第03讲 等比数列讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）讲义-2026届高三数学二轮复习专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义围绕等比数列核心考点，涵盖定义、通项公式、求和公式、性质应用及综合拓展，按基础概念、解题策略、分层题型逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破分类讨论、构造转化等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料创新采用分层教学策略，基础题型强化公式应用与性质速解，中档题突出证明规范与错位相减四步法，拔高题结合函数不等式培养数学思维与抽象建模能力。设置易错点专项规避和实际应用建模训练，助力学生高效突破高频考点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第03讲 等比数列 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 14 题型归纳 15 题型01：等比数列的定义 15 题型02：等比数列的判断与证明 20 题型03：等比中项的应用 30 题型04：等比数列通项公式基本量的计算 33 题型05：等比数列的性质 45 题型06：等比数列函数特征 52 题型07：等比数列的单调性 57 题型08：构造等比数列求数列的通项公式 68 题型09：等比数列前n项和的基本量计算 80 题型10：等比数列片段和的性质 84 题型11：等比数列的奇数项与偶数项和 88 题型12：等比数列前n项和的性质 95 题型13：an与Sn的关系 101 题型14： 等比数列“高斯”积 106 题型15：“纠缠数列” 109 题型16：比值型不定方程 111 题型17：等比数列特性：前n项积 113 题型18：等比数列与1比较型不等式判断 116 题型19：插入数型等比 119 题型20：等比数列恒成立型求参 121 题型21：等比型下标数列 125 题型22：等比数列求范围型 127 题型23：等比数列与三角函数综合 129 题型24：等比数列的简单应用 131 题型25：等比数列的奇偶项讨论问题 143 巩固提升 147 等比数列是高考数学的常考核心内容，和等差数列共同构成数列知识体系两大基石， 兼具基础性、综合性与应用性，近三年高考中该知识点相关分值在5-17分，是学生必须吃透的模块。 一、 考查定位与分值 1. 分值占比：单独考查或与其他知识点综合考查，分值5-17分。选择题、填空题单独考查时分值多为5分；解答题综合考查时，如2024新高考Ⅱ卷第19题，分值可达17分。 2. 难度梯度：小题以基础题为主，侧重公式和性质的简单运用，属于保分题；解答题多为中档题，常位于试卷17、18题位置，是学生需力争满分的题型；偶尔会在压轴题中以综合形式出现，难度偏大。 3. 核心地位：是函数、不等式、解析几何等知识综合考查的重要载体，也是后续大学极限、无穷递缩等比数列求和知识的基础，高考中考查频率极高且地位稳固。 二、 高频考查题型与内容 1. 基础小题（选择/填空）：核心考查基本量计算，围绕首项、公比、通项、前n项和 这几个量考“知三求二”；同时会考查等比中项、下标和性质、片段和性质，偶尔涉及奇偶项求和的简单计算，题目直白易得分。 2. 中档解答题：最经典考法是 证明数列是等比数列，再结合通项公式、前n项和公式求解；还常与等差数列结合出题，或是考查错位相减法求等差×等比型数列的和，是该模块核心解答题型。 3. 高阶综合题：多作为压轴或次压轴题的一部分，和函数结合研究数列单调性、最值；和不等式结合用放缩法证明数列不等式、求参数范围；也会与解析几何、概率统计交叉命题，用来拉开分数差距。 4. 实际应用题：以指数增长/衰减为核心背景，考查复利计息、人口增长、放射性物质衰变等实际问题，核心是让学生将实际场景抽象成等比数列模型求解，是近年命题热点。 三、 核心考查思想与能力 1. 数学思想：分类讨论思想是重中之重，使用前n项和公式必须讨论公比q是否为1；同时侧重考查方程思想、函数与方程思想、转化与化归思想，比如将非等比数列构造转化为等比数列求解。 2. 核心素养：着重考查数学运算（公式求解、错位相减运算）、逻辑推理（等比数列的证明）、数学抽象（实际问题建模）三大核心素养，运算的准确性和推理的严谨性是得分关键。 四、 命题趋势 1. ** 重通法轻技巧**：减少复杂繁琐的计算题型，更多考查公式本质、基础性质和通性通法，弱化特殊解题技巧，强调对核心知识点的理解。 2. ** 强应用重建模**：越来越注重结合生活实际和科技场景出题，强化学生从实际问题中提炼等比数列模型的能力，应用题占比有所提升。 3. ** 增开放探素性**：压轴题中频繁出现等比数列相关的新定义、新情景题，以及存在性、探索性问题，综合性强，以此考查学生的创新思维和灵活解题能力。 结合高考考纲要求，分3层设定学习目标，兼顾基础夯实、能力提升与高考适配，适配教学/备考需求 一、 基础目标（保底层，对应高考基础题，必拿分） 1. 牢记等比数列定义：能精准区分等差数列与等比数列本质差异。 2. 熟记核心公式，做到灵活套用： 3. 掌握2个基础性质：会用等比中项；能运用下标和性质简化计算。 4. 搞定基本量运算：熟练完成“知三求二”，运算零失误，尤其注意q=1的特殊情况讨论。 二、 能力目标（提分层，对应高考中档题，争满分） 1. 具备严谨推理能力：能根据定义证明一个数列是等比数列（定义法、等比中项法），步骤规范、逻辑严谨。 2. 掌握核心解题技法：熟练用错位相减法求“等差×等比”型数列的前n项和（高考解答题高频考点）；会用片段和性质快速解题。 3. 具备转化与构造能力：能通过变形构造等比数列，求解非等比数列的通项公式。 4. 突破分类讨论难点：主动规避易错点，在使用前n项和、讨论奇偶项求和、求参数范围时，精准讨论q=1、q=-1的特殊情况。 三、 拔高目标（冲分层，对应高考综合/压轴题，拉差距） 1. 适配综合考查需求：能将等比数列与函数、不等式、解析几何等知识结合，解决单调性、最值、参数范围问题。 2. 掌握高阶解题思想：熟练运用放缩法证明等比数列相关不等式；能用函数思想分析等比数列的项的变化规律。 3. 具备建模应用能力：能从复利、人口增长、衰变等实际场景中，抽象出等比数列模型，完成实际应用题的建模与求解。 4. 应对创新题型：能解读等比数列相关新定义、新情景题，解决探索性、存在性问题，提升解题灵活性与创新思维。 知识点一：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然定义还可以叙述为：在数列中，若(为常数且，则是等比数列. 注意： (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中含有“0”，则该数列不可能是等比数列. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒. (3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与无关的常数，但是这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列. (4)若一个数列不是从第2项起，而是从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列. (5)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列.因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列. （6）等比数列的公比：，，， 知识点二：等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项. 由等比中项的定义可知，.反之，若，则，即，，成等比数列.综上，，，成等比数列. 注意： (1)在等比数列中，任取相邻的三项，，，则是与的等比中项.由此可得等比数列的第二种判定方法——等比中项法，即判断是否成立. (2) “，，成等比数列”与“”是不等价的.前者可以推出后者，但后者不能推出前者.如，，满足，而，，不成等比数列.因此“，，成等比数列”是“”的充分不必要条件. (3)等差中项与等比中项的区别： ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数. (4)由等比中项可知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致. 知识点三：等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是 注意： (1)已知首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)在通项公式中，有，，，四个基本量，如果已知其中的三个可求出第四个量. (3)可以利用通项公式来判断数列是否为等比数列. (4)在记忆通项公式时，要注意的指数比项数小这一特点. 2．等比数列通项公式的推导 (1)方法一(归纳法)：由等比数列的定义可知，，，，，，归纳得. 当时，上面的等式两边均为，所以等式也成立，因此当时，成立.需要注意的是上述过程不是证明的过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明. (2)方法二(累乘法)：根据等比数列的定义，可知，，，，.上述个等式两边分别相乘，得，所以当时等式也成立. (3)方法三(迭代法)：由于数列是等比数列，所以当时，等式也成立. 求等比数列通项公式的常用方法总结如下： （1）.定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式. （2）.公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式来求。 （3）.递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种： ①是配常数转化为等比数列，从而再求通项 ②取倒数转化为等比数列，从而再求通项. （4）.利用与的关系：与的关系为，把转化为的递推关系式，再求通项. （5）.实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究与的关系，求等比数列的通项.等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题. 3．等比数列通项公式的变形 ∵是等比数列，∴∴，∴ 注意： (1)在已知等比数列中任一项及公比的前提下，可以利用求等比数列中的任意一项； (2)已知等比数列中的和两项，就可以使用求公比，其中可大于，也可小于. 知识点四：等比数列与指数函数的关系 等比数列的图象 等比数列的通项公式，还可以整理为，当且时，等比数列的第项是函数 当时的函数值，即.因此等比数列的图象是函数图象上的一些孤立的点. (n，an)组成如下图等比数列的图象． 当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 知识点五 等比数列的单调性 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列. 它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点. ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列. （3）当时，等比数列是摆动数列. 要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. 等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 （4）等比数列{an}，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图) 注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. 知识点六：等比数列的性质 若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质. (1) (2)若，则. 特别地： ①若，则; ②； ③推广：若，则. (3)若成等差数列，则成等比数列. (4)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列. （5）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。 （6）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列 （7）若为等比数列，则数列，，成等比数列 (8)在数列中，依次每项的和(或积)构成公比为(或的等比数列. (9)已知且，如果数列是以为公差的等差数列，那么数列是以为公比的等比数列.如果数列是各项均为正且公比为的等比数列，那么数列是以为公差的等差数列 . 知识点七：等比数列前n项和公式 等比数列的前项和公式： 关于此公式可以从以下几方面认识： ①不能忽视 成立的条件：。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。 ②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形. 如，公差为 的等差数列， ， 则， 相减得 ， 当 时，， 当时 ，； ③从函数角度看 是的函数，此时和 是常数。 知识点八：等比数列的前n项和公式与函数的关系 当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. 当q≠1时，.记A=，则=+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，等比数列前n项和的图象是是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为, 设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 知识点九：等比数列及其前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1) . (2) 若为等比数列，则 ①当时，为奇数，数列，，，成等比数列 ②当时，数列，，，成等比数列 (3) 若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. (4)若，则成等比数列. 知识点十：等比数列的判断证明方法 （1）用定义：对任意的，都有为等比数列 （2）等比中项：为等比数列 （3）通项公式：为等比数列 （4）求和公式： 注意： a.当时，；当时，则 . b.；当时， . ，当时为等比数列 .当时，若为偶数，则不是等比数列；若为奇数，则是公比为1的等比数列 . 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 拓展点一：方法技巧与总结 1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). ③设项技巧——对称设项 （i）三个数成等比数列可设为：，，或，，； （ii）四个数成等比数列可设为：，，，或，，，. 拓展点二：构造等比数列的常见类型 当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出.常见的有如下类型. (1)可化归为，当时，数列为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题，也可消去常数项：由，，两式相减，得当时，数列为公比为的等比数列. (2)，可化归为,或将递推关系式两边同除以化为型，或两边同除以运用累加法求通项公式. (3)，可化归为，即型. （更多构造成正比在第04讲通项公式中有详细讲解） 结合高考高频题型，分基础、中档、拔高三类题型给解题策略，附易错规避技巧，适配备考/教学需求 一、 基础题型解题策略（选择/填空保分，5分稳拿） 基础题核心考基本量运算+基础性质，主打“快准狠”，优先用性质简化，再用公式计算 1. 基本量“知三求二”题：核心用方程思想，锁定,q两个核心量，将已知条件全部转化为关于,q的方程/方程组求解； 2. 性质活用题（等比中项/下标和）：①等比中项题直接套=，注意验证≠0；②下标和题，看到m+n=p+k，直接用=，秒简化计算，无需算通项。 3. 片段和相关题：用,-,-成等比的性质，前提必须先判断q≠-1（若q=-1且n为偶数，片段和为0，不成等比），优先用性质，比硬算快3倍。 二、 中档题型解题策略（解答题争满分，17分主攻） 中档题核心考证明+求和+构造，主打“步骤规范+方法精准”，每一步踩准得分点 1. 等比数列证明题（2大核心法，步骤必规范） ◦ 定义法（高考首选，得分率最高）：①作比；②化简证明比值为非零常数；③下结论（加≠0前提）。 ◦ 等比中项法：证明=（n≥1），且≠0，需验证首项和第二项的比值，避免首项为0的陷阱。 2. 错位相减法求和（等差×等比型，必考技法） 四步标准流程（规避漏项/符号错）：①写表达式；②两边乘等比数列公比q，得q；③两式相减，对齐同次项，注意符号（减号变号）；④化简，公比q≠1，最后验证首项，整理结果。 3. 构造等比数列求通项（=k+b型） 核心转化法：设+λ=k(+λ)，解出λ（k≠1）；构造出{+λ}是等比数列，先求该数列通项，再反推；k=1时为等差数列，直接用等差公式。 三、 拔高题型解题策略（综合/压轴题拉差距） 拔高题核心考综合应用+思想方法，主打“知识联动+思想落地” 1. 等比数列+函数/不等式：①结合函数：把、看作关于n的函数，用函数单调性求最值，注意n∈N*；②结合不等式：用放缩法（常放缩为等比数列求和），如≤b·，再用无穷递缩等比数列求和放缩证明。 2. 等比数列+参数范围题：①分类讨论q=1和q≠1；②结合数列单调性（>）或的范围，列不等式求解；③验证参数是否满足≠0、q≠0的前提。 3. 实际应用题：三步建模法：①审题提取关键量，判断是“指数增长/衰减”，确定为等比数列模型；②设首项a_1（初始量）、公比q（增长/衰减率）；③套通项或求和公式，结合实际意义（n为正整数）求解，验证结果合理性。 四、 高考易错点解题规避策略（反向保底，少丢分） 1. 3大核心易错点规避 ◦ 易错1：忽略前提条件→解题先写“等比数列中a_n≠0，q≠0”，用S_n必先判q=1。 ◦ 易错2：错位相减漏项→相减时逐行对齐，末尾补0，相减后检查中间项是否完整。 ◦ 易错3：片段和性质误用→用前先验证q≠-1，若q=-1，分n奇偶数讨论。 2. 运算易错规避：分式化简先因式分解，符号问题重点关注，结果必须化为最简形式（分数/整式）。 五、 解题核心思想总结（通法兜底） 1. 优先用性质，再用公式，能简化计算的绝不硬算； 2. 始终牢记分类讨论（q=1、q=-1），是等比数列解题的核心； 3. 遇非等比数列，优先想转化构造，遇综合题，优先拆分核心（先拆等比数列部分）。 题型01：等比数列的定义 【典型例题1】已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为 .(只需写出一组) 【答案】，，（答案不唯一） 【解析】根据等差数列的通项公式，写出数列的部分项，根据观察法，即可得出结果. 因为数列的通项公式为， 所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……， 显然， 所以，，能构成等比数列. 故答案为：，， 【典型例题2】已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【答案】A 【解析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可. 因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故选：A 【变式训练1-1】若数列对任意正整数n都有，则（    ） A．17 B．18 C．34 D．84 【答案】B 等比数列的定义、由递推关系式求通项公式 【解析】根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值. 因为， 所以时，， 两式相减，得，即， 又时，得也适合， 所以时，， 所以． 故选：B． 【变式训练1-2】已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 判断等差数列、等比数列的定义 【解析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 【变式训练1-3】在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 等比数列的定义、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【解析】设等差数列的公差为，则，根据题中条件可得出关于的方程，求出的值，可得出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和. 设等差数列的公差为，则，所以，， 所以，，， 因为、、成等比数列，则，即， 即， 因为，则，所以，， 对任意的，， 所以，的前项和为 . 故选：A. 【变式训练1-4】已知数列满足，若是等比数列，则 ． 【答案】 【解析】由题意，由此有，解出即可． 解：∵是等比数列，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1-5】已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 . 【答案】 4 【解析】根据数列递推式即可求得，根据等比数列的通项公式即可求得. 由题意数列的首项，且， 那么； 由此可知，故，则数列为首项是，公比为2的等比数列， 故，首项也适合该式， 故答案为：4； 【变式训练1-6】已知数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案. 数列中， 则，否则与矛盾， 故，即数列为首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 故答案为： 【变式训练1-7】已知数列满足，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由等比的定义结合其性质得出的值. 因为，，所以数列为等比数列，设其公比为， 由，，得，所以， 所以， 所以. 综上，的值为. 故答案为：1 【变式训练1-8】在各项均为负数的数列中，已知．且． （1）求的通项公式； （2）试问是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）;（2）是这个数列中的项，是第6项 【解析】解：（1）．，又∵数列的各项均为负数，， ∴数列是以为公比的等比数列，， ，，又， ，又，，． （2）令，则，， 是这个数列中的项，且是第6项． 【变式训练1-9】已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【解析】（1）由等比数列的通项公式可知； （2）， 设18是数列中的第n项，则， 化简得，因为这个方程无正整数解， 所以18不是数列中的项． 题型02：等比数列的判断与证明 【典型例题1】“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用等比数列的定义说明充分性，举反例说明不必要即可得解. 若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列. 假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列. 故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【典型例题2】已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【解析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可. 若为等比数列，则， 所以，， 当时，故充分性不成立； 若（，），不妨令，则，又， 所以，即，所以为公比为的等比数列，故必要性成立； 故“为等比数列”是“（，）”的必要不充分条件. 故选：B. 【典型例题3】（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若满足，则一定是等差数列 B．若满足，则一定是等比数列 C．若，则既是等差数列也是等比数列 D．若成等比数列，则 【答案】AD 【解析】借助等差数列与等比数列的性质逐项判断即可得. 对A：由满足，则是的等差中项， 故一定是等差数列，故A正确； 对B：若，满足，但此时不为等比数列，故B错误； 对C：若，满足，但此时不为等比数列，故C错误； 对D：若成等比数列，设公比为， 则有，，则，故D正确. 故选：AD. 【典型例题4】已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； 【答案】(1)证明见详解 【解析】（1）因为，， 所以，，又， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列. 【变式训练2-1】等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【答案】D 【解析】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果. 因为数列是等差数列，设其通项公式为， 所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为数列为等比数列，设其通项公式为， 所以是定值， 所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为，所以， 所以数列一定是等差数列，选项正确; 当时，，则不是等比数列，选项错误， 故选：D. 【变式训练2-2】已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断；由数列的递推式推得，可判断． 由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 【变式训练2-3】已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由可得正项数列隔项成等比数列，再由结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 因为，所以， 两式相除可得：， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当，则，， 所以数列为公比为的等比数列， 所以“”能推出“数列为等比数列”， 若数列为等比数列，则公比为2，故， 所以“数列为等比数列”能推出“”. 故“”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 【变式训练2-4】已知数列的前项和为，若，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】B 【解析】AB选项，当得，解得， ①，当时，，② 式子①-②得，故， 所以为，是公比为的等比数列，A错误，B正确； CD选项，由于，故，故不是等差数列， 由于，故不是等比数列，CD错误. 故选：B 【变式训练2-5】已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可. 若为等比数列，则， 所以，， 当时，故充分性不成立； 若（，），不妨令，则，又， 所以，即，所以为公比为的等比数列，故必要性成立； 故“为等比数列”是“（，）”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练2-6】等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【答案】D 【解析】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果. 因为数列是等差数列，设其通项公式为， 所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为数列为等比数列，设其通项公式为， 所以是定值， 所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为，所以， 所以数列一定是等差数列，选项正确; 当时，，则不是等比数列，选项错误， 故选：D. 【变式训练2-7】已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断；由数列的递推式推得，可判断． 由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 【变式训练2-8】已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由可得正项数列隔项成等比数列，再由结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 因为，所以， 两式相除可得：， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当，则，， 所以数列为公比为的等比数列， 所以“”能推出“数列为等比数列”， 若数列为等比数列，则公比为2，故， 所以“数列为等比数列”能推出“”. 故“”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 【变式训练2-9】已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】D 【解析】根据题意：， 两式作差可得，当时，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 所以， 故选：D． 【变式训练2-10】（多选）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】不妨设等比数列的公比为. 对于A选项，不妨取数列展开为，则展开为，显然不是等比数列，故A项错误； 对于B选项，由则数列为等比数列，故B项正确； 对于C选项，由则数列为等比数列，故C项正确； 对于D选项，当时，数列为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D项错误. 故选：BC. 【变式训练2-11】（多选）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．是等比数列 B．一定不是等差数列 C．是等比数列 D．一定不是等比数列 【答案】AC 【解析】根据等比数列的定义判断A、C；举反例判断B、D. 设、的公比分别为， 对于数列，它是公比为的等比数列，A对； 对于数列，它是公比为的等比数列，C对； 若满足数列和是等比数列， 此时，数列既是等比数列，也是等差数列，B、D错. 故选：AC 【变式训练2-12】（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，，成等差数列，则，，一定成等差数列 B．数列的前项和为，若，则是等差数列． C．如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列； D．数列的通项公式为，前项和为，则中最大的是或 【答案】BD 【解析】举例说明即可判断A；根据与的关系可得，结合等差数列的定义即可判断B；根据等比数列的定义即可判断C；由可知为正，，为负，即可判断D. A：若，则，不构成等差数列，故A错误； B：当时，； 当时，， 则符合上式，所以， 得，即为等差数列，故B正确； C：设，的公比为. 当时，，得，此时为等比数列； 当时，，则，不为常数， 此时不为等比数列.故C错误； D：令，解得， 则为正，，为负， 所以中最大为或，故D正确. 故选：BD 【变式训练2-13】若数列的前项积为，则的前项和 . 【答案】 【解析】因为数列的前项积为 所以当时，， 当时，， 因为当时，， 所以. 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故答案为：. 【变式训练2-14】（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【解析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可； （2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可. （1）∵是等比数列， ∴， 将代入上式，得 ， 即， 整理得：． 解得：或； （2）设，的公比分别为p，q，，， 为证不是等比数列，只需证：． 事实上，， ． 由于，， 又，不为零，则， 因此，，故不是等比数列． 题型03：等比中项的应用 【典型例题1】设，，则与的等比中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等比中项的定义可求得结果. 由题意可知，与的等比中项为. 故选：C. 【典型例题2】若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比中项的性质计算可得. 因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 【变式训练3-1】若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】根据等比中项的性质可得选项. 解：由已知得，所以，所以， 故选：D. 【变式训练3-2】在等比数列中，，，则与的等比中项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】计算出的值，利用等比中项的定义可求得结果. 由已知可得，由等比中项的性质可得， 因此，与的等比中项是. 故选：A. 【变式训练3-3】正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】根据是方程的两根，利用等比数列的性质求得，再利用对数运算求解. 解：∵是方程的两根， ∴， ∵数列为正项等比数列， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练3-4】设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,即可选出结果. 解:由题知是各项不为0, 若, 则, 故为等比数列; 若为等比数列, 则有, 即; 综上“”是“为等比数列”的充分必要条件. 故选:C 【变式训练3-5】在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 确定等比中项 【解析】根据等比中项的定义可得结果. 根据等比中项的定义可得和的等比中项为. 故选：C 【变式训练3-6】在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 等比中项的应用 【解析】根据等比中项求解即可. 由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 题型04：等比数列通项公式基本量的计算 【典型例题1】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比数列通项公式首先求得公比，进而由求得结果. 设等比数列的公比为，则，解得：， . 故选：B. 【典型例题2】设是等比数列，，，则 . 【答案】16 【解析】结合等比数列通项公式计算即可得. 设，则，故. 故答案为：16. 【典型例题3】在等比数列中，，，则 . 【答案】 【解析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案 因为数列是等比数列，设其公比为， 所以 又，所以，所以，， 所以 故答案为： 【典型例题4】已知数列是等比数列，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）求出公比，得到通项公式； （2）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到答案. （1）设等比数列的公比为q， 因为，，所以，所以， 所以； （2）等差数列的公差为d，则，， 解得，， 所以数列的前n项和公式为. 【典型例题5】在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. （1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 【变式训练4-1】已知等比数列中，，则（  ） A．384 B．768 C．788 D．1536 【答案】B 【解析】由已知条件列方程组，从而可求出，进而可求出数列的通项，则可求得结果 解： 设 的公比为 ， 由题意得， 解得 所以， 所以， 故选：B 【变式训练4-2】已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，成等差数列解出即可． 根据，，成等差数列得到=， 再根据数列是等比数列得到， 因为等比数列的各项均为正，故得到， 解得或（舍去），故得到公比为. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 【变式训练4-3】已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】利用等比数列的性质求出，再解方程组求出，即可得解. 因为是等比数列， 所以， 则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列， 所以， 所以公比. 故选：A. 【变式训练4-4】等比数列满足，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比及首项，进而可求. 依题意有， . 故选：B. 【变式训练4-5】已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】利用等比数列的求和公式，结合正项等比数列求出最后的结果. 设数列的公比为，显然，则，解得或（舍去）. 故选C. 【变式训练4-6】已知为等比数列，公比，则（    ） A．81 B．27 C．32 D．16 【答案】A 【解析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 根据可得，所以或， 若，则不符合要求， 若，则符合要求，故， 故选：A 【变式训练4-7】已知数列是首项为的等比数列，且公比大于，，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设公比为，由得到方程，求出，即可得解. 解：设公比为，由，所以，解得或， 又公比大于，所以， 所以. 故选：C 【变式训练4-8】已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解. 若相邻两项为和，则公比为正数，每一项都为正数，舍去； 若奇数项为和，则奇数项均为正数，舍去； 由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以， 所以； 当时，，所以，所以， 所以； 综上可得，的最小值为. 故选：B 【变式训练4-9】若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 等比数列通项公式的基本量计算 【解析】根据等比数列定义知，求解即得答案. 设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 【变式训练4-10】在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 等比数列通项公式的基本量计算 【解析】先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解. 设等比数列的公比为，因为，所以， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，即，所以， 所以或或 所以的值为或或，所以的最小值为． 故选：A． 【变式训练4-11】数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【解析】利用求得，进而求得正确答案. 依题意，， 当时，， 当时，由得， 两式相减并整理得， 所以数列从第项起是等比数列，则， 即，所以. 故选：D 【变式训练4-12】已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【解析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求. 由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 【变式训练4-13】等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意等比数列的性质可得公比，且由可得，从而可求解. 由题意知数列为等比数列，设公比为，由，得，解得， 因为，即，即，所以，又因为，所以， 所以，故B正确. 故选：B. 【变式训练4-14】已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解. 令可得，又，解得，又， 则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，. 故选：B. 【变式训练4-15】已知等比数列的公比为q，且，，，则 . 【答案】/0.5 等比数列通项公式的基本量计算 【解析】根据等比数列，得，求出的值即可. 因为等比数列的公比为q，且，，， 所以，即，即，解得或（舍）， 故答案为：. 【变式训练4-16】已知数列满足：，则 . 【答案】 由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【解析】由题意构造数列，由此可得当时，，进一步即可求解. 设，的前项和为，则， 当时，，即， 当时，，满足题意， 所以，. 故答案为：. 【变式训练4-17】已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 【答案】. 【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通项. 设等比数列的公比为q，因为，所以，解得， 又，所以有， 由是递增的等比数列，解得， 所以， 即有. 故答案为：. 【变式训练4-8】已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式： ． 【答案】（答案不唯一，（，））. 【解析】根据给定条件，可得，公比，再写出数列的一个通项公式即可. 设等比数列的公比为，由，，得， 显然，即，于是，解得， ，满足，， 取，. 故答案为：（答案不唯一，（，））. 【变式训练4-19】在等比数列中，若，，则数列的公比为 . 【答案】/ 【解析】求出等比数列的公比，利用定义可求得数列的公比. 设等比数列的公比为，则， 因此，数列的公比为. 故答案为：. 【变式训练4-20】在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【答案】(1)或 (2)6 【解析】(1) 已知等比数列的通项公式代入，求出q，最后求出； (2) 已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出，由，求 （1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 【变式训练4-21】在正项等比数列中，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）根据等差中项列方程求出公比，然后可得通项公式； （2）利用裂项相消法求解即可. （1）记等比数列的公比为，， 因为成等差数列， 所以，即， 又，所以，整理得， 解得（舍去）或， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以. 【变式训练4-22】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【解析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列是以为首项，为公差的等差数列，然后利用公式求解即可. （1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以时，， 因此，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【变式训练4-23】在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 确定数列中的最大（小）项、等比数列通项公式的基本量计算 【解析】（1）根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）解，根据数列的单调性求最值即可. （1）设正项等比数列的公比为，， 由题意可得， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的首项为，公比为，通项公式. （2）由（1）得，所以， 令解得， 所以当时，，即， 又，，， 所以数列的最大项为, 题型05：等比数列的性质 【典型例题1】在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．±6 【答案】A 【解析】应用等比数列通项公式性质求解即可. 因为是等比数列，所以. 故选：A. 【典型例题2】在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的性质即可求解. 解：，所以， 故选：B. 【典型例题3】在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】根据题设知和为方程的两个根，即可求得或，结合等比数列通项公式求目标式的值. 因为是等比数列，所以，又， 所以和为方程的两个根，解得或. 若等比数列的公比为，则，所以或. 故选：A. 【变式训练5-1】在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等比数列的性质可得，即可求解. 等比数列中，，则， 故. 故选：C. 【变式训练5-2】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【解析】利用等比数列的性质求解即可. 设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 【变式训练5-3】已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】根据等比中项求出，再根据等比数列的奇数项同号即可确定的值. 设等比数列的公比为， ，， ， ， 又， . 故选：B. 【变式训练5-4】已知等比数列满足，且，则当时， A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：因为为等比数列，所以,.故C正确. 考点：1等比比数列的性质;2对数的运算法则. 【变式训练5-5】．（多选题）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【解析】根据比数列的定义，逐一判断选项. 设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 【变式训练5-6】已知数列是等比数列，且则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】利用等比数列的性质求出，再代入求解即可. 因为为等比数列，所以， 因此，即， 所以， 故选：B. 【变式训练5-7】若等比数列满足，则等于（   ） A．6 B．±6 C．5 D．±5 【答案】B 【解析】解：∵等比数列满足， ∴， ∴. 故选：B. 【变式训练5-8】在正项等比数列中，，则的公比为（    ） A．或3 B．3 C．2或 D．2 【答案】D 【解析】由题意得，得， 由，得，得或（舍去）. 故选：D. 【变式训练5-9】在正项等比数列中，已知，则 ． 【答案】16 【解析】因为，所以，因为，所以， 所以，，所以， ，所以. 故答案为：16. 【变式训练5-10】等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 等比数列下标和性质及应用 【解析】由等比数列性质计算即可. 由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 【变式训练5-11】设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】根据题意结合等比数列的性质可得，，进而可得，运算求解即可. 因为，，所以，， 解得，， 则，故． 故选：C. 【变式训练5-12】在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 故选：A 【变式训练5-13】已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 【答案】B 【解析】设等比数列公比为， 根据已知可得，， 所以，，解得， 所以，. 故选：B. 【变式训练5-14】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．65 B．66 C．67 D．64 【答案】A 等比数列的其他性质 【解析】根据等比数列的性质，是等比数列，即可列式求解. 因为是等比数列，且前项和为， 故可得：是等比数列， 即是等比数列，则，解得：. 故选：A. 【变式训练5-15】在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 【答案】 【解析】由等比数列的性质求解即可. 由可得：， 则，因为等比数列的各项均为正数， 则. 故答案为： 【变式训练5-16】在由正数组成的等比数列中，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】利用等比中项及等比数列下标和性质计算可得； 解：因为，，所以，即， 所以； 故答案为： 【变式训练5-17】若等比数列的各项均为正数，且，则 ， . 【答案】 e5 50 【解析】根据等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 由等比数列的下标和性质有，所以. 因为，所以. 故答案为：e5；50. 【变式训练5-18】已知数列为等比数列． (1)若，求； (2)若，，求公比. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）∵，∴， ∴. 又， ∴是方程的两根和. 当时，，； 当时，，； （2）∵， ∴，∴. 题型06：等比数列函数特征 【典型例题1】（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB 【解析】，或，，，同号， 且，，即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，且易知，故，A正确， 对于B，易知，故，，B正确， 对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选:AB 【典型例题2】（多选）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．是数列中的最小值 【答案】AB 【解析】当时，则，不合乎题意； 当时，对任意的，，且有， 可得，可得，此时， 与题干不符，不合乎题意；故，故A正确； 对任意的，，且有，可得， 此时，数列为单调递减数列，则， 结合可得， 结合数列的单调性可得，， 故，， ∴，故B正确； 因为，数列为单调递减数列， 所以是数列中的最大值，故CD错误. 故选：AB. 【变式训练6-1】（多选）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 【答案】BD 【解析】由于为正项等比数列，所以， 由，得， 所以， 若，则为单调递减的等比数列，由于，所以， 此时不满足，故A错误， 当时，此时，显然不满足， 当，则为单调递增的等比数列，由于和可得， ，因为，所以，所以B正确； 对于C,当时，，当时，， 则的最小值为，故对任意的正整数，有，故C错误， 对于D，又，则，故， ，，所以使得的最小正整数为4047，故D正确． 故选：BD． 【变式训练6-2】（多选）关于递减等比数列，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D． 【答案】AC 【解析】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确； B．当，时，为摆动数列，故B错误； C．当，时，数列为递减数列，故C正确； D．，当时，，此时，当时，，，故D错误． 故选：AC． 【变式训练6-3】已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为 . 【答案】4 【解析】因为，所以， 即， 因为，所以是以4为首项为公比的等比数列， 所以，由累加法得： 所以 因为，所以， 令函数，则. 当时，，而，所以在上单调递减. ，故面积的最大值为4. 故答案为：4. 【变式训练6-4】已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和） (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值. 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）设数列的公比为，则， 当时，，不合题意； 当时，由条件可得， 化简得，则； 故，又，解得， 从而 所以数列的通项公式为 （2）若是数列的前项积，则 取最大值时，当且仅当取最大值 因为， 又，所以当或时，取最大值 故当取最大值时或. 题型07：等比数列的单调性 【典型例题1】已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【典型例题2】等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案. 由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立， 当，不论取何值，总存在，不满足要求； 当， ，则，不满足要求； ，总存在，不满足要求； 当， ，则，不满足； ，若，，显然，即，不满足； ，则在上恒成立，满足. 所以为递增数列有且. 所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件. 故选：B. 【典型例题3】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【解析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式训练7-1】数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【解析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 【变式训练7-2】数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【解析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 【变式训练7-3】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【解析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式训练7-4】已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，，， 由可得出，从而分析出时，，时，． 把方程变形为，引入函数，利用两个函数的图象可得结论． 设等差数列公差为，正项等比数列公比为， 因为，所以，即，所以，又，所以， 由得，，， 所以时，，时，． ，，由，， 即，（*）， 令，，（*）式为，其中，且， 由已知和是方程的两个解， 记，且，是一次函数，是指数函数， 由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）． 如图，作出和的图象，它们在和时相交， 无论还是，由图象可得，，， 时，，时，， 因此，，，， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差和公比的关系，考虑到方程有两解，把此方程变形为，引入函数，通过函数图象观察得到和的关系，从而由数形结合思想得出结论． 【变式训练7-5】若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 若，则 可得：，故选项A错误； 若，则 可得：，故选项B错误； 若，则 可得：，故选项C错误； 不妨设的首项为，公差为，则有： 则有：，故选项D正确 故选：D 【变式训练7-6】数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案. 由已知，解得或，， 此时数列不一定是递减数列， 所以是“数列递减”的非充分条件； 若数列为递减数列，可得或，所以， 所以是“数列递减”的必要条件. 所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练7-7】如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】分别从充分性和必要性结合等比数列的性质入手进行分析即可得解. 充分性：当，时，，显然数列是递增数列， 当，时，，显然数列是递减数列， 综上可得充分性成立； 必要性：当数列为递增数列时，对恒成立， 可得，； 当数列为递减数列时，对恒成立， 可得，； 综上可得必要性成立； “”是“数列为单调数列”的充分必要条件. 故选：C. 【变式训练7-8】已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系. 由等比数列是递增数列， 若，则，得； 若，则，得； 所以等比数列是递增数列，或，； 故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，. 故选：D. 【变式训练7-9】数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【解析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 【变式训练7-10】设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 由题设且，则， 若为递减数列，故，则，充分性成立； 若，则，易知为递减数列，必要性也成立； 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C 【变式训练7-11】已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【解析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 【变式训练7-12】设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 【答案】B 【解析】根据给定条件，结合等比数列通项分析求出公比的范围，再逐项分析判断作答. 在等比数列中，由，，得，即有，， 若，则，，此时，与已知条件矛盾，因此，B正确，C错误； 显然数列是递减数列，由，得，则，A错误； 由于，当，，而，则，当时，，则， 因此当时，逐渐增大，当时，逐渐减小，所以的最大值为，D错误. 故选：B 【变式训练7-13】（多选题）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解. 由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确. 故选：BD. 【变式训练7-14】（多选题）在等比数列中，已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】结合等比数列的通项公式、充分、必要条件的知识确定正确选项. 依题意， ； 且； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练7-15】（多选题）已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列 【答案】AD 【解析】设等比数列的公比为，则，利用数列单调性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 设等比数列的公比为，则，则， 当时，，即，此时，数列为单调递增数列， 当时，，即，此时，数列为单调递减数列， AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 【变式训练7-16】已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)答案见解析 【解析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. （1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 题型08：构造等比数列求数列的通项公式 【典型例题1】已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【解析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列. ∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 【典型例题2】已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【解析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可. 由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【典型例题3】 （1）已知数列满足，求数列的通项公式. （2）已知数列满足，求数列的通项公式. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）根据递推关系构造数列是等比数列，求出通项公式，进而求得； （2）根据递推关系构造数列是等比数列，求出通项公式，进而求得； （1）， ， 即，又，， 所以数列是首项为13，公比为3的等比数列， ， . （2）， ， 又， 所以数列是以32为首项，2为公比的等比数列， ， . 【变式训练8-1】已知在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得； 解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得． 故选：A 【变式训练8-2】已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【解析】根据递推公式得到是以为首项，以为公比的等比数列，则，然后利用累加法即可求解. 由可得：， 若，则，与题中条件矛盾，故， 所以，也即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 则有， 也即，所以， 故选：. 【变式训练8-3】等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【解析】由结合，可得为方程的两个根，又，解得，，再结合等比数列通项公式即可得出. 由为等比数列，得，又， ∴为方程的两个根， 解得，或，， 由为递减数列得，∴，， ∴， 则， 故选：A. 【变式训练8-4】已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【解析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 【变式训练8-5】在数列中，，则 . 【答案】2017 由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【解析】先利用待定系数法将表示为并求，再利用等比数列的性质可得的通项公式，进而求. 将用待定系数法来表示，即, 整理得，则，得. 于是可表示为， 又， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：. 【变式训练8-6】写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式： ； ①数列是递减数列，② 【答案】（答案不唯一） 等比数列的单调性 【解析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的，令，再检验即可. 令，因为函数在定义域上单调递减，且当时， 所以单调递减，且，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练8-7】等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 【答案】2 等比数列的单调性、等比数列下标和性质及应用 【解析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值． 解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为， 则由题意可得，且． ，． 又由等比数列的性质可得，． 故答案为：2． 【变式训练8-8】已知数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】123 【解析】由已知，根据给的，通过，计算出，得到之间的关系，然后构造等比数列，得到数列的通项公式，然后求和即可. 由已知，，①， 当时，， 当时，②， ①②得：，整理得：，即， 所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以 ，所以， 所以.故答案为：123. 【变式训练8-9】已知数列满足，，则 . 【答案】241 【解析】利用递推关系式推出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解. ，，即 又， 是首项为3，公比为3的等比数列， ，故，. 故答案为：241 【变式训练8-10】数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【解析】令，求得，得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式，求得，结合恒成立，即可求解. 由题意，数列满足，且对任意正整数，都有， 令，可得，即，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 又由恒成立，所以，故实数的最小值为.故答案为：. 【变式训练8-11】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算. 解法一：设，整理得，可得， 即，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：， 整理得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即， 当时，则 ， 故， 显然当时，符合上式，故. 故答案为：. 【变式训练8-12】数列的前项和满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】本题首先可根据得出，然后令，求出的值，最后根据等比数列的定义即可得出结果. 因为，所以， 则，即， 当时，，解得， 故数列是首项为、公比为的等比数列，， 故答案为：. 【变式训练8-13】已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【解析】根据等比数列的定义证明是等比数列，再结合等比数列的通项公式求数列的通项公式. 因为 所以. 由，知， 从而. 所以. 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 所以，即. 【变式训练8-14】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. （1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 【变式训练8-15】在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识证得结论成立. （2）由（1）以及等比数列的知识求得. （1）由于，所以． 又，所以． 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以． 【变式训练8-16】已知数列满足，求数列的通项公式. 【答案】 【解析】令，则可证是以为首项，以为公比的等比数列，求出的通项后可求数列的通项公式. 解：令，则，且， 代入，得即. 因为， 则， 即，可化为， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 因此，则，即， 得. 【变式训练8-17】设数列{an}满足． （1）若，求证：存在（a，b，c为常数），使数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）若an 是一个等差数列{bn}的前n项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式． 【答案】（1）；（2）， 【解析】试题分析:（1）根据等比数列定义可得恒成立，根据对应项系数相等列方程组，解得各参数，再根据数列通项公式得{an}的通项公式； （2）设，根据方程恒成立对应项系数相等列方程组，解得各参数，解得a1 最后根据等差数列求和公式逆推通项公式 试题解析：(1)证明：设数列{ an f(n) }的公比为，则：． 而 ． 由等式恒成立得，解得． 故存在，使数列{ an f(n) }成公比为2的等比数列． 又，所以． 所以． (2) 因为an 是一个等差数列{bn}的前n项和，可设，则: ． 又an1 = 2an n2 4n 1 ． 由此得，解得． 所以，所以． 所以当时， ． 当时，满足上式． 故． 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，通常利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;尤其注意转化为关于n的多项式，结合恒等式成立条件，求基本量. 题型09：等比数列前n项和的基本量计算 【典型例题1】若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次求出，依题即可求得公比. 由，时，， 时，由解得，， 依题意，. 故选：C. 【典型例题2】已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ； ． 【答案】 【解析】由等比数列基本量计算即可得，由等比数列前项和公式可计算出. 设，则，即， ，即， 故. 故答案为：；. 【变式训练9-1】设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设公比，将等式运用公式化简求出，再代入通项公式即可求得. 设等比数列的公比为，由可知（否则不成立）， 则有，化简得，，解得，， 于是，. 故选：C. 【变式训练9-2】设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【解析】结合等比数列的性质可计算出公比，由等比数列前项和的定义即可得. 设公比为，则，则， 又的各项均为正数，故， 则. 故选：D. 【变式训练9-3】设等比数列的公比为q，前n项和为.若，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【解析】根据等比数列求和公式，然后相比即可求答案. 当时，因为，所以，不成立. 当时，因为，所以， 两式相除得， 所以. 故选：C 【变式训练9-4】已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ． 【答案】5 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以. 因为，所以， 所以，解得， 故答案为：5. 【变式训练9-5】已知等比数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】255 【解析】设等比数列的首项为，公比为，则显然， 因为， 所以，解得， 由，得， 所以. 故答案为：255. 【变式训练9-6】记为等比数列的前项和，若，则公比为 . 【答案】/-0.5 【解析】由，可得， 即， 故答案为： 【变式训练9-7】已知等比数列满足，，则其前项和 . 【答案】 【解析】设公比为，则， 则，解得， . 故答案为： 【变式训练9-8】已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. （1）设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 题型10：等比数列片段和的性质 【典型例题1】已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 【典型例题2】已知等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【解析】由于，故. 从而，即，故. 所以. 故答案为：. 【变式训练10-1】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由，得，即，所以， 解得，则. 故选：C. 法二：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，， 所以，所以. 故选：C. 【变式训练10-2】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．48 B．81 C．93 D．243 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，因为，， 若，则，得，则，故， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 【变式训练10-3】已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ） A．27 B．45 C．65 D．73 【答案】C 【解析】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列， 所以有，即， 整理可得，解得（舍）或. 又因为， 所以有，解得. 故选：C. 【变式训练10-4】若等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】511 【解析】因为等比数列中成等比数列， 所以成等比数列，所以， 即，解得. 故答案为：511 【变式训练10-5】已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 【答案】 【解析】等比数列的前项和为，而，则成等比数列， 因此，即，所以. 故答案为： 【变式训练10-6】设等比数列的前项和为，则 . 【答案】1 【解析】设等比数列的公比为， 由可知， 因为，， 所以，且，解得， 故答案为：1 【变式训练10-7】已知等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】42 【解析】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也为等比数列， 即，可得，解得． 故答案为：. 【变式训练10-8】已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：设公比为. 当时，，则，此时有； 当时， 因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 当时，有最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【变式训练10-9】设等比数列的前项和是.已知,，则 . 【答案】13 【解析】因为是等比数列的前项和且， 所以，， 也成等比数列， 则. 因为,， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 题型11：等比数列的奇数项与偶数项和 【典型例题1】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 【典型例题2】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【典型例题3】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数.设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【典型例题4】正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求. （1）当时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 【变式训练11-1】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（   ） A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8 【答案】D 【解析】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：， 依题意，，于是得，，解得， 所以这个数列的公比为2，项数为8. 故选：D 【变式训练11-2】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 结合等比数列求和公式有：，解得n=4， 即这个等比数列的项数为8. 本题选择C选项. 【变式训练11-3】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【变式训练11-4】已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得，所以. 又，，所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）因为，设数列的前项和为， 则， ， 因此，. 【变式训练11-5】已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 【解析】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 【变式训练11-6】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解. （1）解：由，可得，所以， 又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 当时，，所以， 又当时，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 【变式训练11-7】已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【解析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解； （2）分为偶数和奇数求数列的前项和. （1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列， 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 【变式训练11-8】若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列， 可得，可求的通项公式； （2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和. （1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 题型12：等比数列前n项和的性质 【典型例题1】已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定. 充分性：设等比数列的公比为， ，， ， 可得或， 又， 当时，若为奇数，， ，，当为奇数时单调增，则无最大值， 当时， ，,单调增, 则无最大值； 必要性：当时，，又，则无最大值. 可得“”不是“无最大值”的必要条件； 由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件. 故选：A. 【典型例题2】设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 【变式训练12-1】若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 【变式训练12-2】在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由题可得，即可得答案. 由题，，则. 故选：A 【变式训练12-3】设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【解析】利用等比数列的性质建立方程求解即可. 因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 【变式训练12-4】在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【解析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 【变式训练12-5】记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【解析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式计算即得. 依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为， 则， 由，得，整理得， 由等比数列的公比小于1，得，解得， 所以. 故选：B. 【变式训练12-6】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B. 【变式训练12-7】下列叙述中， ①等差数列，为其前n项和，若，，则当时，最小； ②等差数列的公差为d，前n项和为，若，则为递增数列； ③等比数列的前n项和为，若，则有最小项； ④在等差数列中，记，若存在，使得，则为递增数列． 正确说法有 （写出所有正确说法的序号） 【答案】①④ 【解析】根据等差数列前n项和的性质可判断，，进而可判断①,根据前n项和是关于n的二次函数,即可判断②,根据条件判断,进而根据等比前n项和的函数性质即可判断③,根据,取为奇数即可判断④. 对于①,等差数列中，，， 故，，进而得，， 根据等差数列的性质可知当时，，当， 故当时，最小，故①正确， 对于②，，比如当时，，此时,此时，故②错误， 由可知，因此公比，且 故，由于，且，所以， 当，单调递减，此时无最小值，例如时，，故③错误， 两式相减得， 当为奇数时，，所以为递增数列，故④正确 故答案为：①④ 题型13：an与Sn的关系 【典型例题1】等差数列的公差，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由与关系求得，再根据是等比数列求得结论． 解：设，则，当时，，， 又，所以， 所以，， 故选：C. 【典型例题2】已知数列{an}满足，，数列{bn}的前n项和为Sn，且． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设，求数列{cn}的前n项和Tn． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出an；再由与的关系得出{bn}的通项公式； （2）由（1）得，利用分组求和求和即可. （1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列 所以． 又当时，，所以， 当时，   ①           ② 由得，即（）， 所以是首项为1，公比为的等比数列，故． （2）由（1）得， 所以． 【变式训练13-1】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）当时，，解得. 当时，，相减得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，验证时成立， 故； （2），， 故. ， 两式相减可得： ， 所以，. 令，，， 故，且，，， 是从第二项开始单调递减数列，. 故. 【变式训练13-2】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 【变式训练13-3】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【解析】（1）当时，，两式相减得，， 又，，． 所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以． （2）证明：， 因为， 所以 ， 因为，所以． 【变式训练13-4】已知等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解析】（1）法一：由，得 设等比数列的公比为q， 所以 解得或（舍去）． 所以． 法二：因为，① 所以当时，，② ①－②得， 所以等比数列的公比． 由①式得，得， 所以． （2）法一：， 故，， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 法二： ． 【变式训练13-5】已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求证数列的前项和． 【解析】（1）因为 所以，当时，，， 两式相减可得，即，又所以， 所以可得，， 又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）因为题（1）中是以1为首项，3为公比的等比数列. 所以继而可得， 所以，， 所以， 所以， 又可得，所以， 所以 题型14： 等比数列“高斯”积 【典型例题1】已知等比数列的前项积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，利用反证法说明，从而得到，即可得到，从而得到，，，再根据等比数列的性质判断即可. 设等比数列的公比为， 当，则，所以，，， 若，则，，，不符合题意； 若，则单调（或为常数），此时不满足，故不符合题意，所以； 当，，此时奇数项为负，偶数项为正，则，，，不符合题意， 当，，此时奇数项为正，偶数项为负，则，，，不符合题意， 所以，故A错误， 又， ， 又，所以，所以， 故对任意的，，则对任意的，，故B错误； 又，，所以，， 所以，， ， 所以，故D正确，C错误． 故选：D． 【变式训练14-1】在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】根据给定条件结合等比数列性质可得，再把所求的式子用等比数列性质化成用表示即可得解. 因数列是正数组成的等比数列，则， 所以. 故选：C 【变式训练14-2】已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则= A． B．7 C．6 D． 【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝ 故答案为 【变式训练14-3】设正项等比数列的前项和为，，，若数列的前项积有最大值，则当取得最大值时，的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．5或6 【答案】D 【解析】设正项等比数列的公比为，由已知建立方程组，解之可求得数列的通项公式，再求得数列的前项积，由函数的性质可得选项． 设正项等比数列的公比为，由，解得． 又，得． 联立，解得，或． 当时，解得，，则， 所以单调递增，不存在最大值； 当时，解得，， 则，则当或6时，最大． 故选：D． 【变式训练14-4】在等比数列中，，且，，则等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比中项的性质可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和为方程的两个根，求得和，则可求． 解：，而，和为方程的两个根， 解得，或，。，，，， 故.故选：B. 题型15：“纠缠数列” 纠缠数列 等差数列某些项（包括复合型）成等比，或者等比数列某些项成等差，称之为“纠缠数列。纠缠数列处理思维 1.如果是等差数列中某些项成等比，则设公差和首项，解方程 2.如果是等比数列中某些项成等差，则设公比和首项，解方程 【典型例题1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（       ） A．29 B．31 C．33 D．36 【答案】B 【解析】由题设，结合等差中项的性质、等比数列通项公式得，进而求q、a1，最后由等比数列前n项和公式求S5. 由题意，，则，可得q3＝，∴q＝，a1＝16， ∴S5＝.故选：B 【变式训练15-1】已知等比数列是递增数列，若，且，，成等差数列，则的前4项和（    ） A．4 B．40 C．4或40 D．15 【答案】B 【解析】设的公比为，由等差数列性质列方程解得，再由等比数列前项和公式计算． 解：设的公比为，由于，，成等差数列， 所以．因为，所以，即 解得（舍去），或，所以． 故选：B． 【变式训练15-2】已知实数b为a，的等差中项，若，b，成等比数列，则此等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等差中项公式有，等比中项公式有，联立可求得的值，即等比数列公比的值，从而即可求解. 解：因为实数b为a，的等差中项，所以  ①， 又，b，成等比数列，所以  ②， 联立①②得，即， 所以，解得， 设等比数列的公比为，由题意，， 所以，故选：B. 【变式训练15-3】已知数列为等比数列，且，数列为等差数列，为等差数列的前n项和，，则（    ） A． B． C． D．﹣4 【答案】B 【解析】根据已知条件求得，由此求得. 依题意. 所以. 所以.故选：B 【变式训练15-4】等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和. 设等比数列的公比为， ，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等， ，且， ，， ，即，解得：或（舍去）， ，所以数列的前10项和： .故选：C. 题型16：比值型不定方程 【典型例题】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】直接利用等比数列的通项公式和前项和公式即可 不妨设的首项为，公比为，则有： 解得：则有：故选：D 【变式训练16-1】等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．8 C．1或 D．或 【答案】C 【解析】根据等比数列的前项和公式及等比数列通项公式即可求解. 设等比数列的公比为，则因为，所以， 即，解得或，所以或.故选：C. 【变式训练16-2】已知数列为各项都是正数的等比数列，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】设出正项等比数列的公式q，利用给定条件求出q即可计算作答. 设正项等比数列的公式为q，由得：，即，而，解得， 所以.故选：D 【变式训练16-3】已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】先利用，，成等差数列解出，再利用求和公式化简求值即可. 设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得，.故选：B. 【变式训练16-4】设等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解. 设等比数列的的公比为q，由得：，解得， 所以 题型17：等比数列特性：前n项积 类比前n项和求通项过程来求数列前n项积： 1.n=1，得a1 2.n时，所以 【典型例题】等比数列的前项之积为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】利用等比数列的性质直接求解即可. 由等比数列的性质可得，，所以，则. 故选：A 【变式训练17-1】已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得． 解：设等比数列的公比为，则，解得，所以， 所以，所以当取得最大值时，可得为偶数， 而在上单调递减，；；，则，且， 当且为偶数时，， ，所以，所以时，取得最大值．故选：D． 【变式训练17-2】已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【解析】先求得，然后结合二次函数的性质求得正确答案. ， 函数的开口向下，对称轴为， 所以当或时，取得最大值. 故选：C 【变式训练17-3】已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】C 【解析】根据给定条件求出数列{}的通项，再求出并进行推理计算作答. 依题意，等比数列{}的通项公式是：， 因此，， ，当时，，即， 当时，，即，数列递减，， 所以取最大值时n为3或4.故选：C 【变式训练17-4】已知等差数列，等比数列的前n项和之积为，设等差数列的公差为d、等比数列的公比为q，则以下结论正确的个数是（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】由题意设等差数列、等比数列的前n项和分别为，，因式分解得，从而得，即可求解出，无法求解出，可得答案. 显然等比数列不是常数列， 设等差数列、等比数列的前n项和分别为，， 其中A，B，C，q为常数，，， 因为， 即等差数列、等比数列的前n项和之积为， 所以， 所以， 所以，，，所以不能判断出的值，故只有④正确. 故选：A 题型18：等比数列与1比较型不等式判断 【典型例题1】设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 【答案】A 【解析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案. 因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误； ，则B正确； ，则C正确； 因为，所以是数列中的最大项，则D正确. 故选：A. 【变式训练18-1】在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据给定条件求出数列的通项，再计算，列式解不等式作答. 设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得， 因此，，，由得：， 从而得：，而，解得，又，则， 所以n的最小值为5. 故选：C 【变式训练18-2】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值 【答案】D 【解析】根据题意可得，，所以在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解. 因为是公比为的等比数列，且，，， 所以，，所以，所以在等比数列中， 从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于. 对于A：因为，所以，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值， 所以数列无最大值，故C不正确； 对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于， 从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确. 故选：D. 【变式训练18-3】已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为4042 【答案】C 【解析】对于A，分，和结合已知条件分析判断，对于B，由已知条件可得，再结合等比中项判断，对于C，由已知条件可得，，，从而可得结论，对于D，由等比数列的性质结合已知条件分析判断 ∵，∴，或，又， 若，则与矛盾， 若，则，与矛盾， 则，，，∴A错误 ∴，∴B错误， ∵且，∴的值是中最大的，∴C正确， ∵，， ∴使成立的最小正整数的值为4043，∴D错误. 故选：C 【变式训练18-4】设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①；利用等比数列的性质及不等式的性质判断②；利用下标和定理判断③；利用等比数列的性质判断④，从而得出结论． 对于①：，，，．又，，且， ，故①正确； 对于②：，故②错误； 对于③：，故③正确； 对于④：， ，故④正确． 故选：D． 题型19：插入数型等比 【典型例题1】将等比数列按原顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到新数列：，，，，，，，，，，…，新数列的前项和为．若，，，则S200= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项，运用分组求和的方法可求得答案. 解：由已知得，，，等比数列的公比． 令，则，， 所以数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项， 故 ．故选：A． 【变式训练19-1】若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比 为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出. 解：成等比数列， ∴根据等比数列的通项得：， ， 故选：A. 【变式训练19-2】已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是-5，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中n个项，则（    ） A．1950 B．1951 C．1952 D．1953 【答案】B 【解析】根据规律得出数列的前2020项含有的前63项，的前项，推断出，最后由等差数列的通项公式得出答案. 构成的新数列中，到共有项 当时，共有项，而之间含有的63项 则数列的前2020项含有的前63项，的前项 则 故选：B 【变式训练19-3】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题设条件，设中间两数为，，由3，，成等比数列，知，由，，9等比数列，知，列出方程组，解方程组从而求得这两个数的和． 设中间两数为，，则，解之得， 所以．故选：D． 【变式训练19-4】已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据等差数列的性质和数列求和的方法逐一判断： ，可得①的正误； 在数列中是第项，可得②的正误； 由，，得，可得③的正误； 分组求和得，可得④的正误. 【解析】①,故①正确； ②在数列中是第项，所以，故②错误； ③，，故③正确； ④ ，故④正确. 故选：C 题型20：等比数列恒成立型求参 【典型例题1】设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（    ） A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列 C．恒成立 D． 【答案】D 【解析】求出，根据数列的性质可判断A、B，举例可判断C，利用数学归纳法判断D. 因为，， 当时，，解得。 当时，因为，所以，解得。 因为无穷数列，对任意实数不等式恒成立， 所以。 对选项A，若为单调递增的等差数列，设， 则，故A错误； 对选项B，若为单调递增的等比数列，设， 则，故B错误； 对选项C，因为，设，取，则，，显然不成立；故C错误； 对于选项D：当时，由，显然恒成立， 假设当时，成立，则当时，故恒成立，故D正确. 故选：D 【变式训练20-1】已知数列中，，是公比为的等比数列，记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由递推关系得，结合若不等式对一切恒成立，代入解得或，分别讨论在这两个范围内的条件满足情况，从而解得参数a的范围. 由知，， 则，解得或， 若，则不可能对一切正整数成立； 若，则对一切正整数成立，只需即可， 即，解得故选：A 【变式训练20-2】已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据分类讨论确定的表达式，再根据恒成立问题的解法即可求出． 当时，，符合题意； 当时，恒成立， 当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意； 当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意； 当时，若为偶数，则不等式变形得，，即， 若该不等式恒成立，则，即，所以设， ，， 所以当时，，此时， 此时该不等式不可能恒成立； 当时，，若该不等式恒成立，只需， 解得（舍去）或，综上，； 若为奇数，不等式变形得，，满足题意； 综上所述，实数的取值范围是． 故选：A． 【变式训练20-3】已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值. 因为，所以， 又，所以，解得，所以， 所以恒成立等价于恒成立，令，则， 当时，；当时，；当时，， 所以， 所以，所以，即实数的最大值为，故选：A． 【变式训练20-4】已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据等比数列以及充分必要条件的定义即可求解. 解：若，则，即， 根据等比数列的定义，是公比为2的等比数列不成立； 若是公比为2的等比数列，则，即， 所以成立； 所以“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 题型21：等比型下标数列 【典型例题1】已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 若，那矛盾， 若，那么成立， 若，那矛盾， 所以 ，当， 所以， 即，数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以前项和为. 故选：D. 【变式训练21-1】已知数列中，，且（），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得数列奇数项、偶数项分别为等比数列，进而可求通项公式即解. ∵，, ∴，得， 由，，得， ∴数列是等比数列，首项为2，公比为2， ∴； 同理得数列是等比数列，首项为2，公比为2， ∴；∴．故选：D. 【变式训练21-2】已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】先求出，进而得到，由分组求和得，由判断出为递增数列，计算出即可求解. 由题意知：，， ， 又， 故为递增数列，又， 故当时，n的最大值为6.故选：C. 【变式训练21-3】已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果. 是以为首项，为公比的等比数列，， 是以为首项，为公差的等差数列，，， . 故选：A. 题型22：等比数列求范围型 【典型例题1】设实数成等差数列，且它们的和为，如果实数成等比数列，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为成等差数列和为得到，在由成等比数列，将用表示出来，利用二次函数即可求出的取值范围． 因为实数成等差数列，且它们的和为，，，， 因为实数成等比数列，则，且，， 当时，最小值为，故的取值范围为，故选C. 【变式训练22-1】设，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用表示，然后再求解． ∵，，，成等差数列，，，，成等比数列，∴，， ∴，，时等号成立， 若，则，若，， ∴的取值范围是． 故选：A． 【变式训练22-2】在圆内，过点有三条弦的长度成等比数列.则其公比的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易得圆的直径为5，所以过点的弦长最大是5.又过点且垂直于过该点的直径弦长最小，其长为4.由得，而，所以，且. 选C. 【变式训练22-3】设实数成等差数列，且它们的和为9，如果实数构成公比不等于的等比数列，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等差中项可得，利用等比中项可得且，故，然后利用二次函数求出范围即可 实数成等差数列，且它们的和为，，，解得， 实数构成公比不等于的等比数列，∴，且， ∴，∴当时，最小值为， ∵，∴， 故的取值范围为故选： 【变式训练22-4】三个数成等比数列，若有成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，结合可得到，结合即可得到答案 解：因为成等比数列，且，所以， 由可得，即解得，又， 故或， 所以的取值范围是， 故选：C 题型23：等比数列与三角函数综合 中，， ， 或， ， 三边成等比，意味着角，熟记此结论可以提高解小题的时间. 【典型例题1】△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得 ，又∵ ，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是. 【典型例题2】已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， ， 成等比数列，得，由正弦定理可得. 由余弦定理可得. 所以. 令.,.所以. . 故选A. 【变式训练23-1】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c成等比数列.则的取值范围是. A．(0,+∞) B． C． D． 【答案】B 【解析】设a、b、c的公比为q.则b=aq, . 故 . 由. 【变式训练23-2】设△ABC的内角的所对的边成等比数列，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析： 根据成等比数列,有, 根据正弦定理有, 根据三角形三边关系,有. 所以,即.消掉得. 化简得：，同时除以，可得， 所以解得.则 【变式训练23-3】设△ABC的内角的对边分别为，则角B的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：成等比数列，，，又，．故选C． 题型24：等比数列的简单应用 【典型例题1】某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【答案】B 【解析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 存入元（大额存款），按照复利， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以，可得. 故选：B. 【典型例题2】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（    ）斗粟 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得. 设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟， 所以，解得：. 故选：B 【典型例题3】“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】A 【解析】设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为， 由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等， 即每次向外作的正方形面积和为，而， 故向外作了5次正方形 又，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 则， 所以“勾股树”上所有正方形的个数为. 故选：A. 【典型例题4】在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，． (1)求， (2)求数列中，，的递推关系 (3)记是数列的前项和，证明：为定值． 【解析】（1）由题意知，长为3的序列中任何两个不相邻的序列为：，所以. 设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数： 若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个； 若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个， 所以； （2）考虑长度为的序列最后一个数： 若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个； 若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个， 所以； （3）由（2）知，，所以， 所以， 所以数列是常数列， 所以为定值. 【变式训练24-1】每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】每天荷花的数量都是前一天的2倍，则荷花朵数为等比数列，利用等比数列的通项公式及求和公式，列出不等式求解即可，注意花蕾有凋谢的情况. 设第天水塘中的荷花朵数为，则， 设第天池塘内开放荷花的数量为，则，， ， 当时，， 当时，， 所以荷花的数量在第8天达到最大. 故选：C. 【变式训练24-2】第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设第三角形的斜边长为，面积为，根据题意分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 因为， 设第三角形的斜边长为，面积为， 由题意可知：，，， 则，， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以所作的所有三角形的面积和为. 故选：D. 【变式训练24-3】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【解析】根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 设，，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 则 （万元）. 故选：A. 【变式训练24-4】中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值. 设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，该马七天所走的里程为，解得. 故该马第五天行走的里程数为. 故选：D. 【变式训练24-5】已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第6次着地后经过的路程为（）， 故选：D 【变式训练24-6】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【答案】D 【解析】由题意确定每天走的路程构成公比为的等比数列，即可求解 由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走的路程为（里）． 故选：D 【变式训练24-7】某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【解析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 【变式训练24-8】如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，结合等腰直角三角形的性质可得数列为等比数列，进而求出. 依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即， 因此数列是首项，公比的等比数列，， 所以. 故选：B 【变式训练24-9】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用等比数列列式计算即得. 依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 【变式训练24-10】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【解析】根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 设，，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 则 （万元）. 故选：A. 【变式训练24-11】一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【答案】/ 【解析】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为. 故答案为： 【变式训练24-12】十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 【答案】5 【解析】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为， 第次操作，去掉的线段长度为， ，则， 由的最大值为5. 故答案为：5 【变式训练24-13】某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少 .（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】1434 【解析】记2015年为第一年，2015年初牛的存栏数为，则2024年为第10年，2024年初牛的存栏数为， 而第年初牛的存栏数， 设，则，解得， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， . 故答案为：1434. 【变式训练24-14】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    【答案】 48 【解析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解. 由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍， 因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48. 设第个图形的周长为，则周长之间的关系为， 所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以. 故答案为：48；. 【变式训练24-15】京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数； (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【解析】（1）（万立方米）， 又即. （2）若存在实数，使得数列为等比数列， 则存在非零常数，使得，整理得到， 而，故即. 当，则， 而，故即， 故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列. （3）由（2）可得是首项为，公比为的等比数列， 故即，此时为递增数列. 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【变式训练24-16】某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数． (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由． 【解析】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即． 设，则， 令，解得． 又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为． 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 题型25：等比数列的奇偶项讨论问题 【典型例题1】若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列， 可得，可求的通项公式； （2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和. （1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 【典型例题2】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解. （1）解：由，可得，所以， 又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 当时，，所以， 又当时，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 【变式训练25-1】正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求. （1）当时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 【变式训练25-2】已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【解析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解； （2）分为偶数和奇数求数列的前项和. （1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列， 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 【变式训练25-3】已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，.数列满足，，且为等差数列. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），. 【解析】(Ⅰ)设公比为,公差为,再利用基本量法求解即可. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再用分组与等差等比数列求和的方法即可. 解：(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为. 因为,,所以. 解得或（舍）.   又因为,,成等差数列, 所以. 解得. 所以,,. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,. 因此数列的前项和为, 所以,数列的前项和为,. 【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题. 一、单选题 1．已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】根据数列是等比数列，所以，据此即可求解. 因为数列是等比数列，所以， 所以或，因为，， 所以. 故选：C. 2．已知等比数列的第二项为1，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由充分性必要性的定义以及等比数列性质即可求解. 因为等比数列的第二项为1，所以数列的偶数项一定为正， 若，则，即， 此时，故，即充分性成立； 若，则，所以或， 此时或，所以不一定成立，即必要性不成立. 故选：A. 3．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】C 【解析】根据题意，由特殊值，即可判断ABD，再根据等比数列的定义，以及欧拉函数，即可判断C. 因为，，，所以，故A错误； 且，故B错误； 因为所有偶数与不互素，所有奇数与互素，所以，， 所以，即数列是等比数列，故C正确； ，，所以，故D错误. 故选：C 4．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 5.已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 【答案】A 【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解. 解：∵等比数列中，，， 所以，解得. 又，可得与同号， 故. 故选：A. 6.等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 【答案】A 【解析】利用等比中项及等差数列的通项公式即可求解. 因为成等比数列， 所以， 因为等差数列的首项为1，公差为， 所以，即，解得或. 故选：A. 7.已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 8.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝（    ） A．32 019＋1 B．32 019－1 C．32 019－2 D．32 019＋2 【答案】B 【解析】根据题意和构造法可得，结合等比数列的定义和通项公式求出，即可求解. 设，则， 由，得， 所以，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 得，则， 所以. 故选：B. 9.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【解析】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 10.记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 11．已知数列是首项大于的等比数列，记的公比为，前项和为. 设命题甲：；命题乙：对任意的，恒成立，则甲是乙的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】． 当时，，可知． 所以“”是“对任意的，”的充分条件． 又当时，． 若n为偶数，则； 若n为奇数，则．所以，当时，对任意的，恒成立． 综上，“”是“对任意的，恒成立”的充分不必要条件， 故选：A． 12．已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （    ） A．949 B．1160 C．1276 D．2261 【答案】A 【解析】由题意：，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以. 所以， . 所以. 故选：A. 13．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨取，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， 所以，， 整理可得，解得. 故选：C. 14．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， ， ， ， ， 由等比数列的前项和公式，得， 所以的通项公式. 故选：A 15．若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【解析】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 16．数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为①， 当时，②，由①②得， 又，满足，所以， 由，得到， 所以， 故选：C. 17．在数列中，已知，则的前10项和为（　　） A．2040 B．2046 C．4040 D．4046 【答案】B 【解析】因为，所以， ，， ，， 则的前10项和为. 故选：B. 18．为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，又， 所以，又， 所以， ，解得：， 所以， 假设存在常数，使得数列为等比数列， 则，即，解得：， 此时，，即数列是等比数列， 所以存在，使得数列为等比数列. 故选：D 19.记为等比数列的前项和．已知，，则数列　　 A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为． 因为，，所以，所以， 所以，， 若为奇数，则， 此时，， 若为偶数，则， 此时， 所以最小，最大． 故选：． 20.已知为等比数列，下面结论中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公式为， 对于，若，则，得，所以或， 所以或，所以错误； 对于，若，则，即， 所以，则其正负由的正负确定，所以错误； 对于，，当，同正时，，当且仅当时取等号，当，时，所以错误； 对于，因为，当且仅当时取等号，所以正确． 故选：． 21.在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于　　 A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】根据题意，在等比数列中，，公比， 则， 若，必有，即使得都成立的最小整数为6． 故选：． 22.已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（    ） A．－8 B．－16 C．－32 D．－48 【答案】B 【解析】利用等比数列的性质先计算，再根据条件建立方程解公比求值即可. 设的公比为， 则由题意可知，， 化简得或（舍去）， 则. 故选：B. 23.已知是等比数列的前n项和，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】根据题意结合等比数列性质求得，，即可得结果. 设等比数列的公比为q，可得， 则， 所以． 故选：B. 24.已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 因为， 所以， 由于，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，因为数列是递增数列，可得， 即对任意的正整数都成立． 当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减， 可得，则； 当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增， 可得，则； 综上可得的取值范围是． 故选：B． 25.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】A 【解析】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算． 由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列， 由已知，， （斗）． 故选：A． 26.等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（    ） A．是递增数列 B．是递增数列 C． D． 【答案】D 【解析】特例法排除A，B，C，对于D，根据题意，可得，，且，故，从而可证. 设数列和数列均为常数列，所以排除A，B，C，选D， 对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，可知，故， 由，可知，又由，，有，故， 且， 故，即， 所以，故， 所以. 故选：D. 27.已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据等比数列的基本量求得，从而可得公差，由等比数列得前项和公式得，分类讨论，结合数列的单调性即可得求得满足不等式时的取值范围. 因为等比数列，由可得，所以， 则公比，所以， 当为奇数时，恒成立，所以， 又数列为递增数列，所以，，则此时； 当为偶数时，恒成立，所以， 又数列为递增数列，，则此时； 综上，的取值范围是. 故选：D. 28.设等比数列的前项和为，前项积为，若，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．对任意正整数， C． D．数列一定是等比数列 【答案】C 【解析】利用前项积与通项的关系，可以求出通项公式，进而可以判断A、B、C，对于D只需要利用等比数列的前项和公式即可证明. 由得，各项均为正数，且， 由得，所以选项A是正确的； 由上可知：等比数列的公比，， 所以等比数列是递减数列，由等比数列性质可得： ，所以选项B是正确的； 由，又由，即选项C是错误的； 由， 由，所以选项D是正确的. 故选：C. 二、多选题 1.等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（    ） A． B． C． D．当且仅当时， 【答案】ABC 【解析】根据给定条件，确定数列，再结合数列性质即可求解作答. 正项等比数列前n项之积，由得：， 于是得，解得，所以，因为，所以，，故A正确； 因为， ，即，因为等比数列的各项均为正数，所以，故B正确； ，因为， 当时，取得最大值，所以，故C正确； 由， 当时，即，解得或（舍）， 所以时，，故D错误， 故选：ABC. 2.）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】先通过条件确定和的取值情况，然后利用等比数列的性质计算即可. 由已知，又，， 所以，，A正确，B错误； ， ， ， 所以，C正确，D错误. 故选：AC. 3.下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 【答案】ABD 【解析】由已知结合等比数列和等差数列的定义逐一判断即可. 对于A，由题意，公差， 则为非零常数，所以是等比数列，故A正确； 对于B，由题意，公比， 则为非零常数，所以是等比数列，故B正确； 对于C，当时，， 此时不是等比数列，故C错误； 对于D，由题意得，且 则为非零常数，所以是等比数列，故D正确. 故选：ABD. 4.已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据等差数列通项公式和等比中项列出等式，化简求解即可. 因为成等比数列，所以，则， 又不为0，所以， ，符号不确定，故A错误. ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：BC. 5.已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 【答案】ABD 【解析】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，即成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD 6.已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C． D．存在实数，使得为等比数列 【答案】AC 【解析】，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； ，所以，故C正确； ， ，，所以数列是等比数列，故B错误； 因为，所以， 设， ，，， 若是等比数列，则， 即 解得：， 所以， ，，所以数列不是等比数列， 即不存在实数，使数列是等比数列，故D错误. 故选：AC 7.已知数列满足，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若数列的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列， 故，即，则，故A正确； 对B，，故数列的前项和为，故B错误； 对C，，则前项和为 ，故C正确； 对D，， 则， 又易得随的增大而增大，故，即，故D正确. 故选：ACD 8.已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BD 【解析】因为①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误； 对于C；当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以， 则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 9.若数列 满足，，且，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为等比数列，则 【答案】ACD 【解析】根据两式相加减可得，，即可求解ABC，根据前3项以及等比中项可得或，代入验证即可求解D. 对于B，依题意，，则， 而，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，B错误． 又，因此，结合可得 ，， 对于A，，A正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，， 由为等比数列，得，解得或， 当时，，显然数列是等比数列， 当时，，显然数列是等比数列， 因此当数列是等比数列时，或，D正确． 故选：ACD． 10．）已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列是公比为2的等比数列 C． D．的最大整数的值为8 【答案】ABD 【解析】根据题意，利用等比数列的定义，推断数列等比数列，进而求得数列的通项公式，逐项判定，即可求解. 由题意得，即， 又由，即， 所以数列是首项为2且公比为2的等比数列，所以B正确． 由，即 ，则，所以A正确． 由，又符合上式，则， 即，故C错误． 因为 ， ，所以D正确． 故选：ABD. 11．已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若，且，，则时取最小值 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意易得，，可判断结论；对于B，在时，通过取反例即可排除B；对于C，分析时数列的特征即可判断；对于D，先求出的表示式，通过作商分析的大小关系即得. 对于A，设数列的公比为，由可得，， 因，则得，解得或， 因是正项数列，故，，故是单调递增数列，即A正确； 对于B，由上分析知，或， 当时，， 此时，若为偶数，则都是0，故不符合，即B错误； 对于C，若，则是递增数列， 此时不存在，使对都成立； 若时，易得，故存在，使得对都成立， 此时为常数列，故是公差为0的等差数列，故C正确； 对于D，因，，故由上分析知， 则， 由， 当时，，故，数列递减，且； 当时，，故，数列递增，且； 则当时，取最小值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 1.等比数列中，若，则 ． 【答案】 【解析】利用等比数列的定义及等比中项计算即可. 设的公比为，则， 由等比中项的性质知. 故答案为：. 2.若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式. ， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 3．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384 【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 4．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【解析】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 5．已知数列满足，且，，其前项和为，若对任意的正整数，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，，， 所以， 则， 则， 又恒成立， 即， 即，， 又，，单调递减， 则当时，取得最大值为， 即，， 即， 故答案为：. 6．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【解析】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 7．已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则，，… ，， 累加得 ， 又因为，所以． 也满足该式，故 故答案为：. 8.已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数的最大值为 　　． 【答案】8 【解析】等比数列的公比，且， ，整理得，解得， 为等比数列， 数列是以为首项，公比为的等比数列， 原不等式等价为，① ， 将其代入①式整理，得：，解得， ，正整数的最大值为8． 故答案为：8． 9.已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 . 【答案】 【解析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的通项即可求解. 因为对任意的，均有，则有， 当时，，所以； 当时，，也即， 因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则， 故答案为：. 10.已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为 ． 【答案】333 【解析】设公差为x，从而由题意列式得到，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定的值. 因为成等差数列，故设公差为x，则， 由成等比数列，得，结合， 得，整理得， 由于为整数，且，故x为整数，， 则，需满足，即， 结合b为整数，代入，可得只有当时，才为整数， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，，，适合题意， 则， 故答案为：333 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案. 11.等比数列中，每项均为正数，且，则 . 【答案】4 【解析】根据等比数列性质和对数运算求解即可. 由题意得. 故答案为：4. 12.已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则 . 【答案】557 【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得，，由题意可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 设等差数列的公差为和等比数列的公比为， 由，，，，可得，， 解得，， 则，， 由， 由和中无公共项，可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项， 则． 故答案为：557． 13.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ． ①存在等差数列，使得是的“M数列” ②存在等比数列，使得是的“M数列” ③存在等差数列，使得是的“M数列” ④存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】①②④. 【解析】对于①取分析判断，对于②④取分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性质分析判断. 对于①：例如，则为等差数列，可得，则， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立， 所以是的“数列”，故①正确； 对于②，例如，则为等比数列，可得，则， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立 ， 所以是的“数列”，故②正确； 对于③，假设存在等差数列，使得是的“数列”， 设等差数列的公差为， 因为为严格增数列，则， 又因为为严格增数列，所以，即当时，恒成立， 取，满足，可知必存在，使得成立， 又因为为严格增数列， 所以对任意正整数，则有，即， 对任意正整数，则有，即， 故当时，不存在正整数，使得，故③不成立； 对于④，例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立， 所以是的“数列”，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题 1.已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2.记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3.设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 4.已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. （1）解：因为数列的前项和为，且. 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：当时，，可得，所以，， 且，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，， 因此，数列是公比为的等比数列. 5.已知数列的前项和为，． (1)求的通项公式． (2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【解析】（1）根据求数列的通项公式； （2）结合数列的通项公式，和三个数成等比数列的有关结论，求的值. （1）当时，， 当时，， 又符合， 所以的通项公式为. （2）存在，理由如下： 设存在，使，，成等比，则 所以：解得：或（舍去）. 所以：可使，，成等比. 6.已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【解析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. （1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 7．已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【解析】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 8．已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 9．已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）等比数列各项均为正数，可设其公比为， ，解得：（舍）或， . （2）由（1）得：， ，， 两式作差得：， ， 由得：， 为递减数列，，， 即实数的取值范围为. 10.已知等差数列的的前项和为，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答： （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，，，求数列的前项和． ①；②；③． 【解析】（1）方案一：选择条件①② 由题意，设等差数列的公差为， 则， 故， 解得， ，． 方案二：选择条件①③ 由题意，设等差数列的公差为， 则， 故， 解得． ，． 方案三：选择条件②③ 由题意，设等差数列的公差为， 则， 化简整理，得， 解得， ，． （2）由题意及（1）， 可知， ， 设等比数列的公比为， 则， ，， ， ． 11.公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前项之和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项之和的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）解不等式，得出满足条件的正整数的最大值，再结合等差数列的求和公式可求得的最小值. （1）解：设等差数列的公差为，则， 因为是和的等比中项，则，即， 即，整理可得，① 又因为数列的前项和为，可得②， 解得，，所以，. （2）解：由，可得， 而，所以，满足条件的的最大值为， 因此，数列的前项之和的最小值为. 12.设正项等比数列满足，，，为数列的前n项和， (1)求的通项公式； (2)当n满足什么条件时，恒成立？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等比数列公式计算得到答案. （2）确定，，解不等式得到答案. （1），，， 解得，， 所以； （2）， 故． ，即，即，解得， n的取值范围是 13.某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【解析】（1）由已知可得和，仿写可得与之间的递推关系式； （2）结合上问中的递推关系再证明即可，再由基本量法求出通项； （1），， ， （2）证明： 是以50为首项，为公比的等比数列. ， 14.已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）先利用递推式求得，再利用已知条件结合化简得，从而根据等比数列定义判断数列为等比数列，然后写出通项公式即可； （2）推出，假设存在3项，，成等比数列，则，即，结合解得，与已知矛盾，即可判断. （1）由题意知，当时，，因为，所以，① 因为，所以，所以，② 两式相减得，所以. 由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式； （2）由（1）知，，所以， 所以. 假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，互不相等， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列，所以，所以. 化简得，所以，又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关求得关于的表达式，从而分析得解. 15．已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【解析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得. （1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 ． 16．已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. (1)求操作1次后桶中的水量； (2)求操作次后桶中的水量； (3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 【解析】（1）根据题意列式计算； （2）根据题意，得到，，然后用数列知识求解； （3）由（2）可得，列式运算得解. （1）记桶中的水量为，桶中的水量为，， 所以. （2）根据题意可得：，， 所以，所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ，所以. （3），， 令，得，两边取对数， 得， 所以至少经过5次操作，才能使桶中的水量与桶中的水量之差小于. 17．已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【解析】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出. （1）设等差数列的公差为， ∵，， ∴， ∴. ∴. 设等比数列的公比为， 若选条件①，， 由，且， 得， ∴，解得. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 故. 若选条件②，， 令，得， ∴公比， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. 从而. （2）因为， 所以， 两式相减，得， 即， 所以. 18．设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由， ，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 19．设有穷数列的项数为，若正整数满足： ，则称为数列的“点”． (1)若，求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围； (3)若，数列的“点”的个数为，证明：． 【解析】（1）由通项公式写出数列的各项，根据数列的“点”定义确定结论； （2）利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，解不等式可得的范围，再对所得结果加以验证即可， （3）先证明若，则，结论成立，再证明若存在，使得，则数列存在“点”， 数列的 “点” 由小到大依次为，结合关系完成证明. （1）因为 所以， 所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ， （2）依题意，， 因为数列存在 “点”， 所以存在 ，使得 ， 所以， 即. 因为，所以，所以， 又随的增大而增大， 所以当时，取最大值， 所以，又，所以. 当时，有， 所以数列存在 “点”， 所以的取值范围为， （3）①若，则数列不存在 “点”，即. 由得，，所以， ②若存在，使得. 下证数列有 “点”. 证明: 若，则2是数列的 “点”; 若，因为存在，使得， 所以设数列中第1个小于的项为， 则，所以是数列的第1个 “点”. 综上，数列存在 “点”.               不妨设数列的 “点” 由小到大依次为， 则是中第1个小于的项， 故，因为 ， 所以，所以，所以 所以 所以. 综上，，得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等比数列 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 14 题型归纳 15 题型01：等比数列的定义 15 题型02：等比数列的判断与证明 17 题型03：等比中项的应用 21 题型04：等比数列通项公式基本量的计算 22 题型05：等比数列的性质 27 题型06：等比数列函数特征 30 题型07：等比数列的单调性 32 题型08：构造等比数列求数列的通项公式 36 题型09：等比数列前n项和的基本量计算 40 题型10：等比数列片段和的性质 42 题型11：等比数列的奇数项与偶数项和 43 题型12：等比数列前n项和的性质 46 题型13：an与Sn的关系 50 题型14： 等比数列“高斯”积 52 题型15：“纠缠数列” 53 题型16：比值型不定方程 55 题型17：等比数列特性：前n项积 56 题型18：等比数列与1比较型不等式判断 57 题型19：插入数型等比 58 题型20：等比数列恒成立型求参 59 题型21：等比型下标数列 61 题型22：等比数列求范围型 62 题型23：等比数列与三角函数综合 63 题型24：等比数列的简单应用 65 题型25：等比数列的奇偶项讨论问题 71 巩固提升 73 等比数列是高考数学的常考核心内容，和等差数列共同构成数列知识体系两大基石， 兼具基础性、综合性与应用性，近三年高考中该知识点相关分值在5-17分，是学生必须吃透的模块。 一、 考查定位与分值 1. 分值占比：单独考查或与其他知识点综合考查，分值5-17分。选择题、填空题单独考查时分值多为5分；解答题综合考查时，如2024新高考Ⅱ卷第19题，分值可达17分。 2. 难度梯度：小题以基础题为主，侧重公式和性质的简单运用，属于保分题；解答题多为中档题，常位于试卷17、18题位置，是学生需力争满分的题型；偶尔会在压轴题中以综合形式出现，难度偏大。 3. 核心地位：是函数、不等式、解析几何等知识综合考查的重要载体，也是后续大学极限、无穷递缩等比数列求和知识的基础，高考中考查频率极高且地位稳固。 二、 高频考查题型与内容 1. 基础小题（选择/填空）：核心考查基本量计算，围绕首项、公比、通项、前n项和 这几个量考“知三求二”；同时会考查等比中项、下标和性质、片段和性质，偶尔涉及奇偶项求和的简单计算，题目直白易得分。 2. 中档解答题：最经典考法是 证明数列是等比数列，再结合通项公式、前n项和公式求解；还常与等差数列结合出题，或是考查错位相减法求等差×等比型数列的和，是该模块核心解答题型。 3. 高阶综合题：多作为压轴或次压轴题的一部分，和函数结合研究数列单调性、最值；和不等式结合用放缩法证明数列不等式、求参数范围；也会与解析几何、概率统计交叉命题，用来拉开分数差距。 4. 实际应用题：以指数增长/衰减为核心背景，考查复利计息、人口增长、放射性物质衰变等实际问题，核心是让学生将实际场景抽象成等比数列模型求解，是近年命题热点。 三、 核心考查思想与能力 1. 数学思想：分类讨论思想是重中之重，使用前n项和公式必须讨论公比q是否为1；同时侧重考查方程思想、函数与方程思想、转化与化归思想，比如将非等比数列构造转化为等比数列求解。 2. 核心素养：着重考查数学运算（公式求解、错位相减运算）、逻辑推理（等比数列的证明）、数学抽象（实际问题建模）三大核心素养，运算的准确性和推理的严谨性是得分关键。 四、 命题趋势 1. ** 重通法轻技巧**：减少复杂繁琐的计算题型，更多考查公式本质、基础性质和通性通法，弱化特殊解题技巧，强调对核心知识点的理解。 2. ** 强应用重建模**：越来越注重结合生活实际和科技场景出题，强化学生从实际问题中提炼等比数列模型的能力，应用题占比有所提升。 3. ** 增开放探素性**：压轴题中频繁出现等比数列相关的新定义、新情景题，以及存在性、探索性问题，综合性强，以此考查学生的创新思维和灵活解题能力。 结合高考考纲要求，分3层设定学习目标，兼顾基础夯实、能力提升与高考适配，适配教学/备考需求 一、 基础目标（保底层，对应高考基础题，必拿分） 1. 牢记等比数列定义：能精准区分等差数列与等比数列本质差异。 2. 熟记核心公式，做到灵活套用： 3. 掌握2个基础性质：会用等比中项；能运用下标和性质简化计算。 4. 搞定基本量运算：熟练完成“知三求二”，运算零失误，尤其注意q=1的特殊情况讨论。 二、 能力目标（提分层，对应高考中档题，争满分） 1. 具备严谨推理能力：能根据定义证明一个数列是等比数列（定义法、等比中项法），步骤规范、逻辑严谨。 2. 掌握核心解题技法：熟练用错位相减法求“等差×等比”型数列的前n项和（高考解答题高频考点）；会用片段和性质快速解题。 3. 具备转化与构造能力：能通过变形构造等比数列，求解非等比数列的通项公式。 4. 突破分类讨论难点：主动规避易错点，在使用前n项和、讨论奇偶项求和、求参数范围时，精准讨论q=1、q=-1的特殊情况。 三、 拔高目标（冲分层，对应高考综合/压轴题，拉差距） 1. 适配综合考查需求：能将等比数列与函数、不等式、解析几何等知识结合，解决单调性、最值、参数范围问题。 2. 掌握高阶解题思想：熟练运用放缩法证明等比数列相关不等式；能用函数思想分析等比数列的项的变化规律。 3. 具备建模应用能力：能从复利、人口增长、衰变等实际场景中，抽象出等比数列模型，完成实际应用题的建模与求解。 4. 应对创新题型：能解读等比数列相关新定义、新情景题，解决探索性、存在性问题，提升解题灵活性与创新思维。 知识点一：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然定义还可以叙述为：在数列中，若(为常数且，则是等比数列. 注意： (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中含有“0”，则该数列不可能是等比数列. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒. (3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与无关的常数，但是这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列. (4)若一个数列不是从第2项起，而是从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列. (5)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列.因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列. （6）等比数列的公比：，，， 知识点二：等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项. 由等比中项的定义可知，.反之，若，则，即，，成等比数列.综上，，，成等比数列. 注意： (1)在等比数列中，任取相邻的三项，，，则是与的等比中项.由此可得等比数列的第二种判定方法——等比中项法，即判断是否成立. (2) “，，成等比数列”与“”是不等价的.前者可以推出后者，但后者不能推出前者.如，，满足，而，，不成等比数列.因此“，，成等比数列”是“”的充分不必要条件. (3)等差中项与等比中项的区别： ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数. (4)由等比中项可知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致. 知识点三：等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是 注意： (1)已知首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)在通项公式中，有，，，四个基本量，如果已知其中的三个可求出第四个量. (3)可以利用通项公式来判断数列是否为等比数列. (4)在记忆通项公式时，要注意的指数比项数小这一特点. 2．等比数列通项公式的推导 (1)方法一(归纳法)：由等比数列的定义可知，，，，，，归纳得. 当时，上面的等式两边均为，所以等式也成立，因此当时，成立.需要注意的是上述过程不是证明的过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明. (2)方法二(累乘法)：根据等比数列的定义，可知，，，，.上述个等式两边分别相乘，得，所以当时等式也成立. (3)方法三(迭代法)：由于数列是等比数列，所以当时，等式也成立. 求等比数列通项公式的常用方法总结如下： （1）.定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式. （2）.公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式来求。 （3）.递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种： ①是配常数转化为等比数列，从而再求通项 ②取倒数转化为等比数列，从而再求通项. （4）.利用与的关系：与的关系为，把转化为的递推关系式，再求通项. （5）.实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究与的关系，求等比数列的通项.等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题. 3．等比数列通项公式的变形 ∵是等比数列，∴∴，∴ 注意： (1)在已知等比数列中任一项及公比的前提下，可以利用求等比数列中的任意一项； (2)已知等比数列中的和两项，就可以使用求公比，其中可大于，也可小于. 知识点四：等比数列与指数函数的关系 等比数列的图象 等比数列的通项公式，还可以整理为，当且时，等比数列的第项是函数 当时的函数值，即.因此等比数列的图象是函数图象上的一些孤立的点. (n，an)组成如下图等比数列的图象． 当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 知识点五 等比数列的单调性 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列. 它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点. ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列. （3）当时，等比数列是摆动数列. 要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. 等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 （4）等比数列{an}，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图) 注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. 知识点六：等比数列的性质 若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质. (1) (2)若，则. 特别地： ①若，则; ②； ③推广：若，则. (3)若成等差数列，则成等比数列. (4)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列； 若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列. （5）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。 （6）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列 （7）若为等比数列，则数列，，成等比数列 (8)在数列中，依次每项的和(或积)构成公比为(或的等比数列. (9)已知且，如果数列是以为公差的等差数列，那么数列是以为公比的等比数列.如果数列是各项均为正且公比为的等比数列，那么数列是以为公差的等差数列 . 知识点七：等比数列前n项和公式 等比数列的前项和公式： 关于此公式可以从以下几方面认识： ①不能忽视 成立的条件：。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。 ②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形. 如，公差为 的等差数列， ， 则， 相减得 ， 当 时，， 当时 ，； ③从函数角度看 是的函数，此时和 是常数。 知识点八：等比数列的前n项和公式与函数的关系 当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. 当q≠1时，.记A=，则=+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，等比数列前n项和的图象是是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为, 设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 知识点九：等比数列及其前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1) . (2) 若为等比数列，则 ①当时，为奇数，数列，，，成等比数列 ②当时，数列，，，成等比数列 (3) 若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. (4)若，则成等比数列. 知识点十：等比数列的判断证明方法 （1）用定义：对任意的，都有为等比数列 （2）等比中项：为等比数列 （3）通项公式：为等比数列 （4）求和公式： 注意： a.当时，；当时，则 . b.；当时， . ，当时为等比数列 .当时，若为偶数，则不是等比数列；若为奇数，则是公比为1的等比数列 . 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 拓展点一：方法技巧与总结 1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0). ③设项技巧——对称设项 （i）三个数成等比数列可设为：，，或，，； （ii）四个数成等比数列可设为：，，，或，，，. 拓展点二：构造等比数列的常见类型 当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出.常见的有如下类型. (1)可化归为，当时，数列为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题，也可消去常数项：由，，两式相减，得当时，数列为公比为的等比数列. (2)，可化归为,或将递推关系式两边同除以化为型，或两边同除以运用累加法求通项公式. (3)，可化归为，即型. （更多构造成正比在第04讲通项公式中有详细讲解） 结合高考高频题型，分基础、中档、拔高三类题型给解题策略，附易错规避技巧，适配备考/教学需求 一、 基础题型解题策略（选择/填空保分，5分稳拿） 基础题核心考基本量运算+基础性质，主打“快准狠”，优先用性质简化，再用公式计算 1. 基本量“知三求二”题：核心用方程思想，锁定,q两个核心量，将已知条件全部转化为关于,q的方程/方程组求解； 2. 性质活用题（等比中项/下标和）：①等比中项题直接套=，注意验证≠0；②下标和题，看到m+n=p+k，直接用=，秒简化计算，无需算通项。 3. 片段和相关题：用,-,-成等比的性质，前提必须先判断q≠-1（若q=-1且n为偶数，片段和为0，不成等比），优先用性质，比硬算快3倍。 二、 中档题型解题策略（解答题争满分，17分主攻） 中档题核心考证明+求和+构造，主打“步骤规范+方法精准”，每一步踩准得分点 1. 等比数列证明题（2大核心法，步骤必规范） ◦ 定义法（高考首选，得分率最高）：①作比；②化简证明比值为非零常数；③下结论（加≠0前提）。 ◦ 等比中项法：证明=（n≥1），且≠0，需验证首项和第二项的比值，避免首项为0的陷阱。 2. 错位相减法求和（等差×等比型，必考技法） 四步标准流程（规避漏项/符号错）：①写表达式；②两边乘等比数列公比q，得q；③两式相减，对齐同次项，注意符号（减号变号）；④化简，公比q≠1，最后验证首项，整理结果。 3. 构造等比数列求通项（=k+b型） 核心转化法：设+λ=k(+λ)，解出λ（k≠1）；构造出{+λ}是等比数列，先求该数列通项，再反推；k=1时为等差数列，直接用等差公式。 三、 拔高题型解题策略（综合/压轴题拉差距） 拔高题核心考综合应用+思想方法，主打“知识联动+思想落地” 1. 等比数列+函数/不等式：①结合函数：把、看作关于n的函数，用函数单调性求最值，注意n∈N*；②结合不等式：用放缩法（常放缩为等比数列求和），如≤b·，再用无穷递缩等比数列求和放缩证明。 2. 等比数列+参数范围题：①分类讨论q=1和q≠1；②结合数列单调性（>）或的范围，列不等式求解；③验证参数是否满足≠0、q≠0的前提。 3. 实际应用题：三步建模法：①审题提取关键量，判断是“指数增长/衰减”，确定为等比数列模型；②设首项a_1（初始量）、公比q（增长/衰减率）；③套通项或求和公式，结合实际意义（n为正整数）求解，验证结果合理性。 四、 高考易错点解题规避策略（反向保底，少丢分） 1. 3大核心易错点规避 ◦ 易错1：忽略前提条件→解题先写“等比数列中a_n≠0，q≠0”，用S_n必先判q=1。 ◦ 易错2：错位相减漏项→相减时逐行对齐，末尾补0，相减后检查中间项是否完整。 ◦ 易错3：片段和性质误用→用前先验证q≠-1，若q=-1，分n奇偶数讨论。 2. 运算易错规避：分式化简先因式分解，符号问题重点关注，结果必须化为最简形式（分数/整式）。 五、 解题核心思想总结（通法兜底） 1. 优先用性质，再用公式，能简化计算的绝不硬算； 2. 始终牢记分类讨论（q=1、q=-1），是等比数列解题的核心； 3. 遇非等比数列，优先想转化构造，遇综合题，优先拆分核心（先拆等比数列部分）。 题型01：等比数列的定义 【典型例题1】已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为 .(只需写出一组) 【答案】，，（答案不唯一） 【解析】根据等差数列的通项公式，写出数列的部分项，根据观察法，即可得出结果. 因为数列的通项公式为， 所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……， 显然， 所以，，能构成等比数列. 故答案为：，， 【典型例题2】已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【答案】A 【解析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可. 因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故选：A 【变式训练1-1】若数列对任意正整数n都有，则（    ） A．17 B．18 C．34 D．84 【变式训练1-2】已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【变式训练1-3】在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知数列满足，若是等比数列，则 ． 【变式训练1-5】已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 . 【变式训练1-6】已知数列中，，则数列的通项公式为 . 【变式训练1-7】已知数列满足，若，则的值为 ． 【变式训练1-8】在各项均为负数的数列中，已知．且． （1）求的通项公式； （2）试问是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 【变式训练1-9】已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 题型02：等比数列的判断与证明 【典型例题1】“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用等比数列的定义说明充分性，举反例说明不必要即可得解. 若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列. 假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列. 故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【典型例题2】已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【解析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可. 若为等比数列，则， 所以，， 当时，故充分性不成立； 若（，），不妨令，则，又， 所以，即，所以为公比为的等比数列，故必要性成立； 故“为等比数列”是“（，）”的必要不充分条件. 故选：B. 【典型例题3】（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若满足，则一定是等差数列 B．若满足，则一定是等比数列 C．若，则既是等差数列也是等比数列 D．若成等比数列，则 【答案】AD 【解析】借助等差数列与等比数列的性质逐项判断即可得. 对A：由满足，则是的等差中项， 故一定是等差数列，故A正确； 对B：若，满足，但此时不为等比数列，故B错误； 对C：若，满足，但此时不为等比数列，故C错误； 对D：若成等比数列，设公比为， 则有，，则，故D正确. 故选：AD. 【典型例题4】已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； 【答案】(1)证明见详解 【解析】（1）因为，， 所以，，又， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列. 【变式训练2-1】等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【变式训练2-2】已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练2-4】已知数列的前项和为，若，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【变式训练2-5】已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【变式训练2-6】等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【变式训练2-7】已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练2-9】已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【变式训练2-10】（多选）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-11】（多选）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．是等比数列 B．一定不是等差数列 C．是等比数列 D．一定不是等比数列 【变式训练2-12】（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，，成等差数列，则，，一定成等差数列 B．数列的前项和为，若，则是等差数列． C．如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列； D．数列的通项公式为，前项和为，则中最大的是或 【变式训练2-13】若数列的前项积为，则的前项和 . 【变式训练2-14】（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 题型03：等比中项的应用 【典型例题1】设，，则与的等比中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等比中项的定义可求得结果. 由题意可知，与的等比中项为. 故选：C. 【典型例题2】若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比中项的性质计算可得. 因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 【变式训练3-1】若等比数列的第4项和第6项分别是1和16，则其第5项为（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练3-2】在等比数列中，，，则与的等比中项是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3-4】设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-5】在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ） A．10 B．8 C． D． 【变式训练3-6】在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 题型04：等比数列通项公式基本量的计算 【典型例题1】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比数列通项公式首先求得公比，进而由求得结果. 设等比数列的公比为，则，解得：， . 故选：B. 【典型例题2】设是等比数列，，，则 . 【答案】16 【解析】结合等比数列通项公式计算即可得. 设，则，故. 故答案为：16. 【典型例题3】在等比数列中，，，则 . 【答案】 【解析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案 因为数列是等比数列，设其公比为， 所以 又，所以，所以，， 所以 故答案为： 【典型例题4】已知数列是等比数列，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）求出公比，得到通项公式； （2）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到答案. （1）设等比数列的公比为q， 因为，，所以，所以， 所以； （2）等差数列的公差为d，则，， 解得，， 所以数列的前n项和公式为. 【典型例题5】在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. （1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 【变式训练4-1】已知等比数列中，，则（  ） A．384 B．768 C．788 D．1536 【变式训练4-2】已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是 A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练4-4】等比数列满足，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练4-5】已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练4-6】已知为等比数列，公比，则（    ） A．81 B．27 C．32 D．16 【变式训练4-7】已知数列是首项为的等比数列，且公比大于，，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-9】若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练4-10】在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练4-11】数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-12】已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-13】等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-14】已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-15】已知等比数列的公比为q，且，，，则 . 【变式训练4-16】已知数列满足：，则 . 【变式训练4-17】已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 【变式训练4-8】已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式： ． 【变式训练4-19】在等比数列中，若，，则数列的公比为 . 【变式训练4-20】在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【变式训练4-21】在正项等比数列中，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练4-22】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式训练4-23】在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 题型05：等比数列的性质 【典型例题1】在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．±6 【答案】A 【解析】应用等比数列通项公式性质求解即可. 因为是等比数列，所以. 故选：A. 【典型例题2】在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的性质即可求解. 解：，所以， 故选：B. 【典型例题3】在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】根据题设知和为方程的两个根，即可求得或，结合等比数列通项公式求目标式的值. 因为是等比数列，所以，又， 所以和为方程的两个根，解得或. 若等比数列的公比为，则，所以或. 故选：A. 【变式训练5-1】在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练5-2】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【变式训练5-3】已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练5-4】已知等比数列满足，且，则当时， A． B． C． D． 【变式训练5-5】．（多选题）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【变式训练5-6】已知数列是等比数列，且则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式训练5-7】若等比数列满足，则等于（   ） A．6 B．±6 C．5 D．±5 【变式训练5-8】在正项等比数列中，，则的公比为（    ） A．或3 B．3 C．2或 D．2 【变式训练5-9】在正项等比数列中，已知，则 ． 【变式训练5-10】等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练5-11】设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练5-12】在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-13】已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 【变式训练5-14】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．65 B．66 C．67 D．64 【变式训练5-15】在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 【变式训练5-16】在由正数组成的等比数列中，若，则的值为 ． 【变式训练5-17】若等比数列的各项均为正数，且，则 ， . 【变式训练5-18】已知数列为等比数列． (1)若，求； (2)若，，求公比. 题型06：等比数列函数特征 【典型例题1】（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB 【解析】，或，，，同号， 且，，即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，且易知，故，A正确， 对于B，易知，故，，B正确， 对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选:AB 【典型例题2】（多选）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．是数列中的最小值 【答案】AB 【解析】当时，则，不合乎题意； 当时，对任意的，，且有， 可得，可得，此时， 与题干不符，不合乎题意；故，故A正确； 对任意的，，且有，可得， 此时，数列为单调递减数列，则， 结合可得， 结合数列的单调性可得，， 故，， ∴，故B正确； 因为，数列为单调递减数列， 所以是数列中的最大值，故CD错误. 故选：AB. 【变式训练6-1】（多选）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 【变式训练6-2】（多选）关于递减等比数列，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D． 【变式训练6-3】已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为 . 【变式训练6-4】已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和） (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值. 题型07：等比数列的单调性 【典型例题1】已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【典型例题2】等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案. 由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立， 当，不论取何值，总存在，不满足要求； 当， ，则，不满足要求； ，总存在，不满足要求； 当， ，则，不满足； ，若，，显然，即，不满足； ，则在上恒成立，满足. 所以为递增数列有且. 所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件. 故选：B. 【典型例题3】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【解析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式训练7-1】数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【变式训练7-2】数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【变式训练7-3】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【变式训练7-4】已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-6】数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-7】如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-8】已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-9】数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式训练7-10】设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-11】已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【变式训练7-12】设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 【变式训练7-13】（多选题）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-14】（多选题）在等比数列中，已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-15】（多选题）已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列 【变式训练7-16】已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 题型08：构造等比数列求数列的通项公式 【典型例题1】已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【解析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列. ∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 【典型例题2】已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【解析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可. 由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【典型例题3】 （1）已知数列满足，求数列的通项公式. （2）已知数列满足，求数列的通项公式. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）根据递推关系构造数列是等比数列，求出通项公式，进而求得； （2）根据递推关系构造数列是等比数列，求出通项公式，进而求得； （1）， ， 即，又，， 所以数列是首项为13，公比为3的等比数列， ， . （2）， ， 又， 所以数列是以32为首项，2为公比的等比数列， ， . 【变式训练8-1】已知在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 【变式训练8-4】已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练8-5】在数列中，，则 . 【变式训练8-6】写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式： ； ①数列是递减数列，② 【变式训练8-7】等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 【变式训练8-8】已知数列的前n项和为，若，，则 ． 【变式训练8-9】已知数列满足，，则 . 【变式训练8-10】数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 . 【变式训练8-11】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式训练8-12】数列的前项和满足，则数列的通项公式 . 【变式训练8-13】已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 【变式训练8-14】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式训练8-15】在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式训练8-16】已知数列满足，求数列的通项公式. 【变式训练8-17】设数列{an}满足． （1）若，求证：存在（a，b，c为常数），使数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）若an 是一个等差数列{bn}的前n项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式． 题型09：等比数列前n项和的基本量计算 【典型例题1】若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次求出，依题即可求得公比. 由，时，， 时，由解得，， 依题意，. 故选：C. 【典型例题2】已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ； ． 【答案】 【解析】由等比数列基本量计算即可得，由等比数列前项和公式可计算出. 设，则，即， ，即， 故. 故答案为：；. 【变式训练9-1】设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【变式训练9-3】设等比数列的公比为q，前n项和为.若，则（    ） A． B． C．2 D．8 【变式训练9-4】已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ． 【变式训练9-5】已知等比数列的前n项和为，若，，则 ． 【变式训练9-6】记为等比数列的前项和，若，则公比为 . 【变式训练9-7】已知等比数列满足，，则其前项和 . 【变式训练9-8】已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 题型10：等比数列片段和的性质 【典型例题1】已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 【典型例题2】已知等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【解析】由于，故. 从而，即，故. 所以. 故答案为：. 【变式训练10-1】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【变式训练10-2】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．48 B．81 C．93 D．243 【变式训练10-3】已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ） A．27 B．45 C．65 D．73 【变式训练10-4】若等比数列的前项和为，且，则 . 【变式训练10-5】已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 【变式训练10-6】设等比数列的前项和为，则 . 【变式训练10-7】已知等比数列的前项和为，且，则 ． 【变式训练10-8】已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为 ． 【变式训练10-9】设等比数列的前项和是.已知,，则 . 题型11：等比数列的奇数项与偶数项和 【典型例题1】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 【典型例题2】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【典型例题3】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数.设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【典型例题4】正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求. （1）当时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 【变式训练11-1】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（   ） A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8 【变式训练11-2】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练11-3】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【变式训练11-4】已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练11-5】已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 【变式训练11-6】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式训练11-7】已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【变式训练11-8】若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型12：等比数列前n项和的性质 【典型例题1】已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定. 充分性：设等比数列的公比为， ，， ， 可得或， 又， 当时，若为奇数，， ，，当为奇数时单调增，则无最大值， 当时， ，,单调增, 则无最大值； 必要性：当时，，又，则无最大值. 可得“”不是“无最大值”的必要条件； 由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件. 故选：A. 【典型例题2】设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 【变式训练12-1】若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练12-2】在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【变式训练12-3】设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【变式训练12-4】在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式训练12-5】记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【变式训练12-6】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练12-7】下列叙述中， ①等差数列，为其前n项和，若，，则当时，最小； ②等差数列的公差为d，前n项和为，若，则为递增数列； ③等比数列的前n项和为，若，则有最小项； ④在等差数列中，记，若存在，使得，则为递增数列． 正确说法有 （写出所有正确说法的序号） 题型13：an与Sn的关系 【典型例题1】等差数列的公差，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由与关系求得，再根据是等比数列求得结论． 解：设，则，当时，，， 又，所以， 所以，， 故选：C. 【典型例题2】已知数列{an}满足，，数列{bn}的前n项和为Sn，且． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设，求数列{cn}的前n项和Tn． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出an；再由与的关系得出{bn}的通项公式； （2）由（1）得，利用分组求和求和即可. （1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列 所以． 又当时，，所以， 当时，   ①           ② 由得，即（）， 所以是首项为1，公比为的等比数列，故． （2）由（1）得， 所以． 【变式训练13-1】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：. 【变式训练13-2】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练13-3】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【变式训练13-4】已知等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式训练13-5】已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求证数列的前项和． 题型14： 等比数列“高斯”积 【典型例题1】已知等比数列的前项积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，利用反证法说明，从而得到，即可得到，从而得到，，，再根据等比数列的性质判断即可. 设等比数列的公比为， 当，则，所以，，， 若，则，，，不符合题意； 若，则单调（或为常数），此时不满足，故不符合题意，所以； 当，，此时奇数项为负，偶数项为正，则，，，不符合题意， 当，，此时奇数项为正，偶数项为负，则，，，不符合题意， 所以，故A错误， 又， ， 又，所以，所以， 故对任意的，，则对任意的，，故B错误； 又，，所以，， 所以，， ， 所以，故D正确，C错误． 故选：D． 【变式训练14-1】在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练14-2】已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则= A． B．7 C．6 D． 【变式训练14-3】设正项等比数列的前项和为，，，若数列的前项积有最大值，则当取得最大值时，的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．5或6 【变式训练14-4】在等比数列中，，且，，则等于（    ） A．6 B． C． D． 题型15：“纠缠数列” 纠缠数列 等差数列某些项（包括复合型）成等比，或者等比数列某些项成等差，称之为“纠缠数列。纠缠数列处理思维 1.如果是等差数列中某些项成等比，则设公差和首项，解方程 2.如果是等比数列中某些项成等差，则设公比和首项，解方程 【典型例题1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（       ） A．29 B．31 C．33 D．36 【答案】B 【解析】由题设，结合等差中项的性质、等比数列通项公式得，进而求q、a1，最后由等比数列前n项和公式求S5. 由题意，，则，可得q3＝，∴q＝，a1＝16， ∴S5＝.故选：B 【变式训练15-1】已知等比数列是递增数列，若，且，，成等差数列，则的前4项和（    ） A．4 B．40 C．4或40 D．15 【变式训练15-2】已知实数b为a，的等差中项，若，b，成等比数列，则此等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】已知数列为等比数列，且，数列为等差数列，为等差数列的前n项和，，则（    ） A． B． C． D．﹣4 【变式训练15-4】等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D． 题型16：比值型不定方程 【典型例题】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】直接利用等比数列的通项公式和前项和公式即可 不妨设的首项为，公比为，则有： 解得：则有：故选：D 【变式训练16-1】等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．8 C．1或 D．或 【变式训练16-2】已知数列为各项都是正数的等比数列，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练16-3】已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．4 【变式训练16-4】设等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型17：等比数列特性：前n项积 类比前n项和求通项过程来求数列前n项积： 1.n=1，得a1 2.n时，所以 【典型例题】等比数列的前项之积为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】利用等比数列的性质直接求解即可. 由等比数列的性质可得，，所以，则. 故选：A 【变式训练17-1】已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式训练17-2】已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【变式训练17-3】已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【变式训练17-4】已知等差数列，等比数列的前n项和之积为，设等差数列的公差为d、等比数列的公比为q，则以下结论正确的个数是（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型18：等比数列与1比较型不等式判断 【典型例题1】设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 【答案】A 【解析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案. 因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误； ，则B正确； ，则C正确； 因为，所以是数列中的最大项，则D正确. 故选：A. 【变式训练18-1】在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练18-2】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值 【变式训练18-3】已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为4042 【变式训练18-4】设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 题型19：插入数型等比 【典型例题1】将等比数列按原顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到新数列：，，，，，，，，，，…，新数列的前项和为．若，，，则S200= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项，运用分组求和的方法可求得答案. 解：由已知得，，，等比数列的公比． 令，则，， 所以数列的前200项中含有数列的前7项，含有数列的前193项， 故 ．故选：A． 【变式训练19-1】若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比 为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式训练19-2】已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是-5，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中n个项，则（    ） A．1950 B．1951 C．1952 D．1953 【变式训练19-3】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是 A． B． C． D． 【变式训练19-4】已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型20：等比数列恒成立型求参 【典型例题1】设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（    ） A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列 C．恒成立 D． 【答案】D 【解析】求出，根据数列的性质可判断A、B，举例可判断C，利用数学归纳法判断D. 因为，， 当时，，解得。 当时，因为，所以，解得。 因为无穷数列，对任意实数不等式恒成立， 所以。 对选项A，若为单调递增的等差数列，设， 则，故A错误； 对选项B，若为单调递增的等比数列，设， 则，故B错误； 对选项C，因为，设，取，则，，显然不成立；故C错误； 对于选项D：当时，由，显然恒成立， 假设当时，成立，则当时，故恒成立，故D正确. 故选：D 【变式训练20-1】已知数列中，，是公比为的等比数列，记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-2】已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-3】已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-4】已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型21：等比型下标数列 【典型例题1】已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 若，那矛盾， 若，那么成立， 若，那矛盾， 所以 ，当， 所以， 即，数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以前项和为. 故选：D. 【变式训练21-1】已知数列中，，且（），则（    ）． A． B． C． D． 【变式训练21-2】已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练21-3】已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则 A． B． C． D． 题型22：等比数列求范围型 【典型例题1】设实数成等差数列，且它们的和为，如果实数成等比数列，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为成等差数列和为得到，在由成等比数列，将用表示出来，利用二次函数即可求出的取值范围． 因为实数成等差数列，且它们的和为，，，， 因为实数成等比数列，则，且，， 当时，最小值为，故的取值范围为，故选C. 【变式训练22-1】设，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练22-2】在圆内，过点有三条弦的长度成等比数列.则其公比的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【变式训练22-3】设实数成等差数列，且它们的和为9，如果实数构成公比不等于的等比数列，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练22-4】三个数成等比数列，若有成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型23：等比数列与三角函数综合 中，， ， 或， ， 三边成等比，意味着角，熟记此结论可以提高解小题的时间. 【典型例题1】△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得 ，又∵ ，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是. 【典型例题2】已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， ， 成等比数列，得，由正弦定理可得. 由余弦定理可得. 所以. 令.,.所以. . 故选A. 【变式训练23-1】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c成等比数列.则的取值范围是. A．(0,+∞) B． C． D． 【变式训练23-2】设△ABC的内角的所对的边成等比数列，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式训练23-3】设△ABC的内角的对边分别为，则角B的取值范围是 A． B． C． D． 题型24：等比数列的简单应用 【典型例题1】某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【答案】B 【解析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 存入元（大额存款），按照复利， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以，可得. 故选：B. 【典型例题2】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（    ）斗粟 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得. 设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟， 所以，解得：. 故选：B 【典型例题3】“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】A 【解析】设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为， 由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等， 即每次向外作的正方形面积和为，而， 故向外作了5次正方形 又，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 则， 所以“勾股树”上所有正方形的个数为. 故选：A. 【典型例题4】在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，． (1)求， (2)求数列中，，的递推关系 (3)记是数列的前项和，证明：为定值． 【解析】（1）由题意知，长为3的序列中任何两个不相邻的序列为：，所以. 设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数： 若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个； 若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个， 所以； （2）考虑长度为的序列最后一个数： 若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个； 若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个， 所以； （3）由（2）知，，所以， 所以， 所以数列是常数列， 所以为定值. 【变式训练24-1】每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练24-2】第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练24-3】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【变式训练24-4】中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-5】已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练24-6】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【变式训练24-7】某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【变式训练24-8】如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练24-9】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【变式训练24-10】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【变式训练24-11】一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【变式训练24-12】十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 【变式训练24-13】某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少 .（结果保留整数，参考数据：，，） 【变式训练24-14】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    【变式训练24-15】京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数； (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【变式训练24-16】某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数． (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由． 题型25：等比数列的奇偶项讨论问题 【典型例题1】若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列， 可得，可求的通项公式； （2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和. （1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 【典型例题2】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解. （1）解：由，可得，所以， 又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 当时，，所以， 又当时，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 【变式训练25-1】正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【变式训练25-2】已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【变式训练25-3】已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，.数列满足，，且为等差数列. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和. 一、单选题 1．已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 2．已知等比数列的第二项为1，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 4．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 5.已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 6.等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 7.已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝（    ） A．32 019＋1 B．32 019－1 C．32 019－2 D．32 019＋2 9.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 10.记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 11．已知数列是首项大于的等比数列，记的公比为，前项和为. 设命题甲：；命题乙：对任意的，恒成立，则甲是乙的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．已知数列的前n项和为Sn，且，，则的值为 （    ） A．949 B．1160 C．1276 D．2261 13．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（    ） A． B． C． D． 14．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 15．若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 16．数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 17．在数列中，已知，则的前10项和为（　　） A．2040 B．2046 C．4040 D．4046 18．为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 19.记为等比数列的前项和．已知，，则数列　　 A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 20.已知为等比数列，下面结论中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C． D． 21.在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于　　 A．6 B．3 C．4 D．2 22.已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（    ） A．－8 B．－16 C．－32 D．－48 23.已知是等比数列的前n项和，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 24.已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 26.等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（    ） A．是递增数列 B．是递增数列 C． D． 27.已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28.设等比数列的前项和为，前项积为，若，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．对任意正整数， C． D．数列一定是等比数列 二、多选题 1.等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（    ） A． B． C． D．当且仅当时， 2.）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3.下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 4.已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 5.已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 6.已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C． D．存在实数，使得为等比数列 7.已知数列满足，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若数列的前项和为，则 8.已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 9.若数列 满足，，且，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为等比数列，则 10．）已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列是公比为2的等比数列 C． D．的最大整数的值为8 11．已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若，且，，则时取最小值 三、填空题 1.等比数列中，若，则 ． 2.若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 3．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 4．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 5．已知数列满足，且，，其前项和为，若对任意的正整数，恒成立，则的取值范围是 . 6．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 7．已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 8.已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数的最大值为 　　． 9.已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 . 10.已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为 ． 11.等比数列中，每项均为正数，且，则 . 12.已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则 . 13.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ． ①存在等差数列，使得是的“M数列” ②存在等比数列，使得是的“M数列” ③存在等差数列，使得是的“M数列” ④存在等比数列，使得是的“M数列” 四、解答题 1.已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2.记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3.设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4.已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 5.已知数列的前项和为，． (1)求的通项公式． (2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 6.已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 7．已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 8．已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 9．已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 10.已知等差数列的的前项和为，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答： （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，，，求数列的前项和． ①；②；③． 11.公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前项之和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项之和的最小值． 12.设正项等比数列满足，，，为数列的前n项和， (1)求的通项公式； (2)当n满足什么条件时，恒成立？ 13.某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 14.已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 15．已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 16．已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. (1)求操作1次后桶中的水量； (2)求操作次后桶中的水量； (3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 17．已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 18．设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．设有穷数列的项数为，若正整数满足： ，则称为数列的“点”． (1)若，求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围； (3)若，数列的“点”的个数为，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $