第8讲 数列专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第8讲 数列专题复习 知识点梳理 知识点一、数列的概念与简单表示法 1.数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成： 简记为.项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. 1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列； 4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 2.通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 3.数列的前n项和 （1）数列的前n项和的定义：我们把数列从第一项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即. （2）数列前n项和与通项公式之间的关系： 知识点二、等差数列 1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 2.等差中项：有三个数组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时叫做的等差中项. （1）根据等差中项的定义：是等差数列，则；反之，若，则是等差数列. （2）在等差数列中，任取相邻的三项，则是与的等差中项；反之，是与的等差中项对一切均成立，则数列是等差数列. 因此，数列是等差数列. （3）若数列是等差数列，且p+q=s+t,则.（p,q,s,t∈N） 3.等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式：，其中为首项，为公差. 等差数列的通项公式的推导方法： 累加法：因为是等差数列，所以 等号两边分别相加，得，所以. （2）等差数列的应用：已知等差数列中任意两项， 4.等差数列与一次函数的关系 （1）从函数观点认识等差数列：由于=，所以当d≠0时，等差数列的第n项是一次函数. （2）等差数列的单调性： 当d>0时，数列为递增数列； 当d<0时，数列为递减数列； 当d=0时，数列为常数列. 5.等差数列的前n项和 （1）等差数列前n项和公式：（ 1）； （2）. （2）公式的推导：若等差数列的前n项和为，公差为d， 则； 倒序，得： 两式相加，得：=， 所以有. 将代入上式，得. （3）等差数列前n项和的常用性质 性质1：等差数列中连续m项的和仍为等差数列，公差为. 性质2：若等差数列的前n项和为， 则，k=1,2······ 性质3：①当项数为2n时，，. ②当项数为2n+1时，，. 性质4：若等差数列的前n项和为，则数列仍为等差数列，其首项为， 公差为，且点（n=1,2,3,···）共线. 性质5：若数列与均为等差数列，且前n项和分别是和, 则，. 知识点三、等比数列 1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示. （1）等比数列的各项不能为0，公比也不能为0； （2） . 2.等比中项：如果在中间插入一个数G，使得成等比数列，那么G叫做的等比中项. （1）由可得，； （2）等比数列中任取相邻的三项，则. 3.等比数列通项公式： （1）首项为，公比为的等比数列通项公式为：. 公式的推导：累乘法：因为是等比数列，所以当n≥2时， ，所以. 4.等比数列与指数函数的关系 （1）从函数观点认识等比数列：由可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项是函数当时的函数值. （2）等比数列的单调性：由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列为递增数列. ②当或时，等比数列为递减数列. ③当时，等比数列为常数列.④当时，等比数列为摆动数列. 5.等比数列的性质：设数列是公比为的等比数列： 性质1：设是数列中任意两项，则：. 性质2：若数列是等比数列，且s+t=m+n，则. 特别的，若,则 性质3：若是等比数列，则下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列. 即若成等差数列，则成等比数列. 性质4：若数列是公比为的等比数列，则连续相邻m项的积构成公比为的等比数列. 性质5：（1）若数列是公比为的等比数列，则数列，则，，都是等比数列，且公比分别是. （2）若数列和分别是公比为和的等比数列，则数列，仍是等比数列，且公比分别是，. 性质6：公比为的有穷等比数列，把各项倒序排列得到的数列仍是等比数列，公比为. 6.等比数列的前n项和的公式 （1）公式：等比数列的前n项和 . （2）公式推导过程： 设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和 则①，②， ①-②得：， 因此，当q≠1时，. （3）设等比数列的前n项和为，公比为 ①当，，，均不为零时，数列，，仍是等比数列，其公比为； ②“相关和”的性质：； ③若共2n项，则. ④当时，；当时，. 典型例题 例1.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9，S6成等差数列，则（　　） A．a2，a5，a8成等比数列 B．a2，a8，a5成等差数列 C．S2，S5，S8成等比数列 D．S2，S8，S5成等差数列 【解答】解：若等比数列{an}公比q＝1，则S6+S3＝9a1， 而2S9＝18a1，则S6+S3≠2S9， ∴q≠1， ∵S6+S3＝2S9， ∴， 整理，得q3+q6﹣2q9＝0， 解得q3或q3＝1， ∵q≠1，∴q3， 则2a5，， a2a8，即a2，a5，a8成等比数列，A正确； ∴a2+a5＝﹣a5＝2a8， 故a2，a8，a5成等差数列，B正确； 又S2，S5，S8， S2S8[（1﹣q2）（1﹣q8）﹣（1﹣q5）2]•q2（2q3﹣q6﹣1）≠0， 即，C错误； ∵q2+q5﹣2q8＝q2（1+q3﹣2q6）＝0， 则S2+S5＝2S8，即S2，S8，S5成等差数列，D正确． 故选：ABD． 例2.数列{an}的通项公式为，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣3 D．﹣19 【解答】解：数列{an}的通项公式为，Sn为其前n项和， 则Sn＝（2+4+...+2n）﹣11n＝2n+1﹣2﹣11n， 由Sn+1﹣Sn＝2n+2﹣2﹣11（n+1）﹣2n+1+2+11n＝2n+1﹣11， 当n＝1，2时，可得S3＜S2＜S1， 当n≥3时，Sn+1﹣Sn＞0，即有S3＜S4＜S5＜...＜Sn＜...， 则Sn的最小值为S3＝16﹣2﹣33＝﹣19． 故选：D． 例3.（多选）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，an的前n项和为Sn，则（　　） A．a1＝2 B．数列{an}是等比数列 C．Sn，S2n，S3n构成等差数列 D．数列前100项和为 【解答】解：由a1+2a2+...+2n﹣1an＝n•2n，① 取n＝1，可得a1＝2，故A正确； a1+2a2+...+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，② ①﹣②得：2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1， 则an＝n+1，n≥2， 验证a1＝2适合上式，可得an＝n+1， 则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，故B错误； 则， ，， 而Sn+S3n， ，则Sn+S3n≠2Sn，即Sn，S2n，S3n构不成等差数列，故C错误； ， 则数列前100项和为，故D正确． 故选：AD． 例4.已知数列{an}满足，则数列{an}的前2017项和S2017＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据，有， （）+...+（）6+10+...+4n﹣2（n﹣1）（6+4n﹣2）， 于是， 进而， 则Sn（2...）， 于是，进而． 故选：C． 例5.已知数列的前项和为，，且()． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足()，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）由可得()， 两式作差，可得：，，很明显，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为：． （2）由，得， ， ， 两式作差可得： = = 则据此可得恒成立， 即恒成立. 时不等式成立； 时，，由于时，故 时，，而，故： 综上可得， 例6.已知数列满足:，. (1)证明：数列是等差数列; (2)设，求数列的前项和. 解：(1)将两侧同除， 可得，，又 因为， 即数列是首项为，公差为的等差数列. 1. 由(1)可知，，即， 则， 所以 . 随堂演练 1.（2025新高考I卷）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列 的公比为　2　． 【解答】解：根据题意可得a1+a2+a3+a4＝4，a5+a6+a7+a8＝68﹣4＝64， 所以a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）×q4＝4×q4＝64， 解得q＝2（q＝﹣2舍）． 故答案为：2． 2.（2025新高考II卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（　　） A．﹣20 B．﹣15 C．﹣10 D．﹣5 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 因为S3＝6，S5＝﹣5， 所以，解得， 所以S6＝6a1+15d＝6×5﹣15×3＝﹣15． 故选：B． 3.(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　） A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8 【解答】解：由已知，S3＝a1+a2+a37，即6q2﹣q﹣1＝0，解得q（负根舍去），故A正确， a5＝q2，故B错误，S5＝S3+q+q2＝7，故C错误， an＝a3qn﹣3，Sn8，所以an+Sn88，故D正确． 故选：AD． 4.Sn＝﹣n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（　　） A．112 B．48 C．80 D．64 【解答】解：因为Sn＝﹣n2+8n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝﹣1+8＝7， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+8n）﹣[﹣（n﹣1）2+8（n﹣1）]＝﹣2n+9， 当n＝1时，也满足上式，所以an＝﹣2n+9， 所以当n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0， 所以{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+...+|a4|+|a5|+...+|a12|＝a1+a2+a3+a4﹣（a5+a6+...+a12）＝2（a1+a2+a3+a4）﹣（a1+a2+...+a12）＝2S4﹣S12＝2（﹣16+32）﹣（﹣144+96）＝80． 故选：C． 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝5，a8＝9，则S11为（　　） A．88 B．77 C．66 D．55 【解答】解：因为等差数列{an}满足a4＝5，a8＝9， 则由等差数列的性质可得：a1+a11＝a4+a8＝5+9＝14， 所以． 故选：B． 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，若an＞0，a2+a3＝10，且b3b9＝5b7，则的最小值为 　5　 ． 【解答】解：设等差数列的公差为d， 因为an＞0，可知a1＞0，d≥0， 且a2+a3＝2a3﹣d＝10，则2a3＝10+d≥10，即a3≥5， 所以； 又因为{bn}是等比数列，且b3b9＝5b7，则b3b9＝b5b7＝5b7， 显然b7≠0，可得b5＝5， 则，所以最小值为5． 故答案为：5． 7.已知单调递减的等比数列{an}满足，则a10＝（　　） A． B． C．512 D．1024 【解答】解：在单调递减的等比数列{an}中，， 所以，a1＞a5， 又a1+a5，解得， 则，解得， 因为{an}单调递减，所以． 故选：A． 8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3﹣a4＝4，3a2+a5＝25，则S20＝ 　590　． 【解答】解：等差数列{an}中，2a3﹣a4＝4，3a2+a5＝25， 可得，解得a1＝1，d＝3， 根据等差数列的求和公式可得，． 故答案为：590． 9.在数列{an}中，a1＝4，，n∈N*，前n项和为Tn，则下列说法中不正确的是（　　） A． B． C． D．8Tn＝10an﹣3 【解答】解：由在数列{an}中，a1＝4，，n∈N*，前n项和为Tn， 等式两边同时除以5n+1，可得， 设，则， 所以，数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 由等差数列的通项公式可得，，故A正确； 对于C，，故C正确； 所以，， 则， 两式相减可得 ， 所以，故B正确； 对于D，，， 则8Tn≠10an﹣3．故D错误． 故选：D． 10.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝ 　﹣7　 ． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， a7+a8+a9＝0， 则3a8＝0，解得a8＝0， a7+a10＝a8+a9＝1， 则a9＝1， d＝a9﹣a8＝1﹣0＝1， 故a1＝a8﹣7d＝0﹣7＝﹣7． 故答案为：﹣7． 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，．若，则n的最小值为 　7　 ． 【解答】解：因为， 两式相减得：，即． 两边同除以2n+1可得， 又，得a2＝6，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列{cn}单调递增，因为， 所以当1≤n≤6时，，即； 当n≥7时，， 即．所以n的最小值为7．故答案为：7． 12.（2025新高考I卷）设数列{an}满足a1＝3，． （1）证明：{nan}为等差数列； （2）设f（x）＝a1x+a2x2+⋯+amxm，求f′（﹣2）． 【解答】解：（1）证明：因为， 所以（n+1）an+1＝nan+1，即（n+1）an+1﹣nan＝1， 因为a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）知，nan＝3+n﹣1＝n+2， 因为f（x）＝a1x+a2x2+⋯+amxm， 所以3+4x+5x2+...+（m+1）xm﹣2+（m+2）xm﹣1， 所以f′（﹣2）＝3+4×（﹣2）+5×（﹣2）2+...+（m+1）（﹣2）m﹣2+（m+2）（﹣2）m﹣1，① ﹣2f′（﹣2）＝3×（﹣2）+4×（﹣2）2+5×（﹣2）3+...+（m+1）（﹣2）m﹣1+（m+2）（﹣2）m，② ①﹣②得：3f′（﹣2）＝3+（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+...+（﹣2）m﹣1﹣（m+2）（﹣2）m（m+2）（﹣2）m， 所以，m∈N*． 13.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，Sn+1﹣4Sn＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和． 【解答】解：（1）由Sn+1﹣4Sn＝8，a1＝8，可得（a1+a2）﹣4a1＝8，得a2＝32； 当n≥2时，由Sn+1﹣4Sn＝8，可得Sn﹣4Sn﹣1＝8， 两式相减可得an+1＝4an，对n＝1也成立， 所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，，n∈N*． （2）因为， 所以， 所以． 故数列{bn}的前n项和为，n∈N*． 14.在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2＝2a1+a3，S4＝30，S2＝38﹣a5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由3a2＝2a1+a3，得3a1q＝2a1+a1q2，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1， 当q＝1时，由S4＝30，得4a1＝30，解得a1，此时S2＝2a1＝15≠38﹣a5＝38，故舍去q＝1， 当q＝2时，由S430， 解得a1＝2， 所以an＝2×2n﹣1＝2n； （2）由（1）可知bn＝an•log2an＝2n•n， 所以Tn＝1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， 则2Tn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1， 两式相减得﹣Tn＝2+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n•2n+1n•2n+1＝2n+1（1﹣n）﹣2， 所以Tn＝（n﹣1）•2n+1+2． 15.已知数列中，，前项和. 1. 求,及的通项公式; 1. 证明:. 解:(1)对于,则有: 令,则,解得; 令,则,解得; 当时,则,整理得, 则; 注意到也满足上式,故. 1. 由(1)可得, 则, 当时,恒成立,故. 16.已知{an}是无穷正整数数列，定义操作D（k，s）为删除数列{an}中除以k余数为s的项， 剩下的项按原先后顺序不变得到新数列{bn}．若，n∈N*，进行操作D（3，1）后 剩余项组成新数列{bn}，设数列{log3（an+bn）}的前n项和为Sn． （1）求Sn； （2）设数列{cn}满足cn＝log3b2n﹣1，求数列的前n项和． 【解答】解：（1）因为，可知a1＝1（满足除以3余数为1），当n≥2时，an为3的倍数，进行操作D（3，1），即删除a1，剩余a2，a3，a4，a5，⋯， 则，可得， 所以； （2）由（1）可知， 则，所以数列的前n项和 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 数列专题复习 知识点梳理 知识点一、数列的概念与简单表示法 1.数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成： 简记为.项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. 1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列； 4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 2.通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 3.数列的前n项和 （1）数列的前n项和的定义：我们把数列从第一项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即. （2）数列前n项和与通项公式之间的关系： 知识点二、等差数列 1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 2.等差中项：有三个数组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时叫做的等差中项. （1）根据等差中项的定义：是等差数列，则；反之，若，则是等差数列. （2）在等差数列中，任取相邻的三项，则是与的等差中项；反之，是与的等差中项对一切均成立，则数列是等差数列. 因此，数列是等差数列. （3）若数列是等差数列，且p+q=s+t,则.（p,q,s,t∈N） 3.等差数列的通项公式 （1）等差数列的通项公式：，其中为首项，为公差. 等差数列的通项公式的推导方法： 累加法：因为是等差数列，所以 等号两边分别相加，得，所以. （2）等差数列的应用：已知等差数列中任意两项， 4.等差数列与一次函数的关系 （1）从函数观点认识等差数列：由于=，所以当d≠0时，等差数列的第n项是一次函数. （2）等差数列的单调性： 当d>0时，数列为递增数列； 当d<0时，数列为递减数列； 当d=0时，数列为常数列. 5.等差数列的前n项和 （1）等差数列前n项和公式：（ 1）； （2）. （2）公式的推导：若等差数列的前n项和为，公差为d， 则； 倒序，得： 两式相加，得：=， 所以有. 将代入上式，得. （3）等差数列前n项和的常用性质 性质1：等差数列中连续m项的和仍为等差数列，公差为. 性质2：若等差数列的前n项和为， 则，k=1,2······ 性质3：①当项数为2n时，，. ②当项数为2n+1时，，. 性质4：若等差数列的前n项和为，则数列仍为等差数列，其首项为， 公差为，且点（n=1,2,3,···）共线. 性质5：若数列与均为等差数列，且前n项和分别是和, 则，. 知识点三、等比数列 1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示. （1）等比数列的各项不能为0，公比也不能为0； （2） . 2.等比中项：如果在中间插入一个数G，使得成等比数列，那么G叫做的等比中项. （1）由可得，； （2）等比数列中任取相邻的三项，则. 3.等比数列通项公式： （1）首项为，公比为的等比数列通项公式为：. 公式的推导：累乘法：因为是等比数列，所以当n≥2时， ，所以. 4.等比数列与指数函数的关系 （1）从函数观点认识等比数列：由可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项是函数当时的函数值. （2）等比数列的单调性：由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列为递增数列. ②当或时，等比数列为递减数列. ③当时，等比数列为常数列.④当时，等比数列为摆动数列. 5.等比数列的性质：设数列是公比为的等比数列： 性质1：设是数列中任意两项，则：. 性质2：若数列是等比数列，且s+t=m+n，则. 特别的，若,则 性质3：若是等比数列，则下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列. 即若成等差数列，则成等比数列. 性质4：若数列是公比为的等比数列，则连续相邻m项的积构成公比为的等比数列. 性质5：（1）若数列是公比为的等比数列，则数列，则，，都是等比数列，且公比分别是. （2）若数列和分别是公比为和的等比数列，则数列，仍是等比数列，且公比分别是，. 性质6：公比为的有穷等比数列，把各项倒序排列得到的数列仍是等比数列，公比为. 6.等比数列的前n项和的公式 （1）公式：等比数列的前n项和 . （2）公式推导过程： 设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和 则①，②， ①-②得：， 因此，当q≠1时，. （3）设等比数列的前n项和为，公比为 ①当，，，均不为零时，数列，，仍是等比数列，其公比为； ②“相关和”的性质：； ③若共2n项，则. ④当时，；当时，. 典型例题 例1.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9，S6成等差数列，则（　　） A．a2，a5，a8成等比数列 B．a2，a8，a5成等差数列 C．S2，S5，S8成等比数列 D．S2，S8，S5成等差数列 例2.数列{an}的通项公式为，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣3 D．﹣19 例3.（多选）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，an的前n项和为Sn，则（　　） A．a1＝2 B．数列{an}是等比数列 C．Sn，S2n，S3n构成等差数列 D．数列前100项和为 例4.已知数列{an}满足，则数列{an}的前2017项和S2017＝（　　） A． B． C． D． 例5.已知数列的前项和为，，且()． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足()，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 例6.已知数列满足:，. (1)证明：数列是等差数列; (2)设，求数列的前项和. 随堂演练 1.（2025新高考I卷）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列 的公比为　 　． 2.（2025新高考II卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（　　） A．﹣20 B．﹣15 C．﹣10 D．﹣5 3.(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　） A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8 4.Sn＝﹣n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（　　） A．112 B．48 C．80 D．64 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝5，a8＝9，则S11为（　　） A．88 B．77 C．66 D．55 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，若an＞0，a2+a3＝10，且b3b9＝5b7，则的最小值为　 　． 7.已知单调递减的等比数列{an}满足，则a10＝（　　） A． B． C．512 D．1024 8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3﹣a4＝4，3a2+a5＝25，则S20＝ 　590　． 9.在数列{an}中，a1＝4，，n∈N*，前n项和为Tn，则下列说法中不正确的是（　　） A． B． C． D．8Tn＝10an﹣3 10.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝　 　． 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，．若，则n的最 小值为　 　． 12.（2025新高考I卷）设数列{an}满足a1＝3，． （1）证明：{nan}为等差数列； （2）设f（x）＝a1x+a2x2+⋯+amxm，求f′（﹣2）． 13.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，Sn+1﹣4Sn＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和． 14.在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2＝2a1+a3，S4＝30，S2＝38﹣a5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 15.已知数列中，，前项和. （1）求,及的通项公式; （2）证明:. 16.已知{an}是无穷正整数数列，定义操作D（k，s）为删除数列{an}中除以k余数为s的项， 剩下的项按原先后顺序不变得到新数列{bn}．若，n∈N*，进行操作D（3，1）后 剩余项组成新数列{bn}，设数列{log3（an+bn）}的前n项和为Sn． （1）求Sn； （2）设数列{cn}满足cn＝log3b2n﹣1，求数列的前n项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $