安徽合肥市第九中学2025-2026学年高三下学期第二次周测（限时训练二）数学试题

合肥九中2025-2026学年高三下学期数学限时训练（二） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，若，，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 4．已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 10．函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周期为6 C． D．的图象关于直线对称 11．双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．二项式的展开式中的系数为__________. 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14．一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 17．（15分）某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 18．（17分）已知函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； (3)在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 19．（17分）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥九中2025-2026学年高三下学期数学限时训练（二） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，若，，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 4．已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 10．函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周期为6 C． D．的图象关于直线对称 11．双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．二项式的展开式中的系数为__________. 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14．一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 17．（15分）某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 18．（17分）已知函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； (3)在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 19．（17分）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《合肥九中2025-2026学年高三下学期数学限时训练（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C B C B ABD BC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】解不等式可化简集合A，集合B表示函数的定义域，然后由交集，补集定义可得答案. 【详解】因为或，则或， 集合B表示函数的定义域，则， 则或， 从而. 故选：A 2．D 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 3．A 【分析】根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列的公比，代入即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，， . 故选：A. 4．B 【分析】根据题意，先求，再根据模长公式求解即可． 【详解】， ，则， ． 故选：B 5．C 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． 6．B 【分析】由得到为的中点，过点作轴，设，由过点的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由的坐标得到的值，从而得到的坐标，由是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值. 【详解】，为的中点， 过点作轴，交轴于点， 设， 过点的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 7．C 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为代数不等式，再通过参变分离构造函数求最值，最终得到参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 因为 所以是奇函数. . 由基本不等式，，当且仅当时取等号且， 得. 因此在上严格单调递增. 由，得    . 于是， 参变分离得，在上恒成立， 令，利用， 化简得， 设，因，故在上严格单调递增， 因此的取值范围为：， 令， ， 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值： ，即在上的最小值为. 要使恒成立，只需，即的取值范围是. 故选：C 8．B 【分析】利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，因此，即， 所以. 故选：B. 9．ABD 【分析】对AB由简单的幂函数的性质可判断，对C由对勾函数的性质可判断，对D由函数的图象的平移及复合函数的单调性可得. 【详解】对于A：由 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于B： 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于C：是奇函数，但在 上单调递减，错误. 对于D：由函数的定义域为，且是奇函数， 又因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，图象如下， 所以在上单调递增，也是增函数，由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】赋值可判断A；赋值，利用递推公式可推出周期，可判断B；令，可得的范围，可判断C；举反例可判断D. 【详解】由 得，代入得，A 错误； 令 得， 用换 得， 两式相加得，即， 用换得，即， 用换得，所以 周期为 6，B 正确； 令 得 ，即 ， 由于，所以，因此，故 C 正确； 已知，，对赋值得： 令得， 令得， 令 ，若关于 对称，则 ， 但 ，，不相等，故 D 错误. 故选：BC 11．BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确； 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确； 对于D，因为，， 由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 12．70 【分析】求二项式的展开式的通项，由条件求，由此可得结论. 【详解】由题意知二项式的展开式的通项为， 令， 则的系数为. 故答案为： 13． 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14． 【分析】利用等差数列性质以及分布列性质可得，且；再利用完全平方公式计算可得结果. 【详解】设掷出点的概率分别为； 由于成等差数列，且，故； 事件“”发生的概率为； 事件“”发生的概率为； 于是； 由于，所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值； （2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 16．(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）先由余弦定理求出，进而，故⊥，结合⊥，得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，根据得到，，求出平面的法向量，设出线面角，得到， 因为，所以， 【详解】（1），，， 由余弦定理得， 故，故⊥， 直三棱柱中，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 点在平面上的射影为点，， ，， 设，， 故， ，故，整理得， 又，故，又，解得， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 因为，所以， 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 17．(1)，， (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）当时，，结合等比数列的定义证明，再求出； （3）结合（2）可得，即可得到，再由二项分布的方差公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，， . （2）由（1）可知， 当时，， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则； （3）当时，，所以，即， 依题意，所以. 18．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导判断函数在上单调性，结合求解不等式； （2）分和讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数； （3）由（2）知，，，在上单调递增，利用分析法要证，只要证，即证，结合，即证，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）由题知的定义域为，且， 若，则,又,故恒成立，在上单调递增， 又，故不等式的解集为. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 又时，，故存在唯一的，使得， 所以有两个零点. （3）由（2）知，，，， 当时，，时，， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以在上恒成立，故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 19．(1) (2)①；②过定点 【分析】（1）由长轴长得到，从而得到，由点在椭圆C上，将点代入椭圆方程，计算得到，从而得到椭圆的方程. （2）①按照直线，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0和直线，的斜率存在且不为0这两种情况讨论求解，当直线，的斜率存在且不为0时，设，，由得到，得到直线的斜率之积等于，从而可设直线，，直线和椭圆联立方程组得到，同理得到，计算求出的值.②设，将，代入椭圆方程，通过计算得到，从而可设直线，求出，直线和直线联立方程组求出点的横纵坐标，求出，求出的纵坐标，从而得到，由得到，从而得到直线恒过的定点. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4， 所以，所以， 因为点在椭圆C上， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）①当直线，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0时， 不妨设直线的斜率一条不存在，直线的斜率为0， 则，，， ， 当直线，的斜率存在且不为0时， 设，，因为，所以， 设直线，， 联立方程得，所以， 所以， 同理， 所以. 综上可知，. ②设，将，代入椭圆方程， 得，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以直线， 同理， 联立，所以， 所以， 所以， 直线，令，则，则， 又因为，所以， 所以直线， 所以直线过定点. 答案第10页，共13页 答案第9页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $