错误；可求得三棱锥A1-BCD的体 积为号××1-设ec1到钾面a的 距离为hCD=,A,D=5,则三楼罐 B-A1CD的体积为 1 24 24,解得=5，故正确. 11.ACD【解析】X的分布列为 1 2 poP1 p2...pn f(x)=po+pix+p2x2+p3x3+...+ pmx",f'(x)=p1+2p2x+3p3x2+…十 npmx"-1.由已知 2p,=1.Y~B(4 2）PY=)=C(2)广i=01…4即 Y的分布列为 P 0 1 4 611/$4/16 1 16 16 16 6 g(y)=6+6y+6y+6y+ g（)=高+2×y+3×2+ 4X0,g1)=1,所以=9a=1, 故A正确：E(X)=p1十2p:十3p,十…+ p.=∫'(1)，故B错误：EY)）=高+2× 名+8×毫+4x高-2=gD.妆c正偏： DW=4x含x号-1.Dm=g1)=1. 故D正确， 三、填空题 12.22【解析】分情况讨论：若小李、小明所在 场馆有2人（即只有小李和小明），此时另一 场馆有4人，共2种安排方法.若小李、小明 所在场馆有3人，从剩下4名同学中选1名 和小李、小明在同一场馆，有C1种，此时安 排方法为2×C=8种若小李、小明所在场 馆有4人，同理可得安排方法为2×C= 12种，所以共有2+8+12=22种安排方法. 13.5解析】由已知得抛物线的方程为y2= 2 4x,所以F(1,0),直线AB的方程为y= 专(x-ID,可得B(存-小故△AOB的 面积为S=号10F1×5=2 14.一名解析】设直线y=ax与曲线y= nx的切点为(1，nx)y=是故切线 方程为y=上x一1十n1,故1+ nx=0,1=e,a=.设直线y=ax与 曲线y=e+b的切点为(.x2,e?+b),又 y'=e',故切线方程为y=e2x+(1- )e+6,故e-是，=-1，a1 x2)e+b=0,则6=(x2-1)e=-2,所 e 以ab=- e2. 四、解答题 15.解：(1)由已知得a2+c2-b2=ac, 2 …数学 由余弦定理得cosB=a2+c2-b2=1 2ac , (3分) 因为0 B=京 (5分) (2)b(sinA+sin C)=8sin2B 所以b(sinA+sinc)=16 sin Bcos B, 由正弦定理得b(a+c)=16 bcosB, 故a+c=16cosB. 1咖8=等 所以a+c=8, (8分) 所以a≤（士） =16, 当且仅当a=c=4时等号成立 (11分)》 所以S= 2acsin B=3 4ac≤4V3, 故△ABC的面积S的最大值为4 √3 (13分) 16.解：(1)该市这100天中，空气质量优良的天 数为7+26+37=70， 所以空气质量优良的概率的估计值为P= 70 100=0.7. (4分) (2)列联表如下， 锻炼人次 空气质量 合计 人次≤400 人次>400 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 (8分) (3)零假设为H0:一天中到该公园锻炼的 人次与该市当天的空气质量无关， 由列联表得X=100×(33×8-37X22)2 70×30×55×45 5.820>3.841, (13分) 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推 断H。不成立，即认为一天中到该公园锻炼 的人次与该市当天的空气质量有关， (15分) 17.解(1当a=1时，fx)-号xe0,+o) f'(x)=x-1)e (2分) 13 答案与解析 当x>1时，.f(x)>0;当0 时， f(x)<0, 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0， 1)上单调递减， (4分) 所以f(x)m=f(1)=e,无最大值.(6分) (2)g(z）=ae +lnx一x的定义域为 (0,+∞)， g'(x)=a(x-1)e + x? 一1= (x-1)(ae-x) (8分) 当a≤0时，由g'(x)=0,得x=1, 此时函数g(x)只有一个极值点，不符合 题意； (10分) 当a>0时.gr)=aD.(层-) x 由g'(.x)=0,得x=1或E=1 x a 又g(x)有三个极值点，故三=上有两个不 x 为1的零点， (13分) 当x趋近于0时，e×x趋近于+∞，当x趋近 于+时，ex趋近于+∞，由(1)知，二>c, 解得0<a<日， 故实数a的取值范围是(o,1. (15分) e 18.(1)证明：连接AC与BD交于点E,连 接ME,如图. 因为ABIICD,CD=2AB, 所以AE=号AC. 又pm=F元故PM-PC, 所以PAIME (4分)】 又PA4平面MBD,MEc平面MBD 所以PAI平面MBD. (6分) 高考模拟调研卷 (2)解：以DA,DB,DP所在直线分别为x, y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD=1,则AB=PD=2,CD=4, 又AD⊥DB,所以DB=√3， 所以A(1,0,0),P(0,0,2),B(0, √5,0) 则DB=(0,3,0),AB=(-1,√5,0)， DP=(0,0,2),PB-(0W3,-2). 由已知得DC=2AB=(-2,2√5,0)， 故PC=DC-DP=(-2,23,-2), 已知得Di=D时+PM=D+号P心- (号25》 (11分) 设平面MBD的法向量为m=(x1,y1,z1), 则m·D店=0， m·DM=0, 3y1=0, 即 223 4 3x1+3y1+321=0, 取x1=2,则y1=0,z1=1, 故m=(2,0,1). (13分) 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z:), 则n·P店=0， 1n·Pc=0, 故3y-22=0, -2x2+2W3y2-2x2=0, 取2=3，则y2=2,x2=3, 可得n=(3,2,5). (15分) 故cosm,n)=m75×0 m·n 3√33√6 10 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值 为36 10 (17分) 19)解由已知得+ 6=1, 又e=c= 62 1 1 a=2 (2分) 解得a2=4,b2=3, 故E的方程为 (4分) (2)()证明：由(1)知F1(-1,0),F2(1,0), 设11的方程为x=my一1， 14 B 1 则k1=(m≠0)， m 设A(x1,y1),B(x2y2), 则x1=my1-1,x2=my2-1,3xf+4y7= 12, (6分) 设AC的方程为x=y+1,m=工1一1 将x=ny+1 与椭圆方程联立得((3n2+ 4)y2+6ny-9=0, 设C(3y3),D(x4,y4), 则y1,y3为上面方程两根， 9y 所以y1y3= 3n2+43(x1-1)2+4y1 3yi 2x1-5' 3y1 故y2x1-5 因此r=二1 3y1+1 5x1-8 y12x1-5 2x1-5 (8分) 3y2 5x2-8 同理4=2x,-521一2x2-5 (9分) 所以k2= y一y3= x4一x3 3y2(2my1-7)-3y1(2my2-7) 5.x2-8)(2x1-5)-(5x1-8)(2x2-5)= 7(y1-y2)7 3(x,-x2)=31. 所以入=3 (11分) (i)解：由0)知 c(2二” 7 k2一3m' CD的方程为y一 3y1 2,-53mx 5x1-8 2x1-5 (14分) 7 即y=3mx+ 3y17,5x1-8 2.x1-53m2x1-5 1 13 又x1=my1-1.化简得y=3mx一7 所以直线2 过定点Q(9g), (16分) 所以点P到！2的距离的最大值PQ= 3√65 14 (17分) 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学(三) 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 在复平面内复数z对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={0,1,2},B={x|0≤x<2},则A∩B= A. (0,1) B. [0,2) C. {0,1} D. {0,1,2} 3.记 Sn为等差数列{an}的前n项和，若 则 A. - 1 B. - 2 C. 1 D. 2 4.已知函数f(x)=log₂(x-b)(a>0且a≠1)的部分图象如图所示,则 A. 0<a<1,-1<b<0 B. 0<a<1,b<-1 C. a>1,-1<b<0 D. a>1,b<-1 5.已知函数 f(x)= asinωx-bcosωx的部分图象如图所示,其中点A(0,1),B(π/3,1),则 B. 数学·调研卷(三)1/4页 学科网（北京）股份有限公司 6.已知双曲线 的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过F₁的直线与C 的左、右两支分别交于 P，Q两点.若△PQF₂为等边三角形，则C 的离心率为 A. B. C. 2 D. 7.某商家欲制作一种圆锥形的饮料杯，其中放入一枚半径为1的巧克力球，当加满饮料时小球淹没在饮料中，则该饮料杯的最小容积为 D. 3π C. B. 2π 8.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,c=4,点 D 满足 若 则a+b的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量 与 的夹角为π/3，则 为单位向量 为单位向量 10.在棱长均为1的正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中,D 是AB 的中点,过点 A₁,D 与BC₁平行的平面为α，则 A.平面α截该三棱柱所得截面为直角三角形 B. AC₁⊥平面α C. BC₁到平面α的距离为 D.平面ABB₁A₁⊥平面α 11.已知随机变量 X 的取值为0,1,2,…,n(n∈N),X 的分布列为P(X=i)=p;,i=0,1,2,…,n.定义由 X 生成的函数 为 f(x)的导函数.现将一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y 表示正面向上的次数，由Y 生成的函数记为 为g(y)的导函数，则 A. f(1)=g(1) B. E(X)=f'(x) C. E(Y)=g'(1) D. D(Y)=g(1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到A，B两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共 种(用数字作答). 13.已知抛物线 的焦点为 F，直线l过F 与C 相交于A，B 两点，若点 A 的坐标为(4,4),则△AOB(O为坐标原点)的面积为 . 14.已知直线l:y= ax 与曲线y= lnx和 都相切,则 ab= . 数学·调研卷(三)2/4页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 (1)求 B; (2)若b(sin A+ sin C)=8sin2B,求△ABC 的面积S 的最大值. 16. (15分) 近几年来，某市绿地面积逐年增加，空气质量逐步转好，人们居住环境得到改善，全民健身运动引起广泛关注.某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天). (1)求空气质量优良的概率的估计值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： (3)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 附： 其中n=a+b+c+d. 数学·调研卷(三)3/4页 学科网（北京）股份有限公司 17. (15分) 已知函数 (1)当a=1时,求 f(x)的最值; (2)若函数 有三个极值点，求实数a 的取值范围. 18. (17分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,CD=2PD=2AB=4AD,且PD,AD,BD 两两垂直，点 M 满足 (1)证明:PA∥平面MBD; (2)求平面 PBC 与平面MBD 夹角的余弦值. 19. (17分) 已知椭圆 过点 且离心率为 (1)求 E 的方程; (2)直线l₁经过E 的左焦点F₁与E 相交于A，B 两点，直线l₂与E 相交于C，D 两点，且AC,BD 的交点为E 的右焦点F₂,记l₁,l₂的斜率分别为 (Ⅰ)证明:λ为定值; (Ⅱ)求点 P 到l₂的距离的最大值. 数学·调研卷(三)4/4页 学科网（北京）股份有限公司 $ ·数学· 答案与解析 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷(三) 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A A D C A BCD ACD ACD 1. D【解析】由 得z对应的点为(1,-1),位于第四象限.一、选择题 2. C【解析】由 A={0,1,2},B={x|0≤x<2},得A∩B={0,1}. 积 令 t(t>0),则 当且仅当t=1时，等号成立.此时 3. B【解析】由已知得a₅=-1,又 a₄=0,则公差d=-1,所以 a₆=-2. 4. A【解析】由图象可知函数为减函数，故0 点,故-15. A【解析】将A(0,1)代入 f(x)得1=-b,b=-1,则 f(x)= asin ωx + cos ωx = 其中 又 则 又当 时,f(x)有最大值 即 即 解得 故 8. A【解析】如图,由题可得AD=3,DB=1,设∠ADC =θ,由余弦定理得 故 设 则 当且仅当 时取等号，此时 6. D【解析】由已知得 由双曲线定义知 故 在△QF ₁F₂中，由余弦定理得 故 9. BCD 【解析】由已 知得 故A错误；由 故 故 B正确；由 二、选择题 由 Rt△PEO∽Rt△PDB,得 即 所以 故圆锥的体 7. C【解析】圆锥的轴截面如图所示，设底面半径AD=R,高PD=h,小球的球心为O. 11 学科网（北京）股份有限公司 高考模拟调研卷 ·B· 学科网（北京）股份有限公司 0 ，故C正确；由已 知得 故 D 正确. 10. ACD【 解析】 如图,连接AC₁,A ₁C,交点为E,连接CD,DE,由已知可证,BC₁∥DE,故 BC ₁∥平面 A ₁CD,故α截该三棱柱所得截 面为△A ₁CD,又 CD ⊥ 平面ABB ₁A₁,故 CD⊥A ₁D,平面 ABB ₁A₁⊥α,所以A,D 正确;显然 AC ₁ 与 DE 不垂直 ,故 B错误;可求得三棱锥 A₁-BCD 的体积为 设BC₁到平面α的距离为 h， 则三棱锥B-A₁CD 的体积为 所 解得 故 C 正确. 11. ACD【 解析】X的分布列为 X 0 1 2 n P p° P₁ p² pn 由已知 即Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P 116 ⁶/1/₁ 6⁴/16 所以f(1)=g(1)=1,故A 正确； 故 B 错误; 故 C 正确; 故 D 正确. 三、填空题 12.22【解析】分情况讨论：若小李、小明所在场馆有 2人(即只有小李和小明)，此时另一场馆有 4人，共2种安排方法.若小李、小明所在场馆有 3人，从剩下4名同学中选 1名和小李、小明在同一场馆，有C1 种，此时安排方法为2×C}=8种.若小李、小明所在场馆有4人，同理可得安排方法为 12种,所以共有2+8+12=22种安排方法. 13. 解析】由已知得抛物线的方程为 4x,所以 F(1,0),直线 AB 的方程为y= 可得 故△AOB 的面积为 解析】设直线l:y= ax 与曲线y=In x 的切点为 故切线方程为 故 - 1+ 设直线 l:y= ax 与曲线 的切点为 又 故切线方程为 故 ，则 所以 四、解答题 15.解:(1)由已知得 学科网（北京）股份有限公司 12 学科网（北京）股份有限公司 ·数学· 答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 由余弦定理得 (3分) 因为0 (5分) (2)由b(sinA+ sin C)=8sin2B,所以b(sin A+ sin C)=16sin Bcos B,由正弦定理得b(a+c)=16bcosB,故a+c=16cosB. 由(1)知 所以a+c=8, (8分) 所以 当且仅当a=c=4时等号成立， (11分) 所以 故△ABC 的面积S的最大值为4 (13分) 16.解：(1)该市这100天中，空气质量优良的天数为7+26+37=70, 所以空气质量优良的概率的估计值为 P = (4分) (2)列联表如下， 空气质量 锻炼人次 合计 人次≤400 人次>400 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 (8分) (3)零假设为 H₀：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关， 由列联表得 5.820>3.841, (13分) 根据小概率值α=0.05 的独立性检验，推断H。不成立，即认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. (15分) 17.解: (1)当a=1时, (2分) 当x>1 时,. f'(x)>0;当0 时，f'(x)<0, 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0, 1)上单调递减， (4分)所以 无最大值.(6分) 的定义域为(0,+∞), (8分) 当a≤0时,由 g'(x)=0,得x=1,此时函数 g(x)只有一个极值点，不符合题意； (10分) 当a>0时, 由g'(x)=0,得x=1或 又g(x)有三个极值点，故 有两个不为1的零点， (13分) 当x趋近于0时，eˣx趋近于+∞，当x趋近 于+∞时,eˣx趋近于+∞,由(1)知, 解得 故实数a 的取值范围是 (0, ).(15分) 18.(1)证明:连接 AC 与 BD 交于点 E,连接ME,如图. 因为AB∥CD,CD=2AB, 所以 又 故 所以PA∥ME. 又 PA⊄平面MBD,ME⊂平面MBD,所以PA∥平面MBD.(4分) (6分) C 学科网（北京）股份有限公司 13 学科网（北京）股份有限公司 高考模拟调研卷 ·B· 学科网（北京）股份有限公司 (2)解: 以DA,DB,DP 所在直线分别为x,y ，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD=1,则AB=PD=2,CD=4, 又 AD⊥DB,所以 所以A(1,0,0),P(0,0,2),B(0, ,0). 则 由已知得 故 由已知得 (11分) 设平面MBD 的法向量为 则 即 取x₁=2,则 故m=(2,0,1). (13分) 设平面 PBC的法向量为 则 故 取 则 可得 (15分) 故 所以平面 PBC 与平面MBD 夹角的余弦值为 (17分) 19. (1)解: 由已知得 又 (2分) 解得 故E 的方程为 (4分) (2)( )证明:由(1)知F ₁(-1,0),F ₂(1,0),设I ₁的方程为x= my—1, 则 设 则 12, (6分) 设 AC 的方程为 将 x=ny+1 与椭圆方程联立得( 设C(x₃,y₃),D(x ₄,y₄ ), 则 y₁，y₃为上面方程两根， 所以 故 因此 (8分) 同理 (9分) 所以 所以 (11分) (ii) 解: 由(j)知 CD 的方 程为 (14分) 即 又 化简得 所以直线l₂过定点 (16分) 所以点 P 到l ₂ 的距离的最大值||PQ|= (17分) 学科网（北京）股份有限公司 14 学科网（北京）股份有限公司 $