第6讲 平面向量专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第6讲 平面向量专题复习 知识点梳理 1.向量的有关概念 （1）向量的模：向量的大小叫向量的模. 模的特点：①向量a的模；②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小. （2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量.将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量.规定：0与任一向量共线. （6）共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. 2.向量共线 （1）向量共线的条件 ①当向量a=0时，a与任一向量b共线. ②当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积 的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a(a≠0)共线且b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当b与a同时，b=a；当b与a反向时，b=a. （2）向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使b=a，则向量b与非零向量a共线. （3）向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线 ，则存在一个实数，使b=a. 3.向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. （3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作□OACB，对角线就是a与b的和. 注意：零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. （4）向量加法的运算律： 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 4.向量的减法运算 （1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. ①规定：零向量的相反向量仍是零向量； ②(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ⑤相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． （2）向量的减法 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 5.向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. （3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 拓展：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 6.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，是平面上的任意一点，作a，b，则()叫做向量a与b的夹角. （2）性质：当时，a与b同向；当时，a与b反向. （3）向量垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 7.向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量a与b，它们的夹角为，数量叫做向量a与b的数量积； （2）记法：向量a与b的数量积记作a·b，即a·b； 零向量与任一向量的数量积为0. 8.向量a在b上的投影向量 （1）设a，b是两个非零向量，a，b，考虑如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量a在b上的投影向量. （2）在平面内任取一点,作a,b,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量a在b上的投影向量,且. 9.平面向量数量积的性质 设向量a，b都是非零向量,为a与b的夹角.则： （1）a⊥ba·b=0. （2）当a与b同向时,a·b=; 当a与b反向时,a·b=; 特别地,a·b或. （3）. （4）. 10.平面向量数量积的运算律 （1）; （2）(为实数); （3）; （4）两个向量a，b的夹角为锐角且a，b不共线; 两个向量a，b的夹角为钝角且a，b不共线. （5）平面向量数量积运算的常用公式：；； . 11.平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在 不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底，则： 当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． （4）平面向量基本定理的应用 ①平面向量基本定理唯一性的应用：设是同一平面内的两个不共线向量，若 ，则. ②重要结论：设是平面内一个基底，若，则： 当时，与共线；当时，与共线；当时，. 12.平面向量的坐标运算 （1）向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （3）向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是. （4）若，，则. 13.线段的定比分点 设是直线上的两点，是上不同于的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比： （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 14.平面向量数量积的坐标表示 （1）向量数量积的坐标运算：若，，则. 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和. （2）两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则. （3）用坐标表示的常用三个公式 ①向量的模公式：若，则. ②两点间的距离公式：若，，则. ③向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则 . 典型例题 例1.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 A. B. C. D. 【解答】解：由，得，则， 即，则，所以向量在向量上的投影向量的坐标为 ．故选：B． 例2.已知向量，满足，，，则 A. B. C. D. 【解答】解：因为，，所以，即，故．故选：D． 例3.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N．设，则2m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：连接AO，因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点， 所以，所以，所以， 又因为，，所以， 因为M、N、O三点共线，所以，所以2m+n＝3． 故选：C． 例4. 随堂演练 1.（2025新高考I卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为（　　） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1～3.3 轻风 3 3.4～5.4 微风 4 5.5～7.9 和风 5 8.0～10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【解答】解： 如图：视风风速对应向量的坐标为， 船速对应向量的坐标为（1，3）， 所以船行风速对应的向量坐标为（﹣1，﹣3）， 设真风风速对应向量为，则， 所以（﹣2，2）， 所以22.828∈（1.1，3.3）， 故真风为轻风． 故选：A． 2.（2025新高考II卷）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　　 ． 【解答】解：因为（x，1），（x﹣1，2x），所以（1，1﹣2x），又⊥（）， 所以x+1﹣2x＝0，解得x＝1，所以，则||． 故答案为：． 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，用向量，表示向量，则　　． 【解答】解：设，且E，R，B三点共线， ∴2λ+λ＝1，解得，∴， 设，且B，T，F三点共线， ∴2μ+μ＝1，解得，∴，∴． 故答案为：． 4.已知向量，若，则||＝（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：向量，∴（1，﹣1+2t）， ∵，∴1+1﹣2t＝0，解得t＝1，∴（0，1），则||＝1． 故选：B． 5.已知向量，若，则t＝（　　） A．1或 B．﹣2或 C．﹣1或2 D．﹣2或1 【解答】解：向量， 则，， ∵， ∴，即（t+2）（﹣2+2t）+（﹣t+1）（2+t）＝t2+t﹣2＝0， ∴（t+2）（t﹣1）＝0，∴t＝﹣2或t＝1．故选：D． 6.已知为单位向量，向量满足3，，则的最大值为（　　） A．9 B．2 C． D．8 【解答】解：因为，所以， 所以λ2+6λ+1＝﹣（λ﹣3）2+10≤10，当且仅当λ＝3时，等号成立，所以，即的最大值为．故选：C． 7.已知，则在方向上的投影向量为． 【解答】解：由于，故在方向上的投影向量为. 故答案为： 8.在梯形ABCD中，，AC与BD交于点E，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 由得，， 所以． 故选：A． 9.已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ， 若，，，则（）•2•1﹣2cosθ＝0， 变形可得cosθ，又由0≤θ≤π，则θ．故选：C． 10.已知单位向量与的夹角为60°，则2与3的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【解答】解：因为单位向量与的夹角为60°， 所以， 所以， ， ， 设与的夹角为θ，则， 又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即与的夹角为120°． 故选：C． 11.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为，则；． 【解答】解：以正方形网格左下角顶点为原点， 以横向线段所在直线为轴，向右为正方向， 以纵向线段所在直线为轴，向上为正方向， 建立平面直角坐标系．则，，， ， ．故答案为：；． 12.已知向量，||＝1，||＝||＝2，则•••　　． 【解答】解：方法1：由得或或， ∴（）2＝（）2或（）2＝（）2或（）2＝（）2， 又∵||＝1，||＝||＝2，∴5+2•4，5+24，8+21， ∴•，•，•，∴•••．故答案为：． 方法2：•••． 故答案为：． 13.已知，，，则向量在向量方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴，即， 又，，∴，得． ∴向量在向量方向上的投影向量为：•． 故选：B． 14.已知向量，满足：，，且，则||＝（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：向量，满足，，且， 可得，，可得，所以||． 故选：B． 15.已知单位向量，满足•0，则cos＜34，（　　） A．0 B． C． D．1 【解答】解：因为单位向量，满足•0，所以7，， ， 所以cos＜34，．故选：B． 16.在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC（包括边界）中的任意一点， 则•的最小值是（　　） A． B． C．﹣1 D． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0）， 点P是平面ABC（包括边界）中的任意一点，设P（x，y）， 则（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则x2+y2﹣1， 又x2+y2的几何意义为点P（x，y）到点O（0，0）的距离的平方， 显然，当点P（x，y）与点O（0，0）重合时，点P（x，y）到点O（0，0）的距离的平方最小，且为0，即的最小值为﹣1. 故选：C． 17.（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若在上的投影向量为||，则向量与夹角为 C．与共线的单位向量只有一个为 D．存在θ，使得 【解答】解：A选项：若，则，∴，∴．故A选项错误； B选项：∵ 即：，∴在上的投影为，又∵， ∴，∴．故B选项正确； C选项：与，∵，∴，故此单位向量为或故C选项错误； D选项：要使得等式成立，即．故， ∴．故存在θ使等式成立．故D选项正确． 故选：BD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 平面向量专题复习 知识点梳理 1.向量的有关概念 （1）向量的模：向量的大小叫向量的模. 模的特点：①向量a的模；②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小. （2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量.将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量.规定：0与任一向量共线. （6）共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. 2.向量共线 （1）向量共线的条件 ①当向量a=0时，a与任一向量b共线. ②当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积 的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a(a≠0)共线且b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当b与a同时，b=a；当b与a反向时，b=a. （2）向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使b=a，则向量b与非零向量a共线. （3）向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线 ，则存在一个实数，使b=a. 3.向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. （3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作□OACB，对角线就是a与b的和. 注意：零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. （4）向量加法的运算律： 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 4.向量的减法运算 （1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. ①规定：零向量的相反向量仍是零向量； ②(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ⑤相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． （2）向量的减法 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 5.向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. （3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 拓展：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 6.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，是平面上的任意一点，作a，b，则()叫做向量a与b的夹角. （2）性质：当时，a与b同向；当时，a与b反向. （3）向量垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 7.向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量a与b，它们的夹角为，数量叫做向量a与b的数量积； （2）记法：向量a与b的数量积记作a·b，即a·b； 零向量与任一向量的数量积为0. 8.向量a在b上的投影向量 （1）设a，b是两个非零向量，a，b，考虑如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量a在b上的投影向量. （2）在平面内任取一点,作a,b,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量a在b上的投影向量,且. 9.平面向量数量积的性质 设向量a，b都是非零向量,为a与b的夹角.则： （1）a⊥ba·b=0. （2）当a与b同向时,a·b=; 当a与b反向时,a·b=; 特别地,a·b或. （3）. （4）. 10.平面向量数量积的运算律 （1）; （2）(为实数); （3）; （4）两个向量a，b的夹角为锐角且a，b不共线; 两个向量a，b的夹角为钝角且a，b不共线. （5）平面向量数量积运算的常用公式：；； . 11.平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在 不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底，则： 当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． （4）平面向量基本定理的应用 ①平面向量基本定理唯一性的应用：设是同一平面内的两个不共线向量，若 ，则. ②重要结论：设是平面内一个基底，若，则： 当时，与共线；当时，与共线；当时，. 12.平面向量的坐标运算 （1）向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （3）向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是. （4）若，，则. 13.线段的定比分点 设是直线上的两点，是上不同于的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比： （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 14.平面向量数量积的坐标表示 （1）向量数量积的坐标运算：若，，则. 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和. （2）两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则. （3）用坐标表示的常用三个公式 ①向量的模公式：若，则. ②两点间的距离公式：若，，则. ③向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则 . 典型例题 例1.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 A. B. C. D. 例2.已知向量，满足，，，则 A. B. C. D. 例3.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N．设，则2m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 随堂演练 1.（2025新高考I卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为（　　） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1～3.3 轻风 3 3.4～5.4 微风 4 5.5～7.9 和风 5 8.0～10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2.（2025新高考II卷）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则|| ＝　　 ． 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，DC 边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，用向 量，表示向量，则　 ． 4.已知向量，若，则||＝（　　） A． B．1 C． D．2 5.已知向量，若，则t＝（　　） A．1或 B．﹣2或 C．﹣1或2 D．﹣2或1 6.已知为单位向量，向量满足3，，则的最大值为（　　） A．9 B．2 C． D．8 7.已知，则在方向上的投影向量为． 8.在梯形ABCD中，，AC与BD交于点E，则（　　） A． B． C． D． 9.已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 10.已知单位向量与的夹角为60°，则2与3的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 11.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为，则 ； ． 12.已知向量，||＝1，||＝||＝2，则••• ． 13.已知，，，则向量在向量方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 14.已知向量，满足：，，且，则||＝（　　） A． B． C． D．1 15.已知单位向量，满足•0，则cos＜34，（　　） A．0 B． C． D．1 16.在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC（包括边界）中的任意一点， 则•的最小值是（　　） A． B． C．﹣1 D． 17.（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若在上的投影向量为||，则向量与夹角为 C．与共线的单位向量只有一个为 D．存在θ，使得 1 学科网（北京）股份有限公司 $