学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷01（人教A版，范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六章、第七章）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六章、第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A．1 B．- C．-1 D． 【答案】D 【解析】根据题意，， 所以，解得， 故选：D. 2．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解析】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，解得； 因此. 故选：D. 4．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A. 5．若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【解析】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 6．志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 7．设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，定义域为， 因对于任意实数，都有， 由， 可得，即函数为奇函数； 又因当时，，可得在上单调递减， 又函数为奇函数，故在上单调递减. 由可得， 即，由函数单调性可得，解得. 故选：A. 8．关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：BC. 10．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意，展开式的通项公式为， 所以，故A正确； 对于B，设， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【解析】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B， ，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 13．如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种. 【答案】 【解析】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择； 若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择； 最后涂区域，有种选择， 由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种. 故答案为：. 14．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由， 可得或. 而函数的定义域为，且， 则当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，当时，，当时，， 当，当， 当，当， 作出函数的图象如下： 由上分析，结合函数图象，要使函数恰有两个不同的零点，需使， 即，故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 15．（13分） 【解析】（1）由题意可得， 即，即，且， 即，故. （2）， 其展开式的通项公式， 令，解得， 故展开式中含的项的二项式系数为. 16．（15分） 已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 16．（15分） 【解析】（1）若，则， 则，，， 所以在点处的切线方程为． （2）， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 17．（15分） 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 17．（15分） 【解析】（1）因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列， 所以有种不同的排法； （2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． （3）分步进行分析： 将位同学分成组， 若分成、、的三组，有种分法， 若分成、、的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； 将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 18．（17分） 某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 18．（17分） 【解析】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19．（17分） 已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (3)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 19．（17分） 【解析】（1）， 又得，， 当时，，此时是极大值点， 当时，，此时是极小值点， ； （2），则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意； ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则. （3），则， 令，则，       ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， 故， 令，故， 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六章、第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A．1 B．- C．-1 D． 2．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 6．志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 7．设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________. 13．如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种. 14．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 16．（15分） 已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 17．（15分） 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 18．（17分） 某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19．（17分） 已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (3)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六章、第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A．1 B．- C．-1 D． 2．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 6．志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 7．设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________. 13．如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种. 14．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 16．（15分） 已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 17．（15分） 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 18．（17分） 某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19．（17分） 已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (3)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D A A C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意可得，（2分） 即，即，且， 即，故.（5分） （2）， 其展开式的通项公式，（8分） 令，解得， 故展开式中含的项的二项式系数为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）若，则， 则，，，（3分） 所以在点处的切线方程为．（5分） （2）， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减；（8分） ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减，（13分） 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列， 所以有种不同的排法；（4分） （2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法，（7分） 所以共有种不同的排法．（9分） （3）分步进行分析： 将位同学分成组， 若分成、、的三组，有种分法， 若分成、、的三组，有种分法， 则一共有种分组方法；（13分） 将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则，（2分） 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为.（3分） （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为，（5分） 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误.（8分） （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， ,（13分） 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）， 又得，， 当时，，此时是极大值点，（2分） 当时，，此时是极小值点， ；（3分） （2），则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意；（5分） ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则.（8分） （3），则， 令，则，（10分）       ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， 故，（13分） 令，故， 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $