第十七章 平行四边形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版八年级下册

第十七章 平行四边形·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解： ， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 4．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，根据证明，得，，得到是的中位线，推出，即可得到的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造顶点四边形即可； 【详解】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等， ∴都是平行四边形， 故选： D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理；掌握平行四边形的性质是解题关键． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿折线运动，点从点出发向点运动．当一点停止时，另外一点随之停止．设点运动时间为，的面积为，与的函数关系如图2所示．则当在上时且时，的值等于（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；根据函数图象结合题意分别求得，进而证明是直角三角形，且，根据当时，求得点的速度，再根据当在上时且时，得出四边形是平行四边形，则，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：根据图2可得时运动到点，当时，点运动到点， ∴，， 过点作于点，如图 ∵在四边形中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形，且 当时， 如图， 设的运动速度为，则 ∴ 即 解得：， ∴， 当在上时且时，如图所示， ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴，即, ∴ 解得： 故选：D． 10．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，点为的对角线上一点，，连接并延长至点，使得，连接，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，连接交于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出的长，即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为 ． 【答案】40 【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在三角形中，∵， ∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴的面积的面积=． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 14．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 15．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 16．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E，的值最小为，由已知可证为等边三角形， 由B，G坐标和与的对称可得，，证明，可得轴，由，得四边形是平行四边形，得,证明是等边三角形，得，得即得的最小值是7． 【详解】解：作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E． 则，，，． 与关于y轴对称， ∴． ， 为等边三角形． ∴． ，， ，． ，． ∵， ∴． 同理，． ∴． ∴． ∴． ∴轴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵轴． ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∵， 的最小值是7． 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握平面内点的坐标特点、轴对称性质，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 18．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 19．（8分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图正方形网格中有格点线段及格点，仅用无刻度的直尺借助网格按下列要求作图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查网格的性质和平行四边形的判定和性质，以及勾股定理， （1）根据网格的性质可知，且，则即为所求； （2）结合网格的性质求得和，的线段长，根据勾股定理可知，结合可知． 【详解】（1）解：取格点D连接即可， （2）解：取格点E连接即为所求． 20．（8分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角得到，证明，即可得出结论； （2）过点M作交于点G，连接，证明，得到，，进而得到，倒角推出，得到，进而推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点M作交于点G，连接， 则． 在和中． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．（10分）（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（10分）（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． 23．（12分）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，可得，，，，利用角度转换可得，利用勾股定理即可解答；小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，证明，可得，利用勾股定理可得，利用中位线的性质即可解答； （2）延长到T，使得，连接，证明，推出，可得，再证明，则； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点J，证明，再推出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，， 点P、Q分别为、的中点， ，，，， ，， ， ， 小亮的做法：连接并延长，使，再连接，， 点P、Q分别为、的中点， ， ， ， ， ， ， 点P、Q分别为、的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长到T，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ；       （3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可得证； （2）设的垂直平分线交于点F．先求得，再证即可得出结果； （3）过点D作，垂足为G．根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，D是的中点， ，． 垂直平分， ，． ，是等边三角形． ． ． ． 四边形是平行四边形． （2）解：． 理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F． 由（1）可知是等边三角形， ，． ． ，， ． ． ． 是等边三角形， ． ，即． ； （3）解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，． 由（1）得， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理、含有角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 平行四边形·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 8．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 9．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿折线运动，点从点出发向点运动．当一点停止时，另外一点随之停止．设点运动时间为，的面积为，与的函数关系如图2所示．则当在上时且时，的值等于（   ） A． B． C．9 D．12 10．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，点为的对角线上一点，，连接并延长至点，使得，连接，则为 ． 12．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为 ． 13．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 14．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则 ． 15．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 16．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 18．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 19．（8分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图正方形网格中有格点线段及格点，仅用无刻度的直尺借助网格按下列要求作图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线． 20．（8分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 21．（10分）（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 22．（10分）（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 23．（12分）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $