第9讲 正弦定理，余弦定理及解三角形-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形 自主预习 知识梳理 夯实基础 1.正弦定理和余弦定理 (2②S-sinA 2acsin B=I 1 absin C; 定理 正弦定理 余弦定理 1 a=+ (3)S=2r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半 2bccos A: b sinA sinB sinC 径) b2=a2+c2 内容 =2R(其中R是△ABC 2accos B: 3.三角形的判别 外接圆的半径) 2=a2+b-2ab (1)应用余弦定理判断三角形形状的方法 cos C 在△ABC中，c是最大的边， a=2Rsin A,6=2Rsin B, 若c2<a2十b,则△ABC是锐角三角形； c=2RsinC;sinA=2R 若c2=a2十b,则△ABC是直角三角形； sin B=b 若c2>a2十b,则△ABC是钝角三角形. 2录：simC=2录：a CosA 2bc 变形 cos B=ate- (2)判断三角形形状的常用技巧 :b:c=sin A sin B: 形式 2ac sinC;asin B=bsin A, 若已知条件中既有边又有角，则 bsin C=csin B,asin C= cos C=a2t-c* 2ab (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相 a+b+c csin A:sin A+sin B-+sin C 应关系，从而判断三角形的形状。 =2R (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关 系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用 2.三角形中常用的面积公式 三角形三个内角的和等于180°这个结论. (I)S=ahh表示边a上的高)： 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【解析】已知asin B=√3 bcos A,由正弦定 【例1-1】(2025·天津卷)在△ABC中，角 理 A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B sin A sin B asin B-bsin A-30cos b √3 bcos A,c-2b=1,a=7. A,显然cosA≠0，得tanA=√3，由0<A< (1)求A值； ,故A=晋： (2)求c的值； (3)求sin(A十2B)的值. (2)由1)知0sA=号，且c=2b+1a=/. ·44 第一部分一轮单元复习第三单元 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,则7= 1+28-2X1X2×c0s写-7，解得c=7 +(26+1)2-2×26(26+1D=36+36+1, 在△ABD中， 解得b=1(b=一2舍去)，故c=3; cos B-AB+BD:-AD:7+4-15 2AB·BD (3)由正弦定理A-B且=1，a b 2√7×22√7 nA-要得smB-A-,且 >0我B∈0孕，有血B= 三，所以 a Q>6,则B为锐角，故c0sB=寻7，n2B tanB-③ 5 -sin Beos cos1-2sing 【解法二】D为BC中点，SAABC=√3，则 Sn三，过A作AE B12×-nA+2B ⊥BC,垂足为E,在 mAs2 in2H-号×号+号X △ADE中，DE=: 53_43 7 AE，Sm·.CD,所以CD= 2 14 AE 【答案】1)(23(3)4 2,所以BD=2,BE=号，所以tanB- 7 【例1-2】(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的 5 内角A,B,C的对边分别为a,b,,已知 (2)在△ABC中，由中线定理可得+c2= △ABC面积为√3，若D为BC的中点，且 2(AD2+BD2) AD=1. 即AD2+BD=4,所以BD=√3，a=2√3， (I)若∠ADC=号，求tanB: 由S=csnA和+2-公=2c0sA (2)若b+c2=8,求b,c 【解析】(1)【解法一】由△ABC面积为3，可 S}(6+-a2)anA,所以tanA=-5 知SAARC= 1 2 acsin B--V3,所以acsin B= <0,又A∈（受A-, 2√3， 又S=besin A,bc=4,因B+c2=8,可得b 又在△ABD中，有AD AB sin B sin∠ADB,t由 =c=2. ∠ADC-号，可得amBm号 1 【答案1)唱 (2)b=c=2 【规律方法】应用正弦、余弦定理的解题技巧 故nB停代入csmB-25可得a (1)求边：利用公式a=6sinA,b=a sin B, sin B sin A,c= 4.在△ADB中，由余弦定理可得AB=c2 =BD2+AD-2BD·AD·cos5即 2曲我来他相应度形公式求帜 ·45· 艺考一本通数学 (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知在△ABC中，A十 sin A-a sin B,sin B-b sin A,sin C-c sinA B=3C,2sin (A-C)=sin B. b a (1)求sinA; 或其他相应变形公式求解. (2)设AB=5,求AB边上的高. (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定 理求解， (4)灵活利用式子的特，点转化：如出现a2十b c2=λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或 角的正弦的齐次式用正弦定理 变式训练一 1.(2025·新课标Ⅱ卷)在在△ABC中，BC= 2,AC=1+√3，AB=√6，则A= () 题型二与三角形面积有关的问题 A.45°B.60° C.120° D.135° 【例2】(2022·新课标Ⅱ卷)设△ABC的内角 2.(2024·天涂卷)在△ABC中，c0sB-最0 A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c =5,9-景 为边长的三个正三角形的面积依次为S1, (1)求a; SS,已知S-8S=号mB=子 (2)求sinA; (1)求△ABC的面积； (3)求cos(B-2A). (2)若sin Asin C=2 =号，求6. 【解析】1)由题意得S-方·a· 9s-6s-则s-s+s 4 -+2-9。+-=2 4 4 由余弦定理得c0sB=+C亿，整理得 2ac 3.（多选)设a,b,c分别为锐角△ABC三个内 角A,B,C的对边，且(2 csin B-√5a)sinA= 3,则 accos B=1,则cosB>0,又sinB=号， √(c sin C-6 sin B),则下列结论正确的是 ( cos B A.B-8 32 ,则SAx= 2 ac sin B=② 8 B.B- b (2)由正弦定理得sin B sin Asin C,则 C名的取值范围是(0,2) 32 62 ac 4 D.名的取值范围是（分，2 sin B sin A'sin C sin Asin C 3 ·46· 第一部分一轮单元复习第三单元 理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A= 21 sin2B,所以2A=2B或2A十2B=π，即A= 【规律方法】求解三角形面积问题的方法 (1)对于面积公或S2bsmC=)ac sin B- B或A+B=受，所以△ABC为等腰三角形 或直角三角形，故选D. lc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪- (2)由+c2=a2+bc得cosA=B+c2-a 2bc 公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或 条国为AE0,所以A吾 余弦定理进行边和角的转化 由sinB·sinC=sinA得bc=a2,代入+ 变式训练二 c2=a2十bc得(b-c)2=0,即b=c,从而 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, △ABC是等边三角形，故选C. 【答案】(1)D(2)C b,c.若B=受，a=6,simB=2 sin A sin C. 【规律方法】判定三角形形状的两种常用途径 则△ABC的面积S△ABC= 角化边 通过正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数 恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断 A号 B.3 C.√6 D.6 边化用骑州胃 2.(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C 【注意】 “角化边”后要注意用因式分解、配方 的对边分别为a,b,c,已知F十c一a =2. 等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意 cos A 用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱 (1)求bc: 导公式推出角的关系。 (2)若ac0sB-co8Ab=1,求△ABC的 变式训练三 acos B+bcos A c (多选)下列结论正确的是 () 面积. A.在△ABC中，若A>B,则sinA>sinB B.在锐角△ABC中，不等式b+c2>a2恒 成立 C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三 角形 题型三判断三角形的形状 D.在锐角△ABC中，sinA+sinB>cosA+ 【例3】(1)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B, cos B C的对边，满足acosA=bcosB,则△ABC的 题型四求解几何计算问题 形状为 【例4】如图，在△ABC中，D是BC边上的 A.等腰三角形 点，AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC B.直角三角形 面积的2倍。 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且b+c2=a2+bc,若sinB·sinC (1)求sinB sin C; =sinA,则△ABC的形状是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 2)若AD=1,DC一求BD和AC的长 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】(1)因为acosA=bcosB,由正弦定 【解析】(1)S△AD=2AB·ADsin∠BAD, 47 艺考一本通数学 S△ADC= 2AC·ADsin.∠CAD. 变式训练四 1.如图，在四边形ABCD 因为SAABD=2 SAADC,∠BAD=∠CAD, 中，∠ABD=45°，∠ADB 所以AB=2AC.由正弦定理可得snB sin C =30°，BC=1,DC=2,cos AC 1 ∠BCD= AB-2 子，则BD (2)因为S△ABD:S△ADC=BD:DC,所以 ;△ABD的面积为 2.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐 BD=√2. 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知 角，AD⊥BD,AC平分∠BAD,BC=2√3， AB2=AD+BD-2AD·BD cos,∠ADB, BD-3+V6,△BCD的面积S=3VE+B 2 AC2=ADP+DC-2AD·DC cos∠ADC. (1)求CD: AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC=6, (2)求∠ABC. 又由(1)知AB=2AC,所以解得AC=1. 故BD=√2，AC=1. 【规律方法】求解几何计算问题的方法 (1)根据已知的边角画出图形并在图中标示； (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦 定理 随堂检测○ 基础训练 温故知新 1.已知△AB℃三边a=3,b=4,c=5,则c0sA= 是 ( ( A.0 B.1 C.2 D.3 A号 B专 D.5 5.在△ABC中，若b=a2+c2+ac,则B= 3 () 2.△ABC中，角A,B,C所对边a,b,c,若a=3, A.60° B.60°或120° C=120,△ABC的面积S=155,则c= 4 C.120° D.1359 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A.5 B.6 C.39 D.7 sinA 且sinB+sinc 6 a+c =1,则C= () 3.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别 是a,b,c,sinA>sinB,则下列结论不一定成 A. B哥 c p 立的是 ( 7.在△ABC中，若acos A=bsin B,则 A.AB B.sin 2A>sin 2B sin Acos A+cos2 B= () C.cos 2A<cos 2B D.ab 4.满足A=60°，a=2√3，b=4的△ABC的个数 A.1 以司 C.-1 ·48· 第一部分一轮单元复习第三单元 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别a,b, c,且满足sinA=2 sin Bcos C,则△ABC的形 c为，已知1+cos(B+C)-sin B sin C= 状为 ( cos2(A++B)++cos2(A+C). A.等腰三角形 B.直角三角形 (1)求A; C.等边三角形 D.等腰直角三角形 (2)若△ABC为锐角三角形，记其面积为S, 9.在△ABC中，面积S=}(a+-).则 求++C的取值范围。 √3S ∠C= 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,若a=2,b=√3，c=√13，则∠C=( A.号 B c D 11.在△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对边，且 a=3,b=√6，∠B=45°，则∠A=( A.609 B.120° C.60°或120° D.135° 12.在△ABC中，∠A=60°，AB=2,且△ABC 16.如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC= 的面积为号则AC的长为 90°，tan∠ABD=3,AB=4,BD=√10. A号 (1)求∠A; B.1 (2)若DC=2,求BC. C.3 D.2 13.(多选)在△ABC中，角A,B,C的边分别为 a,b,c,已知B=60°，b=4,则下列判断中正 确的是 ( A.若A=灭，则a=4y6 4 3 B若a-号该三角形有两解 C.△ABC周长的最小值为12 D.△ABC面积的最大值4√3 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,且c-bcos A<0,则△ABC形状为 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ·49·【解析】(1)若选①，证明如下：sin30=sin(20+0)=sin2cos0 +cos 20sin 0=2sin 0 cos20+(1-2 sin20)sin 0=2sin 0 (1-sin20)+(1-2 sin20)sin 0=3sin 0-4 sin0. 若选②，证明如下：c0s30=cos(20+0)=c0s20cos0-sin20 sin 0=(2 cos20-1)cos 0-2 sin20 cos 0=2 cos0-cos 0-2 (1-cos 0)cos 0=4 cos0-3cos 0. (2)当0≠kx+受(k∈Z)时，tan30=sn32 c0s30 3sin 0-4 sin0 3sin 0(sin20+cos 0)-4 sin0 4 cos0-3cos 0 4 cos0-3cos 0(sin0cos20) 3sin 0 cos20-sin0 3sin 0 cos 0-sin0 c0s30 3tan o-tan'0 cos30-3cos 0 sin20 cos0-3cos 0 sin20 1-3 tan0 c0s°0 (3)由题，sin1098°=sin18°，因为90°=2×18°+3×18°，则 cos54°=sin36°，所以由公式②及正弦的二倍角公式得4 c0s318°-3cos18°=2sin18°cos18°，又因为cos18>0,所 以4cos218°一3=2sim18°，所以4(1-sin218°)-3=2sin 18°，整理得4sim218+2sin18°-1=0解得sin18°=-5- 或二5，又in18>0,所以sn18°=5-1 4 第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形 【典例变式】 变式训练一 1.A 【解析】由题意得cosA=AB+AC-BC 2AB·AC 6)2+(1+-3)2-2=2 2×√/6×(1+√/3) ,又0∠A<180,所以A= 45°.故选A. 2.【解析】(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b=a2+ 2-2acsB,即25=4r+9r-2X2X3×6,解得1=2 (负舍)：则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，所以sinB=√1一cosB √()-语弄机据正酸宠理得A=品B即 益透解得血A= 4 4 16 (8)因为cosB=最>0，且BE(0,x),所以B∈(0，受).由 (2知mB=语因为a<6,则A<B,所以aA √1-(9)=，则sm2A=2 sin AcosA=2x×是 3 4 3gI.cos 2A-2 c0A-1=2x)1c0s 3V7 1 (B-2A)-mss2A十saBn2A=言×是+票× 37_57 864 3.BD【解析】由正弦定理得2 casin B-√3a2=√3(c2-b), 所以5(a2-B)=sinB,即5cosB=sinB因为B∈ 2ac (0,受，所以anB=B,B=晋，故B对，A错：又名= 1 sin A sin(c+s） sin Cos C 3 sin C sin C sin C 2品c+日在 参考答案·数学 锐角△ABC 中，B= 所以 {0<C<号x,0<-C<x所以吾<C<受mC> 号k品c7c(仔2)选m 1 4.【解析】(1)因为A十B=3C,所以x-C=3C,即C=平，又 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C),2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=3cos Asin C,所以sinA=3cosA,即tanA=3,所以0<A<受， 所以sinA=3=30 /1010 (2)由(1)知，osA=1 10,由sinB=sin(A+C)= ./10 sin Acos C+co Asin C=-号(3厘+①)=25，由正弦 2 10 10 6 5×2⑤ 定理，sC一sB,可得6 5 =2而，所以号AB h=号AB.AC·sinA,所以h=6sinA=2V而×3厘 10 =6. 变式训练二 1.B【解析】由sinB=2 sin Asin C及正弦定理，得=2ac ①，又B=乏，所以d十2=②，联立①②解得a=c=6, 所以S△x=XX5=3,故选B 2【解析】(1)因为d2=B+c2-2 bccos A,所以+c2一Q= Cos A 2 bccos A=2bc=2,解得：bc=1. COs A (2)acos Bbcos Absin Acos B-sin Bcos A sin B acos B++bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C _sin (A-B) sin B 1（A+B)一smAB万=2Bh5=1 sin (A+B) 形可得：sin(A-B)-sin(A+B)=sinB,即-2 cos Asin B=nB,而0<snB1,所以osA=-子又0<A< 所以smA=号，故△ABC的面积为S△e=子红smA=号 1 1 ×1×9-9 变式训练三 ABD【解析】在△ABC中，若A>B,则a>b,2 Rsin A> 2 Rsin B,即sinA>sinB,A正确；由A为锐角可得，cosA= +C2-c>0,即F+c2-Q2>0恒成立，B正确：若sin2A 2bc =sin2B,则2A=2B或2A十2B=π，△ABC为等腰三角形 或直角三角形，C错误；锐角△ABC中，A十B>受，所以受 >A>受-B>0,所以sinA>sin(受-B)=cosB,同理 sinB>cosA,所以sinA+sinB>cosA+cosB,D正确 变式训练四 1.2√3-1【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BD= BC+CD-2BC,CD·os∠BCD=1+4-2X1X2X} =4,则BD=2.在△ABD中，∠BAD=180°-30°-45° 1o5n105=m(46+60）-号×号+号×号-4， 4 13 艺考一本通数学 由正弦定理可得AD=BD·sm45°_ 2X2 =2(/3-1),则 sinl05° √2+6 4 Sem=7AD·BD·sim∠ADB=2×2F-1DX2× sin30°=√/3-1. 2.【解析】(1)在△BCD中，S=号BD·BC·sim∠CBD= 3E+③，因为BC=23,BD=3+6,所以sin∠CBD= 2 2.因为∠ABC为锐角，所以∠CBD=30.在△BCD中，由 余弦定理得CD=BC+BD-2BC·BD·cos∠CBD=(2 3)2+(3+6)2-2×23×(3+6)×5=9,所以CD 2 =3. (2)在△BCD中，由正弦定理得BC CD 好sinZBDC=sin/CBD'即 sin BDCsing0,解得sin∠BDC=得.因为BC<BD. 25 3 所以∠BDC为锐角，所以cOs∠BDC=.在△ACD中，面 正弦定理得AC sn∠ADc=sn光D:即o6 CD cOs∠BDC 3 AC sin/CAD①在△ABC中，由正弦定理得sn2ABC sin/BAC,即nAC BC sin/AB元=sin BAC.②因为AC平分 ∠BAD,所以∠CAD=∠BAC.由①②得∠ABC=、3 cos∠BDC2√3 解得sin∠ABC=.因为∠ABC为锐角，所以∠ABC=45 2 【基础训练】 1.B【解析】△ABC三边a=3,b=4,c=5,则cosA= +2一a2=16+25-9=4 2bc 2×4×55 2.D【解析】因为△ABC的面积S=15=之asin120, 4 所以ab=15,又a=3,所以b=5.所以c2=a2+62-2 abcos C =32+52-2×3×5c0s120°=49，所以c=7. 3.B【解析】由题意sinA>sinB及正弦定理，可得a>b,.所 以A,D选项正确.对于B选项：sin2A=2 sin Acos A,sin2B =2 sin Bcos B,因为x>A>B>0,设A=60°，B=45°，则sin 2A<sin2B,故B不对.对于C:cos2A=1一2sinA,cos2B =1-2sinB,因为sinA>sinB>0所以cos2A<cos2B.所 以C正确.故选B. 4.B【解析】由正弦定理得a A品629-B 昼sinB,解 得sinB=1,所以B=90°，所以△ABC是直角三角形，C= 30°.故符合条件的三角形只有1个. 5.C【解析】由b2=a2+c2十ac,得到a2+c2-b2=-ac,所以 根据余弦定理得：cOsB=a十6=一之·因为B∈(0， 2ac 180),则B=120°. 6.B【解析】由正弦定理及 m8Anc+a车。=1，得6千。十 sinA =1,整理可得d2十6-c2=ab,由余弦定理得cosC= a+c a2+6-c21 2bC=2,又C∈(0，)，所以C=号.故选B 7.A【解析】因为acos A=bsin B,所以由正弦定理得sin 14 Acos A=sin Bsin B,sin Acos A+cos2 B=sin2 B+cos B=1. 8.A【解析】因为sinA=2 sin Bcos C,所以sin(B+C)= 2 sin Bcos C,所以sin Bcos C-sin Ccos B=0,即sin(B-C) =0,因为A,B,C是三角形内角，所以B=C.因此三角形为 等腰三角形 A.46°【解析】由三角形的面积公式得：S=令absin C,而S= 子a+份-2)，所以合asin C=子(a+份-).即 sinC=a2+-2=cosC,则sinC=cosC,即tanC=l, 2ab 又∠C∈(0,180)，则∠C=45°. 10.D【解析】由余弦定理得cosC=2士2-C=4什3-13 2ab 4√3 ,因为CE(0,x),所以C-吾故选D 11.C【解析】因为a=3,b=√6，∠B=45,由正弦定理得sin A-asinB3×2w令 b ,因为a>b,所以A>B,所以45< √6 2 A180°，所以A=60°或A=120°.故选C. 12.B【解析】因为Sa=是X|AB×ACI Xsin A=号 X2XAC×9-号，所以AC=1.故选B 13.ABD【解析】对于A,B=60,b=4,A=子，由正弦定理得 sin Bsin A,所以a=sinA b sin B 4X是返，故A正璃 3 2 对于B,由正弦定理得b sinB一simA得，所以simB<sinA= 2mB号×经 b 4 =16<1,因为a>b→A>B,则A有两 个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C,由P=a2十 2-2 accos B,得16=a2+2-ac=(a十c)2-3ac≥(a+c)2 -子a十c)P=子(a十c,所以a+c≤8，当且仅当a=(= 4时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为 12,故C错误：对于D,由选项C知，16=a2+2一ac≥2ac -ac=ac,当且仅当a=c=4时取等号，故S△=之acsin B-3 ac≤45，所以△ABC面积的最大值为45，故D正 确.故选ABD. 14.C【解析】c-bcosA<0,所以由正弦定理可得2 Rsin C 2 Rsin Bcos A<0所以sinC-sin Bcos A<0,所以sin(A+ B)-sin Bcos A<0,所以sin Acos B+cos Asin B-sin Bcos A<0,所以sin Acos B<0,在三角形中sinA>0,所 以cOsB<0,所以B为钝角，故选C. 1i1A=号(25的取值范国为[4,9)】 3S 【解析】(1)由已知得1+cos2(π一A)一sin Bsin Ca=cos2(π -C)+cos2(x-B),所以1+cos2A-sin Bsin C-=cos2C +cos 2B,.1+1-sin 2A-sin Bsin C=1-sin 2C+1- sin2B,所以sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦 定理，得+c2一a2=bc,由余弦定理，得cosA= +c2-a2=bc=1, 2bc =2次=2，又A∈(0，x),所以A=号.(2)由 1及已知，得S=宁s血A-c,d=6+-c,所以 V3S 则1=b=sinB_sim-(号+C)] sin(3+c） c sin C sin C sin C cos C+2sin C3 sin C 一=2十2anC因为△ABC为锐角三角 0<C< 形，所以 ,解得否<C<,因为y= 0<x-苓-C< ianx在（答，受）上单调递增，所以tanC>写，所以0< 3 c号所以号<名<2，即（号2）小.国为y=叶 在(？，1)上单调逅减，在(1,2》上单调递增，所以y=1 +}e[2号).即名+台e[2,号).t∈ 3S [,9)所以心十的取值范周为[4,9)。 3S 16.(1)∠A=平(2)BC=2【解析J(1)因为an∠ABD=3 >0,所以∠ABD是能角，则os∠ABD=,sn∠ABD =3.在△ABD中，由余球定理得AD=BD十A 2·BD·AB·cos∠ABD=18,AD=32.又由正弦定理， 可得=n识DA为A. 所以∠A<∠ADB,则∠A<90°，故∠A=工.(2)在 △ABD中，由余弦定理得os∠ADB=AD十BD一AB 2AD·BD -5则sn∠BDC=m(90-∠ADB)=os∠ADB= 5 5o∠BDk=-sin ZBIX=25,在△BD中，由 余弦定理得BC=BD+DC-2·BD·DC·cOs∠BDC =10+2-2X/10X2×25=4,解得BC=2. 5 第四单元数列 第10讲等差数列与等比数列 变式训练一 1.B【解析】设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 13a1+3d=6 a+10d-5>仁53，所以s=6a+15d=6X5 15×(-3)=一15.故选B. 2.AB【解析】由S=a5+a2,得9a1+36d=a1+4d+a1+ 1d,即a=-3d,又a>0,所以d=-子a<0,选项A正 骑：由S=2a+d=2a-3a=号a:S=51+10d=5a 105 3a=3a1,得S2=S,选项B正确；由a=a1十8d=a 号a=-号a:得a=号a又a>0,所以a1=a< 8 参考答案·数学 1a=号a1,选项C错误；a,=a十(m-1)d=a1十(m-1)· (-号)m=(-3什号)a,令a,<0,得-子+号<0， 解得n>4,又n∈N",所以n≥5，即数列{an}满足：当≤4 时，an>0,当n≥5时，an<0,所以Sn取得最大值时，n=4, 选项D错误.故选AB. 3.C【解析】因为Sm=一2十8，所以当n=1时，a1=S= -12+8X1=7,当n≥2时，an=S-S-1=(-n2+8n)- [-(1-1)2+8(-1)]=-21+9,经检验，a1=7满足上 式，所以an=-2+9(n∈N),令an=-21十9≥0→n≤4， an=一2n十90→n≥5，设数列{lam|)的前n项和为T,则数 列{am})的前4项和为T4=S4=一42十8×4=16.数列 {an}的前12项和为T2m=a+a十…十|a12=a1十 a2+a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12=2X16-(-122 +8×12)=80.故选C. 4.C【解析】设等差数列{an}的公差为d,(d≠0)，因为ag,a4, a6成等比数列，且a=一2，所以a=a3a6,即(-2十3d)2= (-2+2d)(-2+5d0,解得d=2或d=0(舍去)，所以a1o= a1+9d=-2+9×2=16.故选C. 变式训练二 1.60【解析】由题意知，S10,S一S10,S0一S成等差数列. 则2(Sw-S10)=S10+(S30-S20),即40=10+(S0-30), 解得So=60. 2.A【解析】设等差数列的公差为d,则S。=a十u")Dd, 2 会=a+”学：因为常一是-名4.所以（各是学短数 列：周为器一器=1.片以5=-202+(2023-1DX1 =0,所以S023=0;故选A. 3.2【解析】设该等比数列为{an},Sn是其前n项和，则S:= 4,S8=68,设{an}的公比为q(q>0),当q=1时，S4=4a1= 4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68，显然不成立，舍去：当q≠1 时，则S=@1二2=4，S=40二2=68， 1-q 1一q 两式相降得号-学中1心=17，期1十 1-g 17,所以g=2,所以该等比数列公比为2.故答案为2. 4.B【解析】a5·a=a=4a,公比q>0,所以a6=2a4,则 ==2所以g=区，又a=1.所以a=-号，故 a 选B. 5.B【解析】S12=(a1十a2十a3)+(a4+a5+a6)+(a+as+ a9)+(a10+a1+a12)=4+8+16+32=60. 变式训练三 1.【解桥】1因为a=2-(m≥2，n∈N).6=n an-】 ∈N.所以1-6=aa(2-士）- 1 aa品=1又6=a-号所以长列 1 么是以-号为首项1为公差的等差数列。 2)由1知么=m一子，则a.=1十2=1十27设f) 2 =1+227则)在区间(-0，受)和（受十）上为 减函数.所以当n=3时，an取得最小值一1，当n=4时，am取 得最大值3. 2.【解析】(1)证明：由题意知S一2(Sn一S-1)=n一4(1≥2)， 即S。=2S-1一n+4,所以S.-n+2=2[S-1-(n-1)+ 2],又易知a1=3,所以S1-1十2=4，所以{Sm一n十2}是首 15