第六章一次方程组 小结与评价 学案 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“二元一次方程组与三元一次方程组”单元复习，以掌握定义、解法（消元思想）及应用为核心目标，通过“复习旧知-知识图谱-思考回顾-典例精讲”的递进设计，构建从概念理解到问题解决的完整学习路径，体现知识建构的系统性。 亮点在于“问题情境-模型建构-综合应用”的分层设计，如“鸡兔同笼”“绳索量竿”等古代问题及工程、农场种植等实际任务，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（运算与推理）、数学语言（模型意识）。典例涵盖选择、填空、解答题，为教师提供分层教学资源，助力学生深度学习与能力提升。

第五章 一元一次方程 小结与复习 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.掌握二元一次方程组和三元一次方程组的定义、解法及其应用，理解消元法的基本思想。 2.培养学生通过实际问题建立数学模型的能力，提高学生分析和解决实际问题的能力。激发学生对数学的兴趣，增强学生合作学习和探究学习的意识。 学习重点： 1. 二元一次方程组和三元一次方程组的解法。 2. 消元法的应用，包括代入消元法和加减消元法。 3. 实际问题的建模与求解。 学习难点： 1. 三元一次方程组的解法，尤其是系数调整法的应用。 2. 实际问题中数量关系的分析与建模。 3. 复杂方程组的灵活求解策略。 ► 复习旧知 1.什么是二元一次方程、二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？ 2. 什么是三元一次方程、三元一次方程组？什么是三元一次方程组的解？ 3.如何解二元一次方程组？ 4.如何解三元一次方程组？ 5. 如何分析实际问题中的数量关系？ ► 教学过程 一、知识图谱 二、思考回顾 【要点】 1. 在实际问题中, 经常会遇到有多个未知量的问题. 与一元一次方程一样, 二元 (或三元) 一次方程组也是反映现实世界数量相等关系的数学模型. 要学会将实际问题转化为数学问题, 列出二元 (或三元) 一次方程组, 最终求得符合实际问题的解. 2. 解一次方程组的基本思想是消元、转化:通过消元,把三元一次方程组转化为二元一次方程组, 把二元一次方程组转化为一元一次方程. 最常见的消元方法有代入法和加减法. 一个方程组用什么方法来逐步消元, 应根据它的特点灵活选择. 3. 通过列方程组来解实际问题时, 应注意检验和正确作答. 检验不仅要检查求得的解是否满足所列方程组中的每一个方程, 而且要检验所得的结果是否符合实际问题的要求. 三、典例精讲 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程中正确的是(　　) A. B． C. D. 2.三元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 3.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是 ( ) A. B． C. D. 4.若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝________. 5.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的．现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟． 6.解三元一次方程组： 7.已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值； (2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 8.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天？ 9.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻，棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表所示： 农作物品种 每公顷所需的劳动力 每公顷需投入的设备资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排三种农作物的种植面积，才能使所有的职工都有工作，而且投入的资金正好够用? 【答案】 1.什么是二元一次方程、二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？ ①二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程． ②二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来组成的方程组． ③二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值． 2. 什么是三元一次方程、三元一次方程组？什么是三元一次方程组的解？ ①三元一次方程:含有三个未知数（如 x、y、z），且未知数的次数均为 1 的整式方程。 ②三元一次方程组:：由三个三元一次方程组成的方程组，且方程组中所有未知数的次数均为 1。 ③三元一次方程组的解:同时满足方程组中所有方程的一组未知数的值（x、y、z） 3.如何解二元一次方程组？ ​(1)代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或－1时，选择代入消元法较为简单； (2)加减消元法：①当方程组中同一个未知数的系数相反或相同时，采用加减消元法较为简单； ②当系数不相反也不相同时，可通过找系数的最小公倍数，将系数变成相反或相同，此时采用加减消元法较为合适． 4.如何解三元一次方程组？ （1）代入消元法：当方程组中某一个方程的某一个未知数的系数为 1 或 -1 时 （2）加减消元法：当方程组中某一个未知数的系数相同或相反时 （3）系数调整法：当方程组中未知数的系数不相反也不相同时，可通过调整系数（如找最小公倍数）使系数相同或相反，再用加减消元法。 5. 如何分析实际问题中的数量关系？ 分析实际问题中的数量关系，通常需要明确问题中的已知条件和未知量，然后根据题意建立方程或方程组。 1.A. 2.D 3.A 4.0或8 5.40 6.【解析】由①得y=4-2x④， 由②得z=⑤， 把④，⑤代入③，得x+4-2x+=7，解得x=-2. 所以y=8，z=1. 所以原方程组的解为 7.解：(1)由题意列出方程组解得 将x＝3，y＝1分别代入ax＋2y＝－10和x＋by＝15， 解得a＝－4，b＝12， ∴a＝－4，b＝12. (2)由x2－4x＋12＝0，解得x＝2， 这个三角形是等腰直角三角形．理由如下： ∵(2)2＋(2)2＝(2)2， ∴该三角形是等腰直角三角形． 8解：设甲工程队每天掘进x米，乙工程队每天掘进y米． 根据题意，得解得 (146－26)÷(7＋5)＝10. 答：甲、乙两个工程队还需联合工作10天． 9.【解析】设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，z公顷种蔬菜. 依题意得 解得 答：应安排15公顷种水稻，20公顷种棉花，16公顷种蔬菜. 学科网（北京）股份有限公司 $