专题06 图形变换综合（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 图形变换综合 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新考法 新情境 新设问 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 平移性质与坐标计算 题型02 轴对称性质与最短路径 题型03 中心对称与坐标计算 题型04 旋转性质与角度 / 边长 / 坐标计算 题型05 图形变换与全等三角形 题型06 图形变换与坐标综合 题型07 网格中作图（平移、旋转、轴对称） 题型08 位似图形与坐标缩放 题型09 与图形变换有关的规律探究问题 题型10 旋转全等模型综合 题型11 折叠问题中的勾股与方程 题型12 图形变换中的最值问题 题型13 旋转中的动态几何探究 题型14 图形变换与函数综合 题型15 几何变换与相似综合 题型16 图形变换与动点存在性问题 题型17 与图形变换有关的阅读理解类问题 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新考法问题】（考查二次函数解析式求解、对称轴性质，相似三角形判定与性质，平移性质及二次函数最值应用） 1．（2026·安徽·二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． (1)求、的值； (2)过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 【新情境问题】（考查平面直角坐标系建立，抛物线解析式求解，一次函数解析式推导及二次函数几何最值的实际应用） 2．（2026·安徽·模拟预测）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 【新设问问题】（考查正方形、矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形判定与性质，平行线性质及勾股定理的综合应用） 3．（2026·陕西榆林·一模）根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】(1)如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】(2)如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】(3)如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 平移性质与坐标计算 1．（2026·贵州·一模）如图，点，将线段平移到线段，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)连接，求的面积； (3)为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 题型02 轴对称性质与最短路径 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 5．（20-21九年级上·广东茂名·期末）如图，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边上，且，四边形与四边形关于直线对称（点和A，点和B分别对应）．若，反比例函数的图象恰好经过，B，则k的值为_____． 6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 题型03 中心对称与坐标计算 7．（2026·陕西·模拟预测）将直线沿轴向下平移个单位长度，若点关于原点的对称点在平移后的直线上，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·广东深圳·三模）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 题型04 旋转性质与角度 / 边长 / 坐标计算 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025·四川绵阳·一模）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则______度． 13．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 题型05 图形变换与全等三角形 14．（2025·吉林延边·模拟预测）小明在做木工时发现了一些有意思的结论．为了验证自己的猜想，他将一根木条抽象为线段，如图①，取线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点、点为旋转前后的对应点）．设旋转角度为，且，连接、．经过多次测量，他发现在旋转过程中的度数没有发生变化． (1)求的度数． (2)小明又进行了如下研究：如图②，若与关于直线对称，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，小明选取了一些数据，又进行如下操作：若，当时，如图③，将四边形沿射线方向平移，在平移过程中始终保持点、、三点在同一条直线上，当点与点重合时停止移动，设平移的距离为，平移过程中四边形与重合图形的面积为，直接写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 16．（2025·陕西西安·一模）【问题呈现1】在中，，，点D是斜边上的一点，连接，试说明、、间的数量关系，小敏同学思考后是这样做的：如图1将绕点C逆时针旋转，得到，连接，请写出、、之间的数量关系 ． 【问题呈现2】如图2，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小的面积值；若不存在，请说明理由； 【问题解决】为迎接新春佳节，西安市城市管理部门在古城墙段安装了全息投影射灯．工作人员选择在城墙的E点安装射灯，该城墙段的几何结构如图3：城墙顶部凸起部分为墙垛，如四边形，凹陷部分为垛口，如四边形，本题中墙垛与垛口均为正方形．现从B点发射全息投影光束，其投影画面可绕E点转动，但始终保持，其中F、G分别是与边上的动点．已知墙垛边长为，墙面区域，，，城墙楼梯长度为．墙垛面积在本问题中可忽略不计．现需分析在全息投影表演过程中，投影到城墙区域（四边形）的面积是否存在最大值．若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． 题型06 图形变换与坐标综合 17．（2026·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． (1)确定反比例函数的关系式； (2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 18．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025·江西九江·模拟预测）如图，已知矩形的两边，分别在轴、轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点，，且，直线经过，两点． (1)分别写出直线和反比例函数的表达式；并直接写出关于的不等式的解集； (2)点M在的图象上，连接，若，请求出点M的坐标； (3)点P是轴上一动点，当有最小值时，请求出点P的坐标． 20．（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标． ①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____． 【类比分析】 （2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标． 21．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点． (1)则点的坐标为______； (2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 题型07 网格中作图（平移、旋转、轴对称） 22．（2025·江西抚州·二模）如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 23．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到 ．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作线段绕点顺时针旋转的得到的线段． (2)如图2，作关于直线的对称图形． 24．（2025·吉林四平·三模）图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）． (1)如图①，作点A关于的对称点D； (2)如图②，作，垂足为E； (3)如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使的值最小． 25．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图． (1)将向左平移6个单位，再向下平移1个单位得到； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)请用无刻度的直尺在上取一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 26．（23-24九年级上·江西九江·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． (2)如图2，在边上找一点，使得． 题型08 位似图形与坐标缩放 27．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为．以原点O为位似中心，在第一象限内对进行位似变换，得到，使得点A的对应点的坐标为．则下列说法正确的是（    ） A．新图形与原图形的相似比为 B．点B的对应点的坐标为 C．点C的对应点的坐标为 D．位似变换后，三角形的形状发生改变 28．（2019·广西梧州·一模）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 29．（2025·安徽阜阳·三模）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； (2)若内有一点，经过（1）的平移后的对应点记为，则点的坐标为______； (3)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为． 题型09 与图形变换有关的规律探究问题 30．（2025·河南·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是______． 33．（2025·山东菏泽·一模）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，按此规律进行下去，则的直角边的长为_____． 题型10 旋转全等模型综合 34．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的． 【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为． 【类比引申】 （1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程） 【联想拓展】（2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长． 35．（2025·广西·一模）【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】（1）请直接写出的值，_____； 【类比探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 36．（2025·河南·模拟预测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法将一条线段截为三段，且三段顺次相连恰好构成直角三角形的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小明：如图①， （1）以线段为斜边作等腰直角； （2）在线段上取一点D，作射线； （3）将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E．线段，，顺次相连恰好构成直角三角形． 小亮：我可以用轴对称的方法进行证明，如图②，将沿所在的直线对折得到，连接．简述理由如下：通过证明，进而说明线段，，顺次相连即为直角三角形． 小强：我可以用旋转的方法进行证明，如图③，将绕点C逆时针旋转至，连接． … 任务： (1)小亮得出的依据是________（填序号）； ①　②　③　④　⑤ (2)请完成小强的证明过程； (3)如图④，已知，小娟认为以线段为底边作等腰，使，在线段上取一点D，作射线，再将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E，也能得到线段，，顺次相连构成直角三角形，请直接写出线段的长． 题型11 折叠问题中的勾股与方程 37．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】（1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】（4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 38．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 39．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 题型12 图形变换中的最值问题 40．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 41．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 42．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 43．（2026·陕西西安·二模）张老师开展“角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． (1)如图1，在中，，，，D是的中点，则______． (2)如图2，正方形中，E，F分别在边，上，且，连接分别交，于点H，G，试猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）基础上，点E为正方形的边上的点，点F在射线上，求的最大值，请直接写出结果． 题型13 旋转中的动态几何探究 44．（25-26九年级上·河南郑州·月考）综合与实践 在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)观察猜想 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，则____________，，，之间的数量关系是____________； (2)类比探究 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，． ①__________； ②写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由； (3)拓展应用 “创新”小组提出的问题是：在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 45．（2026·重庆北碚·模拟预测）在中，，点在边上． (1)如图1，，点E在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； (2)如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，若，，请用等式表示线段和的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．M为直线AB上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最大值时，请直接写出的面积． 46．（2026·山东·一模）如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点G，若，，求的长． 题型14 图形变换与函数综合 47．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 48．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 49．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 题型15 几何变换与相似综合 50．（2025·山西朔州·二模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． (1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． (2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． (3)若点落在直线上，请直接写出的长． 51．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 52．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2025·辽宁大连·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 题型16 图形变换与动点存在性问题 54．（2025·四川成都·二模）综合与探究： 【问题背景】如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图2，将沿方向平移，得到，且交于点E，交于点F．连接，，若，求的长． (3)如图3，继续平移，使得顶点与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，若旋转过程中始终保持与，分别交于点G，H，是否存在某些位置使得为直角三角形，若存在，求的长及的面积，若不存在，请说明理由． 55．（2025·山东青岛·二模）已知：矩形与等腰如图①摆放（点与点重合），点，，在同一直线上，，，，，点到的距离为．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为，交于点；同时，点从出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止运动时，也停止运动．连接、，设运动时间为（）．请解答下列问题： (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点关于的对称点恰好落在上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 56．（2025·广东茂名·二模）【问题背景】 如1图，在平面直角坐标系中，点，，中，，，把它的斜边放在轴上，点与点重合．如2图，轴，从1图的位置出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点匀速移动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右匀速移动，点为直线与线段的交点，连结，作轴于，交于，当点与点相遇时，和点同时停止运动，设运动时间为秒． 【构建联系】 （1）在整个运动过程中，当点落在线段上时，求的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点，使是等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【深入探究】（3）在整个运动过程中，设与重叠部分的面积为S，请直接写出S与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）． 57．（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 题型17 与图形变换有关的阅读理解类问题 58．（2023·河南南阳·一模）【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决． (1)【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______； (2)【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________； (3)如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值． 59．（23-24八年级下·山东日照·月考）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点、，其两点间的距离，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知一个三角形各顶点坐标为、、，则此三角形的形状是__________． (2)在（1）的条件下求解：在平面直角坐标系中，在轴上找一点，使的长度最短，求出的最短长度． (3)利用该题提供的方法求解：若、两点为坐标分别为和，点是轴上一个动点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 60．（2025·河南平顶山·二模）阅读下面材料： 嘉淇遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形，P是三角形内部一点，且，求的度数． 嘉淇是这样思考的：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可以根据边角边证明，进而通过判定得到两个特殊的三角形解决问题． （1）嘉淇遇到的问题中，的度数是 ．（请直接写出答案） 参考嘉淇同学的思路，解决下列问题： （2）如图3，在正方形内有一点P，且，，求正方形的边长． （3）如图4，在中，，点在边上，．若是等腰三角形的腰长，请直接写出的值． 二阶·素养进阶练 1．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 2．（2026·河南郑州·一模）在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． (1)矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， (2)如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． (3)如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 (4)在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 3．（2026·山东滨州·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出将绕点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； (2)在轴右侧，与关于点位似，且，请你写出点的坐标，并在图中画出． 6．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，的值为______； (3)当时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 真●题●验●证 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 5．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6．如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点，使得最短（保留作图痕迹）______． （2）在（1）的基础上，在边上找一点，使得最小，最小值为______． 10．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 11．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 12．利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 13．    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 14．如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形变换综合 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 新考法 新情境 新设问 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 平移性质与坐标计算 题型02 轴对称性质与最短路径 题型03 中心对称与坐标计算 题型04 旋转性质与角度 / 边长 / 坐标计算 题型05 图形变换与全等三角形 题型06 图形变换与坐标综合 题型07 网格中作图（平移、旋转、轴对称） 题型08 位似图形与坐标缩放 题型09 与图形变换有关的规律探究问题 题型10 旋转全等模型综合 题型11 折叠问题中的勾股与方程 题型12 图形变换中的最值问题 题型13 旋转中的动态几何探究 题型14 图形变换与函数综合 题型15 几何变换与相似综合 题型16 图形变换与动点存在性问题 题型17 与图形变换有关的阅读理解类问题 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【新考法问题】（考查二次函数解析式求解、对称轴性质，相似三角形判定与性质，平移性质及二次函数最值应用） 1．（2026·安徽·二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． (1)求、的值； (2)过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）把代入，得出，进而得出，代入可求出，得出抛物线解析式，配方后，即可得出； （2）①过点作对称轴于，过点作对称轴于，则，可得，得出，根据得出，即可求出，代入即可求出值；②根据平移的性质可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积得出，把所求式子配方，根据二次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴． 把代入得，， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． （2）解：①如图，过点作对称轴于，过点作对称轴于，则， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：． ②∵将直线向下平移个单位，得到直线， ∴， ∵直线与轴平行， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形的面积为， ∴， ∵， ∴最小为． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【新情境问题】（考查平面直角坐标系建立，抛物线解析式求解，一次函数解析式推导及二次函数几何最值的实际应用） 2．（2026·安徽·模拟预测）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）坐标系见详解，与y轴的交点坐标为；（ⅱ）杯子内液体的最大深度为：； 【分析】（1）根据点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为得到，，，再将点代入求解即可得到答案；（2）（ⅰ）过D作交于点E，过E作交于点M，求出点M，点E坐标得到l的解析式，结合平行求出的解析式即可得到答案；（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，设出点F的坐标，表示出点G的坐标，得到的解析式，结合函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为， ∴，，， 设杯体所在抛物线的解析式为：， ∴，，， 解得：，，， ∴杯体所在抛物线的解析式为：； （2）解：坐标系如图所示，过D作交于点E，过E作交于点M， ∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为， ∴，，， ∵饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 设的解析式为，将，代入得， ， 解得：， ∵， ∴， 设的解析式为：， 将点D代入得， ， 解得：， 的解析式为：， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为：； （ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，过点G作于点N，如图2所示， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，最小， 设，则， ∴， ∵， ∴当时， ∴的最小值为， ∴的最小值为 即此时杯子内液体的最大深度为：． 【新设问问题】（考查正方形、矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形判定与性质，平行线性质及勾股定理的综合应用） 3．（2026·陕西榆林·一模）根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 【答案】(1)45 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，将逆时针旋转90度得到，可知，，，证明，得到，进而可知； （2）根据平行线的性质得到，根据得到，证明，得到，进而可知； （3）延长至点，使得，连接，可知，根据矩形的性质得到，证明，得到，进而可知，，过点作交的延长线于点，则，根据得到，证明，可知，延长交于点，则，证明，得到，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 如图，将逆时针旋转90度得到，可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：， ． 在中，， ∴． 则． ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使得，连接． ． 四边形是矩形，， ． ， ， ， ，即． 过点作交的延长线于点，则， 在中，， ． ， ． 在和中，， ， ，则． 延长交于点，可知四边形是矩形， 则， ． 由得． ， ， ，即， ， 解得或（不合题意，舍去） 综上可得观景台到水井的距离为 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 平移性质与坐标计算 1．（2026·贵州·一模）如图，点，将线段平移到线段，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点H，证明，由相似三角形的性质得点C的坐标，根据平移的性质即可求得点D的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点H，如图所示：则， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为， ∵点B向右平移6个单位长度再向上平移2个单位长度得到点C，且线段平移到线段， ∴点A向右平移6个单位长度再向上平移2个单位长度得点． 【点睛】作垂线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作于N，于P，由菱形的性质和直角三角形的相关计算求出，，由平移的性质证，再根据相似比求解即可． 【详解】解：作于N，于P， ∵菱形的边长为6，， ∴，，， ∴，，， ∵将菱形沿方向平移得到四边形， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：， 则点M到的距离为2． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)连接，求的面积； (3)为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把代入，得出，，再把代入即可求出； （2）过点作轴于，根据一次函数解析式求出，得出，，利用三角形面积公式即可得答案； （3）设，根据平移方式得出，根据列方程，求出值，根据在线段上，得出的取值范围，即可得答案． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：如图，过点作轴于， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴， ∵，点恰巧在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∵为线段上的点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 题型02 轴对称性质与最短路径 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 【答案】C 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值， 此时， ，解得， 的最小值为， 的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值． 如图，作于， ， ，解得， ， ， 在中，， 的最大值为， 的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图，以为一边作，过作交于， ，， ， 当，，三点共线，且时，取最小值， ， ， ， 的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过作，过作，与相交于， 作关于的对称点，分别连接，，，与交于， 则，，，四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小值，最小值为， 的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 5．（20-21九年级上·广东茂名·期末）如图，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边上，且，四边形与四边形关于直线对称（点和A，点和B分别对应）．若，反比例函数的图象恰好经过，B，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形． 设，得到，根据轴对称的性质得到，，求得，过作于，解直角三角形得到，根据反比例函数的图象恰好经过点，列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形，， 设， ， 四边形与四边形关于直线对称， ，， ， 过作于， ，， ∴， 反比例函数的图象恰好经过点，， ， ，（舍去） ． 故答案为：． 6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 题型03 中心对称与坐标计算 7．（2026·陕西·模拟预测）将直线沿轴向下平移个单位长度，若点关于原点的对称点在平移后的直线上，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再求出点A关于原点的对称点坐标，将对称点坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵将直线沿轴向下平移个单位长度，根据一次函数平移规律，可得平移后的直线解析式为． ∵点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴点A关于原点的对称点坐标为． ∵该对称点落在平移后的直线上， ∴将代入，得， 解得． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 9．（2025·广东深圳·三模）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）t的取值为2或． 【分析】（1）由关于中心对称的两点：横坐标与纵坐标均互为相反数，即可求得点A的坐标；利用中点坐标公式可分别求出点B、点C的坐标； （2）①求出抛物线的顶点坐标，求出顶点坐标关于点M的坐标，即可求出对称的抛物线解析式； ②先求出的顶点坐标及平移后的顶点坐标，则可求得关于M对称的点的坐标，并把它代入，求得b的值，即可求解； （3）求出的解析式，分，及三种情况考虑，结合二次函数的增减性质即可求解． 【详解】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为； 设点B关于对称的点的坐标为，则有， 则，即点B关于对称的点的坐标为； 同理可求得点C关于点对称的点的坐标为； 故答案为：，； （2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：， 化为一般式为：； 故答案为：； ②，其顶点坐标为， 此点平移后的坐标为， 把代入中，得：， 解得：，即， ∴的顶点坐标为， 由中点公式得：， ∴； （3），其顶点坐标为， 它关于M的对称点的坐标为， ∴的解析式为：；其最大值为； 当时，；当时，； 当时，在时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为，最小值为， 由题意得：，解得； 当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或， 由题意得：或， 解得：或， 它们均不符合题意； 当时，在时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为，最大值为， 由题意得：，解得：； 综上，t的取值为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，关于点的对称性质，点的平移，中点坐标公式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型04 旋转性质与角度 / 边长 / 坐标计算 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时的周长最小，根据垂线最短，可得时，最小，即最小，即可求此时周长最小值． 【详解】解：，， ，为等边三角形， ， 将绕点旋转到位置， ，，， ， ，，， ， 故①正确，③错误； ，， ， 故②正确， 的周长 ， 当最小时，的周长最小． ，， 是等边三角形， ， 当时，长度最小，即长度最小， ，，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题和全等三角形的判定和性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 11．（2025·四川绵阳·一模）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理， 连接，作，根据菱形的性质可知是等边三角形，进而说明，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：连接，过点作于点E， 根据题意可知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴点的坐标是． 故选：A． 12．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则______度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 13．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 题型05 图形变换与全等三角形 14．（2025·吉林延边·模拟预测）小明在做木工时发现了一些有意思的结论．为了验证自己的猜想，他将一根木条抽象为线段，如图①，取线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点、点为旋转前后的对应点）．设旋转角度为，且，连接、．经过多次测量，他发现在旋转过程中的度数没有发生变化． (1)求的度数． (2)小明又进行了如下研究：如图②，若与关于直线对称，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，小明选取了一些数据，又进行如下操作：若，当时，如图③，将四边形沿射线方向平移，在平移过程中始终保持点、、三点在同一条直线上，当点与点重合时停止移动，设平移的距离为，平移过程中四边形与重合图形的面积为，直接写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得出，由等边对等角得出，由线段中点得出，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出可得出，即． （2）由轴对称的性质得出， ，由（1）得，即可得出，即四边形为菱形． （3）先证明四边形为正方形，由正方形的性质得出，，即可得出，然后分两种情况，利用平移的性质得出关于的函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵ 线段绕C点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点C是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：四边形为菱形．理由如下： ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ， ∵ 由（1）得， ∴， ∴四边形为菱形． （3）解：由（2）可知四边形为菱形． 当时， 则四边形为正方形， ∴，， ∴， 当时，根据题意如下图： 根据平移的性质可得出， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴ 当时，根据题意如下图： 此时，则， ∴， 综上 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平移的性质，求函数解析式等，掌握这些知识是解题的关键． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）存在，最小值为． 【分析】（1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，由折叠可得，连接，由此可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证（）即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出； （）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同（）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，则当时，三角形面积最小，再利用含直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴； ②由折叠可知：，，， ∴，如图，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴（），， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，设， 则，， ∵，即， ∴， ， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴的面积存在最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形的性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判定等知识，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 16．（2025·陕西西安·一模）【问题呈现1】 在中，，，点D是斜边上的一点，连接，试说明、、间的数量关系，小敏同学思考后是这样做的：如图1将绕点C逆时针旋转，得到，连接，请写出、、之间的数量关系 ． 【问题呈现2】 如图2，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小的面积值；若不存在，请说明理由； 【问题解决】 为迎接新春佳节，西安市城市管理部门在古城墙段安装了全息投影射灯．工作人员选择在城墙的E点安装射灯，该城墙段的几何结构如图3：城墙顶部凸起部分为墙垛，如四边形，凹陷部分为垛口，如四边形，本题中墙垛与垛口均为正方形．现从B点发射全息投影光束，其投影画面可绕E点转动，但始终保持，其中F、G分别是与边上的动点．已知墙垛边长为，墙面区域，，，城墙楼梯长度为．墙垛面积在本问题中可忽略不计．现需分析在全息投影表演过程中，投影到城墙区域（四边形）的面积是否存在最大值．若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】【问题呈现1】：；【问题呈现2】：；【问题解决】： 【分析】【问题呈现1】：由旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 【问题呈现2】：如图2中，作的外接圆，连接，作于．设．求出的最小值即可解决问题． 【问题解决】：如图，根据题意可得，，，则，连接，则，证明平分，过点E作于，点E作交的延长线于点，则，过点D作于，求出，证明四边形是矩形，得出，根据，求出，证明，则，得出，根据，得出要使最大，则最小，将旋转至，使和重合，证点共线，此时，根据，得出，结合，求出，如图中，作的外接圆，则连接，作．设，求出的最小值，即可得出的最小值，求出的最小值，即可解决问题． 【详解】解：【问题呈现1】：∵将绕点逆时针旋转，得到对应的， ，， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【问题呈现2】：如图2中，作的外接圆，连接，作于． 设， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值为， ， ∴的最小值为， ∴的最小值． 问题解决：如图，根据题意可得，，， ∴， 连接， 则， ∴， ∴， 即平分， 过点E作于，点E作交的延长线于点， 则， 过点D作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最大，则最小， 将旋转至，使和重合， ∵， ∴点共线， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据旋转可得， ∴， 如图中，作的外接圆，则连接，作． 设， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值为， ， ∴的最小值为， ∴的最小值． ∴最大值为， ∴最大为． 【点睛】该题是圆综合题，考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，角平分线性质定理，圆周角定理，矩形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，等知识点，解题的关键是正确作出辅助圆，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型06 图形变换与坐标综合 17．（2026·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． (1)确定反比例函数的关系式； (2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键． （1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴设反比例函数的式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了个单位长度， ∴C也移动了个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 18．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论； （2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论； （3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为 ∴点的坐标为， 故答案为：；；； （2）解：． 证明：∵，， ∴轴， ∴， ∵CD是由AB平移得到的， ∴． ∴轴， ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， 整理得：． （3）解：存在，点M的坐标为或． 根据题意得，向上平移了3个单位长度． ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 设交y轴于点N，， 则， 解得，即． 当点M在点N上方时，，则； 当点M在点N下方时，，则． 19．（2025·江西九江·模拟预测）如图，已知矩形的两边，分别在轴、轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点，，且，直线经过，两点． (1)分别写出直线和反比例函数的表达式；并直接写出关于的不等式的解集； (2)点M在的图象上，连接，若，请求出点M的坐标； (3)点P是轴上一动点，当有最小值时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)；； ； (2)或； (3) 【分析】（1）设，则，，根据已知条件得出，则求得的坐标，待定系数法求解析式；根据的横坐标，结合图象即可求解不等式； （2）过点作直线于点，设，得出，利用，列式求出即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，则，由对称性可知，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时点为直线与轴交点，求出直线的解析式，再求其与交点即可． 【详解】（1）解：∵已知矩形的两边，分别在轴、轴上，点的坐标为， ∴，，的横坐标为，的纵坐标为， 设， 则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵在上， ∴，即反比例函数的表达式为； ∵当时，， ∴， ∵直线经过，两点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 由图可知在图象及其上方对应的自变量的取值范围是， ∴关于的不等式的解集为； （2）解：过点作直线于点，如图， ∵矩形中，（轴）， ∴轴， ∵点M在的图象上，设， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图， 由（1）可知，， ∴， 由对称性可知， 则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时点为直线与轴交点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合，矩形的性质，待定系数法求一次函数性质，反比例函数与一次函数交点问题，一次函数的图象，将军饮马问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标． ①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____． 【类比分析】 （2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标． 【答案】（1）C的坐标为；（2）P坐标为；（3）M的坐标为． 【分析】（1）过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，利用点的坐标得到，，，，利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得抛物线的对称轴，则点坐标可得，过点作轴，垂足为，连接，，利用（1）中的方法求得点坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论． 【详解】解：（1）小明同学的解题思路：过点作轴于点，过点作于点，如图，   点，， ，，， ． 则， ，， ． ， ，， ， 点的坐标为； 选择小红同学的解题思路：过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，如图，   点，， ，，， ． 则， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：； （2）二次函数，经过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的对称轴是直线． ， ． 过点作轴，垂足为，连接，，如图，    设的坐标为，则， 轴， ， ． ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 点恰好落在抛物线上， ， 解得：， （舍去）． 点坐标为； （3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，如图，    则， ，， ． ， 点坐标为． 设直线的解析式为， 把，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， 点的坐标为， ，， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（舍去）， ． ， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 21．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点． (1)则点的坐标为______； (2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系求解即可； 分别求出正比例函数经过点和点时的的值，即可得到的取值范围；求出当点是中点时的坐标，利用待定系数法即可求出的 值； 根据中心对称图形的性质可得：阴影部分的面积是的面积的，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：关于原点中心对称， 点与点关于原点中心对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：当正比例函数（为常数，）的图像经过点时， 可得：， 当正比例函数（为常数，）的图像经过点时， 可得：， 解得：， ； 当点是中点时， 点的横坐标为， 点的坐标为， ， 解得：； 故答案为：，； （3）解：点，的坐标分别为，，点的坐标为， ，点到的距离为， 又和正比例函数的图象都是关于原点的中心对称图形， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、中心对称图形的性质，解决本题的关键是利用中心对称图形的性质求出点的坐标，再根据点的坐标求出阴影部分的面积． 题型07 网格中作图（平移、旋转、轴对称） 22．（2025·江西抚州·二模）如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查正六边形的性质，平移和轴对称，正确掌握正六边形的性质是解答关键． （1）分别延长，分别交和的延长线于点，，连接，则线段是线段沿方向平移2个单位长度得的； （2）分别连接，设与交于点，连接，并延长，交于点，则点为点关于的对称点． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点为点关于的对称点． 23．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到 ．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作线段绕点顺时针旋转的得到的线段． (2)如图2，作关于直线的对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形和画轴对称图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，延长交于点F，则线段即为所求；可证明，再证明可得； （2）延长交于点F，延长交于P，则即为所求；可证明，则可证明． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 24．（2025·吉林四平·三模）图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）． (1)如图①，作点A关于的对称点D； (2)如图②，作，垂足为E； (3)如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，轴对称的性质等知识点，解题的关键是取出特殊格点． （1）根据网格特征结合轴对称的性质即可作图； （2）取格点，连接与交点即为点，可得，则根据对应角相等以及网格的特征即可证明； （3）取格点，连接，延长与交于点，连接与交点即为点，由（2）得，显然，则，那么，那么，则，故点关于的对称点为点，那么，则，根据两点间线段最短即可说理． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，点即为所求： 25．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图． (1)将向左平移6个单位，再向下平移1个单位得到； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)请用无刻度的直尺在上取一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）取格点J，连接交于点M，点M即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点M即为所求． 26．（23-24九年级上·江西九江·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． (2)如图2，在边上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，， 则， ∵， ∴， 故即为所求；    （2）如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作．    题型08 位似图形与坐标缩放 27．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为．以原点O为位似中心，在第一象限内对进行位似变换，得到，使得点A的对应点的坐标为．则下列说法正确的是（    ） A．新图形与原图形的相似比为 B．点B的对应点的坐标为 C．点C的对应点的坐标为 D．位似变换后，三角形的形状发生改变 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵点A的对应点的坐标为， ∴新图形与原图形的相似比为，故A选项错误，不符合题意； ∵点， ∴点B的对应点的坐标为，即，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴点C的对应点的坐标为，即，故C选项正确，符合题意； 位似变换后，三角形的形状不改变，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 28．（2019·广西梧州·一模）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查是位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，熟练掌握位似变换是解决本题的关键． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴点C的坐标为或， ∴点的坐标为或， 故选:D． 29．（2025·安徽阜阳·三模）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； (2)若内有一点，经过（1）的平移后的对应点记为，则点的坐标为______； (3)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查平移作图、由平移方式确定点的坐标、在坐标系中画位似图形，正确作出图形是解答的关键． （1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）根据点的平移方式“左减右加，上加下减”确定点的坐标即可； （3）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， ∴内有一点，经过（1）的平移后的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 题型09 与图形变换有关的规律探究问题 30．（2025·河南·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是可知菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转次就是旋转了个循环后，又旋转了次，根据旋转角和旋转方向画出图形，延长交轴于点，过作轴的垂线交轴于点，利用勾股定理求出，再根据点所在的象限确定点的坐标． 【详解】解：， 菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置， ， 绕点旋转次后，菱形的位置如下图所示： 延长交轴于点，过作y轴的垂线交y轴于点， 根据题意可知，， 轴，， 是等腰直角三角形， 设， 则有， ， 解得：， ， 则， 点在第二象限， 点的坐标为， 故选：D． 31．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由题意可得旋转三次完成一周，点在第三象限，每变化一次腰长增加，且，，，进而得到点在第三象限，，又由得，利用三角函数求出点到的距离和到的距离即可求解，由已知找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； ， ∵绕点每次顺时针旋转， ∴旋转三次完成一周， ∴点在第三象限， ∵每变化一次腰长增加， ∴，，， ∵， ∴点在第三象限，且， ∵， ∴， ∴点到的距离为，到的距离为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 33．（2025·山东菏泽·一模）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，按此规律进行下去，则的直角边的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、找规律—数字的变化类．通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 在中，， ； 在中，， ； 在中，，； 在中，，； …… 在中，，， 当时，，， 故答案为：． 题型10 旋转全等模型综合 34．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的． 【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为． 【类比引申】 （1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程） 【联想拓展】 （2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理， 对于（1），将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据“边角边”证明，可得，再根据勾股定理得出答案； 对于（2），将绕逆时针旋转得△，由旋转的性质得，，再根据，可得，作，交延长线于点G，可求，再勾股定理得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：． 将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即； （2）解：将△绕逆时针旋转得△， 则，， 同理（1）得， ∴． 过点F作，交的延长线于点G， 则， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 根据勾股定理，得． 35．（2025·广西·一模）【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值，_____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）的值没有发生变化，证明见解析； （3）的最大值为5，最小值为3 【分析】（1）延长交于点，由矩形的性质以及勾股定理求出的值即可； （2）连接、，由矩形的性质以及勾股定理先求出的值，然后证明，由相似三角形的性质即可求解； （3）连接，取的中点为，连接，证明是的中位线，得出在以为圆心，1为半径的圆上，即可求出线段长度的最大值和最小值． 【详解】（1）解：延长交于点，如图所示， ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，． 由题意得，，， ， ，故答案为：； （2）的值没有发生变化，理由如下： 如图2，连接、． ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，， ，， ，． 矩形绕点顺时针旋转， ， ， ； （3）如图3，连接，取的中点为，连接， 是的中点， 是的中位线， ， 在以为圆心，1为半径的圆上． ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键． 36．（2025·河南·模拟预测）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法将一条线段截为三段，且三段顺次相连恰好构成直角三角形的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 小明：如图①， （1）以线段为斜边作等腰直角； （2）在线段上取一点D，作射线； （3）将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E．线段，，顺次相连恰好构成直角三角形． 小亮：我可以用轴对称的方法进行证明，如图②，将沿所在的直线对折得到，连接．简述理由如下：通过证明，进而说明线段，，顺次相连即为直角三角形． 小强：我可以用旋转的方法进行证明，如图③，将绕点C逆时针旋转至，连接． … 任务： (1)小亮得出的依据是________（填序号）； ①　②　③　④　⑤ (2)请完成小强的证明过程； (3)如图④，已知，小娟认为以线段为底边作等腰，使，在线段上取一点D，作射线，再将射线绕点C逆时针旋转至，交线段于点E，也能得到线段，，顺次相连构成直角三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查等腰三角形、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．解题关键是通过图形的轴对称或旋转变换构造全等三角形，借助等腰三角形、直角三角形的性质来推理计算． （1）通过分析等腰直角三角形性质、折叠性质，得出，，，利用证明； （2）利用旋转性质得到对应边、角相等，证明，结合角度关系推出，证明线段，，顺次相连能构成直角三角形； （3）通过旋转构造，利用旋转性质和已知角度推出，证明，得到，再结合角度关系，分和两种情况，利用直角三角形的边角关系列方程求解的长． 【详解】（1）∵是等腰直角三角形， ∴，，． 将沿所在的直线对折得到， ∴，． ∵， ∴，， ∴． 在与中， ， ∴． （2）完成证明过程如下： ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵是由绕点C逆时针旋转得到的， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段，，恰好构成直角三角形， 则线段，，顺次相连能构成直角三角形 （3）∵是等腰三角形，且， ∴．如解图①，②， 将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，． ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴． 设． 如解图①，当时， ， ． ∵， ∴， 解得． 如解图②， 当时， ， ， ∴， 解得． 综上所述，线段的长为或． 题型11 折叠问题中的勾股与方程 37．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）15；（4）矩形纸片较长边的长度为或 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据，即得； （2）设，，则，证明，，得，得，得，根据二次函数的性质，即得的最大值为； （3）设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4，由矩形性质和勾股定理，得 ,证明，得，由， ，即得； （4）分和为矩形的边和角，和为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形的较长边． 【详解】解：（1）如图1， 由题意得：，， ， ， ， ； （2）如图1， 设，，则， 由（1）知， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为； （3）解：设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4， ∵矩形中，， ∴, ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）作出原矩形，连接，如图5①， ，，， ， ， 四边形为矩形， ，． 设，则，设，则． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 矩形纸片较长边的长度为； 当为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， 设，则，设， 四边形为矩形， ，，， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， 矩形纸片较长边的长度为； 综上所述，矩形纸片较长边的长度为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 38．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ， 在矩形中，， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠知：，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）解：， 由（1）可知，，， 四边形是菱形， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 即或， 或， ，或， 综上可知，的长度是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 39．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型12 图形变换中的最值问题 40．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③ (2)，3 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①证明是等边三角形，得，，由正切函数可得结论； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可； ③证明M，D，N，C四点共圆，推出是该圆的直径，易知当是该圆的直径时，的长最短． （2）当时，根据“垂线段最短”知，的长最短，当四边形是矩形时，，此时最短．解直角三角形，求出即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵°， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于点，于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即； ③连接． ∵， ∴， ∴M，D，N，C四点共圆， ∴是该圆的直径， ∵， ∴当时，的长最短，此时． （2）解：如图，当时， 根据“垂线段最短”知，的长最短， 当四边形是矩形时，，此时最短． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：，3 41．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）存在，最小值为万元 【分析】（1）根据“同底等高的两个三角形的面积相等”即可求解； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，，根据轴对称的性质和线段公理得出，则当、、三点共线时，最小，最小值为，即周长的最小值为，在中根据勾股定理求出，即可求解； （3）连接，作的外接圆O，连接，求出，结合，得出当最大时，最大，证明A、B、C、D四点共圆，则当时，最大，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，，根据三角形中线的性质得出，，可求出，由（1）知：，进而得出，则当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积，延长交于，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，则可证，根据垂径定理得出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，则，故当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴A、D到的距离相等， ∴和是同底（）等高的两个三角形， ∴； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，， 则， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为， 又， ∴周长的最小值为， ∵面积为6，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）连接，作的外接圆O，连接 ∵，， ∴，， ∵， ∴当最大时，最大， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴当时，最大， 如图，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，， 由（1）知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积， 延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分，即是的垂直平分线， ∴， ∴， 当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为， ∴的最小值为， ∴观光路线修建费用的最小值为（万元）． 【点睛】掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 42．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 43．（2026·陕西西安·二模）张老师开展“角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． (1)如图1，在中，，，，D是的中点，则______． (2)如图2，正方形中，E，F分别在边，上，且，连接分别交，于点H，G，试猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）基础上，点E为正方形的边上的点，点F在射线上，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件证得是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求得，进而通过D是的中点求得的值，最后通过勾股定理即可得出结果； （2）延长至M，使，连接，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系再证明，从而得出，最后利用线段和差关系即可得证； （3）作正方形的外接圆，连接，取的中点O，此时O为圆心，利用相似三角形的判定证得，从而得出，再过点G作于点H，证得，随即推出，设，则的半径，当最大时，的值最大，当点G，H，O三点共线时，有最大值为，而时，的值最小，即可求得的最小值表达式，进而求得的最大值表达式，并最终推出结果． 【详解】（1）解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理，， 得：，即， 解得：， ∵D是的中点， ∴， 在中, ， ∴， 解得：． （2）解：， 理由：延长至M，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵, ， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，作正方形的外接圆，连接，取的中点O，此时O为圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则的半径， ∴当最大时，的值最大， ∵点G在上运动， ∴当点G，H，O三点共线时，有最大值为， 当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 题型13 旋转中的动态几何探究 44．（25-26九年级上·河南郑州·月考）综合与实践 在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)观察猜想 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，则____________，，，之间的数量关系是____________； (2)类比探究 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，． ①__________； ②写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由； (3)拓展应用 “创新”小组提出的问题是：在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)60， (2)①90；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）先证，是等边三角形，推出，进而可得，证明，即可得出，，即可得出； （2）①过点F作的延长线于H，证明，推出，进而证明是等腰直角三角形，可得，即可得到； ②由①可得，是等腰直角三角形，得到，表示出，然后结合求解即可； （3）过点A作于G，过点E作于H，证明出C、D、F在同一条直线上，，由对应边成比例可得，推出，设，则，，用含x的式子表示出的三条边长，分，两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①过点F作的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①可得，是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴点C，D，F三点共线， 在中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）， ∴； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，难度较大，涉及知识点较多，解题的关键是正确作出辅助线，综合应用上述知识． 45．（2026·重庆北碚·模拟预测）在中，，点在边上． (1)如图1，，点E在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； (2)如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，若，，请用等式表示线段和的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．M为直线AB上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见详解 (3) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，得到，三线合一，得到，，进而推出平分，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）延长使得，连接，，先证明，得出是等边三角形，再利用三角形外角的定义及角的和差关系得出，证明出，从而得到是等边三角形，根据解直角三角形和等腰三角形三线合一的性质即可得证结论； （3）先确定出点的运动轨迹，得出取得最小值的情况即时，再根据沿直线翻折至与在同一平面内的得出点的运动轨迹，从而得到的最大值，过点作，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰直角三角形的性质求得相关线段的值，随即得出最终结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：如图，延长使得，连接，， ∵点为中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， 即． （3）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵为上一动点，绕点逆时针旋转得， 如图，过点作，将绕点逆时针旋转得，与交点， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 当点与重合时，将绕点逆时针旋转得，连接，与交点，与交点， ∵，，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与的夹角恒为，与的夹角恒为， ∴点的轨迹为定直线， 当时，的值最小，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵为直线上的动点，沿翻折得， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 当，，三点共线时，有最大值， ∴， 在中，， ∴， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， 解得， ∴． 46．（2026·山东·一模）如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点G，若，，求的长． 【答案】（1）30，；（2），理由见解析；（3）的长为2或 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识点，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）先把绕B顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，进一步可得，，，从而可得，最后利用含角的直角三角形的性质可得结论； （3）需分情况讨论，当点P在线段上时，记与交于点H，先证明，可得，设，（），则，可得，再证明，再进一步解答即可；当点P在线段上时，延长交于点H，同理可得，设，（），可得，进一步可得，同理可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）四边形为菱形， ，． ， ∴为等边三角形． ∵点P与线段的中点O重合， ∴，． 故答案为：30，； （2）， 理由：如图，把绕B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵点E在线段上，且，， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3）如图，当点P在线段上时，记与交于点H， 由旋转得，，． ∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 设，（），则， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ； 如图，当点P在线段上时，延长交于点H， 同理可得：，， ∴， ， ． 设，（），而，则， ， ∴． ， ∴． 同理：，， ． ∵为等边三角形， ∴， ， 综上：的长为2或． 题型14 图形变换与函数综合 47．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得，进而问题可求解； （2）①由平移的性质可得，，则有是等边三角形，在中，，则，然后可得，进而根据割补法可进行求解； ②以和为邻边构造平行四边形，然后可得，则由（1）得，点O关于直线的对称点为点，故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则， ∴， ∴点B的坐标为的坐标为， 故答案为：； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，设， ∴， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 48．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 (2)存在，周长的最小值为，理由见解析 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 49．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）把点代入函数进行求解即可； （2）设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，由（1）可得，然后可得，则有，进而可得，则可求出直线的解析式为，最后联立函数关系式即可求解； （3）由题意易得，则有，，然后可得的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：， 解得：， ∴； （3）解：由题意可联立得：， 解得：， ∴， ∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图， 作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 题型15 几何变换与相似综合 50．（2025·山西朔州·二模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． (1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． (2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． (3)若点落在直线上，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，进而证明，即可得出； （2）①过点作于点，连接，由旋转的性质可得，，可得，进而得，得，由旋转可知，因此，进而证明，即可得出结论； ②过点作于点，根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，先证明，得，由①得，，即，求出即可； （3）分两种情况进行讨论，第一种情况，过点作于点，过点作于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长； 第二种情况，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长． 【详解】（1），理由如下： 矩形中，，是对角线，，， ， ， 由旋转的性质可得，，，， ， ， ； （2）证明：如图所示，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， 又，， ， 由旋转可知，， ， ，， ， ； ②如图所示，过点作于点， 根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度， 由旋转的性质可得，，， ， ， 又，， ， ， ， 由①得，， ； （3）分两种情况进行讨论， 第一种情况，如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ； 第二种情况，如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ， 综上所述，的长为或 ． 【点睛】本题考查了图形的变换—旋转、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键． 51．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 52．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； （3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； （3）解：存在，设点P的坐标为， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方时， 则， 解得：， ∴或； ②当点P在x轴下方时， 则， 解得：， ∴或； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键． 53．（2025·辽宁大连·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 【答案】（1）；（2），见解析（3）的长为；（4） 【分析】本题考查了折叠性质、旋转性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先由折叠性质得，，然后可得，根据平行线分线段成比例可得出是的中位线，即可求得； （2）连接，先由旋转性质得，，再证明即可得到结论； （3）先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； （4）如图2，连接、，由知，当、、共线时取等号，此时最小，由勾股定理求得，根据直角三角形的斜边中线性质得到，则，证明，利用相似三角形的性质求得 ，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴； （2），证明如下， 如图1，连接，    由旋转性质得，，又， ∴， ∴； （3）如图2， ∵， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴； （4）如图，连接，    则，当A、F、D共线时取等号，此时最小，    ∵， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型16 图形变换与动点存在性问题 54．（2025·四川成都·二模）综合与探究： 【问题背景】如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图2，将沿方向平移，得到，且交于点E，交于点F．连接，，若，求的长． (3)如图3，继续平移，使得顶点与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，若旋转过程中始终保持与，分别交于点G，H，是否存在某些位置使得为直角三角形，若存在，求的长及的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答； (2)； (3)存在，，的面积为 【分析】（1）利用矩形的形状，可得是直角三角形，．运用勾股定理计算出的长后，可以得到，于是命题得证； （2）过点O作于点K，利用平移的性质和矩形的性质可以证出四边形是平行四边形，结合条件，则四边形是菱形．设，结合（1）的结论与勾股定理，可以表示出和，进一步表示出和．利用菱形的性质计算出a的值，然后求出的长； （3）先进行分类讨论，排除不符合条件的情况后，只有，这一种可能．过点O作于M，利用勾股定理和解直角三角形求出，，和的长．再根据同角的余角相等，得到，利用锐角三角函数计算出的长以及的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：如图，过点O作于点K， 由平移得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在直角中，， ∴， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∴； （3）解：假设存在， ∵， ∴， 当时，如图，过点O作于N， ∵，， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵， ∴，解得，， ∵， 又∵垂线段最短， ∴点G与点N重合，此时与也重合，这与矛盾，故不存在； 当时，如图，过点O作于M， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴，解得，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，；在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在一些位置使得为直角三角形，此时，． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，平移的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质以及解直角三角形，掌握好旋转的性质并运用分类讨论思想是解题关键． 55．（2025·山东青岛·二模）已知：矩形与等腰如图①摆放（点与点重合），点，，在同一直线上，，，，，点到的距离为．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为，交于点；同时，点从出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止运动时，也停止运动．连接、，设运动时间为（）．请解答下列问题： (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点关于的对称点恰好落在上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）在矩形中，，，，勾股定理求出，根据题意可得，，当时，，得出，即，求出即可解答． （2）等腰平移之前，根据，，点到的距离为，求出，等腰平移之后，，连接，过点作，根据，表示出，根据四边形的面积梯形的面积的面积，表示出． （3）延长交于点，当点关于的对称点恰好落在上时，根据对称可得，在矩形中，，得出，即可得，等角对等边得出，证明，得出，即可得，，过点作，根据，，点到的距离为，得出，勾股定理求出，即可得，求出即可解答． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， ∴， 根据题意可得， 当时，， ∴， ∴， 解得：． 即当时，． （2）解：连接，如图； 等腰平移之前， ∵，，点到的距离为， ∴， 等腰平移之后，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ． （3）解：延长交于点， 当点关于的对称点恰好落在上时， 根据对称可得， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵，，点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】该题是几何动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称的性质，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 56．（2025·广东茂名·二模）【问题背景】 如1图，在平面直角坐标系中，点，，中，，，把它的斜边放在轴上，点与点重合．如2图，轴，从1图的位置出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点匀速移动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右匀速移动，点为直线与线段的交点，连结，作轴于，交于，当点与点相遇时，和点同时停止运动，设运动时间为秒． 【构建联系】 （1）在整个运动过程中，当点落在线段上时，求的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点，使是等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【深入探究】 （3）在整个运动过程中，设与重叠部分的面积为S，请直接写出S与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）． 【分析】（1）先求出和的正切值，进而判断出，得出，最后判断出点D落在上时，点E与点B重合，即可得出结论； （2）分三种情况分别构造方程求解即可； （3）分四种情况讨论：①当时，重叠部分是；②当时，重叠部分是四边形；③当时，重叠部分是；④当时，重叠部分是．分别求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ， ． ∵在中，， ， ， ， ， ∴， 当点落在线段上时，点与点重合，此时； （2）存在．理由如下： 由（1）知，， ， 从图1位置以每秒1个单位的速度沿轴向点0匀速移动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右匀速移动， 当点与点相遇时， 秒 ， ， ， ． ①当时，如图所示， 由（1）有， ∴， ∴，即， ， ， ∵， ， ； ②当时，如图，点在的垂直平分线上， 过点作于， ， 在中，， ∵， ∴， ∴， ， ③当时，如图，点是的垂直平分线上， 过点作于， ， 在中，， ， （不符合题意）， 综上所述，满足条件的的值为或． （3）当点与点重合时，秒， 由（1）知，点在上时，秒， 如图1，过点作轴于， 在中，， ， ， 当点与点重合时，秒， ①如图3中，当时，重叠部分是， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图4中，当直线经过点时，，解得， 当时，重叠部分是四边形， ． ③如图5中，当时，重叠部分是， ∴． ④如图6中，当时，重叠部分是， ， ， 同①的方法得，， ， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查平移变换，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角形函数的应用，相似三角形的判定及性质，求解析式，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 57．（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)（1）的结仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由证得，得到和，再结合是的中点得出，进而得，最后通过角的等量代换证明． （2）通过延长至使，先由证得且，进而推出，再由证，最后通过角的关系证明结论． （3）分两种情况，通过作于，利用解直角三角形和直角三角形中角的性质求出相关线段长度，再根据不同情况的面积和差关系计算的面积． 【详解】（1）解：，，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长到，使得，设交于，交于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，（1）的结论，仍然成立． （3）解：①如图，当，作于，连接， ，，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ， ； ②如图，过点作的延长线于，连接， 同①可知，，， ∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质（角所对直角边是斜边的一半）、三角形面积的计算、解直角三角形及分类讨论思想；掌握通过角的等量代换证明两条线段垂直、通过延长中线构造全等三角形转化线段和角的关系、根据不同位置关系分类讨论并利用角度关系转化线段长度是解题的关键． 题型17 与图形变换有关的阅读理解类问题 58．（2023·河南南阳·一模）【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决． (1)【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______； (2)【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________； (3)如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），根据正方形的性质得出两组角及夹边对应相等，即可得出答案； 对于（2），平移至，根据勾股定理可得是直角三角形，进而求出，根据平行线的性质得出答案； 对于（3），平移至，根据勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴≌． 故答案为：； （2）将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理可知，，， ∴，且， ∴是直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； （3）将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 则． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平移的应用，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数值等，根据平移构造直角三角形是解题的关键． 59．（23-24八年级下·山东日照·月考）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点、，其两点间的距离，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知一个三角形各顶点坐标为、、，则此三角形的形状是__________． (2)在（1）的条件下求解：在平面直角坐标系中，在轴上找一点，使的长度最短，求出的最短长度． (3)利用该题提供的方法求解：若、两点为坐标分别为和，点是轴上一个动点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)等腰三角形 (2)的最小值为 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握公式，注意进行分类讨论． （1）分别求出、、的长，然后再根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （2）作点F关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据轴对称的性质可知：，根据两点之间线段最短，可知此时最小，即最小，求出最小值即可； （3）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别列出方程，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴， ， ， ∵， ∴为等腰三角形； （2）解：作点F关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵点F与点关于x轴对称， ∴点， ∴， 即的最小值为； （3）解：设点Q的坐标为， 当时，， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 综上分析可知，点Q的坐标为或或或． 60．（2025·河南平顶山·二模）阅读下面材料： 嘉淇遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形，P是三角形内部一点，且，求的度数． 嘉淇是这样思考的：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可以根据边角边证明，进而通过判定得到两个特殊的三角形解决问题． （1）嘉淇遇到的问题中，的度数是 ．（请直接写出答案） 参考嘉淇同学的思路，解决下列问题： （2）如图3，在正方形内有一点P，且，，求正方形的边长． （3）如图4，在中，，点在边上，．若是等腰三角形的腰长，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由旋转的性质可得是等边三角形，得到，，再根据等边三角形的性质，证明，得到，，再结合勾股定理逆定理，得到，即可得出的度数； （2）把绕点逆时针旋转得到．由旋转的性质得到是等腰直角三角形，再结合勾股定理逆定理，得到，进而推出、、三点共线．过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，最后利用勾股定理求解即可； （3）分两种情况求解：当时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．根据等腰三角形的判定性质证明全等，再利用锐角三角函数求解；当时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．同理可知，再利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ，，， ， ， ， 故答案为： （2）解：如图，把绕点逆时针旋转得到． 由旋转的性质，得，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ， ， ． 、、三点共线． 过点作于点， 则， ． 在中，， 正方形的边长为； （3）解：的值为或． 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点． 在中，，， ， ，， ， ， ， 由旋转的性质得，，，，， ． 又， ， ，， ． ， ， ． ， ，， ． 在中，， ， ； 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．同理可知， ，， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质正确作辅助线是解题关键． 二阶·素养进阶练 1．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由平移的性质可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）当点落在上时，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点，则有四边形为矩形，，证明，得出，设，则，，，结合，，计算得出，，，求出，由平移的性质可得，从而可得，求出，即可得出结果； （3）由平移的性质可得，，证明为等腰直角三角形，设，则，，分两种情况：当时， 此时；当时，此时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，当点落在上时，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ， 则有四边形为矩形，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿边向右平移得到， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∵在平移的过程中，当点H将分成的两部分时， ∴如图②：当时， ， 此时， ∴， 解得：， ∴； 如图③：当时，此时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（2026·河南郑州·一模）在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． (1)矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， (2)如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． (3)如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 (4)在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)是 (2)， (3)，证明见解析 (4)或 【分析】（1）先算出矩形的长和宽，再验证长与宽的比； （2）在直角三角形里，用三角函数算出，从而得到旋转角，再用的长度减去的长度，得到； （3）过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （4）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（3）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【详解】（1）解：， ， 、分别是，的中点， ， ， ∴矩形是标准矩形． （2）解：当恰好经过点时， 中，，， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ． （4）解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（3）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 3．（2026·山东滨州·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在线段上选一点，并沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接， 如图1，当点在上时，则______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点在上的位置（点不与点，重合），当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）根据题意得，再根据直角三角形的性质得，进而得出答案； （2）根据特殊角的三角函数值求出，即可得，再根据正方形和折叠的性质得，，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据三角形的面积公式得出答案； （3）当点Q在点F的下方时，求出相应的线段长，再根据全等三角形的性质得，然后设，再根据勾股定理得，进而求出答案；当点Q在点F上方时，求出线段的长， 再设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点Q在点F的下方时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴， 即， 解得， ∴； 当点Q在点F上方时，如图所示， ∵ ∴． ∵同上得， 设， ∴， 即， 解得， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，准确的作出图形，不能漏解是解题的关键． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，由旋转的性质得，则可推出，，据此可得结论； （2）由三角形中位线定理推出，如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），证明，得到．证明，得到，据此可得结论； （3）当点E在上方时，延长交于点．证明四边形是矩形，得到，，求出的长，进而求出的长，根据列式求解即可；当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，可求出，再由等面积法求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 是的中点，， ， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3）， ∵，线段经过的中点， ∴ ， ． 由旋转的性质可得， ，即， ∴， ． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点． ， ∴， 由（3）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ； ∵， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出将绕点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； (2)在轴右侧，与关于点位似，且，请你写出点的坐标，并在图中画出． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】（1）根据旋转的性质解答即可； （2）根据位似图形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点的坐标为； （2）解：如图，即为所求． 点的坐标为． 6．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，的值为______； (3)当时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质即可得出点的坐标； （2）根据轴对称图形的性质可得在对称轴上，即可求解； （3）先求得的中点的坐标，求得临界值，即重合时的值，根据得出点在点的下方，进而求得的范围； （4）先求得分别与重合时的的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线：，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：∵点和点关于对称轴对称，抛物线关于对称 若点也在对称轴上，则整个图形关于对称，交点和也关于对称，从而 ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴， 当重合时，， 解得： ∵ ∴点在点的下方，靠近的位置，即 ∴ （4）解：∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， 当与点重合时，则是的中点， ∴ 代入 ∴ 解得： 当与点重合时，则是的中点， 由（3）可得 解得： ∵线段与线段有公共点 ∴的取值范围为：或 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 真●题●验●证 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念，逐一分析各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C符合题意； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 3．已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 4．如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 6．如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 8．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 9．如图，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点，使得最短（保留作图痕迹）______． （2）在（1）的基础上，在边上找一点，使得最小，最小值为______． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作， 由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 10．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 11．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 12．利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 13．    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 14．如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）由题意得，当时，，求得，再利用三角函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，同（1）利用三角函数的定义求得，，再根据，利用三角形的面积公式代入数据求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，作于点，交延长线于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可；当时， 作于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵在中，，，， ∴， 由平移的性质得，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ； ∴； （3）解：存在，理由如下， 由题意， 当时，作于点，交延长线于点， 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 当时， 作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，公式法解一元二次方程，正确构造辅助线，分类讨论是解题的关键． 15．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $