第11讲 正余弦定理解几何问题专题讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦正余弦定理几何应用，按基础应用、综合几何、最值范围等11个题型分层构建知识体系，通过思维导图梳理考点、高考分析明确考向、典型例题精讲方法、变式训练强化应用，帮助学生系统突破边角互化、中线角平分线等高频难点。 讲义以分层目标驱动教学，基础目标落实公式应用，核心目标强化复杂图形拆解，拔高目标突破跨模块综合题。独创“定图形-选定理-列方程-验结果”四步解题法，在“多边形问题”中引导学生作辅助线构造三角形，培养数学思维与建模能力。设置基础到压轴的梯度训练，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

第11讲 正余弦定理在几何问题中的应用 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：正余弦定理解三角形基本应用 4 题型02：三角形中的边角互化 16 题型03：三角形的中线问题 20 题型04：三角形的角平分线问题 25 题型05：三角形的垂线问题 29 题型06：多边形问题 33 题型07：双正弦 56 题型08：双余弦 64 题型09：解三角形中的证明问题 67 题型10：正余弦定理与立体几何 73 题型11： 解三角形实际问题 76 1. 考查频率与分值：属于高考数学高频考点，每年必考。无解答题时会出1-2道选填题，有解答题时多置于前两题位置， 整体分值在10-12分；选填题分值为4-6分，解答题分值10-12分，题目多为中档难度，少数选填题会作为压轴题考查。 2. 核心考查题型：一是基础题型，单独考查利用正余弦定理做三角形边角互化，求解边长、角度，也会结合三角形面积、周长计算出题，2023年北京卷第7题、2025年全国二卷都有该类基础考查。二是综合几何题型， 常结合平面几何图形（正方形、圆）、空间几何（四棱锥、球内接三角形）出题，比如2023年全国甲卷考查四棱锥内三角形面积计算，同年新课标Ⅰ卷结合圆的切线考查余弦定理；还会搭配角平分线、中线等几何元素，考查几何线段、面积求解。三是最值范围题型，这是高频难点，2022年全国甲卷、上海卷都有涉及，需结合正余弦定理+基本不等式或三角函数值域来求解。 3. 考查趋势： 首要趋势是综合交汇性增强，常和三角恒等变换、平面向量结合考查，偶尔还会关联双曲线等圆锥曲线知识，2022年全国乙卷就将双曲线与正弦定理结合考查。其次是实际与经典结合，会融入《海岛算经》的古代测量问题、三角高程测量等实际场景，2021年全国乙卷就考查了海岛测高问题。最后是题型稳中有变，基础题型的考查形式固定，难度偏低，而综合题型的几何图形背景会灵活创新，增加分析图形、拆解问题的难度。 4. 命题核心逻辑：核心是围绕“边角互化”展开，依托正余弦定理搭建三角形边与角的转化桥梁，核心思想为方程思想，即根据定理列方程求解未知量；同时会综合考查学生对三角形内角和、面积公式、基本不等式等知识的综合运用能力，本质是将几何问题转化为代数运算问题。 一、基础目标（保底必拿分，对应高考基础题4-6分） 1. 熟记正余弦定理公式及变形，能快速实现三角形边角互化，精准解三角形（求边长、角度、面积）。 2. 掌握三角形面积公式（含两边及夹角、三边版），结合定理解决基础周长、面积计算。 3. 明确定理适用场景：已知两角一边/两边及对角用正弦定理；已知两边及夹角/三边用余弦定理。 二、核心目标（稳抓中档分，对应高考解答题主干10-12分） 1. 能拆解复杂平面几何图形（正方形、圆、四边形），通过作辅助线构造可解三角形，用正余弦定理突破线段、角度求解。 2. 结合平面几何性质（角平分线、中线、高线、圆的切线/弦），搭配定理列方程，落实方程思想解题。 3. 掌握定理与三角恒等变换（和差角、二倍角）的综合运用，能化简三角式后再进行边角计算。 4. 初步处理简单空间几何关联题（如棱锥、球内接三角形），转化为平面三角形问题求解。 三、拔高目标（冲刺难点分，对应高考最值/压轴选填） 1. 会用正余弦定理转化边长/角度关系，结合基本不等式或三角函数值域，求解三角形边长、面积的最值与取值范围。 2. 能应对跨模块综合题（定理+平面向量/圆锥曲线/实际测量），快速找到几何问题与定理的衔接点。 3. 掌握分类讨论思想（如正弦定理多解情况）、转化思想，规避解题易错点，提升复杂题的解题严谨性。 一、通用核心解题步骤（所有题型通用，先定型再解题） 1. 定图形：标已知边角/几何条件（角平分线/中线/圆性质），复杂图作辅助线构可解三角形 2. 选定理：判场景定定理（正弦/余弦），优先边角互化统一变量 3. 列方程：依定理+几何性质列等式，结合三角恒等变换化简 4. 验结果：验证角度范围（0<角<π）、边长合理性，规避多解漏解 二、高考高频易错规避策略（防丢分关键） 1. 正弦定理多解：已知a,b,A，当a<b sinA无解；a=b sinA一解；b sinA<a<b两解，必验证角的和小于π 2. 边角互化误区：统一变量要彻底，要么全化边，要么全化角，不混化 3. 锐角三角形陷阱：不仅角<90°，需用余弦定理验证三边对角余弦均为正，而非仅一个角 4. 实际测量题：先画示意图，明确仰角/俯角/方位角，再转化为三角形边角问题 题型01：正余弦定理解三角形基本应用 【典型例题1】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 【典型例题2】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【典型例题3】在中，内角，，所对的边分别是，，．已知． (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以， 又，所以. 因为，所以. （2）选①：由余弦定理可得，. 即，此时，无解，不合题意. 选②：由余弦定理可得，整理得， 解得或（舍），即. 满足存在且唯一确定，则的面积为. 选③：，由正弦定理可得. 由余弦定理可得，，即. 解得， 当时，，不合题意； 所以，满足存在且唯一确定， 则的面积为 【典型例题4】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，则， 且，化简得． 由余弦定理得，即，可得， 所以的面积为． （2）由及正弦定理得， 因为，即， 化简得，所以． 【典型例题5】在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【解析】（1）由，可得，而， 所以，即，显然不成立， 所以，可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. ，解得． 【变式训练1-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，外接圆的半径为2，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，且， 所以， 所以． 又因为，所以，故， 因为，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 故的面积． 【变式训练1-2】在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 【答案】(1)等腰三角形；(2) 【解析】（1）由二倍角公式得， 所以， 整理得，即. 因为，所以，即，即为等腰三角形. （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 又为三角形内角，所以，即的最大值为，此时，又，所以， 故，可得为直角三角形且. 又由（1）可得为正三角形， 所以当最大时，的面积. 【变式训练1-3】已知中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若，D为BC边上一点，，且，求. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，即， 所以，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 又，所以， 根据正弦定理，在△CAD中，，在△BAD中，， 又，∴， 所以在△ABC中，由余弦定理可得，则， 所以. 【变式训练1-4】在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 【变式训练1-5】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求C； (2)求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由已知条件与余弦定理，得， ∴， 即， ∴，则， ∵，∴，∴， ∵，，， ∴，∴， ∴当时，， ∴． （2）由（1）可知，，∴． 又，∴，则， 由正弦定理，得 ， 令，则， 令， 易知当时，取得最大值， 又当时，，当时，， ∴， 故的取值范围为． 【变式训练1-6】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求的值； (2)若，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1），由余弦定理可得， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为，且，所以； （2）因为，，所以， 因为， 所以，， 因为，所以， ，由正弦定理可得， 所以的面积为. 【变式训练1-7】记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 【变式训练1-8】记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 【变式训练1-9】在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 【变式训练1-10】已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1)；(2)6 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 【变式训练1-11】在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 题型02：三角形中的边角互化 【典型例题1】在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． (1)求角． (2)已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】（1），由正弦定理得， 又，则， ，， 又，则，所以， ， 因为，则，． （2）（ⅰ）由（1）知，是角的角平分线， ， ， 又， 则得，又， ，解得，即． （ⅱ），． 【典型例题2】记的内角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2)，， 【解析】（1）， 由正弦定理得，，即. ，. ，∴. ，（舍去）或. （2）由（1）知，. 由余弦定理可得， ∴. ，. 由正弦定理，，解得. ∴由正弦定理可得，，. 【变式训练2-1】记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 又，所以. （2）因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 【变式训练2-2】记的内角的对边分别为，已知，. (1)求的面积. (2)若. （i）求的值； （ii）求内切圆的半径. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【解析】（1）由正弦定理得：， ，， . （2）（i），，， ，，， ，解得：； （ii）由（i）得：， ， ，， 内切圆半径. 【变式训练2-3】已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若的面积为，求． 【答案】(1)证明见解析；（2) 【解析】（1）根据正弦定理设，则， 代入，得，即， 整理得， 由，得， 所以； （2）由面积公式得， 由正弦定理得， 整理得， 由，得， 由（1）得， 由平方关系得 解得或 因为，所以，所以． 【变式训练2-4】在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由和正弦定理可得， 因为,所以， 则有, 由于，所以有 （2）由得，因为, 则有，由余弦定理可得，所以， 题型03：三角形的中线问题 【典型例题1】记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得. 依题意，作出图形， 因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. .故选：D. 【典型例题2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A；（2）利用正弦定理求出，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积. （1）由正弦定理可将原等式化为 在中， ∴ ∴，又在中， ∴，∴，即， 而，，故即. （2）由 ，可得, 在中，, , ， 设，，而边上的中线, 在中， 得即， ∴， ∴ 【变式训练3-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则________. 【答案】 【解析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可． 连接AO，延长AO交BC于D， 由题意得D为BC的中点，，所以， 因为， 所以，得. 故。故答案为： 【变式训练3-2】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线长为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，从而解得； （2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律得到方程，即可求出，再检验即可. （1）解：因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 由，所以，又为锐角，所以. （2）解：在中，， 所以， 即，整理得， 解得（舍去）或. 此时，，，为等边三角形，符合题意，故. 【变式训练3-3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若是的中线，且，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解； （2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解. （1）由及二倍角的余弦公式，得， 即，于是有，及正弦定理，得， 由余弦定理，得， . （2）因为是的中线，所以，两边平方，得 ,由（1）知，，， 所以， 所以 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式训练3-4】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，点D是边上的一点，且______，求线段的长． ①是的中线；②是的角平分线；③． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由条件变形结合余弦定理可得； （2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得. （1）由，得， 即， 因为，所以． （2）选①，由，， 则      所以．         选②，因为，， 所以， 即，   解得． 选③，依题意，得， 由，， 则     . 故 题型04：三角形的角平分线问题 【典型例题1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D. 在中， ∵，则，整理得，所以， 由二倍角公式得，解得， 在中，则，故选项A正确； 在中，则，故选项B错误； 由题意可知：，即， 由，解得，故选项C正确； 在中， ∵，则， ∴，故选项D正确.故选：ACD. 【典型例题2】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案； （2）由可得，然后利用基本不等式可得答案. （1）由正弦定理，得， 得， 得， 因为，所以，即. （2）因为， 所以. 因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立）， 所以．故△ABC面积的最小值为. 【变式训练4-1】如图，四边形中，与相交于点，平分，，，则______．    【答案】 【解析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解； 在中，，，不妨记，则， 由余弦定理得 ， 所以， 由正弦定理得，则， 又平分， 所以. 故答案为：. 【变式训练4-2】在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． (1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； (2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 【答案】(1)或，；(2)① ；②时，S取到最小值 【解析】（1）由题意，得到，求得或和或，即可求解； （2）①利用正弦定理，求得，结合面积公式，即可求解； ②利用二倍角公式和积化和差公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解. （1）解：因为，可得， 又因为，可得或，所以或， 由，可得或， 所以或， ． （2）解：①在和中使用正弦定理，可得 于是． ②利用二倍角公式和积化和差公式可得： ， 由题意可得，所以， 当，即时，S取到最小值． 【变式训练4-3】已知的三个内角，，的对边分别为，，满足. （1）求； （2）若，，角的角平分线交边于点，求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角； （2）利用余弦定理可得的值，进而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解. （1）由正弦定理化边为角可得： ， 即 所以， 因为，所以 即. 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数据可得：即. 解得：或(舍). 所以，所以， 在中，由是的角平分线，得， 则， 在中，由正弦定理得：即， 可得：. 【变式训练4-4】在中，角的对边分别为，的面积为，且满足. （1）求角的大小； （2）设的角平分线交于，且，求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）在中求出角，再由正弦定理求出边、，再由结合三角形的面积公式即可求解. （1）在中，由余弦定理可得，所以 由三角形的面积公式可得， 因为，所以， 整理可得：，即， 因为，所以 （2）由（1）知：，为的角平分线， 所以，由可得 在中，由正弦定理可得：，即， 因为， 所以，， 由可得： 整理可得：，解得：， 所以线段的长为. 题型05：三角形的垂线问题 【典型例题】已知中，角所对的边分别为边上的高为 (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由三角函数的基本关系式求得的值，结合面积公式得到，再结合正弦定理，即可求解； （2）由（1）得到，根据余弦定理化简得到，进而得到，结合三角函数的性质，即可求解. (1)解：由，因为，解得， 则， 又由正弦定理得，所以. (2)由（1）知，所以， 由余弦定理得， 则， 当，即时，取得最大值. 【变式训练5-1】在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可 （2）选①则不合题意； 选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可； 选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可 （1）方法一：在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以. 所以. 在中，， 所以，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理 得， 整理得 所以，所以. （2）选条件②：由（1）知 因为在中，，所以 又，所以 所以 设边上高线的长为h，则 . 选条件③： 因为 所以， 由余弦定理得 所以. 设边上高线的长为h，则 【变式训练5-2】已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)= （1）求证: tanA=2tanB （2）设AB=3，求AB边上的高CD. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用两角和差的正弦公式求得，再结合同角的商数关系即可得出结论； （2）结合同角的基本关系求出，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果. （1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A- B)=， 所以,， 所以，即； （2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为. 【变式训练5-3】在中，角为锐角，已知外接圆的半径为，，___________，求BC边上的高. ①②③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】若选择条件①，根据正弦定理，和余弦定理求解三角形，再结合面积公式，即可计算BC边上的高； 若选择条件②，由正弦定理可知，再根据余弦定理，求解三角形，再结合面积公式，即可计算BC边上的高； 若选择条件③，根据正弦定理求，再根据余弦定理求，最后结合三角形面积公式，即可计算BC边上的高. 解：选①在中，由正弦定理得： 解得：， 在中，由余弦定理得： 选②：由 由正弦定理得： 由余弦定理得： 选③，由正弦定理得： 由余弦定理得：， ，即，， 解得：，， 【变式训练5-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若边AB上的高为3，求c的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由正弦定理化边为角，即可化简求出； （2）由面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求出. 解：（1）在中，由及正弦定理，得 ， 又， 所以， 又，所以， 又因为，所以． （2）由（1）知，中，，又边AB上的高为3， 所以的面积，即． 又中，由余弦定理得， 所以，当且仅当时，等号成立，所以c的最小值为． 【变式训练5-5】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，且BC边上的高为，求a. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据正弦定理边化角，将原式化简即可求得结果. （2）由面积公式可得，再由条件结合余弦定理即可求得结果. （1）由正弦定理，原式可化为， 由于， 整理得. 又∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴，即. （2）由题意可知，由，得， 又，∴，， 由余弦定理知， 解得. 题型06：多边形问题 【典型例题1】如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知在中，有，， ，所以， 由正弦定理可得， 而， 故， 又， 在中，， 由正弦定理可得， 在中， 由余弦定理可得. 故选：B 【典型例题2】已知在中，，点D，E是边BC上的两点，点在B，E之间，，则 . 【答案】/ 【解析】由题意知在中，， 则， , 而， 又，则， 且， 故，即， 故答案为： 【典型例题3】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F． (1)求△ACD的面积； (2)求的值． 【答案】见解析 【详解】（1）在中，由余弦定理得：， 由得：， 所以的面积. （2）在中，由（1）知， 由余弦定理得， 由正弦定理，得， 而，即是锐角，则， 在中，， ， 因此， 在中，，即， ，而是锐角，解得， ，在中，， 所以 . 【典型例题4】如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 【典型例题5】在中，均在线段上，，若，且，. (1)求的值； (2)求的长度. 【答案】见解析 【解析】（1）由，可得为锐角， 因为，可得， 在中，由， 所以，又因为， 所以，所以，所以. （2）由（1）可得，且， 由，可得，所以，可得， 则， 所以， 则，由，可得， 又由余弦定理可得，即，故. 【变式训练6-1】如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为 ．    【答案】 【解析】在中，延长与的延长线交于，连接，由E，F分别是AD，CD的中点， 得，则， 由，得是的中点，且， ， ，于是， 所以的面积. 故答案为： 【变式训练6-2】已知AD是的角平分线，，，，则 . 【答案】/ 【解析】设， 则由张角定理可得：， 故，即有， 所以，则， 又因，， 所以. 【变式训练6-3】如图，在△ABC中，，D为△ABC外一点，，记，. (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以， 所以， 即. （2）由题意知，， 所以 ， 由（1）知， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 【变式训练6-4】如图所示，在平行四边形中，有：. (1)求的大小； (2)若，求平行四边形的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得， 由正弦定理得， ， 又，则， . （2）在平行四边形中，， 在中，由余弦定理得， ，即， 解得：或， 当时，平行四边形的面积： ； 当时，平行四边形的面积： . 【变式训练6-5】已知中，，在的内部有一点满足且． (1)若为等边三角形，求的值； (2)若，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）若为等边三角形，则．如图， 在中，， 所以，． 又知， 所以． （2）设，，则．如图所示， 在中，因为，所以． 由正弦定理，得，即．所以①． 在中，由余弦定理，得， 所以．所以②． 由①②，解得，，所以． 【变式训练6-6】如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1），，， 在中，，解得：，易知C为锐角， ， ； （2）在中，，得：， 在中，，得：， ， ，， ， ，，， 故的取值范围为． 【变式训练6-7】在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点， (1)若，求的长； (2)若，求 【答案】见解析 【解析】（1） 在中，由余弦定理可得， 所以，化简得， 解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 ， 所以； （2）因为，，所以， 因为，所以， 设，所以， 即，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得 . 【变式训练6-8】如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．    (1)求； (2)过点A作，交线段于点，且，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用余弦定理，结合整体法即可得解； （2）先由题意求得，再利用正弦定理求得，从而在中求解即可. （1）因为，则， 所以由余弦定理得，， 又，所以. （2）因为，则， 所以， 又，则， 所以在中，由正弦定理得，， 又， 所以在中，. 【变式训练6-9】兰州市新开的滑冰馆备受年轻人的喜欢，此馆的平面设计如图所示，其中区域为休息区，，，区域为滑冰区，．现为了安全起见，将滑冰区周围筑起护栏．若，求护栏的长度（的周长）.    【答案】 【解析】利用余弦定理求出的长，分析出为直角三角形，计算出边、的长，即可求得的周长，即为所求. 解：区域为休息区，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，，所以，， 区域为滑冰区，在中，，， 所以，，， 所以，的周长为. 护栏的长度为． 【变式训练6-10】如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由两角差的正切公式求得，从而在直角三角形中求得； （2）设设，表示出，由正弦定理结合三角函数恒等变换求得，再由正弦定理求得． （1）由已知， 所以； （2）设，则，，， 由正弦定理得， ，， ， ， 是锐角，，故解得， 由正弦定理，所以． 【变式训练6-11】在平面五边形ABCDE中，已知， (1)当时，求DC； (2)当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据余弦定理，结合五边形内角和定理进行求解即可； （2）根据五边形的面积，结合梯形面积公式进行求解即可； （1）连结EB，在中，，， 由余弦定理可得， ，所以，同时可得， ，又由五边形内角和可求得， 所以， 进而四边形BCDE为等腰梯形过点C作CM⊥BE于M， 可求得， 进而； （2）， 又，所以， 设边长为x，所以， 则 化简整理得，解得，或， 又，， 所以BC的取值范围是. 【变式训练6-12】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，D是BC上的中点，. (1)求的大小； (2)E是AB上一点，，求DE的长度. 【答案】见解析 【解析】（1）设，则，因为，，所以， 在中，由余弦定理可得① 在中，由余弦定理可得② 由①②得，，，， 所以，又因为，所以，所以. （2）由（1）知，，，且，所以. 【变式训练6-13】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，为边上的一点，若，，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 即，所以， 又因为，可得，所以，可得. （2）在中 ，由余弦定理得   ，所以， 因为且，所以， 所以， 又因为，所以， 所以     ， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 【变式训练6-14】在中，角所对的边分别为，，，且. (1)求; (2)已知，为边上的一点，若，，求的长. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以， 所以，，，所以，, 因为，所以. （2）因为，，， 根据余弦定理得: ，∴. 所以， 所以， 所以， 所以，所以. 【变式训练6-15】在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______． (1)求C； (2)点D在边AB上，且，，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分． 【答案】见解析 【解析】（1）选条件①： 由，可得， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 故， 又，于是，即， 因为，所以． 选条件②： 由题意知， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得，又，所以． （2）由（1）得， 故， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 在中，， 因为，故， 即，故． 又由（1）知，所以， 解得， 可得． 【变式训练6-16】在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理得； （2）在中，由正弦定理得， 所以，又为三角形的内角，所以， 所以，，且， 所以，又， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【变式训练6-17】如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．    (1)若，求的边长； (2)求的边长最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）设的边长为千米，由得， 中， 为等边三角形，， 故，即的边长为. （2）设的边长为千米，所以， 中，， 由正弦定理得，，故， 其中，当时，取得最小值， 即的边长最小值为. 【变式训练6-18】现有一空地，将其修建成如图所示的八边形形状的公园．已知图中四边形（）是周长为4的矩形，与，与均关于直线对称，直线交于点，直线交于点．设，四边形的面积为．根据规划，图中四边形区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮． (1)求关于的函数关系式； (2)当取何值时，阴影部分区域面积最大． 【答案】见解析 【解析】（1）因为与，与关于直线对称， 所以与全等， 与全等， 所以有与，，均全等， 所以，又因，则， 在中，，即， 所以，解得， 又因为，解得， 所以， 所以， 即， （2）由（1）可知用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积为， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积最大. 【变式训练6-19】已知四边形内接于，若，，． (1)求线段的长． (2)若，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由题知，，所以， 根据余弦定理，， 即，． 所以，所以． 所以． （2）因为 所以，所以（当且仅当时取等号） 又,所以． 【变式训练6-20】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.    (1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ (2)点B在什么位置时，线段的长度最大？ 【答案】见解析 【解析】（1）设,中， 由余弦定理得： 四边形OACB的面积 ， ，所以当四边形OACB的面积. （2）（2）中，由正弦定理得： 所以 不是中的最大角，， 中： 由余弦定理得： ， 时，所以当,OC有最大值. 【变式训练6-21】已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.    (1)求CO的长； (2)若，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 解得或（舍去）. 因为，所以. 所以，解得（负值舍去）， 所以. 因为， 所以. 所以. 所以. （2）在中，由正弦定理可得， 则，由于为锐角，所以. 因为，所以， 所以，所以， 由余弦定理可得，解得. 因为， 所以 ， 所以. 【变式训练6-22】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 【答案】见解析 【解析】（1）∵，由正弦定理，有， 即， 又，即有，， ，，所以，，故． （2）设，，由（1）知， 在△ABC中，由余弦定理，可知 ，∴ 又，可知， 在△ABD中，， 即，① 在△ACD中，， 即，② 联立①②解得. 题型07：双正弦 【典型例题1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 【答案】(1)2；(2)． 【解析】（1）先通过正弦定理将条件角化边后化简整理可得，再利用面积公式求得，进而利用余弦定理及基本不等式求最值； （2）设，则，利用正弦定理将代入角和边整理计算可得答案. （1）由已知及正弦定理可得：（※）， ，所以， 代入（※）可得：，又因为， 所以， 由己知得：，所以， 故， 当且仅当时等号成立． 所以AD的最小值为2； （2）设，则． 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 将上面两式相比，得：， 即． 【典型例题2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）利用余弦定理结合已知变形，再利用正弦定理边化角及和差角的正弦推理即得. （2）利用正弦定理结合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得. （1）在中，由余弦定理及， 得，即，由正弦定理，得， 即， 由，得，则， 因此，即，则， 所以． （2）由，得，由，得． 在，中，由正弦定理，得， 则，解得，从而，又， 由余弦定理，得，解得， 所以BD的长为. 【典型例题3】已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在等腰中可得，进而得，在中运用正弦定理可求得的值. （2）求出的值，设，则，在、中，由正弦定理可得、，结合求解即可. （1）如图所示，    在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示，    当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 【变式训练7-1】的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． (1)求角； (2)若，，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解； （2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值. （1）解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为， 则，可得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）解：设（其中为锐角）， 在和中，由正弦定理可得且， 于是， 又因为，所以， 化简得， 根据同角三角函数的基本关系式，可得， 因为，联立方程组，解得，即. 【变式训练7-2】在中，为边的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，试判断的形状． 【答案】(1)2；(2)非直角的等腰三角形. 【解析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理计算得解. （2）利用正弦定理，结合诱导公式及二倍角的正弦化得，再结合已知即可推理得解. （1）依题意，，在中，由正弦定理得， 即，解得，则， 在中，由余弦定理得， 即，所以. （2）由，得，在中，， 在中，，又，两式作商得： ，即，则， 于是或，而，即， 因此，， 所以为非直角的等腰三角形. 【变式训练7-3】如图，在平面四边形中，，设. (1)若，求的长； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中由正弦定理解出，再在中由余弦定理解出即可； （2）在中由正弦定理解出，再在中，由正弦定理解出，由相等关系得，最后解出即可. （1）在中，由正弦定理得：， 即，，因为， 所以，解得，则， 在中，由余弦定理得：， 所以. （2） 如图：由，则，因为， 所以在中，由正弦定理知：， ， 由， 因为，所以， ， 由， ， 所以在中，由正弦定理知：， 由， 在中，，所以， 所以，又因为， 即， 所以， 即， 所以， ， 所以，故. 【变式训练7-4】已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且． (1)求A； (2)若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解； （2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解. （1）由正弦定理可知, 又因为， 所以，且， 则，即，所以， 因为，，所以， 所以； （2）由条件可知，，，且， 所以，又， 所以，， ，且 中，，得, 中，，得， 中，， . 题型08：双余弦 【典型例题1】记的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若点在边上，且，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据条件，得到，从而有，利用正弦定理边转角，即可求出结果； （2）根据条件，在中，利用余弦定理得到，，在中，利用余弦定理得到，联立方程，即可求解. （1）因为，又，所以， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得，所以． （2）由（1）知，， 在中，由余弦定理得①，②， 在中，由余弦定理得③， 由②③得，化简得， 把①代入得，即， 解得，于是的面积. 【变式训练8-1】如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出； （2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得. （1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为四点共圆，所以，因此， 上述两式相加得：，所以（负值已舍去）. （2）由（1）得：， 化简得， 则①， 四边形的面积 ， 整理得， 则② ①②相加得：， 即， 由于， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 【变式训练8-2】已知中，角的对边分别为的面积为. (1)若为等腰三角形，求它的周长； (2)若，求. 【答案】(1)20；(2)答案见解析. 【解析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即得. （2）按为钝角和不是钝角分类，利用余弦定理和正弦定理求解即得. （1）由为等腰三角形，得， 由余弦定理，则， 于是，则， 所以的周长为20. （2）在中，，当不为钝角时，， 由余弦定理得，，解得， 由正弦定理，得，所以，； 当为钝角时，， 由余弦定理得，，解得， 由正弦定理，得，所以. 题型09：解三角形中的证明问题 【典型例题1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）应用正弦定理得、，根据已知有，将左侧化简整理为，即可证结论； （2）由及余弦定理得到，结合求得，最后应用余弦定理求即可. （1）   在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因为，所以， 而． 所以，即． （2）由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，， 即，整理得，， 在中，由余弦定理得， ∴，故，即， 所以. 【典型例题2】中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案； （2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案. （1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意. 【变式训练9-1】在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可. （2）利用（1），求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值. （1）由题， 由正弦定理：， 所以， 整理， 所以，结合三角形内角性质， 或（舍）, . （2）由，则由（1）问，得：， 所以， 且 又， 令，则， 所以 因为, 当时，所求的最大值为. 【变式训练9-2】在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证； （2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证. （1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 【变式训练9-3】设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)证明：． (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）利用二倍角公式及正弦的和角公式化简变形条件结合角的范围证明即可； （2）利用（1）结论及正弦定理、三角恒等变换化简得，换元利用导数判定单调性求值域即可. （1）证明如下：由， 则有，所以， 因为，所以，则B为锐角． 所以，所以或， 则或，由题意知，所以，所以． （2）由（1）知，且， 由正弦定理，有 即令，记， ．在上单调递增． 即．故的取值范围为． 【变式训练9-4】如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论； （2）由题意为中线，可得，再由、、，求，进而求对应正弦值，结合及三角形面积公式求面积. （1）中，则， 中，则， 又则， 所以，得证. （2）由是重心，则为中线，又， 所以， 而，则， 所以，可得，且，所以， 同理，，可得，， 所以，， 则. 题型10：正余弦定理与立体几何 【典型例题】在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱于点M，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 如图，设截面分别交，于点P，Q， 连接PQ，BM，设交点，连接，设交点， 由已知截面为正方形，则是，的中点， 底面ABCD为平行四边形，则是，的中点， 又，，则， 则是的中位线，也是四边形的中位线. 设，， 故， 由，得， 化简得（*），且， 由直四棱柱知，平面， 又平面，则 则四边形为直角梯形. 由，得， 在中，由余弦定理得， 解得，同理可得， 如图，在直角梯形中，在CQ上取点S，使， 则.由，得， 即，化简得， 与（*）联立，解得，， 所以，则， 验证知，此时四边形为为正方形，满足题意. 则．故选：B． 【变式训练10-1】在三棱锥中，平面，，且．若，则当三棱锥的体积最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：设，则． 在中，由余弦定理知，， （负值已舍去）．由，知．平面， ． 设，则． 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 当时，最大， 此时． 故选：B． 方法二 ：设，则． 在中，由余弦定理知， ，（负值已舍去）． 由,知．平面， ， 当且仅当，即时取“=”， 此时．故选：B． 题型11： 解三角形实际问题 【典型例题1】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    【答案】 【解析】在三角形中，， 所以，所以， 在三角形中， ， 由正弦定理得 ， 在三角形中，， 所以 （海里）.   故答案为： 【典型例题2】为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，. (1)求的长度. (2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，所以， 在中，由余弦定理，得 . （2）在中，由余弦定理，得， 所以， 所以. 在中，由余弦定理，得 ，解得. 假设小夏先去地，走路线，路长， 假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， 假设小夏先去地，走路线，路长， 由于， 所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. 【典型例题3】周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题.发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天线等个主要部分组成（如图1所示），其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意.国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像.章阳同学在地面点处测得塔楼的仰角为，无人机在处沿仰角为的方向飞行米后到达处，测得，且，，，，五个点都在同一平面内（如图2所示）. (1)求塔楼到地面的高度； (2)如果广播电视塔的天线的长是米，无人机从到的飞行过程中，在点处观看天线的视角为（即），为了拍摄到天线最为清晰的图像，要求视角最大.若点处距离地面的高度为米，那么为何值时，无人机拍摄到天线的图像最清晰？ 【答案】(1)米；(2) 【解析】（1）因为，所以，. 又，，所以. 连结，过点作，垂足为， 则 . 在中，因为， 所以， 即塔楼到地面的高度是米. （2）过作，垂足为，因为，所以， 因为在上，，所以. 所以，. 所以 ，. 令，则，. 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 此时，，因此，当米时，视角最大，无人机拍摄到天线的图像最清晰. 【变式训练11-1】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【解析】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【变式训练11-2】在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度为 ． 【答案】 【解析】解： 由题意，当人沿岸边跑的轨迹和人在水中游的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船. 由题意，当时，人不可能追上船， 当时，人不必在岸上跑，从同一地点直接下水就可追上小船 所以. 设岸边停放小船处为O，此人在岸边跑到A点后下水，在B处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人、船运动的路线满足如图所示的三角形. 因为，， 所以由余弦定理得，即 ， 所以， 要使此关于的方程在内有实数解，则有，且 ，解得， 所以当时，人能追上小船， 所以小船被此人追上的最大速度为. 故答案为：. 【变式训练11-3】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】(1)两船相距海里；(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【变式训练11-4】（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________ （2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设 ； （i）用分别表示和，并求出的取值范围； （ii）若地到直线的距离为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）（i），，；（2）的最大值为10． 【解析】解：（1）因为，且，所以， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，得，即，又，可得，得，即， 由余弦定理得，可得，由，得，所以有， 令内切圆的半径为R，故，，得，代入，得 ，故，故内切圆半径的最大值为；故答案为：. （2）（i）在中，，， 由余弦定理得，， 又，所以 ， ①， 在中，，， 由余弦定理得， ， ②， ①+②得即 ①-②得，所以 又，所以，即， 又，即，所以． （ii），故， 又，设， 所以，， 又，，在上都是增函数； 所以，在上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为10． 【变式训练11-5】杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，． （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①；② （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）在中，由正弦定理知，，解得， 选①：，， ， 在中，； 若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负）， 故服务通道BE的长度 ； （2）在中，由余弦定理知，， ， ，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 正余弦定理在几何问题中的应用 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：正余弦定理解三角形基本应用 4 题型02：三角形中的边角互化 16 题型03：三角形的中线问题 20 题型04：三角形的角平分线问题 25 题型05：三角形的垂线问题 29 题型06：多边形问题 33 题型07：双正弦 56 题型08：双余弦 64 题型09：解三角形中的证明问题 67 题型10：正余弦定理与立体几何 73 题型11： 解三角形实际问题 76 1. 考查频率与分值：属于高考数学高频考点，每年必考。无解答题时会出1-2道选填题，有解答题时多置于前两题位置， 整体分值在10-12分；选填题分值为4-6分，解答题分值10-12分，题目多为中档难度，少数选填题会作为压轴题考查。 2. 核心考查题型：一是基础题型，单独考查利用正余弦定理做三角形边角互化，求解边长、角度，也会结合三角形面积、周长计算出题，2023年北京卷第7题、2025年全国二卷都有该类基础考查。二是综合几何题型， 常结合平面几何图形（正方形、圆）、空间几何（四棱锥、球内接三角形）出题，比如2023年全国甲卷考查四棱锥内三角形面积计算，同年新课标Ⅰ卷结合圆的切线考查余弦定理；还会搭配角平分线、中线等几何元素，考查几何线段、面积求解。三是最值范围题型，这是高频难点，2022年全国甲卷、上海卷都有涉及，需结合正余弦定理+基本不等式或三角函数值域来求解。 3. 考查趋势： 首要趋势是综合交汇性增强，常和三角恒等变换、平面向量结合考查，偶尔还会关联双曲线等圆锥曲线知识，2022年全国乙卷就将双曲线与正弦定理结合考查。其次是实际与经典结合，会融入《海岛算经》的古代测量问题、三角高程测量等实际场景，2021年全国乙卷就考查了海岛测高问题。最后是题型稳中有变，基础题型的考查形式固定，难度偏低，而综合题型的几何图形背景会灵活创新，增加分析图形、拆解问题的难度。 4. 命题核心逻辑：核心是围绕“边角互化”展开，依托正余弦定理搭建三角形边与角的转化桥梁，核心思想为方程思想，即根据定理列方程求解未知量；同时会综合考查学生对三角形内角和、面积公式、基本不等式等知识的综合运用能力，本质是将几何问题转化为代数运算问题。 一、基础目标（保底必拿分，对应高考基础题4-6分） 1. 熟记正余弦定理公式及变形，能快速实现三角形边角互化，精准解三角形（求边长、角度、面积）。 2. 掌握三角形面积公式（含两边及夹角、三边版），结合定理解决基础周长、面积计算。 3. 明确定理适用场景：已知两角一边/两边及对角用正弦定理；已知两边及夹角/三边用余弦定理。 二、核心目标（稳抓中档分，对应高考解答题主干10-12分） 1. 能拆解复杂平面几何图形（正方形、圆、四边形），通过作辅助线构造可解三角形，用正余弦定理突破线段、角度求解。 2. 结合平面几何性质（角平分线、中线、高线、圆的切线/弦），搭配定理列方程，落实方程思想解题。 3. 掌握定理与三角恒等变换（和差角、二倍角）的综合运用，能化简三角式后再进行边角计算。 4. 初步处理简单空间几何关联题（如棱锥、球内接三角形），转化为平面三角形问题求解。 三、拔高目标（冲刺难点分，对应高考最值/压轴选填） 1. 会用正余弦定理转化边长/角度关系，结合基本不等式或三角函数值域，求解三角形边长、面积的最值与取值范围。 2. 能应对跨模块综合题（定理+平面向量/圆锥曲线/实际测量），快速找到几何问题与定理的衔接点。 3. 掌握分类讨论思想（如正弦定理多解情况）、转化思想，规避解题易错点，提升复杂题的解题严谨性。 一、通用核心解题步骤（所有题型通用，先定型再解题） 1. 定图形：标已知边角/几何条件（角平分线/中线/圆性质），复杂图作辅助线构可解三角形 2. 选定理：判场景定定理（正弦/余弦），优先边角互化统一变量 3. 列方程：依定理+几何性质列等式，结合三角恒等变换化简 4. 验结果：验证角度范围（0<角<π）、边长合理性，规避多解漏解 二、高考高频易错规避策略（防丢分关键） 1. 正弦定理多解：已知a,b,A，当a<b sinA无解；a=b sinA一解；b sinA<a<b两解，必验证角的和小于π 2. 边角互化误区：统一变量要彻底，要么全化边，要么全化角，不混化 3. 锐角三角形陷阱：不仅角<90°，需用余弦定理验证三边对角余弦均为正，而非仅一个角 4. 实际测量题：先画示意图，明确仰角/俯角/方位角，再转化为三角形边角问题 题型01：正余弦定理解三角形基本应用 【典型例题1】在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 【典型例题2】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【典型例题3】在中，内角，，所对的边分别是，，．已知． (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以， 又，所以. 因为，所以. （2）选①：由余弦定理可得，. 即，此时，无解，不合题意. 选②：由余弦定理可得，整理得， 解得或（舍），即. 满足存在且唯一确定，则的面积为. 选③：，由正弦定理可得. 由余弦定理可得，，即. 解得， 当时，，不合题意； 所以，满足存在且唯一确定， 则的面积为 【典型例题4】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，则， 且，化简得． 由余弦定理得，即，可得， 所以的面积为． （2）由及正弦定理得， 因为，即， 化简得，所以． 【典型例题5】在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【解析】（1）由，可得，而， 所以，即，显然不成立， 所以，可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. ，解得． 【变式训练1-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，外接圆的半径为2，求的面积． 【变式训练1-2】在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 【变式训练1-3】已知中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若，D为BC边上一点，，且，求. 【变式训练1-4】在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式训练1-5】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求C； (2)求的取值范围． 【变式训练1-6】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求的值； (2)若，求的面积. 【变式训练1-7】记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【变式训练1-8】记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【变式训练1-9】在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【变式训练1-10】已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【变式训练1-11】在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型02：三角形中的边角互化 【典型例题1】在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． (1)求角． (2)已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】（1），由正弦定理得， 又，则， ，， 又，则，所以， ， 因为，则，． （2）（ⅰ）由（1）知，是角的角平分线， ， ， 又， 则得，又， ，解得，即． （ⅱ），． 【典型例题2】记的内角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2)，， 【解析】（1）， 由正弦定理得，，即. ，. ，∴. ，（舍去）或. （2）由（1）知，. 由余弦定理可得， ∴. ，. 由正弦定理，，解得. ∴由正弦定理可得，，. 【变式训练2-1】记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求. 【变式训练2-2】记的内角的对边分别为，已知，. (1)求的面积. (2)若. （i）求的值； （ii）求内切圆的半径. 【变式训练2-3】已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若的面积为，求． 【变式训练2-4】在中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若，求． 题型03：三角形的中线问题 【典型例题1】记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得. 依题意，作出图形， 因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. .故选：D. 【典型例题2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A；（2）利用正弦定理求出，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积. （1）由正弦定理可将原等式化为 在中， ∴ ∴，又在中， ∴，∴，即， 而，，故即. （2）由 ，可得, 在中，, , ， 设，，而边上的中线, 在中， 得即， ∴， ∴ 【变式训练3-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则________. 【变式训练3-2】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线长为，求. 【变式训练3-3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若是的中线，且，求的最大值. 【变式训练3-4】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，点D是边上的一点，且______，求线段的长． ①是的中线；②是的角平分线；③． 题型04：三角形的角平分线问题 【典型例题1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D. 在中， ∵，则，整理得，所以， 由二倍角公式得，解得， 在中，则，故选项A正确； 在中，则，故选项B错误； 由题意可知：，即， 由，解得，故选项C正确； 在中， ∵，则， ∴，故选项D正确.故选：ACD. 【典型例题2】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案； （2）由可得，然后利用基本不等式可得答案. （1）由正弦定理，得， 得， 得， 因为，所以，即. （2）因为， 所以. 因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立）， 所以．故△ABC面积的最小值为. 【变式训练4-1】如图，四边形中，与相交于点，平分，，，则______．    【变式训练4-2】在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件． (1)小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值； (2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则 ①用角B表示工件的面积S； ②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小． 【变式训练4-3】已知的三个内角，，的对边分别为，，满足. （1）求； （2）若，，角的角平分线交边于点，求的长. 【变式训练4-4】在中，角的对边分别为，的面积为，且满足. （1）求角的大小； （2）设的角平分线交于，且，求线段的长. 题型05：三角形的垂线问题 【典型例题】已知中，角所对的边分别为边上的高为 (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由三角函数的基本关系式求得的值，结合面积公式得到，再结合正弦定理，即可求解； （2）由（1）得到，根据余弦定理化简得到，进而得到，结合三角函数的性质，即可求解. (1)解：由，因为，解得， 则， 又由正弦定理得，所以. (2)由（1）知，所以， 由余弦定理得， 则， 当，即时，取得最大值. 【变式训练5-1】在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练5-2】已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)= （1）求证: tanA=2tanB （2）设AB=3，求AB边上的高CD. 【变式训练5-3】在中，角为锐角，已知外接圆的半径为，，___________，求BC边上的高. ①②③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练5-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若边AB上的高为3，求c的最小值． 【变式训练5-5】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，且BC边上的高为，求a. 题型06：多边形问题 【典型例题1】如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知在中，有，， ，所以， 由正弦定理可得， 而， 故， 又， 在中，， 由正弦定理可得， 在中， 由余弦定理可得. 故选：B 【典型例题2】已知在中，，点D，E是边BC上的两点，点在B，E之间，，则 . 【答案】/ 【解析】由题意知在中，， 则， , 而， 又，则， 且， 故，即， 故答案为： 【典型例题3】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F． (1)求△ACD的面积； (2)求的值． 【答案】见解析 【详解】（1）在中，由余弦定理得：， 由得：， 所以的面积. （2）在中，由（1）知， 由余弦定理得， 由正弦定理，得， 而，即是锐角，则， 在中，， ， 因此， 在中，，即， ，而是锐角，解得， ，在中，， 所以 . 【典型例题4】如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 【典型例题5】在中，均在线段上，，若，且，. (1)求的值； (2)求的长度. 【答案】见解析 【解析】（1）由，可得为锐角， 因为，可得， 在中，由， 所以，又因为， 所以，所以，所以. （2）由（1）可得，且， 由，可得，所以，可得， 则， 所以， 则，由，可得， 又由余弦定理可得，即，故. 【变式训练6-1】如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为 ．    【变式训练6-2】已知AD是的角平分线，，，，则 . 【变式训练6-3】如图，在△ABC中，，D为△ABC外一点，，记，. (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值. 【变式训练6-4】如图所示，在平行四边形中，有：. (1)求的大小； (2)若，求平行四边形的面积. 【变式训练6-5】已知中，，在的内部有一点满足且． (1)若为等边三角形，求的值； (2)若，求的长． 【变式训练6-6】如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【变式训练6-7】在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点， (1)若，求的长； (2)若，求 【变式训练6-8】如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．    (1)求； (2)过点A作，交线段于点，且，求． 【变式训练6-9】兰州市新开的滑冰馆备受年轻人的喜欢，此馆的平面设计如图所示，其中区域为休息区，，，区域为滑冰区，．现为了安全起见，将滑冰区周围筑起护栏．若，求护栏的长度（的周长）.    【变式训练6-10】如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求． (2)若，求． 【变式训练6-11】在平面五边形ABCDE中，已知， (1)当时，求DC； (2)当五边形ABCDE的面积时，求BC的取值范围． 【变式训练6-12】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，D是BC上的中点，. (1)求的大小； (2)E是AB上一点，，求DE的长度. 【变式训练6-13】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，为边上的一点，若，，求的长． 【变式训练6-14】在中，角所对的边分别为，，，且. (1)求; (2)已知，为边上的一点，若，，求的长. 【变式训练6-15】在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______． (1)求C； (2)点D在边AB上，且，，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分． 【变式训练6-16】在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 【变式训练6-17】如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．    (1)若，求的边长； (2)求的边长最小值． 【变式训练6-18】现有一空地，将其修建成如图所示的八边形形状的公园．已知图中四边形（）是周长为4的矩形，与，与均关于直线对称，直线交于点，直线交于点．设，四边形的面积为．根据规划，图中四边形区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮． (1)求关于的函数关系式； (2)当取何值时，阴影部分区域面积最大． 【变式训练6-19】已知四边形内接于，若，，． (1)求线段的长． (2)若，求的取值范围． 【变式训练6-20】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.    (1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ (2)点B在什么位置时，线段的长度最大？ 【变式训练6-21】已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.    (1)求CO的长； (2)若，求的面积. 【变式训练6-22】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 题型07：双正弦 【典型例题1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 【答案】(1)2；(2)． 【解析】（1）先通过正弦定理将条件角化边后化简整理可得，再利用面积公式求得，进而利用余弦定理及基本不等式求最值； （2）设，则，利用正弦定理将代入角和边整理计算可得答案. （1）由已知及正弦定理可得：（※）， ，所以， 代入（※）可得：，又因为， 所以， 由己知得：，所以， 故， 当且仅当时等号成立． 所以AD的最小值为2； （2）设，则． 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 将上面两式相比，得：， 即． 【典型例题2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）利用余弦定理结合已知变形，再利用正弦定理边化角及和差角的正弦推理即得. （2）利用正弦定理结合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得. （1）在中，由余弦定理及， 得，即，由正弦定理，得， 即， 由，得，则， 因此，即，则， 所以． （2）由，得，由，得． 在，中，由正弦定理，得， 则，解得，从而，又， 由余弦定理，得，解得， 所以BD的长为. 【典型例题3】已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在等腰中可得，进而得，在中运用正弦定理可求得的值. （2）求出的值，设，则，在、中，由正弦定理可得、，结合求解即可. （1）如图所示，    在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示，    当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 【变式训练7-1】的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． (1)求角； (2)若，，求． 【变式训练7-2】在中，为边的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，试判断的形状． 【变式训练7-3】如图，在平面四边形中，，设. (1)若，求的长； (2)若，求. 【变式训练7-4】已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且． (1)求A； (2)若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD． 题型08：双余弦 【典型例题1】记的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若点在边上，且，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据条件，得到，从而有，利用正弦定理边转角，即可求出结果； （2）根据条件，在中，利用余弦定理得到，，在中，利用余弦定理得到，联立方程，即可求解. （1）因为，又，所以， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得，所以． （2）由（1）知，， 在中，由余弦定理得①，②， 在中，由余弦定理得③， 由②③得，化简得， 把①代入得，即， 解得，于是的面积. 【变式训练8-1】如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【变式训练8-2】已知中，角的对边分别为的面积为. (1)若为等腰三角形，求它的周长； (2)若，求. 题型09：解三角形中的证明问题 【典型例题1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）应用正弦定理得、，根据已知有，将左侧化简整理为，即可证结论； （2）由及余弦定理得到，结合求得，最后应用余弦定理求即可. （1）   在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因为，所以， 而． 所以，即． （2）由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，， 即，整理得，， 在中，由余弦定理得， ∴，故，即， 所以. 【典型例题2】中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案； （2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案. （1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意. 【变式训练9-1】在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 【变式训练9-2】在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【变式训练9-3】设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)证明：． (2)求的取值范围． 【变式训练9-4】如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 题型10：正余弦定理与立体几何 【典型例题】在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱于点M，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 如图，设截面分别交，于点P，Q， 连接PQ，BM，设交点，连接，设交点， 由已知截面为正方形，则是，的中点， 底面ABCD为平行四边形，则是，的中点， 又，，则， 则是的中位线，也是四边形的中位线. 设，， 故， 由，得， 化简得（*），且， 由直四棱柱知，平面， 又平面，则 则四边形为直角梯形. 由，得， 在中，由余弦定理得， 解得，同理可得， 如图，在直角梯形中，在CQ上取点S，使， 则.由，得， 即，化简得， 与（*）联立，解得，， 所以，则， 验证知，此时四边形为为正方形，满足题意. 则．故选：B． 【变式训练10-1】在三棱锥中，平面，，且．若，则当三棱锥的体积最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 题型11： 解三角形实际问题 【典型例题1】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.    【答案】 【解析】在三角形中，， 所以，所以， 在三角形中， ， 由正弦定理得 ， 在三角形中，， 所以 （海里）.   故答案为： 【典型例题2】为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，. (1)求的长度. (2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，所以， 在中，由余弦定理，得 . （2）在中，由余弦定理，得， 所以， 所以. 在中，由余弦定理，得 ，解得. 假设小夏先去地，走路线，路长， 假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， 假设小夏先去地，走路线，路长， 由于， 所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. 【典型例题3】周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题.发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天线等个主要部分组成（如图1所示），其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意.国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像.章阳同学在地面点处测得塔楼的仰角为，无人机在处沿仰角为的方向飞行米后到达处，测得，且，，，，五个点都在同一平面内（如图2所示）. (1)求塔楼到地面的高度； (2)如果广播电视塔的天线的长是米，无人机从到的飞行过程中，在点处观看天线的视角为（即），为了拍摄到天线最为清晰的图像，要求视角最大.若点处距离地面的高度为米，那么为何值时，无人机拍摄到天线的图像最清晰？ 【答案】(1)米；(2) 【解析】（1）因为，所以，. 又，，所以. 连结，过点作，垂足为， 则 . 在中，因为， 所以， 即塔楼到地面的高度是米. （2）过作，垂足为，因为，所以， 因为在上，，所以. 所以，. 所以 ，. 令，则，. 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 此时，，因此，当米时，视角最大，无人机拍摄到天线的图像最清晰. 【变式训练11-1】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【变式训练11-2】在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度为 ． 【变式训练11-3】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【变式训练11-4】（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________ （2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设 ； （i）用分别表示和，并求出的取值范围； （ii）若地到直线的距离为，求的最大值． 【变式训练11-5】杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，． （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①；② （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $