专题10.7 超几何分布、二项分布与正态分布（5重难点题型+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

专题10-7 超几何分布、二项分布与正态分布 1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 2．（2026·全国一卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 5．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 7．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 8．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 9．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 重难点题型1 二项分布 1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是： （1）根据题意设出随机变量； （2）分析出随机变量服从二项分布； （3）找到参数，； （4）写出二项分布的分布列； （5）将值代入求解概率． 1．（2026·安徽·模拟预测）已知随机变量服从二项分布．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）有编号为1，2，3，4的四个箱子，第个箱子中有1个红球和个白球．从每个箱子中各随机抽取一球，设取出的红球数为，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东潍坊·一模）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 5．（2026·上海·三模）已知服从二项分布，则________． 6．（2026·陕西商洛·三模）已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 7．（2026·河南周口·模拟预测）已知盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个红球，盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个白球，甲、乙两人分别从盒和盒中任意抽取小球，抽取的小球个数不限，且每人至少抽取一个，且两人的抽取结果相互独立，设为两人抽取的编号相同的小球个数，则的数学期望__________． 8．（2026·湖南长沙·三模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望__________． 重难点题型2 超几何的分布 1、随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 2、求超几何分布的分布列的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3）列出分布列． 1．（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（    ） A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 3．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 5．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 6．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_________． 8．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为______. 9．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 重难点题型3 二项分布与超几何分布的综合应用 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 1．（2026·山西晋城·三模）某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． (1)求； (2)若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 2．（2026·山东东营·模拟预测）一个不透光的盒子中装有6个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球，1个黄球，从中一次性摸出3个小球． (1)求摸出的3个小球中至少有1个是蓝球的概率； (2)用随机变量X表示摸出的3个小球中不同的颜色数，求X的分布列及其数学期望． 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩． (1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率； (2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望． 4．（2025·河南·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 5．（2026·陕西汉中·模拟预测）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 6．（2026·河南郑州·模拟预测）现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． (1)在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； (2)在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； (3)在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 重难点题型4 正态分布 1、正态分布下两类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1． （2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个． 2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1． （2）熟记，，的值． 1．（2026·广东广州·模拟预测）某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 4．（2026·安徽·模拟预测）某早餐店加入网络平台后，若每天小笼包的销售量满足 (单位：个)，则300天内小笼包的日销售量在950到1100个的天数大约为____(精确到整数). （若随机变量，则，，） 5．（2026·上海·三模）已知连续型随机变量服从正态分布，则的值约等于____________． （注：若，则，） 6．（2026·广西河池·三模）已知随机变量，且，则展开式二项式系数的和为__________．（用数字作答） 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 8．（2026·山东临沂·二模）今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），，，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值位于区间．当时，试以使得最大的n值作为n的估计值，则n为________． 重难点题型5 正态分布的实际应用 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 2．（2027高三·全国·专题练习）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 3．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 4．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10-7 超几何分布、二项分布与正态分布 1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】相关系数的意义及辨析、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 2．（2026·全国一卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.41 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 4．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】/ 【难度】0.5 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 5．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】/0.5 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 7．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 8．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【难度】0.69 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 9．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i）； （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【难度】0.52 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. （2）（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合（i）的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【详解】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 重难点题型1 二项分布 1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是： （1）根据题意设出随机变量； （2）分析出随机变量服从二项分布； （3）找到参数，； （4）写出二项分布的分布列； （5）将值代入求解概率． 1．（2026·安徽·模拟预测）已知随机变量服从二项分布．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的方差 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的方差公式，得，得， 所以. 2．（2025·湖南·模拟预测）有编号为1，2，3，4的四个箱子，第个箱子中有1个红球和个白球．从每个箱子中各随机抽取一球，设取出的红球数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】首先计算出每个箱子抽出红球的概率，变量表示取出的红球总数， 的可能取值为0 ，1，2，3，4，我们需要计算为偶数（即）时的概率之和. 【详解】每个箱子中抽到红球的概率： 第1个箱子：1红1白，共2球，抽到红球的概率，抽到白球的概率. 第2个箱子：1红2白，共3球，抽到红球的概率，抽到白球的概率. 第3个箱子：1红3白，共4球，抽到红球的概率，抽到白球的概率. 第4个箱子：1红4白，共5球，抽到红球的概率，抽到白球的概率. 题目要求为偶数时的概率，即时的概率之和. 当时，即全是白球， ， 当时，即抽到两个红球，有以下几种情况： 第1个箱子和第2个箱子抽到红球， 第1个箱子和第3个箱子抽到红球， 第1个箱子和第4个箱子抽到红球， 第2个箱子和第3个箱子抽到红球， 第2个箱子和第4个箱子抽到红球， 第3个箱子和第4个箱子抽到红球， 则 ， 当时，即全是红球， ， 则. 3．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 4．（2026·山东潍坊·一模）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【详解】由题意可得甲的总得分不少于5分包含三次均投入壶口或三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳两种情况. 三次均投入壶口得6分的概率， 三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳得5分的概率， 所以甲的总得分不少于5分的概率为. 5．（2026·上海·三模）已知服从二项分布，则________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【详解】由题意可知. 6．（2026·陕西商洛·三模）已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 【答案】 0.21 1 【难度】0.82 【知识点】两点分布、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】结合独立的条件，用独立事件概率乘法公式计算，同时先根据已知的求出；利用期望的线性性质，即，分别先求出两点分布和的期望，再相加即可. 【详解】两点分布中仅取或，当且仅当且， 已知，，故， 又相互独立，因此： ； 根据期望的线性性质：， 对于两点分布，，， 因此： . 7．（2026·河南周口·模拟预测）已知盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个红球，盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个白球，甲、乙两人分别从盒和盒中任意抽取小球，抽取的小球个数不限，且每人至少抽取一个，且两人的抽取结果相互独立，设为两人抽取的编号相同的小球个数，则的数学期望__________． 【答案】 【难度】0.24 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】利用期望的线性性质和对称性，把复杂变量拆分为单个变量的期望之和，求出总的可能抽取种数及抽到特定编号的种数，进而求出概率，求出特定元素的期望，进而利用期望的对称性求解． 【详解】设为指示变量，甲、乙两人都取到编号为的球时，否则， 则两人编号相同的小球个数， 由期望的线性性质，， 由题意知，， 甲、乙各自从各自的集合中随机抽取一个非空子集，有种等可能结果， 由于对称性，每个编号的概率相同，对固定编号， 如时，甲抽到该编号的子集有，共个， 甲抽到编号的概率为甲，同理，乙的概率也为乙， ， ． 8．（2026·湖南长沙·三模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望__________． 【答案】/2.44 【难度】0.62 【知识点】独立重复试验的概率问题、均值的性质、二项分布的均值 【分析】根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数， 对于每个标号，记为（如：表示三次抽取中至少出现过一次标号，表示三次抽取中从未出现标号）， 则可表示为所有的和，即， 由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布， 则， 每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 则． 重难点题型2 超几何的分布 1、随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 2、求超几何分布的分布列的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3）列出分布列． 1．（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 2．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（    ） A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大. 【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则 若盒子中的有奖券有1张， 则中奖的概率为， ， 若盒子中的有奖券有2张， 则中奖的概率为， ， 若盒子中的有奖券有3张， 则中奖的概率为， ， 若盒子中的有奖券有4张， 则中奖的概率为， ， 根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天， 故选：B. 3．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率 【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果. 【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数， 若任取个数中有个阳数，则， 若任取个数中有个阳数，则， 故这个数中至少有个阳数的概率， 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题. 4．（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】由随机变量服从超几何分布，从而可得随机变量的期望值. 【详解】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. 故答案为：. 5．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 【答案】 ； 58 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 6．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、求超几何分布的概率 【分析】根据二项分布的均值与方差公式，求出的值，再用超几何分布即可解题. 【详解】因为，则，解得或， 又，则，可得，则， 所以有5名男生．所以． 故答案为： 8．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、求超几何分布的概率 【分析】根据题意讨论先抽取2道题有几道多选题，结合超几何分布分析运算. 【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为：0，1，2， 可得：， 所以最后抽取到的题为多选题的概率为. 故答案为：. 9．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、求超几何分布的概率 【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）. 【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率， 至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率， 所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率. 故答案为：， 重难点题型3 二项分布与超几何分布的综合应用 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 1．（2026·山西晋城·三模）某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． (1)求； (2)若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 【难度】0.69 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据题意结合组合知识求解即可； （2）由题意，的可能取值为0，1，2，利用全概率公式分别求出每一个对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）记架甲种无人机试飞合格为事件， 则， ． 由题意，的可能取值为0，1，2， ∴ ， ， ， 的分布列为 0 1 2 ． 2．（2026·山东东营·模拟预测）一个不透光的盒子中装有6个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球，1个黄球，从中一次性摸出3个小球． (1)求摸出的3个小球中至少有1个是蓝球的概率； (2)用随机变量X表示摸出的3个小球中不同的颜色数，求X的分布列及其数学期望． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.66 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）事件A由1个蓝球2个其他颜色球，和2个蓝球1个其他颜色球两个事件构成， 方法一：直接求解 方法二：由求解即可； （2）由随机变量X的可能取值为：1，2，3， 法一：求解，，由求解即可， 法二：直接求解 列出分布列，再求解期望即可 【详解】（1）用事件A表示摸出的3个小球中至少有1个是蓝球，则事件A由1个蓝球2个其他颜色球，和2个蓝球1个其他颜色球两个事件构成， 法一：则． 法二：则． （2）随机变量X的可能取值为：1，2，3， ， ， 法一：， 法二：， 则随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩． (1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率； (2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) X 0 1 2 P 数学期望1 【难度】0.76 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）应用古典概型结合超几何分布概率计算求解； （2）应用超几何分布结合组合数计算概率及分布列，最后计算数学期望即可. 【详解】（1）李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率为． （2）X的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则． 4．（2025·河南·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列为 0 1 2 3 【难度】0.62 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数为,人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为,人的概率，再根据“乙类组”的定义，计算出一个试用组为“乙类组”的概率； （2）先根据(1)的结果求出时，一个试用组为“乙类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用乙种药物治愈的有人”， 可得表示事件“一个试用组中，服用甲种药物治愈的有人”，. 由题意得， . 故一个试用组为“乙类组”的概率为. （2）由题意得在区间上单调递增，当取最大值时，， 此时一个试用组为“乙类组”的概率. 得到 可得的分布列为 0 1 2 3 由期望公式得 5．（2026·陕西汉中·模拟预测）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【难度】0.74 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）可知该轮为“稳定发挥” 共8轮，根据古典概型结合组合数运算求解； （2）该轮“稳定发挥”的概率为，，结合二项分布求分布列求期望. 【详解】（1）由题意可知：该轮为“稳定发挥”的有第一、三、四、五、七、八、九，十轮，共8轮， 若从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率. （2）用频率估计概率，该轮“稳定发挥”的概率为， 由题意可知：，可得： ；； ；； 可知的分布列为 0 1 2 3 所以的期望. 6．（2026·河南郑州·模拟预测）现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． (1)在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； (2)在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； (3)在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 【答案】(1) (2)1 (3) 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分类列举计算概率即可． （2）设i号箱子中是两个红球和一个黑球的概率，利用全概率公式列出递推式为，求出，再分别求出，，，即可求得期望． （3）求出第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率，再求剩下箱子中的两个小球颜色均相同的概率． 【详解】（1）设“第一轮操作结束后，2号箱子中是2个红球”为事件A， 若2号箱子中是2个红球，则应从1号箱子中取出红球，从2号箱子中取出黑球， 若放入1号箱子的是红球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 若放入1号箱子的是黑球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 所以． （2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2， 设从第i号箱子中取出球之前，该箱子中是两个红球和一个黑球的概率为， 则， 所以， 又因为，所以，所以， 即，所以． 所以，，， 所以． （3）第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率为， 则第二轮操作结束后，所有箱子中小球颜色均相同的概率． 设“第二轮操作结束后，所有箱子中的两个小球颜色均相同”为事件B， 则． 因为， 所以， 所以． 重难点题型4 正态分布 1、正态分布下两类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1． （2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个． 2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1． （2）熟记，，的值． 1．（2026·广东广州·模拟预测）某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】结合正态分布的对称性，将所求区间的概率拆分为两个已知概率对应的对称半区间概率之和求解. 【详解】 . 2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，先求出对称区间的概率，再结合已知概率计算所求值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，其密度曲线关于直线对称， 由对称性可得， 已知，， 因此，故， 因此. 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】0.24/ 【难度】0.85 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】正态分布的密度曲线关于均值对称. 观察可知和关于对称轴对称，满足，因此. 由，可得：， 因此. 因此所求概率为. 4．（2026·安徽·模拟预测）某早餐店加入网络平台后，若每天小笼包的销售量满足 (单位：个)，则300天内小笼包的日销售量在950到1100个的天数大约为____(精确到整数). （若随机变量，则，，） 【答案】246 【难度】0.78 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率 【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解. 【详解】∵，， ∴. ∴300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是． 5．（2026·上海·三模）已知连续型随机变量服从正态分布，则的值约等于____________． （注：若，则，） 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率 【详解】随机变量服从正态分布， ． 6．（2026·广西河池·三模）已知随机变量，且，则展开式二项式系数的和为__________．（用数字作答） 【答案】 64 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】先利用正态分布的对称性求解参数的取值，再根据二项式系数和的性质计算最终结果. 【详解】因为随机变量，其概率密度曲线关于对称轴对称，由， 所以与关于对称，故有： ，化简得，解得， 对于二项式，其二项式系数和为，代入得二项式系数和为. 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】 【难度】0.8 【知识点】3δ原则、指定区间的概率 【分析】先确定正态分布的均值与标准差，将合格品区间转化为均值加减若干倍标准差的形式，利用正态分布的对称性结合参考数据计算概率． 【详解】依题意，设活塞销的直径为随机变量，则， 其中，，即 合格品直径范围为，将端点变形为，， 即求 由正态分布的对称性可得： , 所以． 8．（2026·山东临沂·二模）今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值（单位：毫克/升），，，现从中随机抽取n瓶，这n瓶水中恰有K瓶的矿物质含量偏差值位于区间．当时，试以使得最大的n值作为n的估计值，则n为________． 【答案】35 【难度】0.42 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、指定区间的概率 【分析】本题考查正态分布的性质以及概率的计算，解题的关键在于根据正态分布的性质求出矿物质含量偏差值位于区间的概率，再结合概率的计算求出的值． 【详解】计算矿物质含量偏差值位于区间的概率： 已知，则，， 因为，， 所以． 根据正态分布的性质， ，可得： ． 计算：从瓶水中随机抽取，每瓶水的矿物质含量偏差值位于区间的概率为0.84， 不位于该区间的概率为， 这是一个二项分布问题，，根据二项分布的概率公式， 可得， 要使最大，则需满足， 由可得：， 即， 化简可得：，即， ，，解得． 由可得：， 即，化简可得：， 即，，，解得． 因为为正整数，所以． 重难点题型5 正态分布的实际应用 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 【答案】(1)的分布列为 ； (2) 【难度】0.7 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）先统计优质日数量，利用超几何分布求的分布列与期望； （2）根据正态分布性质，结合对称性求出的概率，进而估计天数． 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 ； （2）由正态分布，得， ， 所以“优质服务日”的天数约为． 2．（2027高三·全国·专题练习）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【难度】0.62 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图及分层随机抽样的定义求出在上抽取的人数为6人，在上抽取的人数为3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列； （2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，运动时间在的人数为， 运动时间在的人数为． 按照分层随机抽样共抽取9人， 则在区间内抽取的人数为， 在区间内抽取的人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 （2）由题意，，． ，． ， （或）， ． ． 3．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③ (2)的分布为： 期望 (3) 【难度】0.65 【知识点】相关系数的意义及辨析、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率 【分析】（1）利用相关系数绝对值越大相关性越强的性质排序； （2）先确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布，再代入期望公式求解； （3）先由正态分布的原则求单个零件直径小于的概率，再结合二项分布概率公式计算所求概率. 【详解】（1）由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； （2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； （3）由，， 故， 记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 4．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【难度】0.68 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 1 学科网（北京）股份有限公司 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