2025-2026学年高二数学寒假作业

目录 泰顺县育才高级中学2024级高二数学寒假作业 高二数学 寒假作业 寒假作业1:立体几何 .1 寒假作业2:直线与圆 .3 寒假作业3:圆锥曲线 .5 寒假作业4:数列 .7 寒假作业5:导数 .9 寒假作业 6A:计数原理 .11 寒假作业 6B:计数原理与统计案例 .13 寒假作业 7:综合训练(一) 15 寒假作业 8:综合训练(二) .17 寒假作业 9:综合训练(三) .19 寒假作业 10:综合训练(四) .21 周福作业寄语 亲爱的同学们: 春意渐浓，假期悄至。在这沉淀过往、蓄力前行的美好时光里，高二数学寒假作业如期与大家见面。这份作业，不是假期的“负担”，而是衔接高二知识、铺垫高三备考的“桥梁”，是你们梳理思路、夯实基础、突破瓶颈的宝贵契机。 高二是数学学习的 “分水岭”，函数、数列、立体几何、解析几何等核心模块，既承载着高一的知识积淀，又关联着高三的综合应用。寒假的留白，正是你们查漏补缺、弯道超车的黄金时期。希望大家能以平和的心态对待这份作业，不急于求成、不敷衍应付，每一道题都认真审题、每一步演算都细致严谨、每一次纠错都深入反思。那些看似繁琐的推导、看似复杂的题型，都是在锤炼你们的逻辑思维，打磨你们的解题能力，积累你们应对高考的底气。 完成作业的过程中，或许会遇到困惑与阻碍:可能是一道无从下手的解析几何题，可能是一组难以梳理的数列规律，也可能是一次因粗心导致的反复出错。请不要气馁，数学的魅力就在于 “拨云见日” 的突破与喜悦。遇到难题时，不妨静下心来回顾课堂所学，翻翻笔记、查查例题，尝试独立思考破解；若仍有卡顿，也可以做好标记, 开学后与老师、同学交流探讨——学会主动求助、积极反思, 本身就是一种成长。 希望大家合理规划假期时间，平衡学习与休息，将数学作业融入日常作息中。不必追求“一气呵成”，可以每天安排固定的时间段与数学相伴，循序渐进、持之以恒。认真对待每一道题，不仅是对知识的敬畏，更是对自己的负责；及时整理错题、总结方法，才能让每一次练习都发挥最大的价值，让假期的学习更具针对性与实效性。 高二的沉淀，是高三腾飞的基石。这个寒假，愿你们在数学的世界里深耕不辍，在思考的过程中提升自我，在坚持的路上收获成长。期待开学时，看到你们带着这份作业的收获与感悟，带着更扎实的知识基础、更清晰的解题思路、更饱满的学习热情，奔赴高三的征程，书写属于自己的精彩篇章！ 视同学们寒假快乐，学有所获，万事顺意！ 寒假作业1: 立体几何 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中,点 ,则 ( ) A. B. C. 2 D. 3 2. 在四面体 中, 分别为棱 的中点,则 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,在正三棱柱 中,若 ,则 与 所成角的大小为 ( ) A. B. C. D. 4. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ( ) A. B. C. D. 5. 已知向量 以 为基底时的坐标为 ,则 以 为基底时的坐标是 ( ) A. B. C. D. 6. 已知四面体 中， 、 、 两两垂直， ， 与面 所成的角为 ， 则点 到面 的距离为 ( ) A. B. C. D. 二、多选题 7. 关于空间向量, 以下说法正确的是 ( ) A. 空间中的三个向量, 若有两个向量共线, 则这三个向量一定共面 B. 若 ,则 与 的夹角是钝角 C. 若向量 是共面的向量,则 也是共面的向量 D. 若对空间中任意一点 ,有 ,则 四点共面 8. 如图, 为圆锥 的底面圆 的直径, 是圆弧 的中点,圆锥 的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则下列结论正确的是 ( ) A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的外接球体积为 C. 圆锥侧面展开图的圆心角为 D. 二面角 的正切值为 三、填空题 9. 已知向量 ，向量 ，且 ， 则 _____. 10. 在所有棱长均相等的正三棱柱 中， 是 的中点, ,则异面直线 ， 所成角的余弦值为_____. 四、解答题 11. 如图,在边长为 2 的正方体 中, 是棱 上的点,平面 交棱 于点 . (1)证明: ； (2)若直线 与面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度. 12. 如图， 和 所在的平面垂直，且 2, . (1)当 时，求 的值； (2)当 时，求点 到平面 的距离； (3)求平面 和平面 夹角的余弦值. 13. 如图①所示，矩形 中， ， ,点 是边 的中点,将 沿 翻折到 ,连接 ,得到图②的四棱锥 为 中点. 图② (1)若 为线段 中点，求证: 四点共面; (2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小； (3) 设 的大小为 ,若 ,求平面 和平面 夹角余弦值的最小值. 寒假作业2:直线与圆 一、单选题 1. 若直线 与直线 互相平行,则 ( ) A. 1 B. -2 C. -2 或 1 D. -2 或 -1 2. 圆 与圆 0) 相交,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 3. 若圆 与 0 的交点为 ,则线段 的垂直平分线的方程是 ( ) A. B. C. D. 4. 圆 与圆 的位置关系为 ( ) A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 5. 已知函数 的值域是 ,则 ( ) A. B. 1 C. D. 2 6. 一条东西走向的高速公路沿线有三座城市 , 其中 在 正西 处， 在 正东 处,台风中心在 城市西偏南 方向 200 ° 处,且以每小时 的速度沿东偏北 方向直线移动，距台风中心 内的地区必须保持一级警戒,则从 地解除一级警戒到 地进入一级警戒所需时间(单位:小时)在以下哪个区间内 ( ) A. B. C. D. 二、多选题 7. 已知圆 ,圆 ,则 ( ) A. B. 直线 与圆 相切 C. 当 时,圆 与圆 外切 D. 当 时,圆 与圆 有公共弦,且弦长为 ✓3 ( ) A. 过点 ,且在 轴和 轴上的截距相等的直线方程为 B. 与圆 关于直线 对称的圆的方程为 C. 圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为 D. 若点 在圆 上,则 的取值范围为 三、填空题 9. 直线 的倾斜角为_____. 10. 已知圆 与圆 0 有且仅有两条公切线,则 的取值范围是_____. 四、解答题 11. 已知三角形的三个顶点 (1)求 边所在直线的方程； (2) 求 的面积. 12. 已知 是圆 外一点. (1)求a的取值范围； (2)若 是负偶数，过点 作圆 的切线，求切线的方程. 13. 已知平面上定点 和 ,动点 满足 ,记点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)设点 在曲线 上运动，记点 为过 、 两点的弦的中点,若直线 与直线 交于点 ,证明: 恒为定值. 寒假作业3:圆锥曲线 一、单选题 1. 已知抛物线 的焦点为 是 上一点, ,则 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 2. 已知双曲线 的离心率为 ,其中一条渐近线与圆 交于 两点,则 ( ) A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系 中,动点 关于 轴对称的点为 ,且 ,则点 轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 直线 与 交于 两点,若 面积是 面积的 2 倍,则 ( ) A. B. C. D. 5. 设双曲线 的左、右焦点分别为 , 过 的直线与双曲线的左支交于点 ,与双曲线的渐近线在第一象限交于点 ,若 ,则 的周长为 ( ) A. B. C. D. 6. 过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 , 两点,线段 的中点 在直线 上, 为坐标原点,则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 9 二、多选题 7. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ,若曲线 上存在点 满足 ,则曲线 的离心率可以是 ( ) A. B. C. D. 2 8. 在平面直角坐标系 中,已知 为抛物线 的焦点,点 在该抛物线上且位于 轴的两侧, ,则 ( ) A. B. 直线 过点 C. 的面积最小值是 D. 与 面积之和的最小值是 3 三、填空题 9. 已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为_____. 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上,点 在 轴上, 1. ，则 的离心率为_____. 四、解答题 11. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ,右焦点为 ,已知 . (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点 在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线 交 轴于点 ,若三角形 的面积是三角形 面积的二倍,求直线 的方程. 12. 双曲线 的左顶点为 ,右焦点为 ,动点 在 上,当 时, . (1)求 的离心率； (2)若 在第一象限，证明: . 13. 已知抛物线 的焦点为 ,且 与圆 上点的距离的最小值为 4 . (1)求p； (2) 若点 在 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点,求 面积的最大值. 寒假作业 4:数列 一、单选题 1. 设等差数列 的前 项和为 ,则 ( ) A. B. 10 C. 15 D. 30 2. 等比数列 中， ，则 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 3. 非零数列 中 “ 对任意 且 都成立” 是 “ 是等比数列” 的 ( ) 条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知数列 满足 ,那么 ( ) A. 2 B. C. D. -3 5. 已知 是数列 的前 项和, ,则 的通项公式为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知数列 满足: ,下列说法正确的是 ( ) A. 数列 单调递增 B. 存在 ,使得 C. 的最小值为 D. 二、多选题 7. 已知 是等差数列 的前 项和,且 ,则下列选项正确的是 ( ) A. 数列 为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得 时 的最大值是 13 8. 记 为等差数列 的前 项和,则 ( ) A. 成等差数列 B. C. D. 成等差数列 三、填空题 9. 甲、乙两物体分别从相距 的两处同时出发相向运动,甲第一分钟运动 ,以后每分钟比前一分钟多运动 ，乙每分钟运动 . 甲、乙开始运动后_____分钟相遇 10. 在数列 中, ,则 _____. 四、解答题 11. 已知数列 的首项 ,且满足 . (1)求证: 是等比数列； (2)求数列 的前 项和 . 12. 已知等比数列 中， ，数列 满足 . (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 13. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,正项等比数列 满足 ,且 (1)求数列 和 的通项公式； (2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，证明: ; (3)已知 ，求数列 的前 项和. 寒假作业 5 :导数 一、单选题 1. 已知 是定义在 上的可导函数,若 ，则 A. -1 B. C. 1 D. 2. 已知函数 的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 ( ) A. B. C. D. 3. 函数 在 处的切线斜率为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. e 4. 函数 的单调递减区间是 ( ) A. B. C. D. 5. 如图是函数 的导函数 的图象,则下列结论中正确的是 ( ) A. 函数 的图象在 处切线的斜率小于零 B. 函数 在区间 上单调递增 C. 在 时,函数 取得极大值 D. 在 时,函数 取得极值 6. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若函数 和 均为偶函数，则 A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于直线 对称 C.3是 的一个周期 D. 二、多选题 7. 以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数, 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 8. 已知 ,函数 有两个极值点 ,则 ( ) A. 可能是负数 B. C. 曲线 在点 处的切线方程为 D. 为定值 三、填空题 9. 已知函数 零点在区间为 中,则自然数 _____. 10. 已知函数 ,函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是_____. 四、解答题 11. 已知函数 . (1)求 的单调区间； (2)求 的极值； (3)求 在 上的最大值和最小值. 12. 已知函数 , (1)求曲线 在点 处的切线方程； ( 2 )若函数 ，且经过点 的直线 与曲线 相切,求 的方程. 13. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调区间; (2) 若 ,求 的取值范围. 寒假作业 6A: 计数原理 一、单选题 1. 某学校开设 4 门球类课程、 5 门田径类课程和 2 门体操类课程供学生选修, 某位学生任选 1 门课程学习, 则不同的选法共有 ( ) A. 40 种 B. 20 种 C. 11 种 D. 9 种 2. 已知集合 ，集合 ， 从集合 中取一个数作为点的横坐标，从集合 中取一个数作为点的纵坐标, 则在第二象限的点有 ( ) A. 2 个 B. 4 个 C. 1 个 D. 12 个 3. 我们称各个数位上的数字之和为 6 的三位数为 “吉祥数”, 例如 105 和 123, 则所有的 “吉祥数” 共有 ( ) A. 21 个 B. 20 个 C. 19 个 D. 18 个 4. 如图所示，在 间有四个焊接点1,2,3,4，若某焊接点脱落, 则此处断路, 则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为 ( ) A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 5. 若从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取三个不同的数字, 则取出的这三个数字之和能被 3 整除的种数为 ( ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 6. 北京市的周边供游客旅游的景点有 8 个, 如图所示. 为了防止假期景点过于拥挤, 规定每名游客一次只能游玩 4 个景点, 而且一次游玩景点中至多有 2 个相邻 (如: 选择 这 4 个景点也是允许的),那么游客现在要分两次把 8 个景点游完, 不同的选择方法共有 ( ) A. 60 种 B. 42 种 C. 30 种 D. 14 种 二、多选题 7. 下列说法中正确的有 ( ) A. 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 种报名方法 B. 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项,共有 种报名方法 C. 4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军 (每项冠军只允许一人获得), 共有 4 秒可能结果 D. 4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军 (每项冠军只允许一人获得), 共有 3 秒 可能结果 8. 用数字 0, 1, 2, 3, 5 组成数字, 下列说法正确的有 ( ) A. 可以组成 60 个没有重复数字的三位数 B. 可以组成 54 个没有重复数字的四位奇数 C. 可以组成 15 个小于 500 且没有重复数字的三位偶数 D. 可以组成 14 个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数 三、填空题 9. ( 1 ) _____(用数字作答)； (2) 若 ，则 _____. 10. 给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有 4 种可选颜色，则不同的着色方法有_____种 四、解答题 11. 用 十个数字可组成多少个不同的: (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于 500 且无重复数字的三位奇数. 12. 现有来自高一 4 个班的学生 34 人，其中 7 人、 8 人、 9 人、 10 人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组. (1)从来自同一班的学生中各选 1 名组长，共有多少种不同的选法? (2)推选 2 人做中心发言，这 2 人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法? 13. 假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方 (包括右上、右下) 爬行, 从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去, 求从最初位置爬到 6 号蜂房共有多少种不同的爬法? 寒假作业 6B:计数原理与统计案例 一、单选题 1. 下列四幅残差分析图中, 与一元线性回归模型拟合精度最高的是 ( ) A. B. C. D. 2. 根据分类变量 与 的观测数据,计算得到 0.837 , 依据小概率值 的独立性检验, 则 ( ) A. 变量 与 不独立 B. 变量 与 独立 C. 变量 与 不独立,这个结论犯错误的概率不超过 0.1 D. 变量 与 独立,这个结论犯错误的概率不超过 0.1 3. 下列命题正确的是 ( ) A. 线性回归直线必过样本数据的中心点 B. 当相关系数 时,两个变量负相关 C. 甲、乙两个模型的 分别约为 0.88 和 0.80 ,则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽, 则回归方程的预报精确度越高 4. 用模型 去拟合 与 的关系,令 ,得到 关于 的回归直线方程为 , 则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为 ( ) A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 6. 给如图所示的由 七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同, 则不同的涂色方案种数为 ( ) A. 144 B. 288 C. 432 D. 576 二、多选题 7. 现有 5 幅不同的国画, 2 幅不同的油画, 7 幅不同的水彩画, 则下列说法正确的是 ( ). A. 从中任选 1 幅画布置房间, 有 14 种不同的选法 B. 从这些国画、油画、水彩画中各选 1 幅布置房间, 有 70 种不同的选法 C. 从这些画中选出 2 幅不同种类的画布置房间, 有 59 种不同的选法 D. 从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 共有 12 种不同的挂法 8. 现用数字 1, 2, 3, 4 填如图所示的四宫格, 每格均填1个数字, 则下列结论正确的是 ( ) A. 若数字可以重复使用，则共有 256 种填法 B. 若 4 个数字均使用，则共有 18 种填法 C. 若 4 个数字均使用且第 2 行的数字之和大于第 1 行的数字之和, 则共有 8 种填法 D. 若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字, 则共有 84 种填法 三、填空题 9. 某种产品的销售额 与广告费用支出 (单位:百万元) 之间有如下表对应数据,其中 按从小到大排列且 的第 80% 分位数为 7, 关于 的线性回归方程为: ，则 _____. 2 4 5 8 30 40 50 70 10.2、4 班做第(1)问，1、3 班做第(2)问 (1)从0~9这十个数字中选取 3 个数，能组成无重复数字的三位偶数_____个.(用数字作答) (2) 的二项展开式中含 项的系数为_____. 四、解答题 11. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 三个智力竞赛项目, 每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法? (2)若甲、乙报同一项目，丙不报 项目，则有多少种不同的报名方法? 12. 为了探究职场人士每季度进行职业技能培训的时长 (单位:小时) 和他们的季度绩效评分 (单位:分) 的关系, 某调研机构开展了调查, 得到如下数据: 3 6 9 12 15 70 80 84 96 100 (1)若该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,求 关于 的经验回归方程; (2)基于上述调查，某企业推行员工职业技能培训计划， 经过一个季度的实施后, 抽样调查了 200 位员工, 按照参与职业技能培训与季度绩效提升情况得到如下 列联表,请将表格补充完整,并依据 的独立性检验, 分析 “参与职业技能培训与绩效提升” 是否有关. (单位: 人) 绩效未提升 绩效提升 合计 参与职业技能培训 100 150 未参与职业技能培训 30 合计 参考公式: , ,其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 13. 元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动, 相关数据显示, 西安入围全国十大热门目的地, 西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、 陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、 大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区, 每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻, 求不同的参观顺序的方案数. 寒假作业7:综合训练(一) 一、单选题 1. 已知直线 的方程为 ,则直线 的倾斜角为 ( ) A. B. C. D. 2. 已知向量 ，若 ，则 ( ) A. 2 B. C. D. 3. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆, 则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 4. 在等比数列 中, ,则公比 ( ) A. B. C. 3 D. 13 5. 已知 , 则 ( ) A. B. C. 1 D. 0 6. 点 为直线 上一动点,过点 作圆 的切线,切点为 ,则 的最小值为 ( ) A. 1 B. C. D. 2 二、多选题 7. 已知正方体 的棱长为 1, 为 的中点,以下结论正确的是 ( ) A. B. C. 面 D. 8. 已知等差数列 的前 项和为 ,各项为正的等比数列 的前 项和为 ,以下结论正确的是 ( ) A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列 C. 若 为递增数列,则 存在最小值 D. 存在 ,使得数列 为等差数列 三、填空题 9. 已知抛物线 的准线方程为 ,则 _____ 10. 已知数列 满足 ,且 ,该数列前 20 项和 _____. 四、解答题 11. 已知点 和圆 . (1)过点 作直线 的平行线 ，求直线 的方程； (2)过点 的直线与圆 交于 两点，若 ,求直线 的方程. 12. 已知函数 (1) 若 ,求 ; (2)若 ，函数 在 处的切线方程为 ,求 的值; (3) 若 ,求曲线 与曲线 的共同的切线方程. 13. 如图,把矩形纸片 沿 折成直二面角 ,其中 为 的中点. (1)若点 为线段 的中点，求证: 平面 . (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 寒假作业 8:综合训练(二) 一、单选题 1.4 与 9 的等比中项为 ( ) A. 6 B. -6 C. D. 6.5 2. 双曲线 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 3. 在正方体 中, 分别为 和 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值是 ( ) A. 0 B. C. D. 4. 已知直线 与椭圆 有公共点, 则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知点 是曲线 上的任意一点,曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 6. 若直线 与 交于 两点,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 二、多选题 7. 下列说法错误的是 ( ) A. 一个函数的极大值一定大于极小值 B. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C. 函数在某个区间上的最大值, 一定在极大值点处取到 D. 若函数 在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 8. 已知等差数列 的前 项和为 ,正项等比数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是_____( ) A. 不可能是等差数列 B. 若 ,则 C. 是等差数列 D. 若 单调递减,则 单调递增 三、填空题 9. 已知直线 过定点 ,向量 为其一个方向向量,则点 到直线 的距离为_____. 10. 已知函数 ,则 _____. 四、解答题 11. 已知圆 . (1)求a的取值范围； (2) 若 ，过 作圆 的切线，求切线的方程. 12. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,且 (1)求数列 的通项公式； (2) 若 ,求数列 的前 项和 . 13. 已知椭圆 分别是椭圆 的左,右焦点, 是椭圆 上任意一点. 若 的周长为 6,且 的最大值为 3 . (1)求 的方程； (2)设点 ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点,记直线 的斜率分别为 ,求 的取值范围. 寒假作业 9:综合训练(三) 一、单选题 1. 已知函数 ,则 ( ) A. B. 0 C. D. 1 2. 双曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 3. 抛物线 上一点 到焦点的距离为 8,则点 的横坐标为 ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 4. 已知数列 是各项均为正数的等比数列, , ,则 ( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 5. 已知函数 在 处有极值 10,则 ( ) A. -7 B. 0 C. -7 或 0 D. -15 或 6 6. 在四面体 中 (如图),平面 平面 , 是等边三角形, 为 的中点， 在侧面 上 (包含边界),若 ,则下列不正确的是 ( ) A. 若 ,则 平面 B. 若 ,则 C. 当 最小时, D. 当 最大时, 二、多选题 7. 下面是关于公差 的等差数列 的四个命题, 其中的真命题为( ). A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 是递增数列 D. 数列 是递增数列 8. 如图,在正方体 中,点 是底面 (含边界) 内一动点,且 平面 , 则下列选项正确的是 ( ) A. B. 三棱锥 的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线 与 所成角的取值范围为 三、填空题 9. 曲线 在点 处的切线方程为_____. 10. 数列 的前 项和为 ,且 ,且 ,则 _____. 四、解答题 11. 已知数列 . (1)求数列 的通项公式 ； (2) 设 ,记 的前 项和为 ,证明: 12. 如图,在四棱台 中,底面为矩形,平面 平面 ,且 (1)证明: 平面 ； (2)若 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值. 13. 已知函数 . (1)当 时，求 的极值； (2)求 的单调区间； (3) 设 是函数 的两个极值点,证明: . 寒假作业 10:综合训练(四) 一、单选题 1. 已知向量 且 ，则实数 的值为 ( ) A. -4 B. 0 C. 4 D. 8 2. 已知 ,求 ( ) A. B. C. D. 图象如图所示，则 的解析式可能是 ( ) A. B. C. D. 4. 已知直线 与 ，则 与 之间的距离为 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知点 ,若直线 上存在点 ,使得 ,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 6. 任取一个正整数, 若是奇数, 就将该数乘 3 再加上 1 ; 若是偶数,就将该数除以 2 . 反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想” (又称 “角谷猜想”). 如取正整数 6 , 根据上述运算法则得出 6 → 3 ,共需经过 8 个步骤变成 1(简称为 8 步 “雹程”). 现给出 “冰雹猜想” 的递推关系如下: 已知数列 满足 ,且 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 二、多选题 7. 在正方体 中,则 ( ) A. B. C. 与 是异面直线 D. 与 所成角的余弦值为 8. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 为抛物线上两点, 为线段 的中点， 为坐标原点，则 ( ) A. B. C. D. 若点 为抛物线上一点，则 周长的最小值为 三、填空题 9. 设数列 的前 项和 ,则 10. 已知 有三个零点,则 的范围是_____. 四、解答题 11. 已知函数 . (1)求 的极值; (2)若过点 作 的切线，求切线的方程. 12. 如图,已知四边形 是直角梯形, , 平面 是 的中点. (1) 证明: . (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 13. 已知双曲线 过点 ,且离心率 . (1)求双曲线 的标准方程； (2) 已知动点 ，且 . 过双曲线 的右焦点 的直线交 于 两点，直线 交双曲线 于另一点 ,直线 交双曲线 于另一点 ,且 . (i) 取 、 分别为 ， 的中点， 为坐标原点. 证明: 四点共线; (ii) 记 的面积为 ,求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $泰顺县育才高级中学2024级高二数学寒假作业 限 复习巩固 保温提数 高二数学组编 日录 寒假作业1：立体几何… 寒假作业2：直线与圆 3 寒假作业3：圆锥曲线. 寒假作业4：数列 7 寒假作业5：导数 .9 寒假作业6A:计数原理 11 寒假作业6B:计数原理与统计案例 13 寒假作业7：综合训练（一） 15 寒假作业8：综合训练（二） 17 寒假作业9：综合训练（三） 19 寒假作业10：综合训练（四） 圈闺作业寄语 亲爱的同学们： 春意渐浓，假期悄至。在这沉淀过往、蓄力前行的美好时光里，高二数学寒假作业如期与大家见面。这份 作业，不是假期的“负担”，而是衔接高二知识、铺垫高三备考的“桥梁”，是你们梳理思路、夯实基础、突 破瓶颈的宝贵契机。 高二是数学学习的“分水岭”，函数、数列、立体几何、解析几何等核心模块，既承载着高一的知识积 淀，又关联着高三的综合应用。寒假的留白，正是你们查漏补缺、弯道超车的黄金时期。希望大家能以平和的 心态对待这份作业，不急于求成、不敷衍应付，每一道题都认真审题、每一步演算都细致严谨、每一次纠错都 深入反思。那些看似繁琐的推导、看似复杂的题型，都是在锤炼你们的逻辑思维，打磨你们的解题能力，积累 你们应对高考的底气。 完成作业的过程中，或许会遇到困惑与阻碍：可能是一道无从下手的解析几何题，可能是一组难以梳理的 数列规律，也可能是一次因粗心导致的反复出错。请不要气馁，数学的魅力就在于“拨云见日”的突破与喜 悦。遇到难题时，不妨静下心来回顾课堂所学，翻翻笔记、查查例题，尝试独立思考破解；若仍有卡顿，也可 以做好标记，开学后与老师、同学交流探讨一一学会主动求助、积极反思，本身就是一种成长。 希望大家合理规划假期时间，平衡学习与休息，将数学作业融入日常作息中。不必追求“一气呵成”，可 以每天安排固定的时间段与数学相伴，循序渐进、持之以恒。认真对待每一道题，不仅是对知识的敬畏，更是 对自己的负责；及时整理错题、总结方法，才能让每一次练习都发挥最大的价值，让假期的学习更具针对性与 实效性。 高二的沉淀，是高三腾飞的基石。这个寒假，愿你们在数学的世界里深耕不辍，在思考的过程中提升自 我，在坚持的路上收获成长。期待开学时，看到你们带着这份作业的收获与感悟，带着更扎实的知识基础、更 清晰的解题思路、更饱满的学习热情，奔赴高三的征程，书写属于自己的精彩篇章！ 视同学们寒隧快乐，学有所秋，万事顺急！ 泰顺县育才高级中学2024级高二数学备课组 2026年2月4日 寒假作业1：立体几何 一、单选题 8.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，B是圆 1.在空间直角坐标系中，点M(1,1,0),N(0,1,2),则 弧AC的中点，圆锥SO的轴截面是边长为2的等边 MN= () 三角形，则下列结论正确的是 () A.√3 B.√5 C.2 D.3 2.在四面体ABCD中，E,F分别为棱CD,BC的中 点.则庙+号C+丽= () A AA正B.A正 C.AF D.AF A.圆锥的体积为3元 3 3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1= √2AB,则AB,与BC1所成角的大小为 B.圆锥的外接球体积为323元 27 C.圆锥侧面展开图的圆心角为罗 D.二面角S-AB-C的正切值为√6 三、填空题 9.己知向量a=(4,x,6),向量6=(2,5，y),且a∥6， A.30° B.60° C.90° D.120 则十y= 4.己知向量d=(1,0,-2),6=(1,2,2),则向量d在向量 10.在所有棱长均相等的正三棱柱ABC-ABC1中，D 方上的投影向量的坐标为 是AB的中点：A正=}A风：C函=号C.则异 A哈行) B.(0,1,3) 面直线BD,EF所成角的余弦值为一， 四、解答题 》 D(-,-22 3’-3’3 11如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,CD1中， E是棱AB上的点，平面C1AE交棱BC于点F 5.己知向量市以{a,6,为基底时的坐标为(3,4,5)，则 (1)证明：EF∥AC: 市以{à，-，+动为基底时的坐标是 (） (2)若直线AB与面CAE所成角的正弦值为号，求线 A3号号) B3-号) 段AE的长度. ca分号》 D3号) 6.己知四面体ABCD中，BA、BC、BD两两垂直， BC=2,BD=2√3，AB与面ACD所成的角为T, 则点B到面ACD的距离为 A.3 D.2w39 2 B.25C.2W3 5 3 13 二、多选题 7.关于空间向量，以下说法正确的是 () A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三 个向量一定共面 B.若d6<0,则d与的夹角是钝角 C.若向量2d,6,c-a是共面的向量，则a,b,c也是共 面的向量 D若对空间中任意一点0，有O丽=立OA+ 子O厉+号OC.则P,AB,C四点共面 1 12.如图，△ABC和△BCD所在的平面垂直，且AC= 13.如图①所示，矩形ABCD中，AD=√2，AB= 2,BC=CD=a,∠ACB=∠BCD=120° 2W2,点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折 D 到△PAM,连接BP,PC,得到图②的四棱锥P一 ABCM,N为PB中点. C----B D (1)当AD⊥BC时，求a的值： (2)当a=2时，求点B到平面ACD的距离； 图① 图② (3)求平面ACD和平面BCD夹角的余弦值. (1)若Q为线段PA中点，求证：M,Q,N,C四点 共面： (2)若平面PAM⊥平面ABCD,求直线BC与平面 PMB所成角的大小： 3)设P-AM-D的大小为6，若0∈(0号引，求平面 PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值. 寒假作业2：直线与圆 一、单选题 A.过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距相等的直线 1.若直线(a+1)c+2y-a=0与直线x+ay-1=0互 方程为x+y-4=0 相平行，则a= B.与圆M:(x-1)2+y2=2关于直线：x-y+2 A.1 B.-2 =0对称的圆的方程为(c+2)2+(y-3)=2 C.-2或1 D.-2或-1 C.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2 -如-划-2=0的公共弦所在直线的方程为x 2.圆C1:x2+y2=25与圆C2:(x-1)2+(y-a2=4(a> +2y-1=0 0)相交，则a的取值范围为 () D.若点P(m,n)在圆C:x2+(y-12=9上，则m2 A.(2,6) B.(3,7) +n2的取值范围为[4,16] C.(2W2,4W3) D.(√10,5w2) 三、填空题 3.若圆C1x2+y2+2x-4y-4=0与C2:x2+y2-2x= 9.直线√5x-y-5=0的倾斜角为 0的交点为A、B,则线段AB的垂直平分线的方程 10.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+m= 是 () 0有且仅有两条公切线，则m的取值范围是_ A.c-y+1=0 B.c-2y+1=0 四、解答题 C.2x-y+1=0 D.x+y-1=0 11.己知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C (0,2. 4.圆C:x2+y2-2c+2y-2=0与圆C2:x2+y2- (1)求BC边所在直线的方程： 4划-5=0的位置关系为 () (2)求△ABC的面积. A.相交B.外切C.外离D.内含 5.已知函数f)=1二r+1的值域是[a,b],则b c+2 a= () A号 B.1 c. D.2 6.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A,B,C, 其中A在C正西60km处，B在C正东100 m处，台风中心在C城市西偏南30°方向200· km处，且以每小时40°m的速度沿东偏北30°方 向直线移动，距台风中心10W34°km内的地区必须 保持一级警戒，则从A地解除一级警戒到B地进入 级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内 A(1) B(号2 C.(2,3) D.(3 二、多选题 7.己知圆C:x2+y2=1,圆C2:x2+y2-2c+2W3y+ m=0,则 () A.m<4 B.直线4c-3y-6=0与圆C1相切 C.当m=3时，圆C与圆C2外切 D.当m=1时，圆C与圆C2有公共弦，且弦长为 √3 8.下列四个命题中，真命题是 …3 12.已知A(2,1)是圆M:x2+y2+2x-4划+2a=0外一 13.己知平面上定点A(4,0)和B(1,0),动点P满足 点 (1)求a的取值范围： PA=2,记点P的轨迹为曲线C. PB吲 (2)若a是负偶数，过点B(2,-4)作圆M的切线，求切 (1)求曲线C的方程： 线的方程. (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的 弦的中点，若直线DB与直线x=号交于点N,证明： BM·BN|恒为定值 寒假作业3：圆锥曲线 一、单选题 C.△ABO的面积最小值是2W2 1.己知抛物线C:y2=2x的焦点为F,A(xo,%0)是C D.△ABO与△AFO面积之和的最小值是3 上一点，4=1：则 () 三、填空题 9.己知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上，则A到 A.1 B.2C.4 D.5 C的准线的距离为 2已知双曲线兰-号=1(a>0,b>0)的离心率为 a2-62 10.已知双曲线C:之_ a2- =1(a>0,b>0)的左、右焦 √5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交 点分别为F,B.点A在C上，点B在y轴上，A 于A,B两点，则|AB= (C) C.2v5 1配，A=-号死.则C的离心率为一 A号 B.6 D.45 3 5 5 5 四、解答题 3.在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的 1已知椭圆等+葶-1a>b>0)的左右顶点分别为 点为Q,且O.O=2,则点P轨迹方程为() A1,A2,右焦点为F,已知A1F=3,A2F=1. A.x2+y2=2 B.x2-y=2 (1)求椭圆的方程和离心率； C.c+y2=2 D.x-y2=2 (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线AP交y轴 4已知椭圆C号+可=1的左、右焦点分别为风，5 于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A,PF面积的 二倍，求直线AP的方程. 直线y=x+m与C交于A,B两点，若△乃AB面 积是△AB面积的2倍，则m= A号 B.② C.- 3 5设双曲线”-号=1的左、右焦点分别为、B 过F的直线与双曲线的左支交于点A,与双曲线的 渐近线在第一象限交于点B,若BF⊥BF,则 △ABF的周长为 () A.W5+2 B.4w5-2 C.4+2W月 D.4-2W5 6.过抛物线2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点，线段AB的中点M在直线y=2上，O为坐 标原点，则△AOB的面积为 A.310 2 B.5 c2 D.9 二、多选题 7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为乃，乃，若曲线C上 存在点P满足PF:P=4:3:2,则曲线C的 离心率可以是 () A司 B号 c多 D.2 8.在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2=x 的焦点，点A(m,),B(2,2)在该抛物线上且位于 x轴的两侧，OA·O元=2，则 (） A.G1x2=6 B.直线AB过点(2,0) 12,双曲线C:兰-'=1a>0.6>0的左顶点为 13.己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与 a2-62 圆Mx2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. A,右焦点为F,动点B在C上，当BF⊥AF时， (1)求p: AF-BF. (2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是 (1)求C的离心率： 切点，求△PAB面积的最大值. (2)若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF. 寒假作业4：数列 一、单选题 三、填空题 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a+ag=1,则 9.甲、乙两物体分别从相距120m的两处同时出发相向 S15= () 运动，甲第一分钟运动5m,以后每分钟比前一分钟 A岁 B.10 多运动2m,乙每分钟运动10m.甲、乙开始运动后 C.15 D.30 分钟相遇 2.等比数列{an}中，a4=4,a6a7=8,则ag=(） 10.在数列(a}中，a=2,an=a+1g1+)则 A.2 B.4 C.8 D.1 an= 3.非零数列{an}中“a品=an-1an+1对任意n≥2且n∈ 四、解答题 N都成立”是“{a,}是等比数列”的()条件 11.己知数列{an}的首项a=6,且满足an+1+2+1= A.充分不必要 B.必要不充分 tan. C.充要 D.既不充分也不必要 (1)求证：{an-2}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 4.已知数列(a}满足a1=1+a, 1-an a2026=2,那么a1 = () A.2 B.- c号 D.-3 5.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1, Sn+1= Sn 九+2，则{a,}的通项公式为 () A.an=2n-1 B.an =n+1 2 C.an=n D.an=2-n 6.己知数列{an}满足：an+1=lnan+1,a=e,下列 说法正确的是 () A.数列{an}单调递增 B.存在n∈N,使得an<1 C.a1的最小值为2 an D.a202z>a202s a2026a202 二、多选题 7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且as<0,a5 +a10>0,则下列选项正确的是 () A.数列{an}为递减数列 B.a7<0 C.Sn的最大值为S, D.使得Sn>0时n的最大值是13 8.记Sn为等差数列{an}的前n项和，则 A.S3,S6-S3,Sg-S6成等差数列 B.So=2S6-S3 C.Sg=3(S6+S3) D号·鲁·受成等老数列 12.己知等比数列{an}中，a1=3,a4=81,数列{bn} 13.己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+ 满足bn=2og3an-1. n(n∈N),正项等比数列{b}满足b1=a1,且b,+ (1)求{an}和{bn}的通项公式： bs=8(b+b5. (2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn (1)求数列{a}和{b}的通项公式： 2)已知c=,】,记数列{c,}的前n项和为T,证 anantl 明：工<立 .1 3)已知d.=2 ,求数列{d}的前n项和，