13.1基本立体图形（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十三章 立体几何初步 13.1基本立体图形 知识点一 棱柱、棱锥和棱台 1.棱柱 （1）定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形。 （2）核心概念 底面：平移起止位置的两个全等多边形，对应边互相平行。 侧面：多边形的边平移形成的面，均为平行四边形。 侧棱：相邻侧面的公共边，互相平行且相等。 顶点：侧面与底面的公共顶点。 （3）分类：按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… （4）特殊棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 （5） 特征：两个底面全等且平行，侧面均为平行四边形，侧棱平行且相等 2.棱锥 （1）定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的空间图形。 （2）核心概念 底面：未收缩的多边形面。 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面。 侧棱：相邻侧面的公共边，交于顶点。 顶点：由底面收缩而成的公共点。 （3）分类：按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥……（三棱锥又称四面体）。 （4）特殊棱锥：正棱锥（底面为正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，侧棱相等，侧面为全等等腰三角形）。 （5）特征：底面是多边形，侧面是有公共顶点的三角形。 3.棱台： （1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。 （2）核心概念 上、下底面：原棱锥的底面和截面（互相平行，是相似多边形）。 侧面：梯形面。 侧棱：相邻侧面的公共边，延长后交于原棱锥的顶点。 （3）特殊棱台：正棱台（由正棱锥截得，上、下底面为正多边形且中心重合，侧棱相等，侧面为全等等腰梯形）。 （4）特征：上、下底面平行且相似，侧面为梯形，侧棱延长线共点。 4.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体（棱柱、棱锥、棱台）。 即学即练 （23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 知识点二 圆柱、圆锥、圆台和球 1.圆柱 （1）定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面围成的几何体。 （2）核心概念 轴：旋转轴（垂直于底面）。 底面：垂直于轴的边旋转而成的两个全等圆面。 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（母线平行且相等，母线长等于圆柱的高）。 （3）表示：用轴的字母表示，如圆柱OO′。 （4）特征：两底面平行且全等，母线平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的圆。 2.圆锥 （1）定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面围成的几何体。 （2）核心概念 轴：旋转轴（垂直于底面）。 底面：另一条直角边旋转而成的圆面。 侧面：斜边旋转而成的曲面。 母线：斜边旋转形成的母线，交于顶点，母线长大于圆锥的高。 顶点：直角顶点旋转形成的点。 （3）特征：底面是圆，侧面展开图是扇形，母线交于顶点。 3.圆台 （1）定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。 （2）核心概念 上、下底面：原圆锥的底面和截面（互相平行，是两个同心圆）。 侧面：圆锥侧面被截后剩余的曲面。 母线：圆锥的母线被截后剩余的部分，延长后交于原圆锥的顶点。 （3）特征：上、下底面平行且为同心圆，侧面展开图是扇环，母线延长线共点。 4.球 （1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的曲面围成的几何体。 （2）核心概念 球心：半圆的圆心。 半径：连接球心和球面上任意一点的线段。 直径：过球心的线段，两端点在球面上。 （3） 特征：球面任意一点到球心的距离相等，截面是圆（过球心的截面为大圆，不过球心的截面为小圆）。 5.旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面； 6.旋转体：封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.（圆柱、圆锥、圆台、球都是特殊的旋转体）。 即学即练 （多选）（2023高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 B．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个 知识点三 直观图的斜二测画法 1.斜二测画法规则： (1) 在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴交于 O 点，再取 z 轴，使 ∠xOz = 90°，且 ∠yOz = 90°。 (2) 画直观图时把它们画成对应的 x' 轴、y' 轴和 z' 轴，它们相交于点 O'，并使 ∠x'O'y' = 45°（或 135°），∠x'O'z' = 90°，x' 轴和 y' 轴所确定的平面表示水平面。 (3) 已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x' 轴、y' 轴或 z' 轴的线段。 (4) 已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半。 2.斜二测画法基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 即学即练 （24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 题型01 棱柱的结构特征和分类 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 2.（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 题型02 棱锥的结构特征和分类 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （2023·上海·模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D．   变｜式｜巩｜固 1.（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 2．（多选）（20-21高一下·浙江丽水·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥   题型03 棱台的结构特征和分类 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （多选）（24-25高一下·山西大同·月考）下列选项中，不正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 2．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的说法的序号是________． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； ②棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； ③两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； ④两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 题型04 棱柱、棱锥和棱台的结构特征与分类 典｜例｜精｜析 （23-24高一下·河南郑州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．平行四边形的直观图是平行四边形 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正三棱锥 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 2．（多选）（24-25高三上·贵州遵义·月考）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 题型05 圆柱、圆锥、圆台的结构特征辨析 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形（不是正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 题型06 球和球面 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）球的截面的性质：①球的截面是一个________；②球心与截面圆圆心的连线________于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离________． 题型07 斜二测法画平面图形的直观图 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 2.（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 题型08 斜二测法画立体图形的直观图 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）画出一个三棱台，其上、下底面分别是边长为1，2的正三角形，高为2． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 2．（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 题型09 斜二测画法中有关量的计算 直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 2.（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，为等腰梯形的高，用斜二测画法画出这个梯形的直观图为四边形，在直观图中，梯形的高为________，面积为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 立体几何初步 13.1基本立体图形 知识点一 棱柱、棱锥和棱台 1.棱柱 （1）定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形。 （2）核心概念 底面：平移起止位置的两个全等多边形，对应边互相平行。 侧面：多边形的边平移形成的面，均为平行四边形。 侧棱：相邻侧面的公共边，互相平行且相等。 顶点：侧面与底面的公共顶点。 （3）分类：按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… （4）特殊棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 （5） 特征：两个底面全等且平行，侧面均为平行四边形，侧棱平行且相等 2.棱锥 （1）定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的空间图形。 （2）核心概念 底面：未收缩的多边形面。 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面。 侧棱：相邻侧面的公共边，交于顶点。 顶点：由底面收缩而成的公共点。 （3）分类：按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥……（三棱锥又称四面体）。 （4）特殊棱锥：正棱锥（底面为正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，侧棱相等，侧面为全等等腰三角形）。 （5）特征：底面是多边形，侧面是有公共顶点的三角形。 3.棱台： （1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。 （2）核心概念 上、下底面：原棱锥的底面和截面（互相平行，是相似多边形）。 侧面：梯形面。 侧棱：相邻侧面的公共边，延长后交于原棱锥的顶点。 （3）特殊棱台：正棱台（由正棱锥截得，上、下底面为正多边形且中心重合，侧棱相等，侧面为全等等腰梯形）。 （4）特征：上、下底面平行且相似，侧面为梯形，侧棱延长线共点。 4.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体（棱柱、棱锥、棱台）。 即学即练 （23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【知识点】多面体概念及分类、判断几何体是否为棱台、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 知识点二 圆柱、圆锥、圆台和球 1.圆柱 （1）定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面围成的几何体。 （2）核心概念 轴：旋转轴（垂直于底面）。 底面：垂直于轴的边旋转而成的两个全等圆面。 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（母线平行且相等，母线长等于圆柱的高）。 （3）表示：用轴的字母表示，如圆柱OO′。 （4）特征：两底面平行且全等，母线平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的圆。 2.圆锥 （1）定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面围成的几何体。 （2）核心概念 轴：旋转轴（垂直于底面）。 底面：另一条直角边旋转而成的圆面。 侧面：斜边旋转而成的曲面。 母线：斜边旋转形成的母线，交于顶点，母线长大于圆锥的高。 顶点：直角顶点旋转形成的点。 （3）特征：底面是圆，侧面展开图是扇形，母线交于顶点。 3.圆台 （1）定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。 （2）核心概念 上、下底面：原圆锥的底面和截面（互相平行，是两个同心圆）。 侧面：圆锥侧面被截后剩余的曲面。 母线：圆锥的母线被截后剩余的部分，延长后交于原圆锥的顶点。 （3）特征：上、下底面平行且为同心圆，侧面展开图是扇环，母线延长线共点。 4.球 （1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的曲面围成的几何体。 （2）核心概念 球心：半圆的圆心。 半径：连接球心和球面上任意一点的线段。 直径：过球心的线段，两端点在球面上。 （3） 特征：球面任意一点到球心的距离相等，截面是圆（过球心的截面为大圆，不过球心的截面为小圆）。 5.旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面； 6.旋转体：封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.（圆柱、圆锥、圆台、球都是特殊的旋转体）。 即学即练 （多选）（2023高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 B．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个 【答案】BC 【知识点】球的结构特征辨析、判断几何体是否为圆台、圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析 【分析】对于A，由旋转体的定义判断A；对于B，根据圆台的定义判断B；对于C，由圆锥的性质判断C；对于D，过球面上球的直径的两个端点的大圆有无数个，由此判断D. 【详解】对于A，当两个平行平面与圆柱底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体，当两个平行平面与圆柱底面不平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体不是旋转体，故A错误； 对于B，根据圆台的定义，圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，故B正确； 对于C，由圆锥的性质得圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故C正确； 对于D，过球面上球的直径的两个端点的大圆有无数个，故D错误. 故选：BC 知识点三 直观图的斜二测画法 1.斜二测画法规则： (1) 在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴交于 O 点，再取 z 轴，使 ∠xOz = 90°，且 ∠yOz = 90°。 (2) 画直观图时把它们画成对应的 x' 轴、y' 轴和 z' 轴，它们相交于点 O'，并使 ∠x'O'y' = 45°（或 135°），∠x'O'z' = 90°，x' 轴和 y' 轴所确定的平面表示水平面。 (3) 已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x' 轴、y' 轴或 z' 轴的线段。 (4) 已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半。 2.斜二测画法基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 即学即练 （24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 题型01 棱柱的结构特征和分类 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱、判断命题的真假 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 2.（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 【答案】ABD 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱柱的结构特征和分类 【详解】对于A，根据棱柱的定义知，棱柱的两个底面相互平行，所以A正确； 对于B，根据棱柱的定义知，棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行，所以B正确； 对于C，由棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误； 对于D，棱柱的底面多边形的边数最少的为三角形，即底面多边形边数最少的棱柱为三棱柱，此时三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，所以D正确. 题型02 棱锥的结构特征和分类 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （2023·上海·模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断几何体是否为棱锥、棱柱的结构特征和分类 【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除，即可得解. 【详解】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、 、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：C．    变｜式｜巩｜固 1.（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】ABC 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【详解】如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，则这个棱锥的各侧棱都相等，因此是正棱锥. A，B，C三个选项均可成立. 但是，若正六棱锥六个侧面均为等边三角形，则其顶点处六个内角的和为， 在一个平面上，这显然不可能成立，所以D选项不成立. 2．（多选）（20-21高一下·浙江丽水·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 【答案】AB 【知识点】判断几何体是否为棱锥、棱锥的结构特征和分类 【分析】由棱锥的定义和结构特点可判断A，C；由四面体的特点可判断B；举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由棱锥的定义可知：棱锥的各个侧面都是三角形，故选项A正确； 对于B：四面体是由四个三角形围成的封闭图形，所以四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故选项B正确； 对于C：棱锥的侧棱相交于一点，故选项C不正确； 对于D：如图几何体是由两个四棱锥组成的几何体，满足有一个面是多边形，其余各面是三角形，但不是棱锥，故选项D不正确； 故选：AB.    题型03 棱台的结构特征和分类 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （多选）（24-25高一下·山西大同·月考）下列选项中，不正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【知识点】判断几何体是否为棱台、棱台的结构特征和分类 【分析】根据棱锥、棱台的结构特征，结合各项的描述和空间想象判断正误即可. 【详解】若用一个不平行于底面的平面截棱锥，不能得到棱台，故A错； 如下图示，矩形与矩形平行且相似，各侧面都是等腰梯形， 但不能保证四条侧棱延长后交于同一点，故B，C错； 由棱锥与棱台的结构特征及关系知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D正确． 故选：ABC 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【答案】D 【知识点】棱台的结构特征和分类 【分析】根据棱台的定义判断. 【详解】棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件： 一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点， 选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备，只有D正确． 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的说法的序号是________． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； ②棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； ③两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； ④两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 【答案】①②③ 【知识点】棱台的结构特征和分类 【分析】根据棱台的结构特征依次判断即可. 【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，其侧棱互相平行，不相交于一点，故一定不是棱台，①正确； 对于②，由棱台的定义可知，其所有侧棱延长后必相交于一点，故任意两条侧棱所在直线一定相交，②正确； 对于③，两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体，其侧棱延长后不一定相交于一点，故不一定是棱台，③正确； 对于④，两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体，其侧棱延长后也不一定相交于一点，故不一定是棱台，④错误 题型04 棱柱、棱锥和棱台的结构特征与分类 典｜例｜精｜析 （23-24高一下·河南郑州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．平行四边形的直观图是平行四边形 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正三棱锥 【答案】AB 【知识点】判断几何体是否为棱台、棱锥的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】根据棱柱的概念可判断A；根据棱台的概念可判断B；由直观图的作法可判断C利用棱锥的定义和性质可判断D. 【详解】对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体不一定是棱柱，故A不正确；    对于B：有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故B不正确；    对于C：平行四边形的直观图仍是平行四边形，故C正确； 对于D：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，若底面是三角形，则此棱锥可能是正三棱锥，故D正确. 故选：AB. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【答案】ACD 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确； 对于B选项，如图，平面平面， 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误； 对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确； 对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确． 故选：ACD. 2．（多选）（24-25高三上·贵州遵义·月考）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 【答案】AD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据柱体、锥体、台体的定义和结构特征即可判断正误. 【详解】对于A：正四棱柱一定是长方体，A选项正确； 对于B：若斜四棱柱底面是平行四边形，侧棱不垂直底面，侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面是矩形，所以斜四棱柱的侧面可以是矩形，B选项错误； 对于C：若正四棱锥的侧棱与底面边长不相等时，所有侧面都是等腰三角形不是正三角形，C选项错误； 对于D：正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点，D选项正确； 故选：AD. 题型05 圆柱、圆锥、圆台的结构特征辨析 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形（不是正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】考虑将直角三角形以直角三角形的斜边为轴旋转一周，即可判断命题①，考虑将直角梯形以直角梯形的底边或不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周即可判断命题②，根据圆锥、圆台的结构特征判断命题③，分别考虑两圆柱的底面半径和高即可判断. 【详解】若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故①说法正确； 必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故②说法错误； 圆锥、圆台的底面都是圆，故③说法正确； 设矩形的长为，宽为， 以矩形的长所在直线为旋转轴，旋转一周得到的圆柱的底面为半径为的圆，圆柱的高为， 以矩形的宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的圆柱的底面为半径为的圆，圆柱的高为， 故它们是两个不同的圆柱，故④说法正确； 故说法正确的是①③④，正确的说法的个数为， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）以下说法正确的是（    ） A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【答案】A 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】结合基本立体几何图形的性质即可判断． 【详解】对于A，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积，故A正确； 对于B，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故B错误； 对于C，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体，故C错误； 对于D，圆台的上、下底面一定平行，故D错误． 故选：A． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的个数是（    ） ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据圆锥、圆柱的结构特征分别判断. 【详解】①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误； 根据圆锥的结构特征，显然②说法正确， 根据圆柱的定义可得③说法正确，故说法正确的有2个． 故选：C 题型06 球和球面 辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【答案】BCD 【知识点】球的截面的性质及计算、球的结构特征辨析 【详解】A 选项：球面上四个不同的点一定不在同一平面内.这个说法是错误的. 例如，球的一个大圆上可以有无数个点，这些点都在同一个平面内.故A错误； B 选项：因为球心在球的任意大圆所在平面上，所以球心是任意两个两个大圆所在平面的公共点， 而两个平面的交点都在一条直线上，所以球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.故B正确； 因为两个大圆都经过球心，所以它们的交点必然是球的一条直径的两个端点，其连线就是球的直径. C 选项：用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面.故C正确； D 选项：球的半径是球面上任意一点和球心的连线段，故D正确. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】由球的结构特征分析判断即可. 【详解】由球的结构特征知，②③正确，①④错误. 所以正确命题的个数有2个. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）球的截面的性质：①球的截面是一个________；②球心与截面圆圆心的连线________于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离________． 【答案】 圆面 垂直 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据球的性质分析即可. 【详解】 右图可知球的截面是一个圆面， 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面， 球心到截面的距离. 题型07 斜二测法画平面图形的直观图 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 【答案】④ 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的规则，结合题意，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，如图所示，设的平面直观图是边长为的等边， 根据斜二测画法，可得为不等边三角形，所以①不正确； 对于②，由斜二测画法的规则，两条相交直线的直观图仍为两条相交直线，所以②错误； 对于③，利用斜二测画法，两条垂直的直线的直观图可能是垂直直线，也可能是相交不垂直的直线，所以③错误； 对于④，如图所示，设梯形为等腰梯形，其中，且， 由斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，可得直角梯形的直观图为等腰梯形， 所以直角梯形的直观图可能是等腰梯形，所以④正确； 对于⑤，根据斜二测画法的规则知，在利用斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半， 若一个直角三角形的内角是，其三边的比为，无论怎么放置，画出其直观图后都不可能是等边三角形，所以⑤错误. 对于⑥，根据斜二测画法的规则知，一个平行四边形的直观图中其对角线一定相互平分，所以⑥错误； 故答案为：④. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算、斜二测画法辨析 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 2.（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【详解】对于A项，由正方形的直观图是平行四边形可知A错误， 对于B项，如图，矩形的直观图是平行四边形， 最长的线段在直观图中对应的线段不是最长，故B项错误； 对于C项，线段上的点在直观图中相对位置不变，故线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故C项正确； 对于D项，如图所示： 直角梯形的直观图可能是等腰梯形，故D项正确． 故选：CD 题型08 斜二测法画立体图形的直观图 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）画出一个三棱台，其上、下底面分别是边长为1，2的正三角形，高为2． 【答案】作图见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图、棱台的结构特征和分类 【分析】根据斜二测画法的步骤和规则进行作图即可. 【详解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使，． （2）画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段，使，在y轴上取线段，使． 连接，，则为三棱台的下底面的直观图． （3）画上底面在z轴上取，使，过点作，， 建立平面直角坐标系．在中，类似步骤（2）的画法得上底面的直观图． （4）连线成图．连接，，，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线， 则三棱台即为要画的三棱台的直观图（如图②所示）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的方法建系,再分别画出底面与顶点即可. 【详解】画法：（1）画轴． 画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）． （2）画底面． 以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图． （3）画顶点，在z轴上截取，使． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）． 2．（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 题型09 斜二测画法中有关量的计算 直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据题意，得到梯形水平放置的直观图仍为梯形，画出其直观图，求得直观图中梯形的高，结合梯形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，在梯形中，可得， 因为为等腰直角三角形，所以, 又因为梯形水平放置的直观图仍为梯形，如图所示， 其中上底和下底的长度都不变，且， 所以，即梯形的高为， 梯形的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 【答案】4 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图，作出其对应的原图，即可求得答案. 【详解】由题意，作出直观图对应的原图， 可得， 所以的面积等于. 故答案为：4. 2.（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，为等腰梯形的高，用斜二测画法画出这个梯形的直观图为四边形，在直观图中，梯形的高为________，面积为________． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据直观图和原图的关系，由题意作出梯形的直观图后求解. 【详解】由题意，，，，， 所以，所以，其斜二测画法的直观图如图所示： 则，，，作于， 则即为直观图中梯形的高， 由斜二测画法可知，，所以， 即直观图中梯形的高为， 直观图中梯形的面积为. 故答案为：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $