专题09 几何图形旋转之瓜豆模型（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题09 几何图形旋转之瓜豆模型 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 专项训练 1．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 3．如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则的最小值为____________________．    【答案】 【分析】如图，在轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．首先证明点C在直线上运动，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，在轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．   ， ， ， ∵， ， ∵OD=OA，∠AOD=90°， ， ，， 设直线的解析式为， ， ，即， ∴直线的解析式为， ∴点C在直线上运动，作于P， 是等腰直角三角形， 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 4．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 5．如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 【答案】/ 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 7．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】4 【分析】连接，先证出点在射线上运动（此时满足），再作点关于直线的对称点，连接，得出的最小值为，最后根据三角形全等的判定与性质证出． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，是上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动（此时满足）， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴，∴， 即的最小值为4． 【点睛】在涉及到两个等边三角形的题型中，通常是构造全等三角形，进而确定相应点的运动轨迹． 8．如图，等腰直角中，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是________． 【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，即有， ∴， ，，， ， 随着点的运动，总有，， ， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴、、三点在同一直线上， 点的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小，如图， 在等腰中，，， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    【答案】/ 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 10．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)的最小值为4，. 【分析】（1）根据题意得，即可求证； （2）根据题意得，再证，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ （2） 理由：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴        ∴ （3）由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，如图； ∵， ∴ ∵， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4 ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 11．1.（1）问题提出：如图①，在中，将线段向左平移到的位置，点的对应点分别是，连接，交于点O，若，，则______°； （2）问题探究：如图②，在等边中，点D是右侧平面上一点，连接，以点B为旋转中心将顺时针旋转，得到，连接，若，，求线段的最小值； （3）问题解决：如图③，要在一块空地上规划出一个四边形景观湖，连接．根据规划要求米，与所夹锐角为．考虑游客安全问题的同时达到美观的效果，现要沿和修建绿化带（宽度忽略不计）．为节省费用要使绿化带的总长最短，问的长度是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）3；（3）米 【分析】（1）先根据平移的性质，得到， ，再根据平行的性质求出度数，根据内角和求出，即可求得度数； （2）根据旋转的性质，先证、是等边三角形，进而可证得，则，当三点共线时，有最小值，即可得到答案； （3）根据旋转的性质，先证是等边三角形，再证得四边形是平行四边形，则，那么，由图可得，长的最小值是的长，即当点三点共线时的长最小 ． 【详解】.解：（1）由题意得， 故填． （2）如图②，连接.   以点B为旋转中心将顺时针旋转60°，得到. ，， 是等边三角形， . 为等边三角形， ，， ， ， . 当三点共线时，有最小值， ， 的最小值为3. （3）如图③，以点C为旋转中心将逆时针旋转60°，得到，连接、，设与交于点O，则，，   是等边三角形， ， ， 与所夹锐角为， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 由图可得， 长的最小值是的长，即当点三点共线时的长最小， 米， 的长度的最小值是米． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形、平行四边形的判定及性质、以及两点之间线段最短的应用、旋转的性质等，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，D、E分别是直线，y轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据可证明； （2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解； （3）求出点，点，作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，交于点H，连接交直线于点，交轴于点，则周长最小值，设点N的坐标为，则点H的坐标为，点H在直线上得到，则点N的坐标为，求出点N的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：直线， 令，； 令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：对于直线， 当时， 当时，，解得， ∴点， ∵点C是的中点， ∴点； 作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，连接交于点H， 连接交直线于点，交轴于点， 则此时周长最小值， 过点N作轴于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设点N的坐标为，则点H的坐标为， ∵点H在直线上， ∴， 整理得到， ， ∴点N的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点N的坐标为， ∴， ∴的最小值为， 即周长的最小值为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，勾股定理、轴对称求最值等知识，熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 几何图形旋转之瓜豆模型 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 专项训练 1．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 3．如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则的最小值为____________________．    4．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 5．如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 7．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 8．如图，等腰直角中，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是________． 9．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    10．如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 11．1.（1）问题提出：如图①，在中，将线段向左平移到的位置，点的对应点分别是，连接，交于点O，若，，则______°； （2）问题探究：如图②，在等边中，点D是右侧平面上一点，连接，以点B为旋转中心将顺时针旋转，得到，连接，若，，求线段的最小值； （3）问题解决：如图③，要在一块空地上规划出一个四边形景观湖，连接．根据规划要求米，与所夹锐角为．考虑游客安全问题的同时达到美观的效果，现要沿和修建绿化带（宽度忽略不计）．为节省费用要使绿化带的总长最短，问的长度是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．    12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，D、E分别是直线，y轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $