圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征　简单组合体的结构特征 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难专题　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征　简单组合体的结构特征 一、必备知识基础练 1.(探究点一·2025湖南怀化高一期末)如图所示的组合体,则可由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周得到(　　) 2.(探究点二)日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是(　　) A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 3.(探究点三)《九章算术》中有这样的图形:今有圆锥,下底面周长为三丈五尺,高五丈一尺(1丈=10尺);若该圆锥的母线长x尺,则x=(　　) A. B. C. D. 4.(探究点一)下列命题中正确的是(　　) A.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成圆锥 D.以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周形成圆柱 5.(探究点三)如图,在圆柱OO'中,AB,CD分别为圆O,圆O'的直径,AB∥CD,AB=BC=2,E为BC的中点,则一只蚂蚁在圆柱表面从A爬到E的最短路径的长度为(　　) A. B. C. D. 6.(探究点三)如图,过球O的一条半径OP的中点O1,作垂直于该半径的平面,所得截面圆的半径为,则球O的半径是　　　　.  7.(探究点三)已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为　　　　　.  8.(探究点三)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,则该圆柱的底面半径为　　　　　.  9.(探究点三·人教B版教材习题)一个圆锥的母线长为20,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的高. 10.(探究点三)从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积. 二、关键能力提升练 11.某广场设置了一些石凳供大家休息,如图,每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体,则下列结论不正确的是(　　) A.该几何体的面是等边三角形或正方形 B.该几何体恰有12个面 C.该几何体恰有24条棱 D.该几何体恰有12个顶点 12.下列命题正确的是(　　) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;②连接球的任意两个经过球心的圆的交点的线段是球的直径;③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;④球面上任意三点可能在一条直线上;⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.①④⑤ 13.已知圆柱的轴截面是正方形,其面积为Q,则它的一个底面的面积为(　　) A.Q B.πQ C. D. 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　.(填序号)  15.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积. 三、学科素养创新练 16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求: (1)绳子的最短长度; (2)在绳子最短时,上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离. 参考答案 1.B　A旋转一周是圆锥,不满足题意;B旋转一周是两个圆锥,满足题意;C旋转一周是圆锥,不满足题意;D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体,不满足题意.故选B. 2.B 3.C　易知三丈五尺=35尺,五丈一尺=51尺, 设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=35,所以r=, 所以x=.故选C. 4.D　对于A,根据圆柱的定义和性质,圆柱的母线与底面垂直,A错误; 对于B,当两个截面与圆柱底面不平行时,截得的几何体不是一个圆柱体,B错误; 对于C,当这条边是直角三角形的斜边时,所得几何体不是圆锥,C错误; 对于D,以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周形成圆柱,D正确. 故选D. 5.A　如图所示,把半圆柱侧面展开,得到侧面展开图为矩形ABCD,在圆柱OO'中,因为AB=BC=2,可得=π, 即在矩形ABCD中,AB=π,BE=1,则最短路径的长度为AE=. 故选A. 6.2　设球O的半径为R,则R2-,解得R=2. 7.1　作轴截面如图,则.解得r=1. 8.2　设圆柱底面半径为r,由于圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,所以圆柱的高为2r,且(2r)2=16,解得r=2. 9.解作出圆锥的轴截面易知,圆锥的高h=20cos 30°=10. 10.解轴截面如图. 被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x. ∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形. 又CD∥OA,则CD=BC. ∴x=l. ∴截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l<R). 11.B　根据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形,A正确;该几何体恰有14个面,B不正确;该几何体恰有24条棱,C正确;该几何体恰有12个顶点,D正确.故选B. 12.C　由球的概念与性质,当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故①错;②正确;③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C. 13.C　圆柱的轴截面一边为高,另一边为底面的直径,由轴截面为正方形可知,高与底面直径均为,所以底面半径为,所以底面的面积为π·. 14.①⑤　由题意,当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为①;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为⑤, 综上可知截面的图形可能是①⑤. 15.解圆台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面的圆心. 过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E. 由题意知DO1=1,AO2=4, ∴AF=3. ∵DE=2EF,∴DF=3EF,∴,∴GE=2. ∴☉O3的半径为3.∴这个截面面积为9π. 16.解(1)画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O. 由图得,所求的最短距离是MB'.设OA=R,圆心角是θ, 则由题意知,10π=θR, ① 20π=θ(20+R), ② 由①②解得,θ=,R=20.∴OM=30,OB'=40,则MB'=50.故绳子的最短长度为50 cm. (2)作OC垂直于B'M交于点C,OC是顶点O到MB'的最短距离, 令OC与弧AA'的交点为D,则DC是MB'与弧AA'的最短距离,DC=OC-OD=-20=4(cm), 即上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离是4 cm. 8 学科网（北京）股份有限公司 $