专题 3.8 图形的旋转与几何模型（模型梳理+题型精析+模拟真题专练）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.8 图形的旋转与几何模型（模型梳理+题型精析+模拟真题专练） 目录 一.模型梳理与题型精析 1 【模型一】旋转——60度旋转模型 1 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 1 【模型二】旋转——90度旋转模型 2 【题型 2】遇到等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 3 【模型三】旋转——半角模型 4 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 4 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 5 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 7 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 7 【模型五】旋转——手拉手模型 9 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 9 二.真题专练 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（6题） 12 （三）解答题（4题） 14 一.模型梳理与题型精析 【模型一】旋转——60度旋转模型 条件 图形 结论 点是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转 是一个等边三角形 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 【例题1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 _______， ___________． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，四边形中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，若，，则线段______． 【变式2】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知点P是等边内一点，，，．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则的面积为______． 【变式3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【模型二】旋转——90度旋转模型 条件 图形 结论 在正方形中，点是正方形内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。 为等腰直角三角形. 【题型 2】遇到等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 【例题2】（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，． （1）求证：； （2）求线段的长度． 【模型三】旋转——半角模型 条件 图形 结论 如图：, 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 【例题3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______．    【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中：①；②≌；③平分；④；正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在中，，分别是直线上两点． （1）如图1，当，试推断之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，判断之间的数量关系，并证明． 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 【例题4】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【变式3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2，则四边形ABCD的面积为________ 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 条件 图形 结论 平分。 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 【例题5】（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在四边形中，，垂足为点E．若四边形的面积为25，则的长是___________． 【变式1】（24-25八年级下·山西运城·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    （1）【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； （2）【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； （3）【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 【变式2】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为___________． 【变式3】（24-25九年级下·北京西城·月考）如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）______°； （2）取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【模型五】旋转——手拉手模型 条件 图形 结论 如图：,, ,连接、相交于点. （1） （2） 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 【例题6】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【变式1】（24-25九年级上·天津北辰·期中）和是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接，交于点P，则下列结论    ①；②；③；④可以看作是绕点B顺时针能转而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=°，∠ABC+∠ADC=180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转°得到△CDF（点B、A的对应点分别为点D、F）． （1）画出旋转之后的图形（不要求写画法，保留画图痕迹）； （2）求证：∠CAB=∠CAD； （3）若∠ABD=90°，AB=3，BD=4，△BCE的面积为，△CDE的面积为，求:的值． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连接AN、BM，通过证明△CAN≌△CMB，可证AN＝MB． （1）若以AB为对称轴，将△CBN翻折，如图（2），求证：AN＝MB． （2）若以点C为旋转中心，将△ACM顺时针旋转180°，达到新的位置，请你画出旋转后的图形并判断结论“AN＝BM”是否仍能成立，写出你的结论并说明理由． （3）在（2）中得到的图形内，若将NB延长与AM相交于D，则可判断△ABD是______三角形，四边形CMDN是________四边形． 二.真题专练 （一）单选题（6题） 1．（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 3．（2024·山东东营·二模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 4．（24-25九年级上·陕西安康·期中）如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B．为等腰直角三角形 C．平分 D． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接PQ，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（24-25九年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，则四边形的面积为______．    8．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为______． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则直线的解析式为__________．    11．（24-25九年级上·湖北鄂州·月考）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，若，，则对角线是的长为_________． （三）解答题（4题） 13．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求证：． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、． （1）证明：； （2）面积的最小值为 ； （3）当为等腰三角形时，求的长． 16．（2024九年级·全国·竞赛）在四边形中，，，，． （1）若的两边分别与边相交于点E、F，连接，如图1，求证：; （2）如果的两边与边的延长线分别相交于点E、F，连接，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则长度之间满足怎样的等量关系，说明理由．               图1                                         图2 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.8 图形的旋转与几何模型（模型梳理+题型精析+模拟真题专练） 目录 一.模型梳理与题型精析 1 【模型一】旋转——60度旋转模型 1 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 1 【模型二】旋转——90度旋转模型 5 【题型 2】遇到等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 6 【模型三】旋转——半角模型 10 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 10 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 17 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 22 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 22 【模型五】旋转——手拉手模型 30 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 30 二.真题专练 38 （一）单选题（6题） 38 （二）填空题（6题） 44 （三）解答题（4题） 51 一.模型梳理与题型精析 【模型一】旋转——60度旋转模型 条件 图形 结论 点是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转 是一个等边三角形 【题型 1】遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 【例题1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 _______， ___________． 【答案】 6 /150度 【分析】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解． 解：连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：6；． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，四边形中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，若，，则线段______． 【答案】 【分析】连接AE、BE、AC，可得到△ABC和△ADE是等边三角形，从而得到△ABE≌△ACD，进而得到CD=BE，再由勾股定理，即可求解． 解：如图，连接AE、BE、AC， ∵，， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∠BAC=60°， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴∠DAE=60°，AD=DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠BAE=∠CAD， ∴△ABE≌△ACD， ∴CD=BE， ∵， ∴∠BFE=90°， 在 中，，，由勾股定理得： ， ∴ ． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知点P是等边内一点，，，．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则的面积为______． 【答案】6 【分析】由题意可知△APQ是等边三角形，得到PQ=AP=4，然后证明△ABP≌△ACQ得到BP=CQ=3，则在△PQC中，PQ2+CQ2=PC2则△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，由此求解即可． 解：由旋转的性质得AP=AQ，∠PAQ=60° ∴△APQ是等边三角形， ∴PQ=AP=4， ∵△ABC、△APQ是等边三角形， ∴∠BAC=∠PAQ=60°， ∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC， 在△ABP和△ACQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴BP=CQ=3， ∵在△PQC中，PQ2+CQ2=PC2 ∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°， ∴， 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的性质与判定，证得△PQC为直角三角形是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质可得，由线段中点的定义可得，由三线合一可得，则，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，由此可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，于是得解． 解：是等边三角形， ， 又是的中点， ，， ， ， 将线段绕点逆时针旋转后得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三线合一，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 【模型二】旋转——90度旋转模型 条件 图形 结论 在正方形中，点是正方形内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。 为等腰直角三角形. 【题型 2】遇到等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 【例题2】（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． 解：（1）证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴，                                         在和中， ， ∴； （2）解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等腰直角 三角形的性质，可得，由旋转的性质可知，可判定①正确；根据是等腰直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以与不一定全等，所以与不一定相等，可判定②错误；根据，，可得，即可得，从而得出，可判断③正确；证明，，可得出，可判断④正确． 解：∵，， ∴． 由旋转的性质可知，，，故①正确； ∴是等腰直角三角形， ∵点D为斜边上一点， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，所以与不一定相等，故②错误； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 故正确的有①③④共3个． 故选：C． 【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，． （1）求证：； （2）求线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）先根据旋转的性质，由线段绕点C逆时针方向旋转至位置得到，，加上，于是可得，然后根据即可得到全等； （2）先在中利用勾股定理求出，即可得到，长，再证明，然后在中利用勾股定理即可求出的长度． 解：（1）证明：将线段绕点顺时针方向旋转至， ，， ， ， 即． 在与中， ， ； （2）解：在中，，， ． ， 由（1）可知， ，， ． 在中，， ， ． 【模型三】旋转——半角模型 条件 图形 结论 如图：, 【题型 3】旋转——45度半角模型求值证明 【例题3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【答案】，证明见分析． 【分析】本题考查了选旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，把绕点顺时针旋转得到，连接，可得，，，，由，得，进而可得，得到，即得，再证明得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 解：． 理由：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______．    【答案】8 【分析】首先根据题意可得，，，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，易知，再证明 ，由全等三角形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，然后计算的值即可． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，    则， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中：①；②≌；③平分；④；正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质可得出∠BCF=∠ACD，由∠ACB=90°，∠DCE=45°，可得出∠BCF+∠BCE=∠ECF=45°，即可判断①； ②根据旋转的性质可得出△ACD≌△BCF，不能推出≌，即可判断②； ③根据∠DCE=∠ECF=45°，根据角平分线定义即可判断③； ④根据全等三角形的判定求出△AED≌△AFD，推出DE=EF，求出∠EBF=90°，根据勾股定理推出即可． 解：∵在Rt△ABC中，BC=AC， ∴∠A=∠CBA=45°， ①由旋转，可知：∠BCF=∠ACD， ∵∠ACB=90°，∠DCE=45°， ∴∠ACD+∠BCE=45°， ∴∠BCF+∠BCE=∠ECF=45°，故①正确； ②由旋转，可知：△ACD≌△BCF，不能推出≌，故②错误； ③∵∠DCE=∠ECF=45°， ∴CE平分∠DCF，故③正确； ④由旋转可知：AD=BF，∠CBF=∠A=45°， ∵∠CBA=45°， ∴∠EBF=90°， 由勾股定理得：BF2+BE2=EF2， 即AD2+BE2=EF2， 在△CDE和△CFE中， ， ∴△CDE≌△CFE（SAS）， ∴DE=EF， ∴AD2+BE2=DE2， 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在中，，分别是直线上两点． （1）如图1，当，试推断之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，判断之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析； 【分析】（1）利用旋转的性质的得到，再利用全等三角形的性质得到，最后利用勾股定理即可解答； （2）利用旋转的性质的得到，，再利用全等三角形的性质得到，，最后利用勾股定理即可解答． 解：（1）解：，理由如下： 将顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴在中,， ∴； （2）解：，理由如下： 将逆时针旋转， ∵， 又∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型 4】旋转——60度半角模型求值证明 【例题4】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________． 【答案】12 【分析】将△BDM绕点D旋转120°，构造出全等三角形，将MN转为为BM+CN即可 解： 将△BDM绕点D旋转120°得到△； ∵△由△BDM旋转所得， ∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM； ∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， 故∠+∠CDN=60°，即∠=60°； 在△MDN和△中∶ DM=，∠=∠MDN，DN=DN ∴△MDN≌△； ∴MN=； △AMN的周长=AM+AN+MN =AM+AN+ =AM+AN+CN+ =（AM+）+（AN+CN） =AB+AC； ∵△ABC是边长为6， ∴△AMN的周长=6+6=12． 故答案为：12 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，根据旋转的性质构建全等三角形，将未知长度的边转化为已知长度的边是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握四边形内角和、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角函数这四者知识点的综合应用，其中把 绕顺时针旋转 得到是解题关键. 把绕顺时针旋转得到， 过作垂足为，得， ，再根据四边形内角和为得从而得点三点在同一条直线上，再通过等量代换得 进一步得，再根据三角函数求出对角线的长. 解：把绕顺时针旋转得到 过作垂足为， ∴ ∴，    ∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点在同一条直线上， ∵， ， ， ， ， 在中， ， ， 故选A 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2，则四边形ABCD的面积为________ 【答案】 【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积． 解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE， 则有△ABC与△ADE全等． ∴AC＝AE，∠ABC＝∠ADE． ∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°． ∴∠ADC＋∠ADE＝∠ADC＋∠ABC＝180°． ∴C、D、E三点共线． ∴BC＋CD＝DE＋DC＝CE． 又∵∠CAE等于旋转角，即∠CAE＝60°， ∴△ACE为等边三角形． ∴△ACE的面积为． 由旋转可知四边形ABCD的面积等于△ACE的面积 故答案为： 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ABC进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解． 【模型四】旋转——对角互补+邻边相等模型 条件 图形 结论 平分。 【题型 5】旋转——对角互补+邻边相等模型求值证明 【例题5】（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在四边形中，，垂足为点E．若四边形的面积为25，则的长是___________． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．作于F，如图，易得四边形为矩形，再证明得到，，则可判断四边形为正方形，四边形的面积四边形的面积，然后根据正方形的面积公式计算的长． 解：作于F，如图， ，， ∴四边形为矩形， ， 即， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ∴四边形为正方形， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积为25， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·山西运城·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    （1）【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； （2）【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； （3）【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 【答案】（1）①；②绕点A逆时针旋转得到；（2）①见分析；②见分析；（3） 【分析】（1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； （3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 解：（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． （2）解：①延长至，使，连接，如图2，   四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （3）解：延长至，使，连接，如图3，   四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 【点拨】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． 【变式2】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】如图所示，点作于，过点作交延长线于， 连接， 则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则， ， 如图所示， 在上取一点， 使得， 连接， 可证明，推出， 则，； 设， 导角可证明， 则， 设， 由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：如图所示，过点作于，过点作交延长线于， 连接，∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得 ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级下·北京西城·月考）如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）______°； （2）取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，根据是的中位线得到，通过证明得到，从而得到． 解：（1）解：根据题意得， ∴， 故答案为：； （2）解：如下图所示，延长至点，使，连接， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查旋转和全等三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造全等三角形． 【模型五】旋转——手拉手模型 条件 图形 结论 如图：,, ,连接、相交于点. （1） （2） 【题型 6】旋转——手拉手模型求值证明 【例题6】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）（1）中的结论成立，理由见分析；（3）或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 解：（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·天津北辰·期中）和是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接，交于点P，则下列结论    ①；②；③；④可以看作是绕点B顺时针能转而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等边三角形的定义可得：，由同位角相等可得：，可判断①；先证明，则，根据外角的性质得：，可判断②；根据，得出，可判断③；根据，且，由旋转的概念可判定④． 解：∵和是等边三角形， ∴， ∴，故①正确； ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，且， ∴可以看作是绕点B顺时针能转而成的，故④正确； ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，旋转的图形的识别，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=°，∠ABC+∠ADC=180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转°得到△CDF（点B、A的对应点分别为点D、F）． （1）画出旋转之后的图形（不要求写画法，保留画图痕迹）； （2）求证：∠CAB=∠CAD； （3）若∠ABD=90°，AB=3，BD=4，△BCE的面积为，△CDE的面积为，求:的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）. 【分析】（1）根据旋转的性质即可画出旋转之后的图形； （2）由旋转旋转可得△CAB≌△CFD，再根据全等三角形的性质和∠ABC+∠ADC＝180°，即可得∠CAB＝∠CAD； （3）根据∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，可得AD的长，再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据△BCE和△CDE同高，即可得S1：S2的值． 解：（1）如图△CDF即为旋转之后的图形； （2）证明：由旋转旋转可知： △CAB≌△CFD， ∴∠CDF=∠CBA，∠F=∠CAB，CA=CF， ∵∠CBA+∠CDA=180°， ∴∠CDF+∠CDA=180°， ∴A、D、F三点共线， ∵AC=CF， ∴∠F=∠CAD， ∴∠CAB=∠CAD； （3）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N， ∴∠ABE=∠AME=90°， 在△ABE和△AME中，, ∴△ABE≌△AME（AAS）， ∴AM=AB=3，BE=ME， ∵∠ABD=90°，AB=3，BD=4， ∴, ∴DM=2，设，则, ∴， 解得， ∴BE=1.5，DE=2.5， ∴. 【点拨】本题考查了作图﹣旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连接AN、BM，通过证明△CAN≌△CMB，可证AN＝MB． （1）若以AB为对称轴，将△CBN翻折，如图（2），求证：AN＝MB． （2）若以点C为旋转中心，将△ACM顺时针旋转180°，达到新的位置，请你画出旋转后的图形并判断结论“AN＝BM”是否仍能成立，写出你的结论并说明理由． （3）在（2）中得到的图形内，若将NB延长与AM相交于D，则可判断△ABD是______三角形，四边形CMDN是________四边形． 【答案】（1）见分析；（2）成立，证明见分析；（3）等边，平行 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，根据等角的补角相等求出∠ACN＝∠MCB，再利用“SAS”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝MB； （2）根据等边三角形的性质可得AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，再利用“SAS”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝MB； （3）求出∠CAM＝∠ABD＝60°，再根据三角形的内角和定理求出∠ADB＝60°，然后根据三个角都相等的三角形是等边三角形解答；根据内错角相等两直线平行求出MD∥CN，CM∥ND，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答． 解：（1）证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形， ∴AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°， ∴∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中， ， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝MB； （2）解：AN＝MB成立． 证明如下：∵△ACM和△CBN都是等边三角形， ∴AC＝CM，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°， 在△ACN和△MCB中， ， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN＝MB； （3）解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形， ∴∠CBN＝∠CAM＝60°， ∴∠ABD＝∠CBN＝60°（对顶角相等）， ∴∠ADB＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ABD＝∠CAM＝∠ADB， ∴△ABD是等边三角形； ∵∠ADB＝∠BNC＝60°， ∴MD∥CN， ∵∠ADB＝∠AMC＝60°， ∴CM∥ND， ∴四边形CMDN是平行四边形． 故答案为：等边，平行． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握等边三角形的性质确定出三角形全等的条件是解本题的关键． 二.真题专练 （一）单选题（6题） 1．（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点A顺时针旋转得到利用旋转性质得到结合等边三角形性质证为等边三角形，得通过角度计算推出；在中用勾股定理求出的长，进而得到的长． 解：将绕点A顺时针旋转，得到连接． ∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质得：． ∴ ，即． 又∵ ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵ 是等边三角形，故． ∴． 在中，，， ∴斜边． 由勾股定理得：即 解得，． 故选：A． 2．（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 3．（2024·山东东营·二模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关键．根据旋转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可． 解：由旋转的性质可得，，，． ∵， ∴， ∴，故选项A正确，符合题意； 无法证明，故选项B不正确，不符合题意； ∵， 又∵， ∴，故选项C不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰三角形，但无法证明是等边三角形， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：A 4．（24-25九年级上·陕西安康·期中）如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由旋转的性质可得，则，根据，计算求解即可． 解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B．为等腰直角三角形 C．平分 D． 【答案】B 【分析】由已知和旋转的性质可判断A项，进一步可判断C项；利用可证明，可得，根据三角形三边关系和等量代换即可判断D选项，容易证明是直角三角形，但是、不一定相等，所以、不一定相等，由此可判断B项，于是可得答案． 解：∵绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴，所以A正确，不符合题意； ∴， ∴平分，所以C正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 所以D正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， 但是、不一定相等，所以、不一定相等，所以B不正确，符合题意 故选：B 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接PQ，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和等边三角形的判定定理得出是等边三角形，即可得，再根据勾股定理的逆定理得出，继而得到的度数，根据三角形的面积公式判断和即可． 解：是等边三角形， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ，旋转角为，故选项A正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形， ， ， 由旋转得，故选项B正确； ，故选项D正确； 是等边三角形， ，故选项C错误； 故选：C． 【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识点，解题的关键是熟知旋转的性质，综合运用定理进行推理． （2） 填空题（6题） 7．（24-25九年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，则四边形的面积为______．    【答案】 【分析】根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行选择，使不规则图形转化为规则图形． 8．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______． 【答案】或度 【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答． 解：∵，， 故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示： 由旋转性质得 则， ∴， ∵， ∴， 故， 即， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一次函数与轴、轴分别交于，两点，则，，故有，由，从而得出，绕点顺时针时针旋转至，连接，所以，，，，则有，，通过三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质得，，最后由勾股定理即可求解． 解：∵一次函数与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，绕点顺时针旋转至，连接， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则直线的解析式为__________．    【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转，使得和重合，构造出直角三角，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，利用旋转的性质证明全等，通过勾股定理设出未知数列方程求解，得到点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可. 解：将绕点A逆时针旋转，使得和重合，旋转后点C到点的位置，连接，则，过点A作于点H，    ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的，， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中， ，即， 解得：， 即， ∵， 所以， ∴， 设直线的解析式为，把点A和点D的坐标代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为： 【点拨】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识， 用旋转构造直角三角形是本题的关键. 11．（24-25九年级上·湖北鄂州·月考）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断， ③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断， ④由，，在中，应用勾股定理，即可判断， ②根据与的关系，判断与的关系，即可判断， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确， ， ，即：平分，故③正确， ， ， 在中，，即：，故④正确， 与不一定相等， 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，若，，则对角线是的长为_________． 【答案】5 【分析】将绕点顺时针旋转得到，可得到为等边三角形，进而得到，根据勾股定理即可求出，从而得到的值． 解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质知，，， 则为等边三角形， ，， 又， ， ， ∴， ． 故答案为：5． 【点拨】本题考查等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造出直角三角形． （三）解答题（4题） 13．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 解：（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，于是结论得证； （2）由旋转的性质可得，由等边三角形的性质可得，，进而可得，根据勾股定理可得，于是结论得证． 解：（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点逆时针旋转得到， ， 由（1）可得：为等边三角形， ，， ， ， ， ，， ． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、． （1）证明：； （2）面积的最小值为 ； （3）当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2；（3）4或8 【分析】（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，再利用“”证明即可； （2）根据，可得当的值最小时，最小，此时，根据等腰三角形的性质与判定可得，即可求解； （3）以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，设，则，，由（1）可得，，可求，，，再分三种情况：若，若，若，列方程求解即可． 解：（1）解：由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴；    （2）解：将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 当的值最小时，最小，此时， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，    设，则，， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ①若，则， 解得， ∴， ②若，则， 方程无解，这种情况不存在， ③若，则， 解得（此时点P与点A重合，舍去）或， ∴， 综上所述，的长为4或8． 【点拨】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质、解一元一次方程和一元二次方程，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 16．（2024九年级·全国·竞赛）在四边形中，，，，． （1）若的两边分别与边相交于点E、F，连接，如图1，求证：; （2）如果的两边与边的延长线分别相交于点E、F，连接，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则长度之间满足怎样的等量关系，说明理由．               图1                                         图2 【答案】（1）见分析；（2）不成立，，理由见分析 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，根据旋转的性质得到，证明，则，得到证明则，得到即可得到结论； （2）在上截取，连接，证明，则，，再证明到，证得，证得，则，由即可证明结论 解：（1）证明：将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，如图1， 则， ∵， ∴， ∴三点共线， ，， ， ， 即，又为公共边， ∴， 即 ∴． （2）（1）中的结论就不再成立，此时长度之间的等量关系是，理由如下： 在上截取，连接，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ，而为公共边， ， ， ∵ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $