第05讲 数列求和方法讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）讲义-2026届高三数学二轮复习专题（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦数列求和核心考点，涵盖公式法、分组转化法等十大题型及拓展专练，按“定通项-判类型-选方法”逻辑构建知识体系，通过知识要点梳理、解题策略提炼、题型归纳演练等环节，帮助学生系统掌握高考高频求和方法，突破错位相减、裂项相消等难点。 资料突出分层教学与核心素养培养，如裂项相消法分等差、无理等十二类模型专项训练，错位相减法强调步骤规范与运算精准，结合分期付款等实际问题培养数学建模素养。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，助力学生高效备考，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第05讲 数列求和方法 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：公式法求和 10 题型02：分组转化法求和 11 （一）等差+等比 11 （二）等差（等比）+裂项 12 （三）奇偶型求和 13 （四）正负相间型求和 15 题型03：倒序相加法求和 16 题型04：错位相减法求和 20 （一）等差等比 20 （二）等差/等比 22 （三）错位相消（插入数型） 24 题型05：裂项相消法求和 26 （一）等差型 26 （二）无理型 28 （三）指数型 30 （四）对数型 32 （五）幂型 33 （六）通项与前n项和型 35 （七）复杂裂项型：分离常数型 35 （八）复杂裂项型：分子裂差法 36 （九）复杂裂项型：指数裂项法 37 （十）复杂裂项型：等差指数仿写法 38 （十一）正负型：等差裂和型 39 （十二)正负型：等差裂差型 40 （十三）正负型：指数裂和型 40 题型06：并项求和 41 题型07：绝对值求和 45 题型08：先放缩再求和 47 题型09：奇偶项求和 50 （一）数列奇偶项求和 50 （二）分段数列求和 52 题型10：数列求和的实际应用 54 （一）分期付款 54 （二）产值增长 54 （三）其他模型 56 数列求和拓展专练型 57 一 裂项相消求和进阶 57 题型01：裂和型裂项相消： 57 题型02：根式型裂项相消： 59 题型03：等差乘等比型裂项： 60 题型04：三项等差裂项: 63 题型05：其它裂项求和 65 二 分组求和与并项求和进阶 66 题型06：奇偶项的通项公式不一致的数列求和 66 题型07：;插入数字构成新数列后求和 67 题型08：隔项数列求和（一般并项求和） 69 题型09：通项含有的数列求和 70 题型10：涉及sin，cos的数列求和 75 题型11：奇偶交织”的递推数列求和问题 77 题型12：奇偶数列的前项和及S2n与S2n-1下标的讨论和处理 78 三 其它求和问题 82 题型13：放缩求和 82 题型14：恒（能）成立问题 90 题型15：公共项相关求和 91 题型16：取整数列求和 94 题型17：数列的自定义问题 95 巩固提升 97 一、考情定位 1. 考查频率：数列求和是高考数学数列板块的核心考点，在全国卷及新高考卷中每年必考，既会以选择题、填空题形式单独考查（分值 5 分），也常与通项公式求解、不等式证明结合，作为解答题的第 2 问出现（分值 6 - 8 分）。 2. 考查题型：基础题型考查公式法、分组求和法；中档题型考查裂项相消法、错位相减法；难题会将求和与放缩法结合，用于证明数列不等式，区分度较高。 3. 命题趋势：近年来高考弱化了复杂的递推公式变形，更强调通性通法的应用，注重考查学生对数列本质的理解，以及将不规则数列转化为规则数列求和的转化与化归思想。 二、核心求和方法及适用场景 求和方法 适用数列类型 高考高频示例 公式法 等差数列、等比数列，或可直接化为这两类的数列 已知是公差为的等差数列，求 分组求和法 由两类或多类可求和数列相加组成的数列 数列通项为，求前项和 裂项相消法 通项可拆分为两项之差，且拆分后相邻项能抵消的数列 通项为、的数列求和 错位相减法 由等差数列×等比数列组成的数列（差比数列） 通项为、的数列求和 一、知识目标 1. 熟练掌握公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法这四种高考核心求和方法的适用条件，能精准判断不同通项形式的数列对应的求和策略。 2. 牢记等差数列、等比数列的求和公式，明确等比数列求和时**q=1与q≠1的分类讨论前提**，掌握各类方法的核心变形步骤。 3. 理解数列求和的本质是将非规则数列转化为规则数列的化归思想，能识别可通过变形（如通项拆分、错位相减构造）转化为基础数列的复杂数列。 二、能力目标 1. 运算求解能力：能准确完成错位相减法中的代数变形、裂项相消法中的系数配平，避免漏项、计算失误等高频错误，提升运算准确率。 2. 逻辑推理能力：能结合数列通项的结构特征，推导对应的求和步骤；在与不等式证明结合的题型中，能通过求和结果进行合理放缩。 3. 迁移应用能力：能将求和方法迁移到综合题型中，比如与函数、导数、不等式等知识结合的问题，实现跨板块知识的融合应用。 三、素养目标 1. 培养数学抽象素养：从具体数列的求和过程中，提炼出通用的求和模型与思想方法。 2. 强化数学运算素养：通过规范的步骤训练，养成严谨的运算习惯，提升数学运算的规范性与准确性。 3. 发展数学建模素养：能将实际问题（如增长率、分期付款）转化为数列求和模型，用数学方法解决实际问题。 高中数列求和方法大全 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．错位相减法 错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前项和公式的推导用的就是错位相减法.当一个数列由等差数列与等比数列对应项相乘构成时，可使用此法求数列的前项和. 设数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为；数列的前项和为，则的求解步骤如下： (1)列出和式：; (2)两边同乘公比; (3)两式相减(错位相减)并求和： ; (4)两边同时除以，即得数列的前项和. 特别提醒：注意对的讨论，在上述过程中，我们已知是等比数列的公比，所以，但对就应分，，且三种情况进行讨论. 三．裂项相消法 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型 （1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项; （2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。 （3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 四．分组求和法 求和基础思维 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 4.有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ） 5.形如，多可以通过奇偶取，再二次消去，得到奇数项或者偶数项累加法（或者跳项等差等比数列）的通项公式 注：（1）分奇偶各自新数列求和 （2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 (3)正负相间求和： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99) ＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 五．倒序相加 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 注：倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数 六．并项求和 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，常采用两项合并求解． 七．奇偶求和 八．绝对值求和 核心解题流程 1. 定通项：先求出或分析数列的通项公式a_n，这是选择求和方法的核心依据。 2. 判类型：根据通项的结构特征，判断数列属于基础数列（等差/等比），还是由基础数列组合而成的复杂数列。 3. 选方法：匹配对应的求和方法，将非规则数列转化为可求和的规则数列。 4. 验结果：对结果进行验证，比如代入n=1,2等小值检验，规避计算错误。 题型01：公式法求和 【典型例题1】等差数列的前项和为，满足. （1）求的通项公式； （2）设，求证数列为等比数列，并求其前项和. 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】（1）设等差数列的公差为， ∴，解得， ∴. （2）由（1）可得，∴， ∴数列为等比数列，首项为，公比为 ∴ 【典型例题2】已知等差数列的前n项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的公共项从大到小排列得到数列，求数列的前n项和为. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）记等差数列的公差为， 由题知，即，解得， 所以数列的通项公式为：. （2）数列的公差为，数列的公差为， 所以数列的公差为， 又数列和的首项都为2， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列， 所以. 【变式训练1-1】已知等比数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【变式训练1-2】已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，． (1)求数列、的通项公式； (2)设的前项和分别为，求． 【变式训练1-3】已知为等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和． 题型02：分组转化法求和 （一）等差+等比 【典型例题】已知数列是等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）设，根据已知可求出，即可得出答案； （2）分组求解，分别根据等差数列以及等比数列的前项和即可得出答案. （1）设，则为等比数列. 则由已知可得，，，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 所以，所以. （2）. 【变式训练2-1-1】已知数列为非零数列，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【变式训练2-1-2】设数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式训练2-1-3】已知等差数列，其前项和为.满足，且6是和的等比中项. （1）求的通项公式； （2）设的前项和为，求. （二）等差（等比）+裂项 【典型例题】已知数列的前项和，设 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）由可求得 的值，当时，由可得，两式作差变形可得，利用等比数列的定义可证得是等比数列. (2)求出，利用分组求和法结合等比数列的求和公式，裂项相消法可求得的前项和. （1）证明：，时， 作差得，整理得到：， ，代入适合上式， 因为，故， ， 是以3为首项，公比为3的等比数列. （2）由（1）知，所以，， 【变式训练2-2-1】已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：． （三）奇偶型求和 【典型例题1】已知数列满足 （1）记，求出及数列的通项公式； （2）求数列的前200项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为， 所以， 所以． 因为， 所以数列是以19为首项，为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）可得， 则， 当时，符合上式，所以， 所以数列的奇数项构成首项为20，公差为的等差数列， 偶数项构成首项为19公差为的等差数列， 则数列的前200项和为 ． 【典型例题2】已知数列的通项公式为求此数列的前项和． 【答案】 【解析】分为奇数和偶数两种情况，结合等差和等比求和公式计算即可. 当为奇数时， . 当为偶数时， . 综上， 【变式训练2-3-1】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【变式训练2-3-2】已知数列，，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列和的通项公式． (2)记，求数列的前n项和． 【变式训练2-3-3】已知为等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【变式训练2-3-4】已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)设,数列的前项和记为，证明： 【变式训练2-3-5】已知各项均为正数的数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求． （四）正负相间型求和 【典型例题1】【多选】已知数列满足，，且，则（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列的前项和为 【答案】AD 【解析】利用递推公式求判断ABC，按为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和判断D. 因为，， 所以，，，，故A正确； 因为，所以数列不是等比数列，B错误； 因为，所以数列不是等差数列，C错误； 当时，，，两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，， 当时，，，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， ； 所以，， 设，则， 所以 ，D正确； 故选：AD 【典型例题2】已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，解出，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，然后用并项求和法即可求解. （1）由可得，即， 设等差数列的公差为d，则， 解得.∴，. （2）由（1）可得，∴. 为偶数时，. 为奇数时， 也符合.   ∴. 【变式训练2-4-1】已知数列的前项和为，则（ ） A．1012 B． C．2023 D． 【变式训练2-4-2】已知等差数列中，，，则数列的前2024项的和为（ ） A．1010 B．1012 C．2023 D．2024 【变式训练2-4-3】已知是数列的前项和，已知目， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练2-4-4】在等比数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 题型03：倒序相加法求和 【典型例题1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则（    ） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038 【答案】D 【解析】利用，再等差数列前𝑛项和的方法倒序相加法求和即可. ， ∵函数 ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 【典型例题2】已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ） A．230 B．115 C．110 D．100 【答案】B 【解析】利用倒序相加法即可求得前20项的和. ，① ，② 两式相加，又因为 故，所以 所以的前20项的和为 故选：B 【典型例题3】已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2)(3) 【解析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. （1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【变式训练3-1】定义在上的函数满足是奇函数，若数列的项满足：，则数列的通项公式为 ． 【变式训练3-2】已知函数，则______． 【变式训练3-3】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 . 【变式训练3-5】已知函数，，则的对称中心为 ；若（），则数列的通项公式为 ． 【变式训练3-6】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【变式训练3-7】已知函数，正项等比数列满足，则 【变式训练3-8】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 【变式训练3-9】在等差数列中， (1)若首项为公差为，求（注意：请写出推导过程）； (2)若，，，求； 【变式训练3-10】已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【变式训练3-11】设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 【变式训练3-12】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【变式训练3-13】已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数 【变式训练3-14】已知函数. (1)若对任意的恒成立，求t的取值范围； (2)设且，证明：. 【变式训练3-15】记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 题型04：错位相减法求和 （一）等差等比 【典型例题1】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）根据给定条件，变形等式，利用等比数列定义判断作答. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求解作答. （1）在数列中，因，则， 于是得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以． （2）由（1）知，， 则， 于是得， 两式相减得： ， 所以. 【典型例题2】已知数列，，，设，数列，的前项和分别为，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知数列为等比数列，可求通项和前项和； （2）由数列的通项可知，前项和用错位相减法. （1）∵，即，又，∴数列是首项为2公比为2的等比数列， 则，得. （2）由（1）得：， ∴① ② ①-②得：， ∴. 【变式训练4-1-1】设数列的前项和为，且，，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【变式训练4-1-2】已知为正项数列的前项的乘积，且 (1)求数列的通项公式 (2)令，求数列的前项和. 【变式训练4-1-3】已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为． （二）等差/等比 【典型例题1】已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列. （2）利用错位相减法求和即可. （1）由得，即， 又，， 数列为以2为首相，2为公比的等比数列； （2）由（1）得， ， 【典型例题2】已知数列满足，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用“退一作差”法求得. （2）利用错位相减求和法求得. （1）依题意， 当时，， 当时，由， 得， 两式相减得， 也符合上式，所以. （2）， ， 两式相减得， . 【变式训练4-2-1】已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【变式训练4-2-2】若数列的前n项和为，且，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【变式训练4-2-3】已知数列的首项，设为数列的前项和，且有. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练4-2-4】已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【变式训练4-2-5】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． （三）错位相消（插入数型） 【典型例题1】记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据和的关系，相减法即可求得数列的通项公式； （2）由得，进而得到，则，再应用错位相减法即可. （1）当时，，所以， 所以①，当时，②. 由①-②整理得. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由题意知，所以， 所以，故. 由题可知，得， 则③，④， ③-④得，所以. 【典型例题2】各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得； （2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和. 【详解】（1）由，得，所以， 所以，当时，， 所以，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以； （2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列， 所以，设数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. 【变式训练4-3-1】已知数列满足，其前项和为；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)分别求出，. 【变式训练4-3-2】已知数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项； (2)设数列满足，记的前项和为． ①求； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练4-3-3】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 题型05：裂项相消法求和 （一）等差型 【典型例题1】数列满足，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】运用累和法，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可. 由， 当时， ，显然也适合， 所以，于是有 因此， 故选：C 【典型例题2】已知等差数列满足：，，数列的前项和是． (1)求及； (2)令，求数列的前项和的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据等差数列的性质，建立方程求得公差，利用公式，可得答案； （2）利用裂项相消的求和方法，可得答案. （1）由数列为等差数列，则设其公差为，由，，则，解得， 故，. （2）由（1）可知，， 则 . 显然， 因为，，则. 【变式训练5-1-1】等比数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列前项的和. 【变式训练5-1-2】等差数列前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求的前n项和． 【变式训练5-1-3】在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题. 记等差数列的公差为，前项和为，已知__________. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练5-1-4】设是公差不为0的等差数列，为的等比中项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式训练5-1-5】已知数列和数列，满足，且，． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【变式训练5-1-6】已知为等差数列的前项和，且，当时，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （二）无理型 【典型例题1】若数列满足，则___________. 【答案】 【解析】先对化简得，从而可求得 因为， 所以 . 故答案为： 【典型例题2】已知数列的前项和为. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），可得， 可得， 即数列为首项为2，公差为2的等差数列， 可得，由，可得； （2）， 即有. 【典型例题3】记为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由结合可得及，两式相减并整理可得答案； （2）由（1）结合，可得，即可得答案. （1）由题意得：，所以，即. 又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以，两式相减得，即， 所以，因此的通项公式为. （2）由（1）可得：，. 因为. 则， 所以 . 【变式训练5-2-1】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，设的前项和为，求证：． 【变式训练5-2-2】已知数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【变式训练5-2-3】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，设的前项和为，求证：． 【变式训练5-2-4】记为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)令，证明：. 【变式训练5-2-5】已知数列的前项和为. (1)求； (2)求. （三）指数型 【典型例题1】数列的前项和是，且，则__________. 【答案】 【解析】将数列的通项公式进行裂项，利用裂项相消法求和. 因为， 故，，，， 所以， 故答案为：. 【典型例题2】已知数列满足且，且. (1)求数列的通项公式; (2)设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解； （2）利用裂项相消求和法求出即可证明. （1）解：因为，所以， 两式相减得， 当时，， 又，所以， 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）证明：， 所以， 由，得， 所以， 综上，. 【变式训练5-3-1】已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________． 【变式训练5-3-2】已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为___________. 【变式训练5-3-3】已知数列，，满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求证：． 【变式训练5-3-4】已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. （四）对数型 【典型例题】已知数列满足 (1)证明：数列为等差数列： (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）对进行整理得到，即可说明数列为等差数列； （2）将变形为或，然后求和即可. （1）法1：由， 两边同除以得，，（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1， 法2：由得， ∴（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1. （2）由，∴， 法1：， 则 . 法2：， 则 . 【变式训练5-4-1】已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （五）幂型 【典型例题】已知等差数列的前项的和为，成等差数列，且成等比数列 (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项的和为，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出的通项公式； （2）将化简，利用裂项相消法求和，即可证明. （1）设的公差为，由题意得， 即，解得， 所以.- （2）证明：， 所以 【变式训练5-5-1】设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）数列的前项和为，求证：. 【变式训练5-5-2】在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 已知是等差数列的前n项和，，___________. (1)求； (2)设，求数列的前n项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练5-5-3】已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． （六）通项与前n项和型 【变式训练5-61】设等差数列的前项和为，已知，. （1）求和； （2）若，求数列的前项和 （七）复杂裂项型：分离常数型 【典型例题1】已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求． (3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据及，可得到是首项为，公差为2的等差数列，结合定义法求通项公式即可； （2）根据（1）的结果求得，结合裂项相消法求和即可； （3）根据（1）的结果得到，进而得到当时，，结合随的增大而增大，得到最值，即可得到，进而得到答案. （1）因为， 所以当时，，解得， 当时，， 两式相减得，， 化简得，， 因为，所以，则， 即是首项为，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为 （2）由（1）知，，因为， 所以， 所以 （3）由（1）知，，所以， 所以当时，，因为随的增大而增大， 所以，， 所以，所以的最小值为 【变式训练5-7-1】已知函数. (1)若，使得成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的为自然对数的底数 （八）复杂裂项型：分子裂差法 【典型例题】已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求； （2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明. （1）当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2）由（1）可得， ， ，，，，， ， . 【变式训练5-8-1】设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和. （九）复杂裂项型：指数裂项法 【典型例题】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式； （2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明. （1）当时，，两式相减得，， 又，，． 所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以． （2）证明：， 因为， 所以 ，因为，所以． 【变式训练5-9-1】设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. （十）复杂裂项型：等差指数仿写法 【典型例题】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得. （1）由得：， ∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以， 所以； （2），所以 . 【变式训练5-10-1】设数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； （十一）正负型：等差裂和型 【典型例题】已知数列的前项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）结合题设变形为，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求得，进而结合和的关系求解即可； （2）结合（1）可得，结合裂项相消求和即可. （1）由，得， 而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，，显然也满足上式， 所以. （2）由（1）知，，， 因此， 所以. 【变式训练5-11-1】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. （十二)正负型：等差裂差型 【典型例题】已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案； （2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可. （1）设数列的公差为，数列的公比为，则，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. （2）， 数列的前项和． . 【变式训练5-12-1】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值； （2）求出及数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. （十三）正负型：指数裂和型 【典型例题】已知为等比数列，且，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到通项. （2）由递增可得，对通项进行裂项展开，当n为偶数、奇数时分别求出表达式，然后再分别求出的范围，由存在，即可求出的取值范围. （1）设等比数列公比为q， 由或， 或. （2）当为递增数列时， 所以 当为偶数时， 在上单调递减，， 当为奇数时， 在上单调递增，，. 【变式训练5-13-1】已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求的最大值和最小值. 题型06：并项求和 【典型例题1】已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解析】因为，所以，， ，，， 所以， 所以，，，， ， 所以数列的前项和为. 故选：A. 【典型例题2】若，则数列的前项和 ． 【答案】 【解析】因为， 所以． 故答案为：． 【典型例题3】设数列的通项公式为，其前项和为，则 . 【答案】100 【解析】当或，时，，； 当，时，，， 当，时. ∴， ∴. 故答案为：100. 【典型例题4】已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【解析】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 【典型例题5】已知等差数列的公差，其前n项和为，. (1)求通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用求得和，从而求得. （2）对为偶数或奇数进行分类讨论，结合分组求和法求得 （1）因为等差数列的公差，其前n项和为， 所以则， 所以，解得，，由可得. （2）； 当为偶数时，； 当为奇数时， .所以，其中. 【变式训练6-1】已知公差为3的等差数列的前项和为，且． (1)求： (2)若，记，求的值． 【变式训练6-2】已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()， (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【变式训练6-3】已知数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【变式训练6-4】已知数列的前n项和为，满足，n∈N*． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列{bn}的前100项的和． 【变式训练6-5】等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式训练6-6】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练6-7】已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练6-8】已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【变式训练6-9】已知正项数列的前项和为，且，数列满足. (1)求数列的前项和，并证明，，是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练6-10】记为数列{}的前n项和，已知. (1)求{}的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和. 【变式训练6-11】已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求. 题型07：绝对值求和 【典型例题1】已知数列，满足，，且． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)130 【解析】（1）由题可知,,都有, 数列是等差数列, 设的公差为, （2）由(1)可知，令，则, 当时，， 当时,, 【典型例题2】已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足． (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)求； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)． 【解析】（1）证明：，， ，，， ， 又由，是以1为首项，1为公差的等差数列； 所以， （2）因为， 且，所以． （3）由（2）知，所以时，；时，， 记数列的前项和为，则，从而 当时，； 当时，， 所以． 【变式训练7-1】在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【变式训练7-2】在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求的值. 【变式训练7-3】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型08：先放缩再求和 【典型例题1】已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】当时，， ， ，则为常数列， ， ，， 又时，， ， 又易得，即， . 故选：D． 【典型例题2】已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 【变式训练8-1】已知为等比数列，且为数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)令，求证：. 【变式训练8-2】已知正项数列满足. (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式； 条件①：当时，； 条件②：数列与均为等差数列； (2)在（1）的基础上，设为数列的前n项和，证明：. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 题型09：奇偶项求和 （一）数列奇偶项求和 【典型例题1】已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得，所以. 又，，所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）因为，设数列的前项和为， 则， ， 因此，. 【典型例题2】已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 【解析】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 【变式训练9-1-1】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【变式训练9-1-2】已知数列的前项和为，且满足. (1)求证:数列为等比数列; (2)已知，求数列的前2n项和. 【变式训练9-1-3】已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【变式训练9-1-4】已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【变式训练9-1-5】已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求的通项公式； (2)记求. 【变式训练9-1-6】已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，． (1)求，的通项公式； (2)设，证明：． （二）分段数列求和 【典型例题】已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答： (1)求； (2)若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据条件，利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求通项公式； （2）分奇偶讨论分别求和，然后相加即可. （1）设等差数列的公差为 选择①：由题意得，故，解得， 所以. 选择②：由题意得，即解得，所以. 选择③：由题意得，故，解得， 所以. （2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为 ， 由当为偶数时，， 得数列的前项中偶数项的和为 ， 故. 【变式训练9-2-1】已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列； (2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立． 【变式训练9-2-2】记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型10：数列求和的实际应用 （一）分期付款 【典型例题】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元. 【答案】6250 【解析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解. 设每年还款的金额为，由题意可知：，所以 故答案为：6250 【变式训练10-1-1】市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该笔贷款年限为25年，月利率为. (1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5500元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息. (2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.参考数据：. (3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由. （二）产值增长 【典型例题】资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达，每吨占地.环保部门每回收或处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃圾.如果某环保部门2002年共回收处理了废旧物资，且以后每年的回收量递增20％. (1)2018年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数） (2)从2002年到2018年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位小数） 【答案】(1)吨 (2)平方米 【解析】（1）由题意可得，再化简求值即可； （2）从2002年到2018年底的回收废旧物资累加后可求解. (1) 依题意可知，2003年共回收废旧物资吨； 2004年共回收废旧物资吨； 2005年共回收废旧物资吨； 2018年共回收废旧物资吨 (2) 从2002年到2018年底共回收废旧物资： 吨. 由于每吨占地，故可节约土地平方米 【变式训练10-2-1】甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元． (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？ （年数取整数，参考数据：，） 【变式训练10-2-2】“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%． (1)若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？ (2)到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？ （实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，） （三）其他模型 【典型例题】某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（    ） A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 【答案】B 【解析】根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，，公比，再根据等比数列的前项和公式可求得，然后由即可解出． 由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，则表示热气球在第分钟上升的高度（单位：米），且，公比. 经过分钟，热气球上升的总高度. 因为，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米. 故选：B. 【变式训练10-3-1】某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 A．3233万元 B．4706万元 C．4709万元 D．4808万元 数列求和拓展专练型 一 裂项相消求和进阶 题型01：裂和型裂项相消： 裂项相加：本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 例：（1）， （2）对于可以裂项为 （3） 【典型例题1】已知，设为数列的前项和，证明：. 【解析】 所以 由于是递减的，所以 【典型例题2】已知，若，求的前n项和. 【解析】， 所以 . 【典型例题3】已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. （1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得 【变式训练1-1】若，数列满足，的前n项和为，求 【变式训练1-2】已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列. (1)求； (2)设为数列的前项和，证明：. 【变式训练1-3】设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值． 【变式训练1-4】已知数列的前项和满足，且数列中的第2项、第5项、第14项依次组成某等比数列的连续3项（公比不等于1）． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的最大值与最小值． 题型02：根式型裂项相消： （1） （2） （3） （4） 【典型例题1】数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 【变式训练2-1】已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【变式训练2-2】已知数列满足. (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和. 【变式训练2-3】设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 题型03：等差乘等比型裂项： 例子： 一般结构 【典型例题1】已知，记，为数列的前n项和，求． 【解析】因为， 所以， 所以数列的前项和为： ． 【典型例题2】已知数列满足，，设，其中. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）首先求出，再计算，结合等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可； （3）由（2）可得，利用裂项相消法求出，即可说明，再判断的单调性，即可得证. （1）因为，，且， 所以， 又 ， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）可得， 所以， 则①， ， ①②得 ， 所以； （3）由（2）可得 ， 所以， 又 ， 所以数列单调递增，所以， 综上可得． 【变式训练3-1】（1)已知，若，求数列的前n项和 【变式训练3-2】正项数列满足：对一切，有，其中为数列的前项和． (1)证明：； (2)求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为．证明：． 【变式训练3-3】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-4】已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，求证： 题型04：三项等差裂项: 一般结构： 【典型例题1】已知，，求数列{}的前n项和 【答案】. 【解析】当时，， 因此，，， 则，满足上式， 所以. 【典型例题2】已知数列满足: . (1)求数列的通项公式;(2)设, 求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由递推关系取可求，当时，利用递推关系可求，由此可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和为. （1）当时，，解得； 当时，， 则， 两式相减得，即； 当时也成立，所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 所以. 【变式训练4-1】在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 【变式训练4-2】设数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知数列，求数列的前项和． 【变式训练4-3】在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 题型05：其它裂项求和 一般形式： （1） （2） （3） （4） 【典型例题1】设等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式． (2)令，数列的前n项和为．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）化简得到，裂项相消法求和，证明出结论. （1）设等差数列的公差为d， 则， 解得，因此； （2）证明：因为， 所以， 所以. 【变式训练5-1】已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围. 【变式训练5-2】已知，设，证明：. 【变式训练5-3】已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 二 分组求和与并项求和进阶 题型06：奇偶项的通项公式不一致的数列求和 将数列拆分成奇数项和偶数项2个数列分别求和再相加 【典型例题】已知数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前10项和. 【答案】(1)； (2)707 【解析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可； （2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可. （1）由题意可知当时， 有，此时数列的奇数项成等差数列， 由题意可知，公差为2，则， 所以，（为奇数）， 当时，有， 即此时数列的偶数项成等比数列， 由题意可知，公比为4，则， 所以，（为偶数）， 综上. （2）由上可知 【变式训练6-1】已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【变式训练6-2】已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型07：;插入数字构成新数列后求和 【典型例题1】已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ． 【答案】370 【解析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和. 因为与之间插入个4， ，，，，， 其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4， ，之间插入32个4，由于，， 故数列的前60项含有的前5项和55个4， 故 【典型例题2】已知，在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和. 【答案】 【解析】因为，，成等比数列，且公比为，所以 因为，所以，即 因为，则有： 可得： 化简可得： 所以数列的前项和： 【典型例题3】已知，在数列中的和之间插入i个数，，，…，，使，，，，…，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前n项和为，求． 【答案】. 【解析】因为在数列中的和之间插入i个数，则在列的前21项中，就是在到每两项之间各插入一组数，共插入五组， 数列的前21项为 ∴ . 【变式训练7-1】己知数列满足，在之间插入个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（  ） A．178 B．191 C．206 D．216 【变式训练7-2】已知对所有正整数m，若，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【变式训练7-3】已知数列，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【变式训练7-4】已知数列的前项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和. 【变式训练7-5】已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求． 【变式训练7-6】已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 题型08：隔项数列求和（一般并项求和） 隔项数列一般有三种形式： ，， 并项求和比分组求和计算量小一些 【典型例题1】已知数列满足，，则________ 【答案】 【解析】数列满足，， 因为，，所以， 【典型例题2】在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【解析】因为， 所以，故选：C. 【变式训练8-1】记，为数列的前n项和，已知，求． 【变式训练8-2】已知数列满足，，则 ． 【变式训练8-3】已知数列满足. (1)若为等比数列，求的通项公式； (2)若的前项和为，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练8-4】设公差不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和． 题型09：通项含有的数列求和 【典型例题1】已知数列各项均为正数，且，. (1)证明：为等差数列，并求出通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)20 【解析】（1）根据等差数列定义证明等差数列，再根据通项公式计算即可； （2）分组求和计算可得. （1）因为， 所以，， 因为数列各项均为正数，即， 所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为. 所以. （2）由（1）知，其公差为，所以， 所以，. 【典型例题2】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的通项公式及； （2）对任意的，计算得出，利用等差数列的求和公式可求得的值. （1）解：设等差数列的公差为，由可得，可得， 因为，则， 所以，，解得，则， 所以，. 所以，. （2）解：因为， 对任意的，， 所以，数列的前项和. 【典型例题3】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. （1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 【典型例题4】已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据之间的关系，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1）求出的表达式，利用分组求和以及裂项相消求和的方法，即可求得答案. （1）由题意知数列满足， 当时，，故， 适合该式，故； （2）由（1）知 ， 记数列：，， 则， ， 故. 【典型例题5】已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得. （1）依题意，，， 则，由，得，解得，而， 所以. （2）由是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，从而，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 所以. 【变式训练9-1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 【变式训练9-2】在等差数列中，. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【变式训练9-3】数列的前n项积为，且满足． (1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前2n项和． 【变式训练9-4】已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【变式训练9-5】已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【变式训练9-6】已知数列是等差数列，数列是公比大于1的等比数列，的前项和为.条件①；条件②；条件③；条件④.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列、存在且唯一确定. (1)求数列、的通项公式；(2)求数列的前项和. 【变式训练9-7】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，. (1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和. 【变式训练9-8】在等差数列中，. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【变式训练9-9】设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式训练9-10】已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 【变式训练9-11】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型10：涉及sin，cos的数列求和 分2种类情况，若是周期数列就并项求和即可，若是这种类型则需要分析看选择并项求和还是分组求和 【典型例题1】已知数列满足，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据的周期性，分组求和即可. 依题意，数列是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可， 因为，所以， 又，所以. 【典型例题2】已知数列{}的前n项和为，通项公式为，则 【答案】2024 【解析】分组求和两个为一组计算，即可求得的值. 当为奇数时， 当为偶数时，， 所以. 【典型例题3】数列满足． (1)求数列通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式． （2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求. （1）由，有， 又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 则有，所以数列通项公式. （2）设， 为奇数时，；为偶数时，. 为奇数时， ； 为偶数时， . 所以. 【变式训练10-1】设数列 的通项公式为，其前项和为，则 【变式训练10-2】已知，若，求数列的前项和. 【变式训练10-3】数列的前n项和为，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【变式训练10-5】已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 题型11：奇偶交织”的递推数列求和问题 优先考虑并项求和 【典型例题1】已知数列满足，，求的前20项和. 【答案】. 【解析】，设 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是 ． 【典型例题2】已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【解析】由题意数列的所有偶数项构成以1为首项2为公比的等比数列，所有奇数项构成以1为首项1为公差的等差数列，分组求和即可. 由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 【变式训练11-1】已知数列的首项，且满足 (1)记，证明：为等比数列；(2)求数列的通项公式及其前项和. 【变式训练11-2】,(),是的等比中项，则数列的前20项的和为 ． 【变式训练11-3】已知数列满足，若为数列的前项和，则 【变式训练11-4】已知数列满足，若，求. 【变式训练11-5】已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 题型12：奇偶数列的前项和及S2n与S2n-1下标的讨论和处理 对于奇偶数列的前项和，一般来需要对n的奇偶进行分类讨论，而在计算时可以通过改变下标令和来简化计算，详情见例1 【典型例题1】已知数列 （1）求数列的前20项和 （2）求数列的前项和. （3）求数列的前项和. （4）求数列的前项和 【解析】 （1） （2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列. 记， ，故 ，故 （3） （4）当n为偶数时，记n=2k 则有，故 当n为奇数时，记n=2k-1 则有，故 故 【典型例题2】已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）对递推式变形得，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解； （2）先利用（1）知，然后利用分组求和思想求解即可. （1）显然，将两边同时取倒数得，即，所以数列是公差为2的等差数列， 所以，所的. （2）由已知得，那么数列的前项和， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 故. 【典型例题3】已知，，求数列{}的前n项和. 【答案】 【解析】对分奇偶讨论，当n为偶数时，采用并项法求和，当n为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时， 当时， 当时， 经检验，也满足上式， 所以当n为奇数时， 综上，数列的前n项和 【典型例题4】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 （1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式训练12-1】已知，记的前n项和为，，求n的最小值. 【变式训练12-2】已知，若，求数列的前n项和． 【变式训练12-3】已知是数列的前项和，已知目， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练12-4】在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求的前n项和. 【变式训练12-5】已知数列的前n项和为，n为正整数，且． (1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和． 【变式训练12-6】已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 三 其它求和问题 题型13：放缩求和 数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择） 一、等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； 二、根式型 （5）； （7）； （8） ； （9） ； 三、指数型 （10）； （11）； （12）； （13）． （14）． 【典型例题1】已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. （1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【典型例题2】设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析 【解析】（1）法一：根据，得到，变形后得到，证明出结论，并求出通项公式； 法二：由题目条件得到，得到以3为首项，以2为公差的等差数列，求出，进而求出，并证明出数列是等差数列； （2）利用放缩法得到，裂项相消法求和，得到. （1）方法一：当，得， 当时，① ② 两式相除可得： 即，又， 故， 变形为：， 因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列． 所以 化简可得 法二：因为，， 所以 即 令，则， 所以以3为首项，以2为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 又因为满足上式， 所以， 所以，故， 故数列是等差数列． （2） 因为， 所以 【典型例题3】已知正项数列中，，前项和为，且______．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答． 条件：①；②． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合可求数列的通项公式； 若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，由条件求出公差，即可得出数列的通项公式； （2）利用放缩法及裂项相消求和法证明不等式. （1）若选①，由，得(， 即(， 因为为正项数列，所， ∴是公差为2的等差数列，又， ∴. 若选②，，当时，， 两式作差得：，则， 两式作差得：， 即，所以数列为等差数列， 时，，可得 公差， ∴. （2）∵， ∴. 【典型例题4】已知数列，满足，且，数列满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解； （2）求出，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立. （1）， ，又， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即. （2）由（1）知， ， ， . 【典型例题5】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行证明即可. （1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 【变式训练13-1】已知正项数列的前n项和为，且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 【变式训练13-2】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【变式训练13-3】已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【变式训练13-4】已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【变式训练13-5】已知数列满足：. (1)求； (2)证明：. 【变式训练13-6】正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求证：． 【变式训练13-7】正项数列 满足 ， (1)求数列 的通项公式； (2)，时， ①证明：； ②证明： . 题型14：恒（能）成立问题 【典型例题1】数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案. 由， 当时，， 两式相减可得：， ∴，由，显然成立， 设， ∴当时，，当时，， 因此，，数列单调递增，当时，数列单调递减， 由，，故当或时，数列取最大值，且最大值为， 对任意，所有的正整数n都有成立，可得， 因此，，即对任意恒成立， 由，当且仅当，即时取最小值，则， ∴实数k的取值范围是. 【典型例题2】已知数列中，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以. (2) ， 若对于恒成立，即， 可得即对于任意正整数恒成立， 所以，令，则， 所以，可得，所以， 所以的取值范围为 【变式训练14-1】已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 【变式训练14-2】已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【变式训练14-3】已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 题型15：公共项相关求和 【典型例题1】已知等差数列满足，，数列满足，且． (1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式： (2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【解析】（1）根据等差数列公式确定，计算得到，得到证明. （2）确定，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案. （1）由题可知，， 所以，，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以（常数）， 所以是等比数列， 所以，即． （2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，， 故． ． 【典型例题2】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和． 【答案】(1) (2)79380 【解析】（1）根据题意分析可得，，结合等差数列的通项公式分析求解； （2）根据题意分析可知与的公共项为4，8，16，，共8项，结合等差、等比数列求和公式运算求解. （1）当时，，所以； 当时，，所以； 当n为偶数时，； 当n为奇数时，； 综上所述：. （2）设的前n项和为，的前n项和为， 由（1）可知，， 当时，可知与的公共项为4，8，16，，共8项， 所以数列的前192项和. 【典型例题3】已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【解析】（1）首先求得，由累加法即可求解； （2）不妨设，分，两种情况讨论即可求解； （3）当时，结论显然成立，当时，通过放缩法以及裂项即可得证. （1）由题意可知，即，故， 由，可得， 所以数列的公差，所以， 由， 叠加可得， 整理可得，当时，满足上式， 所以； （2）不妨设，即，可得， 当时，，不合题意， 当时，， 所以在数列中均存在公共项， 又因为，所以. （3）当时，，结论成立， 当时，， 所以， 综上所述，. 【变式训练15-1】已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 【变式训练15-3】将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求使得的的最小值． 【变式训练15-4】在数列中，已知. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 题型16：取整数列求和 【典型例题1】已知，设，求数列的前10项和.（表示不超过的最大整数） 【答案】3186. 【解析】依题意，， 则 . 【典型例题2】已知，，设，求数列的前9项的和．（注：表示不超过的最大整数） 【答案】 【解析】，则有， 依题意，=2926， 综上，，， . 【变式训练16-1】已知数列满足，记为不小于的最小整数，，则数列的前2023项和为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练16-2】已知正项数列的前项和记为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值． 【变式训练16-3】已知，若表示不超过的最大整数，如，求的值. 题型17：数列的自定义问题 【典型例题1】（多选）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对.故选：ABD. 【典型例题2】已知数列满足：，，. (1)求数列的通项公式； (2)对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明. (3)设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，得到，得到，得到数列为等差数列，进而得到数列（2）由（1）知，求得，得到是递增数列，进而证得数列是“绝对差异数列”； （3）由（1）求得，得到，分为偶数和为奇数，分别求得，结合的单调性，进而求得的取值范围. （1）解：因为，所以， 因为，可得，所以， 所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以， 可得，即， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以. （2）解：由（1）知， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 所以数列是“绝对差异数列”. （3）解：由（1）知，，可得， 所以， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 当为偶数时，单调递减， 此时时，此时取得最大值，则； 当为奇数时，单调递增，此时，所以， 综上可得，实数的取值范围是. 【变式训练17-1】已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 【变式训练17-2】对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 一、单选题 1．化简式子，得（    ） A． B． C． D． 2．已知数列，且，则数列的前2024项之和为（    ） A．1012 B．2022 C．2024 D．4048 3．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，则从今年起4年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为（    ）万吨（精确到0.1万吨）（参考数据：，） A． B． C． D． 4．德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（    ） A．2091 B．2101 C．2110 D．2112 5．设首项为的数列的前n项和为，，且，则数列的前23项和为（    ） A． B． C． D． 6．（已知数列满足，若，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 7．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．设数列满足（且），是数列的前项和，且，，则数列的前项和为（　　 ） A． B． C． D． 9．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（    ） A．4048 B．4046 C．2023 D．2024 10．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 1.已知数列的前n项积为，，则（    ） A． B．为递增数列 C． D．的前n项和为 2.公差为的等差数列满足,则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的前项和为 3.已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 4.已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 三、填空题 1.已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数 . 2.已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 3.数列的通项公式为，前项和为，则 ． 4.设数列满足，若，则的前99项和为 . 5.已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 6.将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 .    四、解答题 1.已知数列的前n项和为，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2.已知等差数列满足，等比数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 3.已知正项等比数列的方前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证. 4.已知数列的前项和满足，且数列中的第2项、第5项、第14项依次组成某等比数列的连续3项（公比不等于1）． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的最大值与最小值． 5.设等差数列的前n项和为，且满足 (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和 6.已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、、成等比数列，，， (1)求数列和的通项公式 (2)若，求数列的前n项和． 7.已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解. 8.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 9.已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 10.设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 11.已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 12.设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 13.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 14.已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 15.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 16.设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 17.设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 18.已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等? (3)在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大? 19.已知数列的首项为1，设，． (1)若为常数列，求的值； (2)若为公比为2的等比数列，求的解析式； (3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由． 20.已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 21.已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列.求的值. 22.记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 23.在等差数列中，是数列的前n项和，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 24.已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2n项和． 25.正项数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 26.数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列. (1)依次求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)记（n为正整数），求数列的前n项和. 27.已知等差数列，其前项和满足为常数. (1)求及的通项公式； (2)记数列 ，求前项和的. 28.已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 29.在数列中，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前项和为，证明：. 30.记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 31.已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求数列的前2n项和. 32.已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 数列求和方法 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：公式法求和 10 题型02：分组转化法求和 13 （一）等差+等比 13 （二）等差（等比）+裂项 15 （三）奇偶型求和 17 （四）正负相间型求和 22 题型03：倒序相加法求和 25 题型04：错位相减法求和 36 （一）等差等比 36 （二）等差/等比 39 （三）错位相消（插入数型） 45 题型05：裂项相消法求和 50 （一）等差型 50 （二）无理型 55 （三）指数型 60 （四）对数型 63 （五）幂型 66 （六）通项与前n项和型 69 （七）复杂裂项型：分离常数型 69 （八）复杂裂项型：分子裂差法 71 （九）复杂裂项型：指数裂项法 72 （十）复杂裂项型：等差指数仿写法 74 （十一）正负型：等差裂和型 75 （十二)正负型：等差裂差型 76 （十三）正负型：指数裂和型 78 题型06：并项求和 80 题型07：绝对值求和 91 题型08：先放缩再求和 94 题型09：奇偶项求和 97 （一）数列奇偶项求和 97 （二）分段数列求和 104 题型10：数列求和的实际应用 106 （一）分期付款 106 （二）产值增长 108 （三）其他模型 111 数列求和拓展专练型 112 一 裂项相消求和进阶 112 题型01：裂和型裂项相消： 112 题型02：根式型裂项相消： 116 题型03：等差乘等比型裂项： 119 题型04：三项等差裂项: 125 题型05：其它裂项求和 129 二 分组求和与并项求和进阶 133 题型06：奇偶项的通项公式不一致的数列求和 133 题型07：;插入数字构成新数列后求和 135 题型08：隔项数列求和（一般并项求和） 140 题型09：通项含有的数列求和 143 题型10：涉及sin，cos的数列求和 154 题型11：奇偶交织”的递推数列求和问题 159 题型12：奇偶数列的前项和及S2n与S2n-1下标的讨论和处理 163 三 其它求和问题 172 题型13：放缩求和 172 题型14：恒（能）成立问题 185 题型15：公共项相关求和 188 题型16：取整数列求和 192 题型17：数列的自定义问题 194 巩固提升 199 一、考情定位 1. 考查频率：数列求和是高考数学数列板块的核心考点，在全国卷及新高考卷中每年必考，既会以选择题、填空题形式单独考查（分值 5 分），也常与通项公式求解、不等式证明结合，作为解答题的第 2 问出现（分值 6 - 8 分）。 2. 考查题型：基础题型考查公式法、分组求和法；中档题型考查裂项相消法、错位相减法；难题会将求和与放缩法结合，用于证明数列不等式，区分度较高。 3. 命题趋势：近年来高考弱化了复杂的递推公式变形，更强调通性通法的应用，注重考查学生对数列本质的理解，以及将不规则数列转化为规则数列求和的转化与化归思想。 二、核心求和方法及适用场景 求和方法 适用数列类型 高考高频示例 公式法 等差数列、等比数列，或可直接化为这两类的数列 已知是公差为的等差数列，求 分组求和法 由两类或多类可求和数列相加组成的数列 数列通项为，求前项和 裂项相消法 通项可拆分为两项之差，且拆分后相邻项能抵消的数列 通项为、的数列求和 错位相减法 由等差数列×等比数列组成的数列（差比数列） 通项为、的数列求和 一、知识目标 1. 熟练掌握公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法这四种高考核心求和方法的适用条件，能精准判断不同通项形式的数列对应的求和策略。 2. 牢记等差数列、等比数列的求和公式，明确等比数列求和时**q=1与q≠1的分类讨论前提**，掌握各类方法的核心变形步骤。 3. 理解数列求和的本质是将非规则数列转化为规则数列的化归思想，能识别可通过变形（如通项拆分、错位相减构造）转化为基础数列的复杂数列。 二、能力目标 1. 运算求解能力：能准确完成错位相减法中的代数变形、裂项相消法中的系数配平，避免漏项、计算失误等高频错误，提升运算准确率。 2. 逻辑推理能力：能结合数列通项的结构特征，推导对应的求和步骤；在与不等式证明结合的题型中，能通过求和结果进行合理放缩。 3. 迁移应用能力：能将求和方法迁移到综合题型中，比如与函数、导数、不等式等知识结合的问题，实现跨板块知识的融合应用。 三、素养目标 1. 培养数学抽象素养：从具体数列的求和过程中，提炼出通用的求和模型与思想方法。 2. 强化数学运算素养：通过规范的步骤训练，养成严谨的运算习惯，提升数学运算的规范性与准确性。 3. 发展数学建模素养：能将实际问题（如增长率、分期付款）转化为数列求和模型，用数学方法解决实际问题。 高中数列求和方法大全 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．错位相减法 错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前项和公式的推导用的就是错位相减法.当一个数列由等差数列与等比数列对应项相乘构成时，可使用此法求数列的前项和. 设数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为；数列的前项和为，则的求解步骤如下： (1)列出和式：; (2)两边同乘公比; (3)两式相减(错位相减)并求和： ; (4)两边同时除以，即得数列的前项和. 特别提醒：注意对的讨论，在上述过程中，我们已知是等比数列的公比，所以，但对就应分，，且三种情况进行讨论. 三．裂项相消法 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型 （1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项; （2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。 （3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 四．分组求和法 求和基础思维 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 4.有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ） 5.形如，多可以通过奇偶取，再二次消去，得到奇数项或者偶数项累加法（或者跳项等差等比数列）的通项公式 注：（1）分奇偶各自新数列求和 （2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 (3)正负相间求和： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99) ＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 五．倒序相加 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 注：倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数 六．并项求和 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，常采用两项合并求解． 七．奇偶求和 八．绝对值求和 核心解题流程 1. 定通项：先求出或分析数列的通项公式a_n，这是选择求和方法的核心依据。 2. 判类型：根据通项的结构特征，判断数列属于基础数列（等差/等比），还是由基础数列组合而成的复杂数列。 3. 选方法：匹配对应的求和方法，将非规则数列转化为可求和的规则数列。 4. 验结果：对结果进行验证，比如代入n=1,2等小值检验，规避计算错误。 题型01：公式法求和 【典型例题1】等差数列的前项和为，满足. （1）求的通项公式； （2）设，求证数列为等比数列，并求其前项和. 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】（1）设等差数列的公差为， ∴，解得， ∴. （2）由（1）可得，∴， ∴数列为等比数列，首项为，公比为 ∴ 【典型例题2】已知等差数列的前n项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的公共项从大到小排列得到数列，求数列的前n项和为. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）记等差数列的公差为， 由题知，即，解得， 所以数列的通项公式为：. （2）数列的公差为，数列的公差为， 所以数列的公差为， 又数列和的首项都为2， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列， 所以. 【变式训练1-1】已知等比数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）法一：由，得 设等比数列的公比为q， 所以解得或（舍去）． 所以． 法二：因为，① 所以当时，，② ①－②得， 所以等比数列的公比． 由①式得，得，所以． （2）法一：， 故，， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 法二： ． 【变式训练1-2】已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，． (1)求数列、的通项公式； (2)设的前项和分别为，求． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据求出的通项公式，利用等比数列的性质得到，故可看作方程的两根，根据函数单调性求出，从而得到公比，求出的通项公式； （2）利用等比数列的公式求出答案. （1）当时，， 当时，， 又，满足上式 故的通项公式为， 设等比数列的公比为， 因为，， 所以可看作方程的两根， 解得：或， 因为等比数列单调递增，所以舍去， 故，解得：， 故的通项公式为； 由等比数列求和公式得：. 【变式训练1-3】已知为等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求得基本量，从而得解； （2）结合（1）中结论，判断的正负情况，从而利用分组求和法即可得解. （1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即，解得， 所以. （2）由（1）得，令，解得， 所以当时，，则； 当时，，则； 所以 . 题型02：分组转化法求和 （一）等差+等比 【典型例题】已知数列是等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）设，根据已知可求出，即可得出答案； （2）分组求解，分别根据等差数列以及等比数列的前项和即可得出答案. （1）设，则为等比数列. 则由已知可得，，，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 所以，所以. （2）. 【变式训练2-1-1】已知数列为非零数列，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 两式相除得：，即， 当时，也满足，所以． （2）由（1）可知，，所以， 所以 . 【变式训练2-1-2】设数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）利用构造法证得是等比数列，从而求得的通项公式； （2）利用分组求和法与等差数列，等比数列的前项和公式即得. （1）因为， 所以， 又因为，则， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即； （2）因为， 所以 . 【变式训练2-1-3】已知等差数列，其前项和为.满足，且6是和的等比中项. （1）求的通项公式； （2）设的前项和为，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，可得， 又因为6是和的等比中项，则，可得， 则，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）可得：， 则 ， 所以. （二）等差（等比）+裂项 【典型例题】已知数列的前项和，设 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）由可求得 的值，当时，由可得，两式作差变形可得，利用等比数列的定义可证得是等比数列. (2)求出，利用分组求和法结合等比数列的求和公式，裂项相消法可求得的前项和. （1）证明：，时， 作差得，整理得到：， ，代入适合上式， 因为，故， ， 是以3为首项，公比为3的等比数列. （2）由（1）知，所以，， 【变式训练2-2-1】已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解析】（1）利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，写出的通项公式，再利用，得到是公比为的等比数列，求出的通项公式； （2）利用分组求和及裂项相消法，得到，从而证明出结论. （1）设数列的公差为d，则． 因为，且，，成等比数列， 所以， 所以d＝3， 所以． 由，得， 所以是公比为的等比数列， 又，所以． （2）， 所以． 因为，所以． （三）奇偶型求和 【典型例题1】已知数列满足 （1）记，求出及数列的通项公式； （2）求数列的前200项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为， 所以， 所以． 因为， 所以数列是以19为首项，为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）可得， 则， 当时，符合上式，所以， 所以数列的奇数项构成首项为20，公差为的等差数列， 偶数项构成首项为19公差为的等差数列， 则数列的前200项和为 ． 【典型例题2】已知数列的通项公式为求此数列的前项和． 【答案】 【解析】分为奇数和偶数两种情况，结合等差和等比求和公式计算即可. 当为奇数时， . 当为偶数时， . 综上， 【变式训练2-3-1】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；（1）分奇偶项讨论，利用分组求和、裂项相消法和错位相减法运算求解. （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵，即，可得，解得， ∴数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）可得，则， 当为偶数时，则， ∵， 设， 则， 两式相减得：， 则， 故； 当为奇数时，则； 综上所述：. 【变式训练2-3-2】已知数列，，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列和的通项公式． (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)；； (2). 【解析】（1）根据与的关系及等比数列的定义可得，再根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算可得； （2）由题可得，再分类讨论，分组求和即得. 1）因为， 当时，，解得， 当时，， 所以，即，又， 所以是以首项为3，公比为的等比数列， 所以； 因为，成等比数列，设的公差为， 所以，即， 解得， 所以； （2）由（1）知：， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以. 【变式训练2-3-3】已知为等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设的公差为d． ∵， ∴，解得． ∴． （2）当n为奇数时，，当为偶数时，． ∴ 设，① 则，② ，得 ∴． 故． 【变式训练2-3-4】已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)设,数列的前项和记为，证明： 【答案】(1) ，；. (2)证明见解析. 【解析】（1）根据数列递推式，可得，两式相减推出，即可发现数列规律，可得数列通项公式，继而分n为奇数和偶数，讨论求得； （2）利用（1）的结论，求出的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. （1）由 ，得, 两式相减可得，即 ， 因为，则， 数列为， 即 ，； 当n为偶数时，, 当n为奇数时， , 故 . （2）由 , 得 ， 所以 . 【变式训练2-3-5】已知各项均为正数的数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为各项为正数，， 所以上式两边同时除以，得， 令，则，即，解得（负值舍去）， 所以，又， 所以是以，的等比数列， 故. （2）， 当时，，当时，，当时，， 当时，，根据三角函数周期性知的周期为4， 则 （四）正负相间型求和 【典型例题1】【多选】已知数列满足，，且，则（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列的前项和为 【答案】AD 【解析】利用递推公式求判断ABC，按为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和判断D. 因为，， 所以，，，，故A正确； 因为，所以数列不是等比数列，B错误； 因为，所以数列不是等差数列，C错误； 当时，，，两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，， 当时，，，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， ； 所以，， 设，则， 所以 ，D正确； 故选：AD 【典型例题2】已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，解出，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，然后用并项求和法即可求解. （1）由可得，即， 设等差数列的公差为d，则， 解得.∴，. （2）由（1）可得，∴. 为偶数时，. 为奇数时， 也符合.   ∴. 【变式训练2-4-1】已知数列的前项和为，则（ ） A．1012 B． C．2023 D． 【答案】D 【解析】∵， 故 故.故选：D. 【变式训练2-4-2】已知等差数列中，，，则数列的前2024项的和为（ ） A．1010 B．1012 C．2023 D．2024 【答案】D 【解析】在等差数列中，，解得，公差， 于是，而当为奇数时，，当为偶数时，， 因此令，则当时，， 所以数列的前2024项的和为. 故选：D 【变式训练2-4-3】已知是数列的前项和，已知目， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2)，其中. 【解析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式； 对于（2），由（1）可得， 则，据此可得数列的前项和. 【详解】（1）由题，又由，. 可得，. 故. 则当，时，. 又时，，故数列的通项公式是，. （2）由（1）可知，， 则. 则当为偶数时， . 当为奇数时，. 综上：，其中. 【变式训练2-4-4】在等比数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为在等比数列中，，设其公比为， 所以，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 所以数列的前项和， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以. 题型03：倒序相加法求和 【典型例题1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则（    ） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038 【答案】D 【解析】利用，再等差数列前𝑛项和的方法倒序相加法求和即可. ， ∵函数 ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 【典型例题2】已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ） A．230 B．115 C．110 D．100 【答案】B 【解析】利用倒序相加法即可求得前20项的和. ，① ，② 两式相加，又因为 故，所以 所以的前20项的和为 故选：B 【典型例题3】已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2)(3) 【解析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. （1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【变式训练3-1】定义在上的函数满足是奇函数，若数列的项满足：，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由条件可知，， 即， 所以， ， 两式相加得， 即，则. 故答案为： 【变式训练3-2】已知函数，则______． 【答案】4043 【解析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解. 由题意，函数， 可得 ， 设， 则 两式相加，可得 ， 所以. 故答案为：. 【变式训练3-3】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，利用倒序相加法求解. 解：因为， 且， 令, 又 ， 两式相加得：， 解得， 故选：B 【变式训练3-4】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 . 【答案】46 【解析】因为函数的定义域为， 设是函数图象上的两点，其中，且， 则有， 从而当时，有：， 当时，， ， 相加得 所以，又， 所以对一切正整数，有； 故有.故答案为：46. 【变式训练3-5】已知函数，，则的对称中心为 ；若（），则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得，当时，， ， ， 于是，即，所以数列的通项公式为. 故答案为：； 【变式训练3-6】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以的图象关于点中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令，则当时，单调递减； 当时，单调递增． 又，所以， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【变式训练3-7】已知函数，正项等比数列满足，则 【答案】 【解析】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到, 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以， 因为正项等比数列满足，所以， 所以， 所以， ①， ②， 则①②相加得： 即， 所以. 故答案为：. 【变式训练3-8】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 . 【答案】4038 【解析】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则， 由，当时，， 于是，令， 则 因此， 所以. 故答案为：4038 【变式训练3-9】在等差数列中， (1)若首项为公差为，求（注意：请写出推导过程）； (2)若，，，求； 【答案】(1)证明见解析(2)9 【解析】（1）运用倒序相加法及等差数列通项公式、等和性证明即可. （2）代入公式中求解即可. （1）证明：因为为等差数列，所以由等差数列的等和性可知，， 又，① ，② ①+②得：， 所以， 又因为， 所以. 即. （2）因为，所以，解得（舍负）. 故. 【变式训练3-10】已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1；(2). 【解析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. （1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【变式训练3-11】设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)2(2) 【解析】（1）直接计算可得答案； （2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案. （1）； （2）由题知，当时，， 又，两式相加得 ， 所以， 又不符合， 所以. 【变式训练3-12】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式； （2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果 （1）∵点均在函数的图象上， ∴． 当时，； 当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴． 又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+②，， ∴． 【变式训练3-13】已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案. （2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到 （1）时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有 当为奇数时，为等差数列，， 当为偶数时，为等差数列，， （2）， ，利用倒序相加，可得 ， 解得， ， 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数 【变式训练3-14】已知函数. (1)若对任意的恒成立，求t的取值范围； (2)设且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）构造函数，对求导，分析的符合，得到的单调性，进而求其最小值即可； （2）应用分析法，两边取对数得，则只需证明，结合（1）中的结论，进一步采用倒序相加法，即可. （1）由题可知对任意的，恒成立， 令，则， 令得，且， 所以在上递减，在上递增，所以在上的最小值为， 由题可知，所以，所以t的取值范围为. （2）要证不等式两边取对数， 得，故只需证明， 由(1)可知：对任意的，， 取，代入上式得。， 所以 而， 所以，即，其中且. 【变式训练3-15】记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据为等差数列结合已知可求得公差，即可求得答案； （2）根据等差数列的性质推出，即得，由此利用倒序相加法即可求得答案. （1）由于数列为等差数列，设公差为d，故， 从而可知，即，求得， 则数列的通项公式为； （2）由于,故数列的前项和为， 由于为等差数列，，所以，所以， 即，同理， 得到，则由倒序相加法可知 ，即. 题型04：错位相减法求和 （一）等差等比 【典型例题1】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）根据给定条件，变形等式，利用等比数列定义判断作答. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求解作答. （1）在数列中，因，则， 于是得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以． （2）由（1）知，， 则， 于是得， 两式相减得： ， 所以. 【典型例题2】已知数列，，，设，数列，的前项和分别为，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知数列为等比数列，可求通项和前项和； （2）由数列的通项可知，前项和用错位相减法. （1）∵，即，又，∴数列是首项为2公比为2的等比数列， 则，得. （2）由（1）得：， ∴① ② ①-②得：， ∴. 【变式训练4-1-1】设数列的前项和为，且，，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为， 所以，即， ， 故，即，又， 所以数列为等比数列. （2）由（1）可知，数列为首项，公比的等比数列，所以， 所以， 所以， 所以①， ②， 得，， 所以. 【变式训练4-1-2】已知为正项数列的前项的乘积，且 (1)求数列的通项公式 (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用得的递推关系，取对数得常数数列，从而得通项公式； （2）用错位相减法求和． （1）由得：当时，， 两式相除得：，即， 两边取对数得：，亦即，故数列是常数列， ，，； （2），， ， ， 两式相减得， ． 【变式训练4-1-3】已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为． 【答案】(1)，； (2). 【解析】（1）求得数列的公差，由此求得.利用求得； （2）由（1）可求得，写出与，作差化简即可求得. （1）解：设等差数列的公差为. 由已知可得，解得， 所以. 由，令得， 当时，，两式相减得， 显然也符合上式， 所以. （2）解：由（1）知. ， ， 两式作差得：， 所以，. （二）等差/等比 【典型例题1】已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列. （2）利用错位相减法求和即可. （1）由得，即， 又，， 数列为以2为首相，2为公比的等比数列； （2）由（1）得， ， 【典型例题2】已知数列满足，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用“退一作差”法求得. （2）利用错位相减求和法求得. （1）依题意， 当时，， 当时，由， 得， 两式相减得， 也符合上式，所以. （2）， ， 两式相减得， . 【变式训练4-2-1】已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由数列中，，且 当时，，解得， 当时，可得， 所以，即， 则当时，可得，所以， 当或时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 所以，可得， 两式相减，得， 所以. 【变式训练4-2-2】若数列的前n项和为，且，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）利用得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列，再代入数列满足的等式可得的通项公式； （2）利用错位相减法可求和. （1）， 又， 两式相减得， 即，故数列是以3为公比的等比数列， 又当时，，得， ， ，， 等差数列的公差为， （2）由（1）可得， ， 上两式相减得， 【变式训练4-2-3】已知数列的首项，设为数列的前项和，且有. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和方法进行求和即可 （1）由， 当时，， 两式相减，得，即， 即对恒成立，所以是常数列， 所以，所以 （2）由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减，得， 所以 【变式训练4-2-4】已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 【变式训练4-2-5】设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，    ⑧ 则．     ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. （三）错位相消（插入数型） 【典型例题1】记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据和的关系，相减法即可求得数列的通项公式； （2）由得，进而得到，则，再应用错位相减法即可. （1）当时，，所以， 所以①，当时，②. 由①-②整理得. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由题意知，所以， 所以，故. 由题可知，得， 则③，④， ③-④得，所以. 【典型例题2】各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得； （2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和. 【详解】（1）由，得，所以， 所以，当时，， 所以，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以； （2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列， 所以，设数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. 【变式训练4-3-1】已知数列满足，其前项和为；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)分别求出，. 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）依题意可得是公差的等差数列，根据前和公式求出，即可求出的通项公式，设公比为，由等差中项的性质求出，即可得解； （2）利用错位相减法求出，利用并项求和法求出. （1）因为，所以是公差的等差数列， 又前项和为，即，解得，所以， 因为数列是等比数列，且，设公比为， 因为，，成等差数列，所以，即，解得，所以. （2）记， 所以 ①， ②， ②①得， . 【变式训练4-3-2】已知数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项； (2)设数列满足，记的前项和为． ①求； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②. 【解析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求数列的任意相邻两项的关系计算作答. (2)①由(1)及已知求出，再用错位相减法计算得解；②根据给定不等式，分类分离参数，探讨数列单调性即可求解作答. （1）数列的前项和为，， ，，当时，，两式相减得：，即， 当时，，，即，有， 因此，，，且， 于是得是首项为，公比为的等比数列，则有， 所以数列的通项公式是. （2）①由(1)及，得， 则， 于是得， 两式相减得： ， 所以 ②由，得恒成立，即恒成立， 当时，不等式恒成立，即， 当时，恒有，此时，数列是递增的，当时，，则有， 当时，恒有，此时，数列是递增的，，恒有成立，则有， 综上得，， 所以实数的取值范围为. 【变式训练4-3-3】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3). 【解析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． （1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 题型05：裂项相消法求和 （一）等差型 【典型例题1】数列满足，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】运用累和法，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可. 由， 当时， ，显然也适合， 所以，于是有 因此， 故选：C 【典型例题2】已知等差数列满足：，，数列的前项和是． (1)求及； (2)令，求数列的前项和的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据等差数列的性质，建立方程求得公差，利用公式，可得答案； （2）利用裂项相消的求和方法，可得答案. （1）由数列为等差数列，则设其公差为，由，，则，解得， 故，. （2）由（1）可知，， 则 . 显然， 因为，，则. 【变式训练5-1-1】等比数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列前项的和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设出公比，得到，求出公比，得到通项公式； （2）在第一问的基础上，得到，裂项相消法求和. （1）设等比数列的公比为. 因为，且已成等差数列， 所以， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得数列的通项公式为， 所以数列 所以数列前项的和. 【变式训练5-1-2】等差数列前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求的前n项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得， 所以； （2）， 故. 【变式训练5-1-3】在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题. 记等差数列的公差为，前项和为，已知__________. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)选条件①：；选条件②：；选条件③： (2)选条件①：；选条件②：；选条件③： 【解析】（1）若选条件①，即可得到关于、的方程组，从而求出、，即可得解； 若选条件②，依题意可得，即可求出，即可得解； 若选条件③，根据，作差计算可得； （2）由（1）得到的通项公式，再利用裂项相消法计算可得. （1）解：若选条件①，（1）由题意得，解得， 得，所以数列的通项公式为. 若选条件②，依题意，由，得，解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为. 若选条件③，当时，； 当时，. 因为满足上式，所以数列的通项公式为. （2）解：选条件①②， 由（1）知， 则， 所以数列的前项和.. 若选条件③，由（1）知， 则， 所以数列的前项和 【变式训练5-1-4】设是公差不为0的等差数列，为的等比中项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算即得； （2）利用裂项相消法即得. （1）设的公差为，因为为的等比中项， 所以， 解得：， 因为，所以， 故； （2）因为， 所以. 【变式训练5-1-5】已知数列和数列，满足，且，． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【解析】（1）通过对题目已知递推公式进行变形得，由等差数列定义即可证明，从而求出的通项公式； （2）先由求出，再用放缩法与裂项相消法可得，从而可得证. （1）， ， 故数列为等差数列，公差为1，首项为， 所以，. （2）,, 要证 , 即证 ， ， ， 即 . 【变式训练5-1-6】已知为等差数列的前项和，且，当时，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意得， 即，所以， 数列的首项为3，公差为1，则，即； （2）由，得， 所以 ． （二）无理型 【典型例题1】若数列满足，则___________. 【答案】 【解析】先对化简得，从而可求得 因为， 所以 . 故答案为： 【典型例题2】已知数列的前项和为. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），可得， 可得， 即数列为首项为2，公差为2的等差数列， 可得，由，可得； （2）， 即有. 【典型例题3】记为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由结合可得及，两式相减并整理可得答案； （2）由（1）结合，可得，即可得答案. （1）由题意得：，所以，即. 又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以，两式相减得，即， 所以，因此的通项公式为. （2）由（1）可得：，. 因为. 则， 所以 . 【变式训练5-2-1】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，设的前项和为，求证：． 【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知，并项相加即得结论．. 试题解析：（I）当时，，得或（舍去）． 当时，，，两式相减得 ， 所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，． （Ⅱ） 【变式训练5-2-2】已知数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解， （2）由裂项相消法求解． （1），可得， 可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列， 可得，由，可得； （2）， 即有. 【变式训练5-2-3】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，设的前项和为，求证：． 【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知，并项相加即得结论．. 试题解析：（I）当时，，得或（舍去）． 当时，，，两式相减得 ， 所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，． （Ⅱ） 【变式训练5-2-4】记为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由结合可得及，两式相减并整理可得答案； （2）由（1）结合，可得，即可得答案. （1）由题意得：，所以，即. 又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以，两式相减得，即， 所以，因此的通项公式为. （2）由（1）可得：，. 因为. 则， 所以 . 【变式训练5-2-5】已知数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解， （2）由裂项相消法求解． （1），可得， 可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列， 可得，由，可得； （2）， 即有. （三）指数型 【典型例题1】数列的前项和是，且，则__________. 【答案】 【解析】将数列的通项公式进行裂项，利用裂项相消法求和. 因为， 故，，，， 所以， 故答案为：. 【典型例题2】已知数列满足且，且. (1)求数列的通项公式; (2)设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解； （2）利用裂项相消求和法求出即可证明. （1）解：因为，所以， 两式相减得， 当时，， 又，所以， 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）证明：， 所以， 由，得， 所以， 综上，. 【变式训练5-3-1】已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________． 【答案】          6 【解析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性计算得解. 在数列中，，由得：，而， 于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以数列的通项公式为； 显然，， 则， 由得：，即，令，则，即数列是递增数列， 由，得，而，因此，，从而得，， 所以满足不等式的的最小值为6. 故答案为：；6 【变式训练5-3-2】已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为___________. 【答案】4 【解析】首先利用公式求数列的通项公式，并代入求，并利用裂项相消法求和，即可求. 由题意，知是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以.所以， 所以， ， 解得. 故答案为：4 【变式训练5-3-3】已知数列，，满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可； （2）利用裂项相消得到，即可证明 （1）根据可得， 所以 ， 当时，，成立，所以， ， 所以 ， 当时，，成立，所以. （2）由（1）可得， 所以 ， 因为，所以. 【变式训练5-3-4】已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由已知， 所以， 当时，满足条件，所以； （2）由于， 所以， 所以， 所以，显然在上为增函数，， ， 所以； 综上，. （四）对数型 【典型例题】已知数列满足 (1)证明：数列为等差数列： (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）对进行整理得到，即可说明数列为等差数列； （2）将变形为或，然后求和即可. （1）法1：由， 两边同除以得，，（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1， 法2：由得， ∴（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1. （2）由，∴， 法1：， 则 . 法2：， 则 . 【变式训练5-4-1】已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【解析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）若选①：利用错位相减法进行求解即可； 若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； 若选③：根据裂项相消法进行求解即可. （1）因为， 所以，又，于是， 所以是以4为首项2为公比的等比数列. 所以，两边除以得，. 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. 所以，即. （2）若选①：，即. 因为， 所以. 两式相减得， ， 所以. 若选②：，即. 所以 若选③：，即. 所以 （五）幂型 【典型例题】已知等差数列的前项的和为，成等差数列，且成等比数列 (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项的和为，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出的通项公式； （2）将化简，利用裂项相消法求和，即可证明. （1）设的公差为，由题意得， 即，解得， 所以.- （2）证明：， 所以 【变式训练5-5-1】设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）设的公比为， 由题意，可得，解得， 所以，所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 因为，所以，得证. 【变式训练5-5-2】在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 已知是等差数列的前n项和，，___________. (1)求； (2)设，求数列的前n项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）运用基本量法求得公差d，进而求得； （2）由（1）得，利用裂项相消求和法即可求得. （1）解：选条件①：设等差数列的公差为d， 则由得，将代入，解得或， 因为，所以， 所以； 选条件②：设等差数列的公差为d，则， 由数列的前3项和为6及得，解得， 所以； 选条件③：设等差数列的公差为d， 则由，，成等比数列得， 将代入得，解得或， 因为，所以， 所以； （2）解：由（1）得， 所以. 【变式训练5-5-3】已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围. 因为…， 所以…， 故即，其中. 而令，则，故，. ， 故 ， 故恒成立等价于即恒成立， 化简得到，因为，故. 故选D. 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.  参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围. （六）通项与前n项和型 【变式训练5-61】设等差数列的前项和为，已知，. （1）求和； （2）若，求数列的前项和 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）设等差数列 的公差为d， 则，解得， 所以，； （2）因为， 所以= （七）复杂裂项型：分离常数型 【典型例题1】已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求． (3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据及，可得到是首项为，公差为2的等差数列，结合定义法求通项公式即可； （2）根据（1）的结果求得，结合裂项相消法求和即可； （3）根据（1）的结果得到，进而得到当时，，结合随的增大而增大，得到最值，即可得到，进而得到答案. （1）因为， 所以当时，，解得， 当时，， 两式相减得，， 化简得，， 因为，所以，则， 即是首项为，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为 （2）由（1）知，，因为， 所以， 所以 （3）由（1）知，，所以， 所以当时，，因为随的增大而增大， 所以，， 所以，所以的最小值为 【变式训练5-7-1】已知函数. (1)若，使得成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的为自然对数的底数. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得. （2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得. （1）函数，则不等式，令， 求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减， 因此当时，，依题意，， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，当时，，即当时，，而当时，， 因此，于是 ，即有， 所以. （八）复杂裂项型：分子裂差法 【典型例题】已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求； （2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明. （1）当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2）由（1）可得， ， ，，，，， ， . 【变式训练5-8-1】设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用与的关系，列出方程求出. （2）根据题意求出，利用裂项相消求和法，计算求出答案. （1）当时，，即， 解得（舍去）或（可取）， 当时，，， 两式相减得：， 即，即， ∵恒成立，∴，∴， ∴是首项为，公差为的等差数列，故. （2）由（1）可得，∵是首项为，公差为的等差数列， ∴，∴， ∴.故. （九）复杂裂项型：指数裂项法 【典型例题】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式； （2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明. （1）当时，，两式相减得，， 又，，． 所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以． （2）证明：， 因为， 所以 ，因为，所以． 【变式训练5-9-1】设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. （1）一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且，所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需，而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. （十）复杂裂项型：等差指数仿写法 【典型例题】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得. （1）由得：， ∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以， 所以； （2），所以 . 【变式训练5-10-1】设数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； 【答案】(1) (2) 【解析】1）根据与的关系求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可. （1）由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以； （2）， 则 . （十一）正负型：等差裂和型 【典型例题】已知数列的前项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）结合题设变形为，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求得，进而结合和的关系求解即可； （2）结合（1）可得，结合裂项相消求和即可. （1）由，得， 而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，，显然也满足上式， 所以. （2）由（1）知，，， 因此， 所以. 【变式训练5-11-1】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3)当为奇数时，；当为偶数时，. 【解析】（1） 设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案； （3）由题意可得，分为奇数、偶数分别求解即可. （1）解：设等差数列的公差为， 由，可得，即， 即，则，解得， 所以； （2）由（1）可得： 所以 （3）解：因为， 当为奇数时， ，所以； 当为偶数时， ，. （十二)正负型：等差裂差型 【典型例题】已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案； （2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可. （1）设数列的公差为，数列的公比为，则，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. （2）， 数列的前项和． . 【变式训练5-12-1】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值； （2）求出及数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 【答案】（1），，；（2），； （3）当为奇数，；当为偶数，. 【解析】(1)，时，， 时，，解得， 时，，解得，同理可得：， （2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立， 时，，时，也成立，； 当时，，又， 数列的通项公式为. （3）， 为偶数时，数列的前项和为： . 为奇数时，数列的前项和为： . 综上所述，当为奇数，；当为偶数，. （十三）正负型：指数裂和型 【典型例题】已知为等比数列，且，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到通项. （2）由递增可得，对通项进行裂项展开，当n为偶数、奇数时分别求出表达式，然后再分别求出的范围，由存在，即可求出的取值范围. （1）设等比数列公比为q， 由或， 或. （2）当为递增数列时， 所以 当为偶数时， 在上单调递减，， 当为奇数时， 在上单调递增，，. 【变式训练5-13-1】已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2) (3)最大值为，最小值为 【解析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得. （2）利用错位相减求和法求得. （3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值. （1）依题意，，，解得，所以， 则，设等差数列的公差为，则， 所以. （2），，， 两式相减得， . （3） ， ， 当为偶数时，，令（为偶数），则是单调递增数列， 最小值为，且. 当为奇数是，，令（为奇数），则是单调递减数列， 最大值为，且. 综上所述，的最大值为，最小值为. 题型06：并项求和 【典型例题1】已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解析】因为，所以，， ，，， 所以， 所以，，，， ， 所以数列的前项和为. 故选：A. 【典型例题2】若，则数列的前项和 ． 【答案】 【解析】因为， 所以． 故答案为：． 【典型例题3】设数列的通项公式为，其前项和为，则 . 【答案】100 【解析】当或，时，，； 当，时，，， 当，时. ∴， ∴. 故答案为：100. 【典型例题4】已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【解析】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 【典型例题5】已知等差数列的公差，其前n项和为，. (1)求通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用求得和，从而求得. （2）对为偶数或奇数进行分类讨论，结合分组求和法求得 （1）因为等差数列的公差，其前n项和为， 所以则， 所以，解得，，由可得. （2）； 当为偶数时，； 当为奇数时， .所以，其中. 【变式训练6-1】已知公差为3的等差数列的前项和为，且． (1)求： (2)若，记，求的值． 【答案】(1) (2)30 【解析】（1）因为公差为3的等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 所以. （2）由题意， 所以. 【变式训练6-2】已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()， (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意得①，且， 当时，， 解得或 (舍去)， 当时，②· ∴①②得， ∴， ∵，∴， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴. 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得， 则当，且时， ， n为偶数时， ， n为奇数时，则为偶数，由上式可知，， 所以 . 所以，. 【变式训练6-3】已知数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）当时，， 整理得， 又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则， （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【变式训练6-4】已知数列的前n项和为，满足，n∈N*． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列{bn}的前100项的和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 两式相减得，即， 又当n=1时，，解得：， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以； （2）由（1）可知， 所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以． 【变式训练6-5】等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解； （2）根据等差数列与等比数列的前项和公式分组求和即可. 【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ，，解得， （2）， . 综上， 【变式训练6-6】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由等差数列基本量法建立方程组并求解，进而求出通项公式可得； （2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求. （1）设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 【变式训练6-7】已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解法一：构造数列是恒为的常数列，结合可得出数列的通项公式； 解法二：利用累加法结合可求得数列的通项公式； （2）利用并项求和法结合分组求和法可求得. （1）解法一（构造常数列）：由，且， 可得， 故数列是恒为的常数列，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 解法二（累加法）：由题意得：且， 有，，，， 将以上各式相加，得， 将代入上式即得，且当时也成立，所以， 又因为数列为正项数列，所以. （2）由（1）可得，令，其前项和为， 对任意的，，则， 又因为， 所以. 【变式训练6-8】已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求. （3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. （1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为. （3）因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 【变式训练6-9】已知正项数列的前项和为，且，数列满足. (1)求数列的前项和，并证明，，是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【解析】（1）当时，，，两式相减结合等差数列定义得，由等比数列求和公式得，再由等差中项性质证明即可； （2）分为偶数和为奇数两种情况求和，根据分组求和思想，结合等比数列求和公式求解即可. （1）①，， 当时，，或（舍）， 当时，②， ①-②得， . ，， 是以2为首项，2为公差的等差数列，，， 数列是首项为，公比为的等比数列， . ，，成等差数列. （2）， 当为偶数时， . 当为奇数时， . 综上可知 【变式训练6-10】记为数列{}的前n项和，已知. (1)求{}的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用与关系，结合等比数列的定义与通项运算整理；（2），讨论的奇偶性，结合并项求和方法运算整理. （1）当时，； 当时，，则； 又∵，则是以2为首项，2为公比的等比数列，∴. （2）因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ； 综上所述：数列的前项和为. 【变式训练6-11】已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)800 【解析】（1)由数列的递推式推得，再结合等差数列的等差中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求； （2）由（1）可得 ，进而推得 ，再由等差数列的求和公式，计算可得答案． （1）由题意当时，总有， 故所以 ， 因为为与的等差中项，即有 ， 所以 ，可得 所以， 所以数列是以1为首项、公比为的等比数列，所以 ； （2）由(1）可得 所以， 所以，即 ，所以 ； 当m为偶数时，， 所以，所以﹒ 题型07：绝对值求和 【典型例题1】已知数列，满足，，且． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)130 【解析】（1）由题可知,,都有, 数列是等差数列, 设的公差为, （2）由(1)可知，令，则, 当时，， 当时,, 【典型例题2】已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足． (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)求； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)． 【解析】（1）证明：，， ，，， ， 又由，是以1为首项，1为公差的等差数列； 所以， （2）因为， 且，所以． （3）由（2）知，所以时，；时，， 记数列的前项和为，则，从而 当时，； 当时，， 所以． 【变式训练7-1】在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵，∴， ∴数列是等差数列，设其公差为d． ∵，∴， ∴ （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得， 由（1）知，令，得， ∴当时，， 则 ； 当时，，则， ∴ 【变式训练7-2】在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），，， 又，，成等比数列，所以， 化简得，解得或，又，所以， 可得数列的通项公式； （2）由（1）得，由，得， 由，得，设数列的前n项和为， 所以 ， 所以. 【变式训练7-3】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式， 所以. （2）因为，所以当时，；当时，， 当时，， 当时， ， 所以. 题型08：先放缩再求和 【典型例题1】已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】当时，， ， ，则为常数列， ， ，， 又时，， ， 又易得，即， . 故选：D． 【典型例题2】已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 【变式训练8-1】已知为等比数列，且为数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)令，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由，所以，故数列的公比为3， 所以，故而， 所以. （2）证明：由（1）知，， 当时，成立； 当时，且， 所以 ， 综上，. 【变式训练8-2】已知正项数列满足. (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式； 条件①：当时，； 条件②：数列与均为等差数列； (2)在（1）的基础上，设为数列的前n项和，证明：. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析， (2)证明见解析 【解析】（1）若选条件①： 当时， ， 又， 因此数列的通项公式为； 若选条件②： 由数列为等差数列，由，可设， 则，因此， 又数列为等差数列，因此，从而， 又，所以，因此数列的通项公式为； （2）由（1）知，，因此， 则，， 当时，， 因此， 从而当时，， 综上，. 题型09：奇偶项求和 （一）数列奇偶项求和 【典型例题1】已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得，所以. 又，，所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）因为，设数列的前项和为， 则， ， 因此，. 【典型例题2】已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 【解析】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 【变式训练9-1-1】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设的公差为d，的公比为q．则，∴ ∴； （2）由（1）知， 所以， 所以， 令， ， 两式相减可得：， 所以， 令 ， 所以， （3）， 所以， 由恒成立可得： 恒成立， 即求当时的最小值， 对于，显然当递增，当时取最小15， 令，则， 显然当时，， 即当时取最大为， 所以的最小值为11， 所以， 所以实数的取值范围是 【变式训练9-1-2】已知数列的前项和为，且满足. (1)求证:数列为等比数列; (2)已知，求数列的前2n项和. 【解析】（1）当n=1时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以， 设数列的前项和为， 所以， 即， 令，知， ，， 作差得，化简， 所以 【变式训练9-1-3】已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【解析】（1）因为①，时，②， ①-②整理得， 数列是正项数列，， 当时，， ，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为， ， ， . 【变式训练9-1-4】已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【解析】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 【变式训练9-1-5】已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求的通项公式； (2)记求. 【解析】（1）因为， 所以，当时，，即， 所以， 当时，所以， 当时， ， 所以， 当时，也符合上式. 综上，. （2）由（1）得， 设， 则①， ②， ①-②得 ， 所以， 故. 【变式训练9-1-6】已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，． (1)求，的通项公式； (2)设，证明：． 【解析】（1）由题意，可得， 则， 由，两式相减得， 可得的公比， 进而可得， 所以. （2）由题设，为奇数时，为偶数时， 且时，， 则， 所以， 则， 所以， 且时，， 而， 所以， 综上，. （二）分段数列求和 【典型例题】已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答： (1)求； (2)若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据条件，利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求通项公式； （2）分奇偶讨论分别求和，然后相加即可. （1）设等差数列的公差为 选择①：由题意得，故，解得， 所以. 选择②：由题意得，即解得，所以. 选择③：由题意得，故，解得， 所以. （2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为 ， 由当为偶数时，， 得数列的前项中偶数项的和为 ， 故. 【变式训练9-2-1】已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列； (2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立． 【答案】(1)列是首项为，公比为的等比数列．(2) 【解析】（1）根据等比数列的定义即可证明. （2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解，由不等式的性质即可求解. （1）由已知得，，所以．因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）证明：（2）由（1），当n为偶数时，， 当n为奇数时，， 故 ，由。所以m的最小值为． 【变式训练9-2-2】记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；；(2). 【解析】（1）由题可得，然后根据项与前项和的关系可得，再根据等比数列的定义即得； （2）由题可得，然后利用分组求和法及求和公式即得. （1）∵，，∴，，设，则，， 又∵数列为等差数列，∴，∴，∴， 当时，，∴，∴， 又∵，∴，即：，又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列， ∴，即； （2）∵，且，∴， ∴ ，∴. 题型10：数列求和的实际应用 （一）分期付款 【典型例题】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元. 【答案】6250 【解析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解. 设每年还款的金额为，由题意可知：，所以 故答案为：6250 【变式训练10-1-1】市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该笔贷款年限为25年，月利率为. (1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5500元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息. (2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.参考数据：. (3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由. 【答案】(1)451500元； (2)小张该笔贷款能够获批； (3)建议小张选择等额本息的还款方式，理由见解析. 【解析】（1）等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为，用表示数列的前项和，求出即得解； （2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，求出即得解； （3）从节省利息的角度来考虑，从前几年付款压力大小的角度来考虑，即得解. （1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为，用表示数列的前项和，则，， 则， 故小张的该笔贷款的总利息为（元）. （2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则， 所以， 即， 因为， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为（元）， 因为， 所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式. 也可以回答： 因为以等额本息方案，每月还款只需要均还4298元， 而以等额本金在前面的10年内还款金额都比这个金额高， ， 对于小张可能会造成更大的还款压力， 因此从前几年付款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款方式. （二）产值增长 【典型例题】资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达，每吨占地.环保部门每回收或处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃圾.如果某环保部门2002年共回收处理了废旧物资，且以后每年的回收量递增20％. (1)2018年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数） (2)从2002年到2018年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位小数） 【答案】(1)吨 (2)平方米 【解析】（1）由题意可得，再化简求值即可； （2）从2002年到2018年底的回收废旧物资累加后可求解. (1) 依题意可知，2003年共回收废旧物资吨； 2004年共回收废旧物资吨； 2005年共回收废旧物资吨； 2018年共回收废旧物资吨 (2) 从2002年到2018年底共回收废旧物资： 吨. 由于每吨占地，故可节约土地平方米 【变式训练10-2-1】甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元． (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？ （年数取整数，参考数据：，） 【答案】(1)240，300， (2)至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元 【解析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. （1） 由题意得，投入生产的启动资金共有50×4＝200万元， ， ， ． （2） 由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元． 【变式训练10-2-2】“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%． (1)若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？ (2)到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？ （实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，） 【答案】(1)亿元 (2)该集团能通过该品牌汽车实现盈利 【解析】（1）由题意可求得第n年的销售量，第n年每辆车的平均销售利润，从而可求出第n年的销售利润， （2）利用错位相减法求出到2027年年底销售利润总和，再与总投资额比较即可 (1) 设第n年的销售量为万辆，则该汽车的年销售量构成首项为10，公差为10的等差数列，所以， 设第n年每辆车的平均销售利润为元，则每辆汽车的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比数列，所以， 记第n年的销售利润为，则万元； 即第n年的销售利润为亿元 (2) 到2027年年底，设销售利润总和为S亿元， 则①， ②， ①﹣②得亿元， 而总投资为亿元， 因为，则到2027年年底，该集团能通过该品牌汽车实现盈利． （三）其他模型 【典型例题】某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（    ） A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 【答案】B 【解析】根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，，公比，再根据等比数列的前项和公式可求得，然后由即可解出． 由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，则表示热气球在第分钟上升的高度（单位：米），且，公比. 经过分钟，热气球上升的总高度. 因为，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米. 故选：B. 【变式训练10-3-1】某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 A．3233万元 B．4706万元 C．4709万元 D．4808万元 【答案】C 【解析】设备费为万元，根据等比数列的性质可得，由此可求出；设每个实验室的装修费用为万元，由题意可知，即，再根据等比数列前 项和，即可求出结果. 设每个实验室的装修费用为万元，设备费为万元， 则所以解得故. 依题意，即. 所以总费用为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的前和公式的应用，属于基础题. 数列求和拓展专练型 一 裂项相消求和进阶 题型01：裂和型裂项相消： 裂项相加：本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 例：（1）， （2）对于可以裂项为 （3） 【典型例题1】已知，设为数列的前项和，证明：. 【解析】 所以 由于是递减的，所以 【典型例题2】已知，若，求的前n项和. 【解析】， 所以 . 【典型例题3】已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. （1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得 【变式训练1-1】若，数列满足，的前n项和为，求 【答案】. 【解析】由题可得， 所以. 【变式训练1-2】已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列. (1)求； (2)设为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，得到数列的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前项和. （1）由题意得，，得① 由，得② 由①②，可得且，则， 由，当在范围内取值时的所有取值为： 所以. （2） 所以 由于是递减的，所以 【变式训练1-3】设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值． 【答案】(1)，；(2)9. 【解析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解； （2）先拆项分母得，再利用裂项相消法求和，进而解不等式求满足的最大整数的值. （1）设的公比为， 因为，所以，即，解得或（舍）， 所以， 设的公差为， 因为，所以， 所以，解得，所以． 故，. （2）， 即. 所以 . ，化简得，又，解得. 所以满足的最大整数. 【变式训练1-4】已知数列的前项和满足，且数列中的第2项、第5项、第14项依次组成某等比数列的连续3项（公比不等于1）． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的最大值与最小值． 【答案】(1)，； (2)最大值，最小值. 【解析】（1）分和两种情况，利用关系及等差数列定义，再由等比中项、等差通项公式列方程求公差，即可得通项公式． （2）由（1）得通项公式，裂项相消求，分为奇数和偶数两种情况讨论求最值． （1）当时，； 当时，，， 则①，故②， 由②－①得，即， 所以(，且)，数列为等差数列， 设其公差为，则，，． 又，则，解得或（舍去）， 所以，又也符合上式，故数列的通项公式为，． （2）由题得， ． 当为奇数时，，当时有最大值，且； 当为偶数时，，当时有最小值，且． 综上，有最大值，最小值． 题型02：根式型裂项相消： （1） （2） （3） （4） 【典型例题1】数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 【变式训练2-1】已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【解析】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 【变式训练2-2】已知数列满足. (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解法一：对递推式变形为，利用累乘法求解通项公式； 解法二：对递推式变形为，利用常数数列求解通项公式； （2）利用裂项相消法求和. （1）解法一：由得， 由累乘法得. 解法二：由得， 则数列是各项为1的常数列，所以，即. （2）由（1）得， 所以. 【变式训练2-3】设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由等比中项的性质以及等差数列基本量的计算即可求解； （2）首先得，由裂项相消法求和即可得证. （1）设等差数列的公差为，则， 成等比数列， 则， 即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 题型03：等差乘等比型裂项： 例子： 一般结构 【典型例题1】已知，记，为数列的前n项和，求． 【解析】因为， 所以， 所以数列的前项和为： ． 【典型例题2】已知数列满足，，设，其中. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）首先求出，再计算，结合等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可； （3）由（2）可得，利用裂项相消法求出，即可说明，再判断的单调性，即可得证. （1）因为，，且， 所以， 又 ， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）可得， 所以， 则①， ， ①②得 ， 所以； （3）由（2）可得 ， 所以， 又 ， 所以数列单调递增，所以， 综上可得． 【变式训练3-1】（1)已知，若，求数列的前n项和 【解析】由， 可得， 则数列的前项和为 . (2)已知，，求数列的前项和． 【答案】 【解析】， 所以 . 【变式训练3-2】正项数列满足：对一切，有，其中为数列的前项和． (1)证明：； (2)求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为．证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）根据的关系作差即可求解， （2）根据的关系可证为等差数列，即可求解， （3）根据裂项求和求解，即可利用的单调性求解最值求解. （1）证明：，， 两式作差可得：， ，即， 又，得，则， ； （2）当时，由及， 得， ，， 故数列是以1为公差的等差数列， 当时，，，可得； 当时，，得到，又，解得， ，满足， 则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列， 其通项公式为； （3）， 所以 ， 由数列是递增数列，可得， 综上：所以． 【变式训练3-3】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，(2)，(3) 【解析】（1）结合题意，利用累加法即可求得答案； （2）由（1）可得的通项公式，利用裂项求和法，即可得答案； （3）由（1）可得的表达式，利用裂项求和法求出的表达式，确定的范围，结合对一切成立，解不等式即可得答案. （1）由题意知，， 故， 即，也适合该式， 故； （2）由（1）知 所以 ； （3）由（1）可得 ， 据题意，即对一切恒成立， 而，所以. 【变式训练3-4】已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由，利用数列的通项和前n项和关系求解； （2），利用裂项相消法求解. （3）由，利用分组求和法求解. （1）当时，．①， ②， ①-②得：， 当时，也符合上式， 所以； （2）， ， ， ． （3），③ ，④ ③-④得：， ， ， ， ． 故 题型04：三项等差裂项: 一般结构： 【典型例题1】已知，，求数列{}的前n项和 【答案】. 【解析】当时，， 因此，，， 则，满足上式， 所以. 【典型例题2】已知数列满足: . (1)求数列的通项公式;(2)设, 求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由递推关系取可求，当时，利用递推关系可求，由此可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和为. （1）当时，，解得； 当时，， 则， 两式相减得，即； 当时也成立，所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 所以. 【变式训练4-1】在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论. （1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）∵，∴， （方法一） ， ∴ 化简得：， ∴. （方法二） ， ∴ . 【变式训练4-2】设数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据和的关系、等比数列的定义即可解答. （2）利用裂项相消求和法即可求解. （1）由，， 当时，，即； 当时，，整理得，即. ， 当时上式也成立. 数列是以首项，为公比的等比数列， 则，即. （2）， . 【变式训练4-3】在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论. （1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）∵，∴， （方法一） ， ∴ 化简得：， ∴. （方法二） ， ∴ . 题型05：其它裂项求和 一般形式： （1） （2） （3） （4） 【典型例题1】设等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式． (2)令，数列的前n项和为．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）化简得到，裂项相消法求和，证明出结论. （1）设等差数列的公差为d， 则， 解得，因此； （2）证明：因为， 所以， 所以. 【变式训练5-1】已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【解析】（1）设数列的公差为，且，然后由题意列方程组，求出，从而可求出通项公式； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求出，则，所以，从而可求出的取值范围. （1）设数列的公差为，且，依题意得： ， ， 解得， . （2）， ，，或. 【变式训练5-2】已知，设，证明：. 【解析】解：因为 ， ，故 . 【变式训练5-3】已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求； （2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明. （1） 当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2） 由（1）可得， ， ，，，，， ， . 二 分组求和与并项求和进阶 题型06：奇偶项的通项公式不一致的数列求和 将数列拆分成奇数项和偶数项2个数列分别求和再相加 【典型例题】已知数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前10项和. 【答案】(1)； (2)707 【解析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可； （2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可. （1）由题意可知当时， 有，此时数列的奇数项成等差数列， 由题意可知，公差为2，则， 所以，（为奇数）， 当时，有， 即此时数列的偶数项成等比数列， 由题意可知，公比为4，则， 所以，（为偶数）， 综上. （2）由上可知 【变式训练6-1】已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，且成等差数列，解出和，即可写出通项公式； （2）由（1）可得，则数列的前项和可以分为奇数项和和偶数项和两组分别求和，计算可得结果. （1）因为成等差数列，所以，即， 又，所以，所以通项公式为，； （2）由（1）可知， 则， 所以 ． 【变式训练6-2】已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. （1）设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 题型07：;插入数字构成新数列后求和 【典型例题1】已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ． 【答案】370 【解析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和. 因为与之间插入个4， ，，，，， 其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4， ，之间插入32个4，由于，， 故数列的前60项含有的前5项和55个4， 故 【典型例题2】已知，在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和. 【答案】 【解析】因为，，成等比数列，且公比为，所以 因为，所以，即 因为，则有： 可得： 化简可得： 所以数列的前项和： 【典型例题3】已知，在数列中的和之间插入i个数，，，…，，使，，，，…，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前n项和为，求． 【答案】. 【解析】因为在数列中的和之间插入i个数，则在列的前21项中，就是在到每两项之间各插入一组数，共插入五组， 数列的前21项为 ∴ . 【变式训练7-1】己知数列满足，在之间插入个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（  ） A．178 B．191 C．206 D．216 【答案】A 【解析】数列满足，在，之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，， 所以共有个数，当时，， 当时，，由于，所以． 【变式训练7-2】已知对所有正整数m，若，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【答案】1809 【解析】考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和． 由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 【变式训练7-3】已知数列，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 【答案】 【解析】解：由题可知，得， 则，③ ，④ ③④得 ，解得. 【变式训练7-4】已知数列的前项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）根据递推公式求出，从而求出，再验证从而可求解. （2）分析数列前项中，各有多少项，然后再利用分组求和即可求解. （1）由题意知当时，， 当时，，即， 所以数列为等比数列，且，当时，也满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题知，由（1）知，在数列中（含）前面共有： 项， 由，，解得， 所以数列前项中含有数列的前项，含有数列的前项， 所以 . 【变式训练7-5】已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2)5528 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题意列出方程组，求出的值，即可求得答案； （2）确定新数列中，项（含）之前共有项，解可确定新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，，，得， 解得，故； （2）由题意可知新数列中，项（含）之前共有项， 令，由于，则，此时时，， 即新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项， 故 . 【变式训练7-6】已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，代入数据直接计算可得答案； （2）利用等差数列的性质可得，利用错位相减法求出，即证． （1）因为等差数列中，，又， 所以，即①， 因为为等差数列，所以， 令时，，即，则②， 结合①②，解出，则， 所以的通项公式为． （2）由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 题型08：隔项数列求和（一般并项求和） 隔项数列一般有三种形式： ，， 并项求和比分组求和计算量小一些 【典型例题1】已知数列满足，，则________ 【答案】 【解析】数列满足，， 因为，，所以， 【典型例题2】在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【解析】因为， 所以，故选：C. 【变式训练8-1】记，为数列的前n项和，已知，求． 【答案】 【解析】解：，，． 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 综上所述， 【变式训练8-2】已知数列满足，，则 ． 【答案】4082 【解析】给赋值，可求得，，由与作差可得，分奇偶项可求得，结合分组求和及等比数列求和公式计算即可. 因为， 所以，， 又，所以， ， 因为，所以， 两式相减得， 所以的所有奇数项成等差数列，首项为1，公差为4， 的所有偶数项成等差数列，首项为3，公差为4， 所以当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 综述：（）， 所以， 所以. 【变式训练8-3】已知数列满足. (1)若为等比数列，求的通项公式； (2)若的前项和为，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),(2). 【解析】（1）设等比数列的公比为，赋值计算求出，，从而求出通项公式； （2）并项求出，然后利用二次函数求最值，求出的取值范围. （1）设等比数列的公比为，由题可知， 所以， 由可得，则， 所以. （2） ， ， 由对于任意恒成立， 所以只要求解， 当时，取得最小值 所以，即实数的取值范围为. 【变式训练8-4】设公差不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可； （2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和. （1），设公差为d，首项为 ，因为公差不为0，所以解得， ，数列的通项公式为，. （2）     ①     ② 得，解得 题型09：通项含有的数列求和 【典型例题1】已知数列各项均为正数，且，. (1)证明：为等差数列，并求出通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)20 【解析】（1）根据等差数列定义证明等差数列，再根据通项公式计算即可； （2）分组求和计算可得. （1）因为， 所以，， 因为数列各项均为正数，即， 所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为. 所以. （2）由（1）知，其公差为，所以， 所以，. 【典型例题2】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的通项公式及； （2）对任意的，计算得出，利用等差数列的求和公式可求得的值. （1）解：设等差数列的公差为，由可得，可得， 因为，则， 所以，，解得，则， 所以，. 所以，. （2）解：因为， 对任意的，， 所以，数列的前项和. 【典型例题3】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. （1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 【典型例题4】已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据之间的关系，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1）求出的表达式，利用分组求和以及裂项相消求和的方法，即可求得答案. （1）由题意知数列满足， 当时，，故， 适合该式，故； （2）由（1）知 ， 记数列：，， 则， ， 故. 【典型例题5】已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得. （1）依题意，，， 则，由，得，解得，而， 所以. （2）由是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，从而，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 所以. 【变式训练9-1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 【答案】3035 【解析】由已知先求出的通项公式，进而得出，再计算即可． 设等差数列的公差为， 因为，成等比数列，则，即， 整理得，由，解得， 所以，则， 所以 【变式训练9-2】在等差数列中，. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设数列的公差为，由题意可得，解方程即可求出，再由等差数列的通项公式求出； （2）由（1）可得，再由分组求和法和等差数列的前项和公式求解即可. （1）设数列的公差为， 则，解得，. 故. （2）由（1）可得， 则， 故 . 【变式训练9-3】数列的前n项积为，且满足． (1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解； （2）由（1）可得，结合分组求和法运算求解. （1）因为， 若，则； 若，则； 且符合， 综上所述：数列的通项公式. （2）由（1）可知：， 可得 ， 所以. 【变式训练9-4】已知数列前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据之间的关系，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1）求出的表达式，利用分组求和以及裂项相消求和的方法，即可求得答案. （1）由题意知数列满足， 当时，，故， 适合该式，故； （2）由（1）知 ， 记数列：，， 则， ， 故. 【变式训练9-5】已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)；(2)5150. 【解析】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 【变式训练9-6】已知数列是等差数列，数列是公比大于1的等比数列，的前项和为.条件①；条件②；条件③；条件④.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列、存在且唯一确定. (1)求数列、的通项公式；(2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）考虑选①②，①③，②③数列、均不唯一确定，必须选④，考虑①④，②④，③④，结合等比数列的定义和通项公式求解； （2）由数列的分组求和以及等差等比的求和公式计算即可. （1）若选①②，选①③，选②③，数列、均不唯一确定，故必须选④， 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，可得时，， 两式相减可得， 即，由于为常数，故必有， 若选①④，可得时，，解得， 所以； 若选②④，，数列、不唯一确定； 若选③④，，可得，则，此时等比数列不存在. 综上：； （2）， 则 . 【变式训练9-7】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，. (1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）利用的关系结合条件及等比数列的定义可得，再根据等差数列的概念计算求； （2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可. （1）由，且对一切都成立， 可得， 又，所以， 则， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则. 又是公差为2的等差数列，，所以， 则. 综上. （2）由上可知， 故 . 【变式训练9-8】在等差数列中，. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设数列的公差为，由题意可得，解方程即可求出，再由等差数列的通项公式求出； （2）由（1）可得，再由分组求和法和等差数列的前项和公式求解即可. （1）设数列的公差为， 则，解得，. 故. （2）由（1）可得， 则， 故 . 【变式训练9-9】设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）由，利用分组求和法求解. （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，所以或． 又因为，所以，所以， 故，． （2）， ． 【变式训练9-10】已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 【答案】(1);(2)135 【解析】（1）利用累加法可得答案； （2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案. （1）因为，所以， 可得 ， 即； （2）， 当n为偶函数，， ， ，∴， 则，，…，满足题意， ，， ∴，，，，满足题意， ∴A中所有元素和为． 【变式训练9-11】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 题型10：涉及sin，cos的数列求和 分2种类情况，若是周期数列就并项求和即可，若是这种类型则需要分析看选择并项求和还是分组求和 【典型例题1】已知数列满足，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据的周期性，分组求和即可. 依题意，数列是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可， 因为，所以， 又，所以. 【典型例题2】已知数列{}的前n项和为，通项公式为，则 【答案】2024 【解析】分组求和两个为一组计算，即可求得的值. 当为奇数时， 当为偶数时，， 所以. 【典型例题3】数列满足． (1)求数列通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式． （2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求. （1）由，有， 又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 则有，所以数列通项公式. （2）设， 为奇数时，；为偶数时，. 为奇数时， ； 为偶数时， . 所以. 【变式训练10-1】设数列 的通项公式为，其前项和为，则 【答案】20 【解析】先由的周期性及函数值特点，分析数列的特点；再根据这个特点求解即可. 由可得：周期为，，，，. 因为， 所以 ， 所以数列的前项和具有周期为的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ， 所以. 【变式训练10-2】已知，若，求数列的前项和. 【解析】， 【法一】并项求和 化简得， 故 【法二】分组求和 ， 所以，数列的前项和 【变式训练10-3】数列的前n项和为，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于数列递推式，分别令，推出数列的所有偶数项构成等比数列，令，推出奇数项均为1，再结合分组求和，即可求得答案. 令，则， 即，即数列的所有偶数项构成首项为，公比为3的等比数列， 令，则， 即，由于，则， 故 【变式训练10-4】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）根据特殊角余弦值的特点，结合等比数列的前项和公式进行求解即可. （1）当时，，整理得，又，得 则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则 （2）当时， 当时，， 当时，， 当时，， 则 【变式训练10-5】已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）首先通过累加法求解，然后解得； （2）首先通过分析判断出数列是周期数列，然后通过平方差公式分解求得，最后代入求解即可； （1）因为， 所以，， 累加得， 所以. （2）因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以数列是以3为周期的数列. 故. 题型11：奇偶交织”的递推数列求和问题 优先考虑并项求和 【典型例题1】已知数列满足，，求的前20项和. 【答案】. 【解析】，设 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是 ． 【典型例题2】已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【解析】由题意数列的所有偶数项构成以1为首项2为公比的等比数列，所有奇数项构成以1为首项1为公差的等差数列，分组求和即可. 由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 【变式训练11-1】已知数列的首项，且满足 (1)记，证明：为等比数列；(2)求数列的通项公式及其前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)，. 【解析】（1）先求出的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论； （2）利用分组求和的方法可求答案. （1）因为且， 则， 可得. 且，所以是以5为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以，即. 又因为，则. 所以数列的通项公式为 又， 所以 . 所以数列的前项的和. 【变式训练11-2】,(),是的等比中项，则数列的前20项的和为 ． 【答案】 【解析】由题意得，，设，得是首项为3，公比为2的等比数列，从而得，最后根据求解即可. 由题意，得 又因为是的等比中项， 所以，即， 整理得：，解得或， 当时，，不满足题意，所以，； 设，则有，， 整理得：，而， 所以数列是首项为3，公比为2的等比数列， 其通项公式为：，所以， 所以数列的前20项的和为： . 【变式训练11-3】已知数列满足，若为数列的前项和，则 【答案】626 【解析】根据所给递推关系式，构造等差数列、等比数列求和，再分组求和即可. 数列中，， 当时，， 即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，， 即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 【变式训练11-4】已知数列满足，若，求. 【答案】 【解析】证明：，设 ， 又 ，为以4为首项，2为公比的等比数列. ，， 又，， 所以 . 【变式训练11-5】已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 【答案】(1)，； (2) 【解析】（1）根据已知条件结合，可求得，，根据递推式可得，然后利用等差数列定义及通项公式求解即可. （2）根据递推式求得，然后利用分组求和结合等差数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由题意知：，又且， 所以，， 所以，所以， 因为，所以， 所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列， 所以. （2）当为奇数时，为偶数，则， 两式相减得：， 因为，所以， 当为偶数时，为奇数，则， 两式相减得：， 因为，所以，所以； 所以 . 题型12：奇偶数列的前项和及S2n与S2n-1下标的讨论和处理 对于奇偶数列的前项和，一般来需要对n的奇偶进行分类讨论，而在计算时可以通过改变下标令和来简化计算，详情见例1 【典型例题1】已知数列 （1）求数列的前20项和 （2）求数列的前项和. （3）求数列的前项和. （4）求数列的前项和 【解析】 （1） （2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列. 记， ，故 ，故 （3） （4）当n为偶数时，记n=2k 则有，故 当n为奇数时，记n=2k-1 则有，故 故 【典型例题2】已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）对递推式变形得，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解； （2）先利用（1）知，然后利用分组求和思想求解即可. （1）显然，将两边同时取倒数得，即，所以数列是公差为2的等差数列， 所以，所的. （2）由已知得，那么数列的前项和， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 故. 【典型例题3】已知，，求数列{}的前n项和. 【答案】 【解析】对分奇偶讨论，当n为偶数时，采用并项法求和，当n为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时， 当时， 当时， 经检验，也满足上式， 所以当n为奇数时， 综上，数列的前n项和 【典型例题4】在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 （1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式训练12-1】已知，记的前n项和为，，求n的最小值. 【解析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出，进而得出，求解即可得出答案；解法三：分组求和得出，求解即可得出答案. 解法一： ， 又； 又，则，且， 所以n的最小值为10. 解法二： 时， ， ， 所以， ， 又，则，且， 所以n的最小值为10. 解法三： 当时， ， 所以，. 又，则，且， 所以n的最小值为10. 【变式训练12-2】已知，若，求数列的前n项和． 【解析】， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时； 综上所述：. 【变式训练12-3】已知是数列的前项和，已知目， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2)，其中. 【解析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式； 对于（2），由（1）可得， 则，据此可得数列的前项和. （1）由题，又由，. 可得，. 故. 则当，时，. 又时，，故数列的通项公式是，. （2）由（1）可知，， 则. 则当为偶数时， . 当为奇数时，. 综上：，其中. 【变式训练12-4】在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求的前n项和. 【答案】(1), (2) 【解析】（1）由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解； （2）由裂项法求和结合对分类讨论即可求解. （1）由题意得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以， 又因为，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由题意， 若， 则， 若， 则， 所以的前n项和. 【变式训练12-5】已知数列的前n项和为，n为正整数，且． (1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）由的关系可得，构造等比数列即可得解； （2）求出，代入，裂项后分为奇数、偶数讨论求解. （1）当时，，解得， 当时，由可得， 两式相减可得，，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （2）点在函数的图象上， 所以，即， 所以， 当时， ， 当时， 综上， 【变式训练12-6】已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明； （2）利用当时，，求出数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得通项公式； （3）由，利用裂项相消法求和. （1） 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以. （2）当时，，得； 当时，， 整理得， 因为，所以，则， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列，从而， 所以数列的通项公式为. （3）由 ， 设数列的前项和为， 当 当时， 综上：. 三 其它求和问题 题型13：放缩求和 数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择） 一、等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； 二、根式型 （5）； （7）； （8） ； （9） ； 三、指数型 （10）； （11）； （12）； （13）． （14）． 【典型例题1】已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. （1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【典型例题2】设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析 【解析】（1）法一：根据，得到，变形后得到，证明出结论，并求出通项公式； 法二：由题目条件得到，得到以3为首项，以2为公差的等差数列，求出，进而求出，并证明出数列是等差数列； （2）利用放缩法得到，裂项相消法求和，得到. （1）方法一：当，得， 当时，① ② 两式相除可得： 即，又， 故， 变形为：， 因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列． 所以 化简可得 法二：因为，， 所以 即 令，则， 所以以3为首项，以2为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 又因为满足上式， 所以， 所以，故， 故数列是等差数列． （2） 因为， 所以 【典型例题3】已知正项数列中，，前项和为，且______．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答． 条件：①；②． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合可求数列的通项公式； 若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，由条件求出公差，即可得出数列的通项公式； （2）利用放缩法及裂项相消求和法证明不等式. （1）若选①，由，得(， 即(， 因为为正项数列，所， ∴是公差为2的等差数列，又， ∴. 若选②，，当时，， 两式作差得：，则， 两式作差得：， 即，所以数列为等差数列， 时，，可得 公差， ∴. （2）∵， ∴. 【典型例题4】已知数列，满足，且，数列满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解； （2）求出，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立. （1）， ，又， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即. （2）由（1）知， ， ， . 【典型例题5】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行证明即可. （1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 【变式训练13-1】已知正项数列的前n项和为，且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 【解析】（1）当时，由， 所以数列是等差数列； （2），由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 所以，又因为数列是正项数列， 所以，即， . 【变式训练13-2】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 【变式训练13-3】已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时，，也满足. 法二：可得，所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【变式训练13-4】已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【答案】(1)是等差数列，证明见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【解析】（1）由题设有，且，即可证结论； （2）由（1）得即可求，再由关系求； （3）应用放缩法及裂项相消即可证结论. （1）是等差数列，证明如下： 由题设，显然不可能为0，则，且， 所以是首项、公差都为2的等差数列. （2）由（1）知：，显然时也满足，则， 当时，， 而不满足上式，则. （3）由 ，且， 又当时成立， 综上，. 【变式训练13-5】已知数列满足：. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据等差中项证明为等差数列，然后求出公差即可求出通项公式； （2）令，先利用，则一定有，然后将进行放缩，然后再裂项，通过裂项相消求和，最后放缩证明不等式. （1）因为，所以数列为等差数列， 公差， 所以. （2）证明：令，因为，且， 所以； 因为， 所以 ， 因为，所以，故. 综上，. 【变式训练13-6】正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1)；. (2)证明见解析. 【解析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式； （2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果. （1）成等差数列，成等比数列， ，， 数列为正数数列，， 当时，，， ，且，则， ，，，， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 当时，满足上式，， 当时，， 当时，满足上式，. （2）证明： 当时，； 当时，； 当时， . 综上所述，对一切正整数，有. 【变式训练13-7】正项数列 满足 ， (1)求数列 的通项公式； (2)，时， ①证明：； ②证明： . 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【解析】（1）由定义证明为等差数列，进而得通项； （2）①利用中间量比较大小即可；②借助①式结论变形放缩裂项为差式，再多次赋值累加相消可得. （1）由题意，，且，则 则数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 由为正项数列，则. （2）①由（1）结论可知，，则， 又因为，， 当时，， 由，所以当时，成立； 当，时， 则，又， 故成立； 综上所述，. ②要证明， 即证明. 由①结论得， 所以，（，）， 则有， 各式相加得， 即得证. 题型14：恒（能）成立问题 【典型例题1】数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案. 由， 当时，， 两式相减可得：， ∴，由，显然成立， 设， ∴当时，，当时，， 因此，，数列单调递增，当时，数列单调递减， 由，，故当或时，数列取最大值，且最大值为， 对任意，所有的正整数n都有成立，可得， 因此，，即对任意恒成立， 由，当且仅当，即时取最小值，则， ∴实数k的取值范围是. 【典型例题2】已知数列中，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以. (2) ， 若对于恒成立，即， 可得即对于任意正整数恒成立， 所以，令，则， 所以，可得，所以， 所以的取值范围为 【变式训练14-1】已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】由，可得，进而得到，结合，分和分类讨论，确定数列的单调性，求出最大值，进而得解. 由数列满足、得：是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴， ∴， 当时，，∴，当且仅当时取等号，， 当时，，∴， 当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 则当或时，， 而任意的，恒成立，则， ∴实数的取值范围为. 【变式训练14-2】已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 【变式训练14-3】已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记， 则， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 题型15：公共项相关求和 【典型例题1】已知等差数列满足，，数列满足，且． (1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式： (2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【解析】（1）根据等差数列公式确定，计算得到，得到证明. （2）确定，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案. （1）由题可知，， 所以，，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以（常数）， 所以是等比数列， 所以，即． （2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，， 故． ． 【典型例题2】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和． 【答案】(1) (2)79380 【解析】（1）根据题意分析可得，，结合等差数列的通项公式分析求解； （2）根据题意分析可知与的公共项为4，8，16，，共8项，结合等差、等比数列求和公式运算求解. （1）当时，，所以； 当时，，所以； 当n为偶数时，； 当n为奇数时，； 综上所述：. （2）设的前n项和为，的前n项和为， 由（1）可知，， 当时，可知与的公共项为4，8，16，，共8项， 所以数列的前192项和. 【典型例题3】已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【解析】（1）首先求得，由累加法即可求解； （2）不妨设，分，两种情况讨论即可求解； （3）当时，结论显然成立，当时，通过放缩法以及裂项即可得证. （1）由题意可知，即，故， 由，可得， 所以数列的公差，所以， 由， 叠加可得， 整理可得，当时，满足上式， 所以； （2）不妨设，即，可得， 当时，，不合题意， 当时，， 所以在数列中均存在公共项， 又因为，所以. （3）当时，，结论成立， 当时，， 所以， 综上所述，. 【变式训练15-1】已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分类讨论的奇偶性，求出数列的通项，再利用利用裂项相消法求解即可. 因为数列是正奇数数列，对于数列等价于， 当为奇数时，设，则为奇数； 当为偶数时，设，则为偶数， 所以， 所以. 【变式训练15-2】将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 【答案】 【解析】由题意归纳得出，即得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 数列：，数列：， 则为：，则， 所以， 故 【变式训练15-3】将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求使得的的最小值． 【答案】(1) (2)7 【解析】（1）列举法写出数列和，从而找到公共项成等差数列，即可得解； （2）先求出等差数列的前n项和，再解不等式即可. （1） , 所以公共项就是以为首项，2为公差的等差数列， 即； （2）由（1）知， 由，得， ，即， ，故的最小值为7． 【变式训练15-4】在数列中，已知. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意得到，求得，结合等差、等比的求和公式，即可求解. （1）解：由数列中，已知， 可得，即， 因为，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以，可得，即数列的通项公式为. （2）解：因为，可得， 由数列与的公共项为，可得，所以， 所以，即，所以， 所以， 所以. 题型16：取整数列求和 【典型例题1】已知，设，求数列的前10项和.（表示不超过的最大整数） 【答案】3186. 【解析】依题意，， 则 . 【典型例题2】已知，，设，求数列的前9项的和．（注：表示不超过的最大整数） 【答案】 【解析】，则有， 依题意，=2926， 综上，，， . 【变式训练16-1】已知数列满足，记为不小于的最小整数，，则数列的前2023项和为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【解析】利用裂项相消求和可得答案. 由题意得， 则当时，， 当时也满足上式，所以，所以 ， 故的前2023项和为 【变式训练16-2】已知正项数列的前项和记为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）由数列的递推式，推得是首项为2的常数列，可得所求； （2）由数列的裂项相消求和，以及的定义，结合等差数列的求和公式，可得所求和． （1）解：因为是正项数列，即， 因为，且， 当时，，则； 当时，由，可得， 两式相减可得， 整理得，即有， 又因为，所以数列是首项为2的常数列，则，所以， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）得，则， 所以， 则， 可得，，当时，，则， ， 整理得，即， 因为，所以． 【变式训练16-3】已知，若表示不超过的最大整数，如，求的值. 【答案】 【解析】，当时，， 故， 当时，，所以对任意的，都有， 又，所以.所以. 题型17：数列的自定义问题 【典型例题1】（多选）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对.故选：ABD. 【典型例题2】已知数列满足：，，. (1)求数列的通项公式； (2)对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明. (3)设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，得到，得到，得到数列为等差数列，进而得到数列（2）由（1）知，求得，得到是递增数列，进而证得数列是“绝对差异数列”； （3）由（1）求得，得到，分为偶数和为奇数，分别求得，结合的单调性，进而求得的取值范围. （1）解：因为，所以， 因为，可得，所以， 所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以， 可得，即， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以. （2）解：由（1）知， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 所以数列是“绝对差异数列”. （3）解：由（1）知，，可得， 所以， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 当为偶数时，单调递减， 此时时，此时取得最大值，则； 当为奇数时，单调递增，此时，所以， 综上可得，实数的取值范围是. 【变式训练17-1】已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 【答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）因为，则， 又，故，即，数列是“凹数列”． （2）因为等差数列的公差为， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意恒成立， 即 所以，即， 因为，解得． 所以的取值范围为． （3）先证明必要性： 因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，当时，有 ， 所以， 又， 所以．必要性成立， 再证明充分性： 对于任意的，当时，有， 取，则有， 即，所以为“凹数列”. 【变式训练17-2】对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)2和5为两个质数“理想数”；(2)的值为12或18；(3)证明见解析 【解析】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 一、单选题 1．化简式子，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据裂项相消求和即可. . 故选：D 2．已知数列，且，则数列的前2024项之和为（    ） A．1012 B．2022 C．2024 D．4048 【答案】C 【解析】对进行分类讨论，利用分组求和法求得正确答案. 当为奇数时，， 所以数列的奇数项成首项为，公差为的等差数列. 当为偶数时，， 所以数列的偶数项成首项为，公差为的等差数列. 所以前项和为： . 故选：C 3．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，则从今年起4年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为（    ）万吨（精确到0.1万吨）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，分析得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由此求解通项公式，再利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可. 由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列， 每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列， ∴是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，为公差的等差数列， ∴，. 设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为， ∴ ， 当时， . ∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨. 故选：B. 4．德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（    ） A．2091 B．2101 C．2110 D．2112 【答案】B 【解析】先得到的通项公式，再分组求和即可. 由题意得，当时，， 当时，， 故， ， 故前20批次共派遣学生的人数为. 故选：B 5．设首项为的数列的前n项和为，，且，则数列的前23项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，推得，得到数列为等差数列，求得，化简得到，结合裂项法求和，即可求解. 由，，可得， 当时，，所以，可得， 又，所以数列是以2为首项、为公差的等差数列， 所以，得， 于是， 所以数列的前项和为. 故选：D． 6．（已知数列满足，若，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 由题意知数列满足， 当时，； 当时，， 故，则， 也适合该式，故， 则， 故的前2022项和为 ， 故选：B 7．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】由知为等差数列，即可求出，再代入知，再利用裂项相消求出，解不等式，即可得出答案． 因为， 由等差中项的概念可知为等差数列， 又其公差为，， 所以， 代入得 解得即n的最小值为13 故选:C 8．设数列满足（且），是数列的前项和，且，，则数列的前项和为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意易得为等差数列，递推得出也为等差数列，结合裂项相消法求和即可. 因为（且），所以数列为等差数列， 设公差为， 因为， 所以，（常数）， 则也为等差数列. 因为，所以，则数列的公差为， 所以，所以， 所以数列的前项和为 故选：C. 9．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（    ） A．4048 B．4046 C．2023 D．2024 【答案】D 【解析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再得，利用高斯函数的定义计算即可. 由题设知， 故是首项为4，公差为2的等差数列，则， 由累加法可知则， 所以. 又时，，时，， 所以. 故选：D 10．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意分别写出，，的通项公式，且当时用累加法可求出通项，然后对选项进行逐一判断求解. 由题意知，边长，边数，周长，面积， 所以得：，， 所以得： ，， 因为：， 当时，， 所以得： ， 当时，，也适用， 所以：， 所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确； 所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误； 故选：B. 二、多选题 1.已知数列的前n项积为，，则（    ） A． B．为递增数列 C． D．的前n项和为 【答案】AD 【解析】根据等比数列的定义可判断为等比数列，进而可求解A，根据即可判断C，根据指数式的单调性即可判断B，根据分组求和结合等比求和公式即可求解D. 由可得，故为等比数列，且公比为3，首项为，故，进而,A正确， 当时，，所以， 当时，不符合上述表达， 因此，故C错误， 当时， ，由于为单调递增数列，故为单调递减，故B错误， 的前n项和为，故D正确， 故选：AD 2.公差为的等差数列满足,则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的前项和为 【答案】BC 【解析】根据已知条件,求出等差数列的首项和公差,从而得到的通项公式,判断选项;将的通项公式代入,再利用裂项法求前项和,即可判断选项. 为等差数列, 错误,正确； , 的前项和为正确,错误. 故选:BC. 3.已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BC 【解析】由B选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列的通项公式验证A错误，由数列定义，可用裂项相消法求它的前项和，进而验证CD. 由题意得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 由以上可知，所以，从而，故A错误； 而， 所以，故C对D错. 故选：BC. 4.已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 【答案】BD 【解析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误. 由题设可得， 因为，，故， 所以，所以， 所以，因为，故， 所以，所以为等比数列， 所以即，故，故A错，C错. 又，故， 所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确. ， ， 故的最小正整数n的值为15，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛： 题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑的值. 三、填空题 1.已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数 . 【答案】2023 【解析】设公差为，裂项相消得到，进而求和得到方程，求出答案. 设等差数列的公差为d，由， 可得 ， 因为，所以. 故答案为： 2.已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题设易知是首项、公比都为2的等比数列，可得，进而得到，裂项相消法求，根据不等式恒成立求参数范围. 由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 所以， 则在上恒成立， 要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为. 故答案为： 3.数列的通项公式为，前项和为，则 ． 【答案】 【解析】利用诱导公式化简数列，代入即可求解. . 故答案为：. 4.设数列满足，若，则的前99项和为 . 【答案】/ 【解析】先根据前项和与通项的关系得，然后求得，再根据裂项相消求和法求解即可得答案. 因为，① 所以当时，，② 将①与②式相减得：，即， 当时，也适用， 所以，， 所以， 故答案为：. 5.已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】已知条件求出，裂项相消求出，由不等式恒成立，列不等式求实数的取值范围. 数列满足：， 时， 时，， 得，即， 时也满足，则有. ， ， 不等式恒成立，即，解得或. 即实数的取值范围为. 故答案为： 6.将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 .    【答案】 【解析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可. 由题意，设数阵中所有数据的和为， 则①， ②， 由①-②得： ， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解. 四、解答题 1.已知数列的前n项和为，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【解析】（1）利用之间的关系进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. （1）因为当时，有， 所以当时，有， 两式相减，得， 当时，由，适合， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 2.已知等差数列满足，等比数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据等差数列和等比数列的概念以及通项公式直接求解即可. （2）利用错位相减法求解即可. （1）设等差数列的公差为. 由，可得，解得， 则. 由， 可得是首项为，公比为的等比数列，则. （2）由（1）得， ， ， 所以 ， ， 故. 3.已知正项等比数列的方前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据等比数列的基本量求解公比的值，即可得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求和得，再结合数列的单调性即可得的最值，从而证得结论. （1）设等比数列的公比为，则， 又，所以，解得或（舍）， 所以； （2）证明：由（1）得：， 所以， 对于任意的有，， 则数列为递增数列，所以，所以. 4.已知数列的前项和满足，且数列中的第2项、第5项、第14项依次组成某等比数列的连续3项（公比不等于1）． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的最大值与最小值． 【答案】(1)，； (2)最大值，最小值. 【解析】（1）分和两种情况，利用关系及等差数列定义，再由等比中项、等差通项公式列方程求公差，即可得通项公式． （2）由（1）得通项公式，裂项相消求，分为奇数和偶数两种情况讨论求最值． （1）当时，； 当时，，， 则①，故②， 由②－①得，即， 所以 (，且)，数列为等差数列， 设其公差为，则，，． 又，则，解得或（舍去）， 所以，又也符合上式，故数列的通项公式为，． （2）由题得， ． 当为奇数时，，当时有最大值，且； 当为偶数时，，当时有最小值，且． 综上，有最大值，最小值． 5.设等差数列的前n项和为，且满足 (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. （1）设等差数列的公差为， 所以由，得，解得； 故. （2）因为， 所以， 于是有， 两式相减，得， 即， 即. 6.已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、、成等比数列，，， (1)求数列和的通项公式 (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）先由已知求和，然后根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用对数的运算先裂项，然后分组求和. （1）设等差数列的公差为， 因为、、成等比数列， 所以， 解得或， 因为是递增数列，所以，所以， 设等比数列的公比为， 因为，所以， 即，所以； （2）由（1）知，所以， 又， 所以，     ， 所以. 7.已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解. 【答案】(1)证明见解析； (2)8 【解析】（1）利用倒数法证得为等差数列，再等差数列的通项公式求得，从而得解； （2）结合（1）中结论，结合指数函数的性质求得，再利用错位相减法求得，从而利用估值法即可得解. （1）由取倒数得，即， 又，所以，所以为首项为，公差为的等差数列， 则，故. （2）由，得， 则，则， 所以这样的有个，故，则， 所以， 则， 两式相减得：， 所以，易知为递增数列， 又因为，，， 所以，故，则最大正整数解为8. 8.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】1）利用的关系结合条件及等比数列的定义可得，再根据等差数列的概念计算求； （2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可. （1）由，且对一切都成立， 可得， 又，所以， 则， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则. 又是公差为2的等差数列，，所以， 则. 综上. （2）由上可知， 故 . 9.已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【解析】（1）令得，通过累加的方式即可得解. （2）首先分类讨论结合等差数列求和公式得到表达式，然后对分类讨论列方程求解即可. （3）首先将数列通项公式化简，通过不等式放缩，然后裂项相消即可求解. （1）由对任意正整数m，n都有，令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以. （2）由（1）得，当n为偶数时， = ; 当n为奇数时，为偶数，. 综上所述，. 若k为偶数，则为奇数，由，即，整理得，解得（舍去）或; 若k为奇数，则为偶数，由，即，整理得，解得或，均不合题意，舍去. 综上，所求k的值为2. （3）由 . 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以 .故. 【点睛】关键点睛：第一问的关键是累加法求数列通项，第二问的关键是分类讨论求表达式，然后继续分类讨论解方程，第三问的关键是通过放缩然后裂项相消即可顺利得解. 10.设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． （1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 11.已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. （1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 12.设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2)证明见解析(3) 【解析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. （1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以，设 所以，则， 作差得，所以，所以. 13.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. （1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：,即, ∴， 显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 14.已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. （I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，，所以， 所以，且，所以数列是等比数列； （ii）由题意知，，所以， 所以，设， 则，两式相减得， 所以，所以. 【点睛】关键点点睛： 最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. 15.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，    ⑧ 则．     ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）得，，①， ①②得 ， 所以，所以，所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则．又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 16.设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 【答案】（1），，，证明见解析；（2）. 【解析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． （1） ［方法一］【最优解】：通性通法 由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立. 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； ［方法二］：构造法 由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以． ［方法三］：累加法 由题意可得，． 由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，． ［方法四］：构造法 ，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即． （2）由（1）可知， ［方法一］：错位相减法 ，① ，② 由①②得： ， 即. ［方法二］【最优解】：裂项相消法 ，所以． ［方法三］：构造法 当时，，设，即，则，解得． 所以，即为常数列，而，所以． 故． ［方法四］： 因为，令，则 ， ， 所以． 故． 【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解； 方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式； 方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式； 方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式． （2） 方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法； 方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法； 方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出； 方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算． 17.设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii） 【解析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值. (Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 依题意得，解得， 故，. 所以，的通项公式为，的通项公式为. (Ⅱ)(i). 所以，数列的通项公式为. (ii) . 【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 18.已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等? (3)在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大? 【答案】(1) (2)第63项 (3)当时，的值最大 【解析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解； （2）先求得，，再利用等比数列的定义与通项公式求得，再令，从而得解； （3）利用分组求和法即可求出，再利用导数求得的单调性，从而得解. （1）依题意，设等差数列的公差为d， 则，又，得，解得， 所以； （2）设等比数列的公比为q， 则，，所以，， 所以，令，解得. 故是数列的第63项； （3）由（2）可知，则， 所以 ， 令，则， 由于，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 且，， 所以当时，有最大值且最大值为. 19.已知数列的首项为1，设，． (1)若为常数列，求的值； (2)若为公比为2的等比数列，求的解析式； (3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能为等差数列，通项公式为 【解析】（1）根据题意，由二项式定理，即可得到，即可得到结果； （2）根据题意，结合等比数列的定义，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，假设存在，结合倒序相加法即可得到，然后代入计算，即可得到结果. （1）因为为常数列，所以． ，所以． （2）因为为公比为2的等比数列，． 所以． 所以，故． （3）假设存在等差数列，使得对一切都成立， 设公差为d，则 相加得 所以． 所以恒成立， 即，恒成立，所以 故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为． 20.已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式； （2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和. （1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 21.已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列.求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）根据等差数列的性质将表达出来，再利用错位相减法进行求解即可. （1）因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，.综上得，. （2）在和之间插入个数因为成等差数列， 所以，，，， . 注意到满足上式，则 设，即， ，两式相减，可得： .所以， 22.记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等差数列中的基本量可解得，可求出的通项公式为； （2）利用裂项求和即可求出数列的前n项和. （1）设的公差为，因为，，所以，解得 由等差数列通项公式可得．即的通项公式为 （2）因为， 因此， 所以．即数列的前n项和. 23.在等差数列中，是数列的前n项和，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2). 【解析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式列方程组，求解首项，公差d即可； （2）由（1）可得，分别求解n为偶数时和n为奇数时的前n项和即可. （1）解：设数列的首项为，公差为d，因为，，则，解得，故． （2）解：由（1）得． 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 所以． 24.已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用已知条件推导数列的通项公式，注意分n为奇数，偶数讨论 （2）利用分组求和法求解. （1）∵且， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴． 当n为奇数时，， 当n为偶数时， 综上，． （2）当n为偶数时，； 当n为奇数时，，∴ 25.正项数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）确定数列是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案. （2），根据裂项求和法计算得到答案. （1）正项数列满足，且，故，， 同理得到，， 则数列是首项为，公差为的等差数列，即，. （2）， 数列的前项和. 26.数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列. (1)依次求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)记（n为正整数），求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）根据题意分别取、，结合等差数列运算求解即可； （2）根据题意可得，分奇偶项结合累加法运算求解； （3）由（2）可得，分奇偶项结合裂项相消法法运算求解； （1）因为数列，，是公差为的等差数列，且， 令，则数列，，是公差为的等差数列，可得； 令，则数列，，是公差为的等差数列，可得. （2）因为数列，，是公差为的等差数列， 则，可得， 当为奇数，可得， 且符合上式，所以当为奇数，；当为偶数，可得； 综上所述：. （3）由（2）可得：当为奇数，可得； 当为偶数，； 综上所述：. 当为偶数，可得 ； 当为奇数，可得； 综上所述：. 27.已知等差数列，其前项和满足为常数. (1)求及的通项公式； (2)记数列 ，求前项和的. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）计算出的值，根据等差中项的性质可列方程解出的值，再利用与的关系即可求解； （2）运用裂项相消法即可求解. （1）由题意，当时，， 当时，， 则，， 因为数列是等差数列，所以， 即，解得， 则，满足， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得，，则， 所以 ． 28.已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式； （2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围． （1）因为数列的前n项和满足， 当时，， 两式相减得：，即， 当时，，解得：， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）可知：， 所以 ， 对任意的，不等式都成立，即， 化简得：，设， 因为， 所以单调递减，则，所以， 所以实数k的取值范围是． 29.在数列中，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）由，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. （1）解：由，两边同除以，可得，即， 因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由，可得 ， 所以数列的前项和为 ， 因为，可得，即. 30.记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据与的关系分析可得数列是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解. （1）因为，可得， 两式相减得， 整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）可得：， 则 ，所以． 31.已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用时关系求通项公式，注意验证情况，即可得通项公式； （2）应用分组、裂项相消法求. （1）由时， 又时也满足该等式，故. （2）由， 则 . 因此. 32.已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得； （2）将数列通项公式变形为，直接求和可得. （1）证明：由，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即 （2）由（1）知：，所以.又， 2 学科网（北京）股份有限公司 $