2026年江苏省宿迁市数学中考模拟高频考点冲刺卷(一)

编写说明：本套冲刺卷严格依据中考大纲编写，聚焦初三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年中考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合中考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第1卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 宿迁市2026年中考数学模拟试卷 数学 高频考点冲刺卷（一） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的倒数是（　　） A． B． C． D．2026 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 5．如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10．因式分解：______． 11．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 12．某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占，统一测试占．小宇的上述两项成绩依次是80分、90分，则小宇期末体育成绩为______分． 13．若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 14．圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________． 15．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________． 16．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为___________． 17．为方程的两个根，则代数式的值为_______． 18．如图，已知，过A点的直线轴于点M，交直线于点N，点P是直线上的一个动点，连接，并以为直角边向其右侧作一个等腰，，当P点从O点运动到N点的过程中，点B的路径长为________；连接，求当P点在直线上运动的过程中，的最小值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝－． 21．（8分）逸翠园中学八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了两幅不完整统计图． (1)求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整； (2)捐款金额的平均数是_______，中位数是_______； (3)请你估算八年级800名学生中捐款大于等于20元的学生人数． 22．（8分）某校在校门口设置了如图左，中，右3道检测体温通道，师生每天进入学校要从测温通道自觉接受体温检测，现有佳乐，三立两位同学要随机通过通道进行体温检测． (1)佳乐同学选择中间通道的概率为______； (2)请用树状图或列表法求佳乐与三立两位同学都通过同一通道的概率． 23．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 24．（10分）如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 25．（10分）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． (1)求证：所在直线是圆的切线； (2)若圆的直径为6，，求的长． 26．（10分）随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 27．（12分）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是此抛物线上的三个动点． (1)如图1，当时，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，分别过点作轴的垂线交线段于点，若，请你从下面两个问题中选择一个进行解答： ①当时，试说明； ②当时，试说明； (3)如图2，当时，点为抛物线的顶点，直线分别交轴于点．若，试判断点是否为的中点？请说明理由． 28．（12分）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．晓聪用一款名为“”数学应软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助晓聪解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2-3），设点为坐标原点，水平直线为横轴，过点的铅垂线为纵轴．小球从轴上的点出发、，到达轴上的点后改变方向运动到挡板上点处，其中轴，垂足为，，小球运动都为直线型路径． 【问题探究】 （1）如图2，若的函数关系式为，． ①点的坐标为_____； ②小球再次从轴上的点出发，到达轴上的点后改变方向运动到挡板上点，求当取得最小值时，直线函数关系式． （2）如图3，连接，若，，，求的长． （3）如图3，若点、分别是轴、上的动点，，直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据中考大纲编写，聚焦初三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年中考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合中考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第1卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 宿迁市2026年中考数学模拟试卷 数学 高频考点冲刺卷（一） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的倒数是（　　） A． B． C． D．2026 1．B 【分析】本题考查倒数的定义．根据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：B． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2. C 【分析】根据合并同类项、幂的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意． 3．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A． B． C． D． 3．C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将23.6万亿转化为数字形式，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：23.6万亿． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 4．C 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．根据三视图的定义即可求解． 【详解】解：主视图和左视图：都是中间有一条竖线的矩形，说明这是一个柱体，且有两个侧面在视图中被一条棱分隔开． 俯视图：是一个正方形（菱形），说明底面是正方形． 对选项进行判断： A 选项：是四棱锥，三视图与题目不符． B 选项：是三棱柱，俯视图应为三角形，与题目不符． C 选项：是底面为正方形的四棱柱，三视图与题目完全吻合． D 选项：是六棱柱，俯视图应为正六边形，与题目不符． 所以，该几何体为C 选项的四棱柱， 故选：C 5．如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．C 【详解】解：， ， ，故选项A正确； 由，故选项B正确； ， ， ，故选项C错误； ，故选项D正确． 6．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．B 【分析】作轴于Q，得到，利用P点坐标求出三角形的两条边长，将绕O点旋转后得到，Q点由y轴旋转到了x轴，根据的位置和的长度得到点坐标． 【详解】解：作轴于Q，如图， ， ，， 点绕原点O顺时针旋转得到点相当于把绕原点O顺时针旋转得到， ，，， 点的坐标为． 故选：B． 7．如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．B 【分析】本题考查了算筹图与二元一次方程组的转化，掌握算筹中十位用横线、个位用竖线的表示规则是解题的关键． 根据算筹图的表示规则，分析图②中每行算筹对应的系数和常数项，从而列出方程组． 【详解】解：第一行算筹：的系数为2，的系数为 1，常数项为11，因此方程为 第二行算筹：的系数为 4，的系数为3，常数项为，因此方程为 所以方程组为： 故选：B． 8．如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．C 【分析】分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F；设，证明，则可得，即可得；设，可分别求得的长，由勾股定理求出，即可求得结果． 【详解】解：如图，分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F； 则， ∴； 设， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴， 即； 设，则， 由勾股定理得：； ∵C为中点， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， 在中，． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 9． 【分析】依据“分式有意义的条件是分母不为零”，令分母，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由代数式有意义得：， 解得． 10．因式分解：______． 10． 【分析】本题考查提公因式法因式分解，准确找出多项式的公因式即可求解． 【详解】解： ． 11．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是______． 11． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 即， 解得． 12．某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占，统一测试占．小宇的上述两项成绩依次是80分、90分，则小宇期末体育成绩为______分． 12．86 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将过程性评价成绩和统一测试成绩分别乘以对应的权重，然后求和即可． 【详解】解：（分）． 故答案为：86． 13．若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 14．圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________． 14． 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 15．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为__________． 15．/60度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可． 【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为， 故答案为： ． 16．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为___________． 16．27 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 抛物线的顶点坐标是， ， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ， 关于x轴对称， 平移后阴影部分的面积等于的面积， ， 故答案为：27． 17．为方程的两个根，则代数式的值为_______． 17．1 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴ ． 故答案为： ． 18．如图，已知，过A点的直线轴于点M，交直线于点N，点P是直线上的一个动点，连接，并以为直角边向其右侧作一个等腰，，当P点从O点运动到N点的过程中，点B的路径长为________；连接，求当P点在直线上运动的过程中，的最小值为________． 18． 【分析】本题考查了一次函数上点坐标的特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，勾股定理，利用转化思想找到点的运动轨迹，从而推出何时长度最短为解题关键． 过点A作，使得，连接，求出，推导出，继而证明，得到，则当点P从O运动到N时，点P的运动路径的长等于点B的运动路径的长，即可求出点B运动的路径长为；推出当垂直时，的值最小，最小为的长，求解即可． 【详解】解：第一个空：如图，过点A作，使得，连接， ∵，轴， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点P从O运动到N时，点P的运动路径的长等于点B的运动路径的长， ∴点B运动的路径长为． 第二个空：当时，的值最小，最小值为的长，如图 设直线的解析式为，将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令直线交x轴于点E， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： 19．4 【分析】本题考查实数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算零次幂，算术平方根，化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝－． 20．,2 【分析】本题考查分式的化简求值，正确运用计算法则是解题的关键． 先算括号里的，再算除法，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，． 21．（8分）逸翠园中学八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了两幅不完整统计图． (1)求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整； (2)捐款金额的平均数是_______，中位数是_______； (3)请你估算八年级800名学生中捐款大于等于20元的学生人数． 21．(1)人，图见解析 (2)13.1元，12.5元． (3)人 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的，由此可得总人数．将总人数减去其他各组频数即可求得答案，进而补全条形统计图． （2）将50人的捐款总额除以总人数即可得到平均数，求出第25，26个数据的平均数即可得到这组数据的中位数． （3）由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占的比例估计总体的人数． 【详解】（1）解：本次抽查的学生有：（人． 则捐款10元的有：（人． 补全条形统计图图形如下： （2）这组数据的平均数为：（元． 中位数是（元． 故答案为：13.1元，12.5元． （3）捐款大于等于20元的学生人数：（人． 答：捐款大于等于20元的学生人数有家176人． 22．（8分）某校在校门口设置了如图左，中，右3道检测体温通道，师生每天进入学校要从测温通道自觉接受体温检测，现有佳乐，三立两位同学要随机通过通道进行体温检测． (1)佳乐同学选择中间通道的概率为______； (2)请用树状图或列表法求佳乐与三立两位同学都通过同一通道的概率． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与画树状图法求概率以及求概率的公式，解题的关键是正确画出树状图或者列表，找出符合条件数． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能数，找出符合情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共三种等可能情况， 故佳乐同学选择中间通道的概率为． 故答案为：． （2）解：用树状图表示如下： 共有9种等可能情况， 佳乐与三立两位同学都通过同一通道的情况有3种， 故其概率为． 23．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 23．海里 【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．（10分）如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 24．(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线，角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． (1)利用基本作图作角平分线即可； (2)由平分，则，再根据平行线的性质得，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，的角平分线即为； 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别与，相交，再以两交点分别为圆心，大于这两个交点的距离的一半作弧线，相交于一点，连接点与此交点并延长，分别交于点，交于点即可； （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 25．（10分）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． (1)求证：所在直线是圆的切线； (2)若圆的直径为6，，求的长． 25．(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，可得，利用等腰三角形的性质和角之间的等量代换，易证，即可证明； （2）设，根据线段之间的关系，求出，再根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 是圆的半径， 所在直线是的切线； （2）解：设，则， 的直径为6， 半径， 则， 在中，， 则，解得， 答：的长为4． 26．（10分）随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 26．(1)车道的宽度的值为 (2)每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用与二次函数的最值问题，关键是建立正确的面积模型和租金收入函数． （1）根据图形结构，将阴影车位拼接为一个新矩形，用含的式子表示其长和宽，结合面积列出方程求解； （2）设租金上涨元，用含的式子表示日租金和租出车位数量，建立日租金收入的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为米，宽为米， ， 展开化简为：， 因式分解得：， 解得或(舍去)； 故车道的宽度的值为． （2）解：设每个车位日租金上涨元，停车场日租金收入为元， 则每个车位的日租金为元，租出的车位数量为个， ， ， 该二次函数开口向下， 所以当时，有最大值，(元)． 故每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元． 27．（12分）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是此抛物线上的三个动点． (1)如图1，当时，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，分别过点作轴的垂线交线段于点，若，请你从下面两个问题中选择一个进行解答： ①当时，试说明； ②当时，试说明； (3)如图2，当时，点为抛物线的顶点，直线分别交轴于点．若，试判断点是否为的中点？请说明理由． 27．(1) (2)①②证明见解析 (3)是，理由见解析 【分析】（1）先求出抛物线的表达式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）选择①，表示出；，再由得到，再因式分解证明即可，对于②同理可求，则，再分析求解即可； （3）抛物线为，则顶点为，可求直线，则；同理可求，，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， 化简得，， 当时， 解得或 ∵点在点的左侧 ∴，， 当时， ∴， 设直线， 则， 解得 ∴直线的表达式为； （2）解：选择① 由题意得，；， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择② 同理可求， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点是的中点，理由如下： 当时，抛物线为， ∴顶点为 设直线， ∵ ∴， 解得 ∴直线， 当时，， ∴； 同理可求， ∵ ∴ ∴点是的中点． 28．（12分）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．晓聪用一款名为“”数学应软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助晓聪解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2-3），设点为坐标原点，水平直线为横轴，过点的铅垂线为纵轴．小球从轴上的点出发、，到达轴上的点后改变方向运动到挡板上点处，其中轴，垂足为，，小球运动都为直线型路径． 【问题探究】 （1）如图2，若的函数关系式为，． ①点的坐标为_____； ②小球再次从轴上的点出发，到达轴上的点后改变方向运动到挡板上点，求当取得最小值时，直线函数关系式． （2）如图3，连接，若，，，求的长． （3）如图3，若点、分别是轴、上的动点，，直接写出的最小值． 28．（1）①点的坐标为；②；（2）7；（3）8 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及三角形全等的判定和性质、轴对称−−最短线路问题， （1）①根据解析式求出点、点的坐标；再证明，可得，，由此即可得出点的坐标为； ②根据将军饮马模型，作点关于轴的对称点，当，、三点在同一条直线上时取得最小值，求出直线函数关系式即可， （2）延长与延长线交于点，证明可得，，可得由可得垂直平分，可得，由此可以求解， （3）同理（2）可得：，再由直角三角形斜边中线等于斜边可得，根据“垂线段最短”得的最小值为8． 【详解】（1）解：①∵的函数关系式为， ∴点的坐标为；点的坐标为； 又∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； ②如图1， 作点关于轴的对称点， ∴ ∴， 根据“两点之间，线段最短”知： 当，、三点在同一条直线上时，，此时取得最小值， 设直线函数关系式为得 ，解得， ∴当取得最小值时，的函数关系式为． （2）如图2，延长与延长线交于点， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，延长与延长线交于点， 同理（2）可得：， 取的中点，连接，在中，，则， 根据“垂线段最短”得，则， ∴的最小值为8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $