第7讲 正弦定理、余弦定理（解三角形）专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第7讲 正弦定理、余弦定理（解三角形）专题复习 知识点梳理 1.正弦定理推论及其变形： （1）,,,,，，(为三角形外接圆的半径); （2）; （3）; （4）三角形中边角的不等关系 ①若,可得,则; ②若,可得,则. （5）在三角形中：；；. （6）在三角形中任意角的正弦值都大于0. 2.余弦定理： （1）①；. ②；. ③；. （2）若A为三角形的内角，则： ①若，则，即A为锐角； ②若，则，即A为直角； ③若，则，即A为钝角. （3）在三角形中：；；. 3.三角形的面积公式：①若等边△ABC的边长为a，则. ②若△ABC的边长为a，b，c，. 4.三角形解的个数，在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图 形 关系式 解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解 典型例题 例1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC． （1）证明：BD＝b； （2）若AD＝2DC，求cos∠ABC． 解：（1）证明：由正弦定理知，， ∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB， 即bsin∠ABC＝asinC，∵BDsin∠ABC＝asinC，∴BD＝b； （2）由（1）知BD＝b，∵AD＝2DC，∴AD，DC， 在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA， 在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC， ∵∠BDA+∠BDC＝π，∴cos∠BDA+cos∠BDC＝0， 即0，得11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0， ∴c＝3a或c，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC， 当c＝3a时，cos∠ABC1（舍）；当c时，cos∠ABC； 综上所述，cos∠ABC． 例2.（多选）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝b（a+b），则（　　） A．c＜b B．C＝2B C． D． 【解答】解：对于A，因为c2＝b（a+b）＝ab+b2＞b2，所以c＞b，可知A项错误． 对于B，根据c2＝b（a+b）＝ab+b2，结合余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB， 可得c2＝ab+a2+c2﹣2accosB，整理得cosB， 由正弦定理得，所以sinC＝2sinBcosB＝sin2B， 结合B、C为三角形的内角，可得C＝2B或C+2B＝π． 当C+2B＝π时，可得A＝B，即a＝b，此时c2＝b（a+b）＝2a2，可得ca， 所以a：b：c＝1：1：，可知△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形， 可得C，B，满足C＝2B，故B项正确． 对于C，由C＝2B，得B+C＝3B∈（0，π），所以，故C项正确． 对于D，由正弦定理，得， 结合C＝2B，可得 ＝1﹣2sin2B+2（1﹣sin2B）＝3﹣4sin2B， 因为，可得sinB∈（0，）， 所以sin2B∈（0，），可得3﹣4sin2B∈（0，3），即，故D项正确． 故选：BCD． 例3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，c＝6，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则|CD|＝（　　） A． B．1 C． D． 解：由三角形面积公式：.解得：. 根据余弦定理： 化简得：， ， 角平分线公式为：.故选：B. 例4.在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c． （1）若，，，求△ABC的周长； （2）若点D是BC边上一点，且CD＝2，BD＝1，b2+2c2＝9，求AD的长． 【解答】解：（1）因为，， 所以． 由正弦定理，得， 所以． （2）设AD＝x，在三角形ABD与三角形ACD中，由余弦定理得： AB2＝BD2+x2﹣2BD•x•cos∠ADB，AC2＝CD2+x2﹣2CD•x•cos∠ADC， 所以12+x2﹣2x•cos∠ADB＝c2①，22+x2+4x•cos∠ADB＝b2②， ①×2+②得6+3x2＝b2+2c2， 因为b2+2c2＝9，所以6+3x2＝9，解得x＝1， 即AD的长为1． 随堂演练 1.（2025新高考II卷）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB， 所以由余弦定理得：， 因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°． 故选：A． 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，，则 sinB＝　 　． 解：利用正弦定理可得，即；可得． 故答案为：． 3.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（　　） A． B． C． D． 解：因为，，所以由正弦定理可得，， 由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac•cosB＝a2+c2﹣ac，即， ， 所以（sinA+sinC）2＝sin2A+sin2C，．故选：C． 4.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（　　） A． B．若a＝4，b＝5，则△ABC有两解 C．当时，△ABC为直角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是 解：因为，由正弦定理可得sinA•sinBsinA，因为sinA＞0，解得sinB＝1+cosB，即sinB﹣cosB＝1，即sin（B），又因为B∈（0，π），所以B，解得B；所以A正确 B中，a＝4，b＝5，B，因为a＜b，所以A为锐角，所以有唯一解，所以B不正确； C中，由正弦定理可得sinA﹣sinCsinB，即sin（C）﹣sinC， 整理可得cosCsinC，即cos（C），在三角形中，C∈（0，）， 所以C，即C，此时A，所以该三角形为直角三角形，所以C正确； D中，因为△ABC为锐角三角形，所以，可得A， 所以cosA+cosC＝cosA﹣cos（A）＝cosAcosAsinAcosAsinA＝sin（A）， 所以A∈（，），所以sin（A）∈（，1]．所以D正确． 故选：ACD． 5.在△ABC中，，C＝120°，BC＝2，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为△ABC中，，C＝120°， 故B为锐角，cosB， 所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB， 因为BC＝2，由正弦定理得，，即，所以AC＝4， 所以△ABC的面积S2．故选：D. 6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcos（B+C）﹣acosC＝ccosA， 则A等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设△ABC的外接圆半径为R， 根据2bcos（B+C）﹣acosC＝ccosA，得4RsinBcos（B+C）﹣2RsinAcosC＝2RsinCcosA， 即2sinBcos（B+C）﹣sinAcosC＝sinCcosA，可得2sinBcos（B+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）， 结合cos（B+C）＝cos（π﹣A）＝﹣cosA，sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，得﹣2cosAsinB＝sinB，而B∈（0，π），sinB＞0，可得cosA，结合A∈（0，π），可得A． 故选：D． 7.记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝2，c＝3，，则a＝　 　． 【解答】解：因为A+B+C＝π，所以cos（B+C），即， 由余弦定理得a2＝b2，所以． 故答案为：． 8.（2025天津市高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinBbcosA，c﹣2b＝1，a． （1）求A的值； （2）求c； （3）求sin（A+2B）的值． 【解答】解：（I）因为asinBbcosA， 所以sinAsinBsinBcosA， 又因为sinB≠0， 所以sinAcosA， 即tanA， 因为A∈（0，π）， 所以A； （Ⅱ）因为A，c﹣2b＝1，a， 所以a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即7c2﹣2， 整理得：3c2＝27， 解得c＝3； （Ⅲ）因为A，c﹣2b＝1，c＝3，a， 所以b＝1， cosB， 所以sinB， 所以sin2B＝2sinBcosB，cos2B＝cos2B﹣sin2B， 所以sin（A+2B）＝sinAcos2B+cosAsin2B． 9.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，A为锐角，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，△ABC的面积为． （1）求BC的长度； （2）求∠APB的余弦值． 【解答】解：（1）由题知，，AB＝3，AC＝6， 所以， 又因为∠BAC∈（0，π），所以或， 因为∠BAC为锐角，所以， 在△ABC中，由余弦定理知BC2＝AB2+AC2﹣2•AB•ACcos∠BAC， 整理得，解得； （2）因为AB2+BC2＝9+27＝36＝AC2， 所以，，所以 在△ABM中，由勾股定理得：AB2+BM2＝AM2， 所以，， 所以在△ABP中， 由余弦定理得， 所以∠APB的余弦值为． 10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a，b+c＝2，D为BC边上的点． （1）若A，求角A的平分线AD的长； （2）求BC边上中线AD长的最小值． 【解答】解：（1）因为，， 则由余弦定理得， 即3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc， 又因为b+c＝2，所以， 由S△ABC＝S△ABD+S△ACD， 可得， 所以， 即，所以； （2）因为D是BC的中点，所以， 平方相加可得 ， 当且仅当b＝c＝1时取等号， 所以AD长的最小值为． 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求证：c＝3a； （2）若点D在边AB上，且BD＝2DA，CD＝2，AC，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）证明：由及正弦定理， 可得， 整理得：3sin（B+C）＝sin（A+B），即3sinA＝sinC， 则有c＝3a； （2）由题意有：AD＝a，BD＝2a，CD＝2，AC， 因为∠CDB+∠CDA＝π，所以cos∠CDB+cos∠CDA＝0， 即，解得a，则c， 故， 则． 12.已知在△ABC中，． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积． 【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下： 由及正弦定理， 可得，故， 由余弦定理，可得， 由于A∈（0，π），故， 又2cosB＝sinC，A+B＝π﹣C， 则， 化简可得，故， 由于B∈（0，π），故， 进而， 故三角形ABC为直角三角形； （2）由（1）知：，，且△ABC为直角三角形， 设AB＝2x，则， 故在△ACD中，由余弦定理， 可得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcosA， 即， 解得， 故． 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求sinB+sinC的值． 【解答】解：（1）由， 根据正弦定理得sinCcosBsinBcosC＝2sinAcosA， 即（sinCcosB+sinBcosC）＝2sinAcosA， 因为sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA， 所以sinA＝2sinAcosA， 结合sinA≠0，解得，而A∈（0，π），可得； （2）由题意得，所以bc． 由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得，故b2+c2＝48， 所以， 结合正弦定理，得， 所以，可得． 14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理可得， ∴（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）， 整理得：a2﹣c2＝b2+bc， ∴cosA， 由于0＜A＜π， 所以A； （2）∴△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D， ∴bcsinb•AD•sinc•AD•sin， ∴bc＝b+c， 在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC， ∴7＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝（bc）2﹣bc，解得bc＝2或bc（舍去）． ∴△ABC的面积Sbcsin∠BAC2． 15.已知△ABC面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从以下条件中任选一个，解答下列问题： ①； ②； ③． （1）求角C； （2）若c＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，△ABC的面积为，求角平分线CD的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得4absinC2abcosC，可得tanC，又因为C∈（0，π），所以C； 若选②，由正弦定理可得：sinCsinA＝sinAcos， 因为sinA＞0，所以2sincoscos，cos0，可得sin，再由C∈（0，π）， 可得，即C； 若选③，由正弦定理可得：sinCsinB＝sinBcos（C），sinB＞0， 可得cos（C）＝cos（C），C∈（0，π），可得C＝C，解得C； （Ⅱ）因为c＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，△ABC的面积为， 所以absin（a+b）•CD×sin， 可得ab＝5，（a+b）•CD＝5， 由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab， 即9＝（）2﹣3×5，解得CD． 即角平分线CD的长为． 16.（2025新高考I卷）（多选）已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC＝2， cosAcosBsinC，则（　　） A．sinC＝sin2A+sin2B B．AB C．sinA+sinB D．AC2+BC2＝3 【解答】解：因为cos2A+cos2B+2sinC＝1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinC＝2， ∴sin2A+sin2B＝sinC，故A正确； 由sin2A+sin2B＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＝0， ∵cosAcosBsinC0，∴A，B为锐角， 若，则， ∴sinA＞cosB，sinB＞cosA，sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＞0，∴矛盾，舍去， 同理，也矛盾， ∴，∴，， ∴，， S△ABCabsinCab，ab， a＝csinA，b＝ccosA， ∴abcsinA•ccosA＝c2sinAcosAc2， ∴c2＝2，即AB，故B正确； ∵，∴sinA+sinB＝sinA+cosA，（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA， 因为sinA+cosA＞0，所以sinA+cosA，故C正确； AC2+BC2＝AB2＝2，故D错误． 故选：ABC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 正弦定理、余弦定理（解三角形）专题复习 知识点梳理 1.正弦定理推论及其变形： （1）,,,,，，(为三角形外接圆的半径); （2）; （3）; （4）三角形中边角的不等关系 ①若,可得,则; ②若,可得,则. （5）在三角形中：；；. （6）在三角形中任意角的正弦值都大于0. 2.余弦定理： （1）①；. ②；. ③；. （2）若A为三角形的内角，则： ①若，则，即A为锐角； ②若，则，即A为直角； ③若，则，即A为钝角. （3）在三角形中：；；. 3.三角形的面积公式：①若等边△ABC的边长为a，则. ②若△ABC的边长为a，b，c，. 4.三角形解的个数，在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图 形 关系式 解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解 典型例题 例1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC． （1）证明：BD＝b； （2）若AD＝2DC，求cos∠ABC． 例2.（多选）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝b（a+b），则（　　） A．c＜b B．C＝2B C． D． 例3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，c＝6，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则|CD|＝（　　） A． B．1 C． D． 例4.在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c． （1）若，，，求△ABC的周长； （2）若点D是BC边上一点，且CD＝2，BD＝1，b2+2c2＝9，求AD的长． 随堂演练 1.（2025新高考II卷）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，，则 sinB＝　 　． 3.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（　　） A． B． C． D． 4.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（　　） A． B．若a＝4，b＝5，则△ABC有两解 C．当时，△ABC为直角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是 5.在△ABC中，，C＝120°，BC＝2，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcos（B+C）﹣acosC＝ccosA， 则A等于（　　） A． B． C． D． 7.记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝2，c＝3，，则a＝　 　． 8.（2025天津市高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinBbcosA，c﹣2b＝1，a． （1）求A的值； （2）求c； （3）求sin（A+2B）的值． 9.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，A为锐角，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，△ABC的面积为． （1）求BC的长度； （2）求∠APB的余弦值． 10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a，b+c＝2，D为BC边上的点． （1）若A，求角A的平分线AD的长； （2）求BC边上中线AD长的最小值． 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求证：c＝3a； （2）若点D在边AB上，且BD＝2DA，CD＝2，AC，求△ABC的面积． 12.已知在△ABC中，． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积． 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求sinB+sinC的值． 14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求△ABC的面积． 15.已知△ABC面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从以下条件中任选一个，解答下列问题： ①； ②； ③． （1）求角C； （2）若c＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，△ABC的面积为，求角平分线CD的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16.（2025新高考I卷）（多选）已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC＝2， cosAcosBsinC，则（　　） A．sinC＝sin2A+sin2B B．AB C．sinA+sinB D．AC2+BC2＝3 1 学科网（北京）股份有限公司 $