精品解析：安徽合肥市第六中学2025-2026学年高三下学期数学第三次限时作业试卷

合肥六中2025-2026学年高三下学期数学第三次限时作业 命题人：何宗祥 审题人：茆满安琪 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ） A. 54 B. 81 C. 135 D. 162 8. 记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 当最小时， 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若，则______. 13. 已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围_________． 14. 为等比数列的前n项和，若，则的最小值为________. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点． （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． （1）求小王答道题后积分小于的概率； （2）设小王答道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 18. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 19. 若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． （1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； （2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2025-2026学年高三下学期数学第三次限时作业 命题人：何宗祥 审题人：茆满安琪 时长：120分钟 分值：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式性质和指数函数单调性，分别解不等式把集合具体化，利用交集和并集的定义依次判断选项即可． 【详解】由，得，故集合； 因为在上单调递增， 所以由，得， 故集合， 所以，． 2. 设复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 求得后再求模长即可. 【详解】,故. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型. 3. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由第项与第项的二项式系数相等可求得，由此可得展开式通项公式，令即可知展开式的系数为无理数，由此可得结论. 【详解】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：； 展开式的通项公式为：； 则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项. 故选：B. 4. 已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点及函数在时函数值的符号，利用排除法求解. 【详解】令， 解得或，即函数有2个大于0的零点，排除BD选项； 又当时，，故可排除A选项. 故选：C 6. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的性质结合已知条件构造方程，联立方程求出，再利用双曲线的渐近线方程求解． 【详解】 由双曲线的左焦点为可知，则， 设点，则的中点， 已知线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， ，化简得①， 由直线的斜率为可得：，即②， 联立①②可得，解得或（舍去，在右支）， ，故， 把代入双曲线方程，则，解得， ，， 双曲线渐近线方程为，故D正确． 故选：D． 7. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ） A. 54 B. 81 C. 135 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可. 【详解】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜， ①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有 ②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任 意选用1种，有种，故共有 由①②可知所有情形是. 故选：C 8. 记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程的根转化为两个函数与有两个不同的交点问题，再对实数a的取值分四类讨论可得结果. 【详解】因为奇函数且时，. 所以当，. 令. 当时，； 当时，； 当时，；图象如下： 又因为，， 要使方程在上恰有两个不同实数根，所以与有两个不同的交点. ①当时，，所以与在区间各一个交点，如图： 故方程有两个不同的实数. ②当时，，如图： 所以与在仅区间上有一个交点，故不符合题意. ③当时，，此时与在区间各一个交点，如图： 故方程有两个不同的实数. ④当时，，， 此时与在区间有一个交点，如图，故不符合题意. 综上可知，方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 当最小时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和性质求解. 正项等比数列的公比为，前项的积为,将改写成，，利用等比数列的性质得到，从而求出，由的值求出，利用等比数列通项公式求出，， ，，当时，，通过分析得到最小时，或. 【详解】正项等比数列的公比为，前项的积为, ，， ， ，，，故选项A正确； ，，，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ，，，， 当时，， ，，， 当最小时，或，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线的斜率，进而求出点的坐标，再逐项求解判断即可. 【详解】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出两点坐标，由数量积求得后可得． 【详解】显然，由得，不妨设，， ，解得，∴． 故答案为：． 13. 已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出，结合参数方程即可求解. 【详解】由，因为均在半径为的球面上， 可将三棱锥放置于长方体中，如图， 设棱长分别为，则， 故长方体对角线平方为， 可设，， ， 考虑到是三角形边长，故，即 所以的取值范围是． 故答案为： 14. 为等比数列的前n项和，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由于，对分类讨论：，则，解得，可得．当时，可得，代入，变形利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，解得． 当时，， 化简整理得， 则 ， 当且仅当时取等号． 综上可得：最小值为． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点． （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图1，取棱的中点，连接，因为棱的中点，则． 又因为， 所以，则四边形为平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面. （2）存在，点为棱上靠近点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）如图建系，取线段的中点为，连接，易得平面，可得平面的一个法向量，设，根据点的坐标求出平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则． 则， 取线段的中点为，连接.因平面，平面，则， 又，则，因，平面，则平面， 因，则，可取平面的一个法向量为. 假设在棱上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 设，则. 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则． 解得（舍）或. 此时点为棱上靠近点的三等分点. 【点睛】 17. 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． （1）求小王答道题后积分小于的概率； （2）设小王答道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分小王题都答错，或答对题答错题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【小问1详解】 小王答道题后积分小于，则小王题都答错，或答对题答错题， 故所求概率为. 【小问2详解】 设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以． 由题意知，所以， 所以． 【小问3详解】 （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有，即， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以 ， 又，所以． 所以 . 18. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明； （ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）， ，由（i）可知：， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化. 19. 若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． （1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； （2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【答案】（1）不是“3阶自和函数”. （2） （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以 ． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时， ，单调递减，当 时， ，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又 ， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即 . 设，则， 所以当时，，单调递减， 当 时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当 时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证. 【解析】 【分析】（1）根据“3阶和函数”的定义，举反例说明函数不是区间上的“3阶和函数”. （2）根据“2阶和函数”的概念，求实数的取值范围. （3）先根据“2阶和函数”的概念求的值，再利用“极值点偏移”证明 ； 设，分析函数极值，可得，结合，可得当时，，当 时，，进而得，整理可证. 【小问1详解】 对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”. 【小问2详解】 函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的. 又因为函数的图象开口向上，对称轴为 ， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当 时，在上单调递减，则必有，解得． 当 时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $