第11讲 导数专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第11讲 导数专题复习 知识点梳理 知识点一、变化率问题 1.从平均速度到瞬时速度 （1）平均速度：一般地，把位移s看成是关于时间t的函数s(t)，当时间从t0变化到t0+Δt（Δt≠0）时，位移的变化量为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)，则这段时间内的平均速度，物体某一段时间的平均速度近似地刻画了物体运动的快慢。 （2）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设Δt是时间改变量，物体在t0时刻附近的某一时间段[t0,t0+Δt](Δt>0)或[t0+Δt,t0](Δt＜0)的平均速度是，当不断缩短上述时间段的长度，即当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t0时的瞬时速度，因此，物体在t=t0时的瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度精确刻画了物体的运动状态. 2.从抛物线的割线斜率到切线斜率 （1）割线的斜率：设点，是抛物线上任意两点，记Δx为自变量从x0变化到x的变化量，则割线PP0的斜率. （2）切线的定义：在抛物线上任取一点，如果当点沿着抛物线无限趋近于点时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. （3）切线的斜率：切线的斜率. 知识点二、导数的概念及其几何意义 1.平均变化率 （1）定义：对于函数，设自变量x从x0变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，x的变化量为，的变化量为=-.我们把叫做函数从x0到的平均变化率. （2）平均变化率的几何意义：平均变化率表示割线的斜率. 2.导数 （1）导数的定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在x=x0处可导，并把这个确定的值叫作在x=x0处的导数（也称瞬时变化率），记作f'(x0)或，即. （2）导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即.如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 知识点三、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex（a>0且a≠1） f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题。（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可。 知识点四、导数的四则运算法则 1.函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. 2.函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. 3.函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 知识点五、简单复合函数的导数 1.复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 知识点六、导函数与原函数的性质关系（拓展） 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。 证明：设是可导的奇函数，则， 两边求导得，化简可得：， 所以是偶函数.同理可证，偶函数的导数是奇函数. 2.周期函数的导数仍是周期函数。 证明：设是可导的周期函数，则， 两边对x求导得，化简可得：， 所以是是以T为周期的周期函数. 知识点七、函数的单调性 1.函数的单调性与导函数的关系 设函数在某个区间(a，b)内有导数，则： （1）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递增； （2）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递减； （3）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上为常函数. 2.求可导函数的单调区间的方法 （1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③解不等式：令，可解得函数的单调递增区间；令，可解得函数的单调递减区间. （2）列表法（求较复杂的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③求零点：令，求定义域范围内的的零点. ④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断在各区间上的符号. ⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间. 3.函数图像的变化趋势与导数的关系 （1）且||越来越大，函数值增加得越来越快； （2）且||越来越小，函数值增加得越来越慢； （3）且||越来越大，函数值减小得越来越快； （4）且||越来越小，函数值减小得越来越慢. 知识点八、函数的极值与最大（小）值 1.函数极值的概念 （1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）解出方程f′(x)＝0的根（可能不止一个）； （4）确定极值点，用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号. ①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． ③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点. 3.函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必 有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. （2）函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. （3）求函数的最大值与最小值的步骤 ①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 典型例题 例1.已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex+x． （1）当a＜0时，f（x）有两个零点，求a的取值范围； （2）若x＝0是f（x）的极小值点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）＝axex﹣（a+1）ex+x， ∴f′（x）＝（a+ax）ex﹣（a+1）ex+1＝（ax﹣1）ex+1， ∴f′（0）＝0， ∵a＜0，则f′（x）单调递减， ∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∵x→﹣∞时，令t＝﹣x→+∞，则，此时f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）＝[a（x﹣1）﹣1]e2+x→﹣∞， ∴f（x）有两个零点只需f（x）max＝f（0）＝﹣a﹣1＞0， ∴a的范围为{a|a＜﹣1}． （2）由（1）知，当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点，不合题意； 当a＝0时，f（x）＝﹣ex+x，f'（x）＝﹣ex+1， ∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（0，+∞） 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 即x＝0是f（x）的极大值点，不合题意； 当a＞0时，f'（x）＝axex﹣ex+1，f′（0）＝0， ∴， ∴时时，f′（x）＞0， ∴上单调递减，在上单调递增， ∴0＜a＜1时，0，则f（x）在 （﹣∞，0）上单调递增，在上单调递减， 即x＝0是f（x）的极大值点，不合题意； a＝1时，，f′（x）≥0，则f（x）在R单调递增，不合题意； a＞1时，则上单调递减，在（0，+∞） 上单调递增， 即x＝0是f（x）的极小值点， 综上，a的范围为{a|a＞1}． 例2.（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（　　） A．若f（x）min＝f（1），则a＝1 B．若f（x）min＝f（1），则 C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减 D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增 【解答】解：易知f（x）的定义域为[0，+∞），可得f′（x）＝3x2﹣2x﹣a， 若f（x）min＝f（1），所以x＝1是f（x）的极小值点， 此时f′（1）＝3﹣2﹣a＝0，解得a＝1， 则f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）（x≥0）， 当0≤x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（1），则a＝1，故选项A正确，选项B错误； 若a＝1，此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1）， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故选项C正确； 若，此时， 当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选项D正确．故选：ACD． 例3.曲线f（x）＝x3﹣lnx在点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 　　 ． 【解答】解：由f（x）＝x3﹣lnx，得f′（x）＝3x2， ∴f（1）＝1，f′（1）＝2， 可得切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1． 取x＝0，得y＝﹣1，取y＝0，得x． ∴曲线f（x）＝x3﹣lnx在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的图形的面积为S．故答案为：． 例4.已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣1﹣ax2+2ax，a∈R． （1）当a＝e时，判断f（x）的单调性； （2）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝（x﹣2）ex﹣1﹣ex2+2ex， 则f′（x）＝（x﹣1）ex﹣1﹣2e（x﹣1）＝（x﹣1）（ex﹣1﹣2e）， 令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝2+ln2． 令f′（x）＜0，解得1＜x＜2+ln2，所以f（x）在（1，2+ln2）上单调递减； 令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2+ln2，即f（x）在（﹣∞，1），（2+ln2，+∞）上单调递增． 综上，函数f（x）在（﹣∞，1），（2+ln2，+∞）上单调递增，在（1，2+ln2）上单调递减． （2）由f（x）＝（x﹣2）ex﹣1﹣ax2+2ax求导得f′（x）＝（x﹣1）ex﹣1﹣2a（x﹣1）＝（x﹣1）（ex﹣1﹣2a）， ①当a≤0时，ex﹣1﹣2a＞0恒成立， 令f′（x）＜0，解得x＜1，即f（x）在（﹣∞，1）上单调递减； 令f′（x）＞0，解得x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递增， 故a≤0时，函数f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意； ②当时，令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝1+ln（2a），且x1＞x2， 当1+ln（2a）＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1+ln（2a），1）上单调递减； 当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意． ③当时，令f′（x）＝0，解得x1＝x2＝1，此时f′（x）≥0恒成立且f′（x）不恒为0， f（x）单调递增，故函数f（x）无极值，不符合题意． ④当时，令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝1+ln（2a），且x1＜x2， 当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增； 当1＜x＜1+ln（2a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，1+ln（2a））上单调递减， 所以函数f（x）在x＝1处取得极大值，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是． 例5.已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由于， 故f'（x）＝2ae2x﹣（ax+2）ex+x＝（aex﹣1）（2ex﹣x）， ∵ex≥x+1，∴2ex﹣x≥ex+1＞0． ①当a≤0时，aex﹣1＜0，从而f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减； ②当a＞0时，令：f'（x）＝0，从而aex﹣1＝0，得x＝﹣lna． x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞） f'（x） 一 0 + f（x） 单调递减 极小值 单调递增 综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增； （2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在R上单调递减，f（x）在R上至多一个零点，不满足条件， 当a＞0时，，令， 则g（a）＝2++hna＝1（2+1+lna）＝﹣2（a+1﹣mnb）＞[a+1+（1﹣）]＝2＞0． ∴g（a）在R上单调递增， 而g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＝1时，g（a）＝0；当a＞1时，g（a）＞0． （i）若a＞1，则f（x）min＝g（a）＞0，故f（x）＞0恒成立，f（x）无零点； （ii）若a＝1，则f（x）min＝g（a）＝0， 故f（x）＝0仅有一个实根x＝﹣lna＝0，f（x）无两个零点，不满足条件； （ⅲ）若0＜a＜1，则f（x）min＝g（a）＜0，注意到﹣lna＞0，， 故f（x）在（﹣2，﹣lna）上有一个实根， 而又， 且， 令h（x）＝x﹣ln（3x﹣1）（x＞1），则， ∴h（x）在单调递减，在单调递增，， 故，又0＜a＜1， ∴3﹣a＞0，∴，即， 故f（x）在上有一个实根． 又f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增，故f（x）在R上至多两个实根， 又f（x）在（﹣2，﹣lm）及上均至少有一个实根．故f（x）在R上恰有两个实根． 综上，0＜a＜1时，f（x）在R上恰有两个实根， 即a的取值范围为（0，1）． 例6.若曲线y＝（x+a）ex只有一条过原点的切线，则a的值为 　﹣4或0　 ． 【解答】解：设切点坐标为（t，（t+a）et）， 由y＝（x+a）ex，得y′＝（x+a+1）ex， ∴曲线y＝（x+a）ex在切点处的切线方程为y﹣（t+a）et＝（t+a+1）et（x﹣t）， 把坐标原点（0，0）代入，可得﹣（t+a）et＝（t+a+1）et（﹣t）， 即t2+at﹣a＝0． ∵曲线y＝（x+a）ex只有一条过原点的切线， ∴Δ＝a2+4a＝0，解得a＝0或a＝﹣4． 故答案为：﹣4或0． 随堂演练 1.（2025新高考I卷）若直线y＝2x+5是曲线y＝ex+x+a的切线，则a＝ 　4　 ． 【解答】解：根据题意，y′＝ex+1，令y′＝ex+1＝2，则x＝0， 在切线y＝2x+5中，当x＝0时，y＝5， 所以切点坐标为（0，5）， 将（0，5）代入曲线y＝ex+x+a中，得5＝1+a，解得a＝4． 故答案为：4． 2.（2025新高考II卷）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则（　　） A．f（0）＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2 C．f（x）≥2，当且仅当x D．x＝﹣1是f（x）的极大值点 【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以A正确； 当x＜0时，﹣x＞0，函数是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（（﹣x）2﹣3）e﹣x+2]＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2，所以B正确． f′（x）＝（x2+2x﹣3）ex＝（x﹣1）（x+3）ex， x∈（0，1），f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞），f′（x）＞0．函数是增函数， 所以x＝1是极小值点，f（1）＝2﹣2e， 因为函数是奇函数，所以x＝﹣1是极大值点，D正确； 极大值为2e﹣2＞2，又因为f（）＝2，函数图象如下： 由图像可得C不正确．故选：ABD． 3.（2025新高考II卷）若x＝2是函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣a）的极值点，则f（0）＝　﹣4　 ． 【解答】解：由已知得：f（x）＝x3﹣（3+a）x2+（3a+2）x﹣2a， 所以f′（x）＝3x2﹣2（3+a）x+3a+2， 由题意得f′（2）＝3×22﹣2×（3+a）×2+3a+2＝0， 解得a＝2，经检验a＝2符合题意， 所以f（0）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 4.已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）在R上为增函数， 且函数在x＝0处切线的斜率为0， 故f′（x）≥0在R上恒成立，且f′（0）＝0， 分析选项：B符合． 故选：B． 5.函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于，当x＝2时，y＝0，故A错误； 对于，当x＜0时，f（x）＞0，故B错误； ，显然在定义域内f′（x）＞0， 即在（﹣∞，1）和（1，+∞）都是增函数，C正确，D错误； 故选：C． 6.曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为　x﹣ey＝0　． 【解答】解：∵y＝lnx，∴， ∴曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的斜率k， 曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为： y﹣1）， 整理，得x﹣ey＝0． 故答案为：x﹣ey＝0． 7.若直线y＝k1（x+1）﹣1与曲线y＝ex相切，直线y＝k2（x+1）﹣1与曲线y＝lnx相切．则k1k2的值为（　　） A． B．1 C．e D．e2 【解答】解：y＝ex的导数为y′＝ex，y＝lnx的导数为y′， 设与曲线y＝ex相切的切点为（m，n）， 直线y＝k2（x+1）﹣1与曲线y＝lnx相切的切点为（s，t）， 所以k1＝em，k2，即m＝lnk1，s， n＝k1＝k1（1+lnk1）﹣1，即lnk1， 又t＝lns＝﹣lnk2＝k2（1）﹣1，即﹣lnk2＝k2，可得ek2， 考虑k1为方程lnx的根，k2为方程ex的根， 分别画出y＝ex，y＝lnx和y，y＝x的图像， 可得y＝ex和y的交点与y＝lnx和y的交点关于直线y＝x对称， 则k1，即k1k2＝1． 故选：B． 8.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知，所以， 所以． 故选：A． 9.已知定义域为R的函数f（x）满足，且f（x）+f′（x）＜0，则不等式的解集是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0） 【解答】解：令g（x）＝exf（x）， 因为f（x）+f′（x）＜0， 则g′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]＜0，所以g（x）在R上单调递减， 因为， 所以g（1）＝ef（1）＝1，所以不等式可变为ex+1f（x+1）＞1， 即g（x+1）＞g（1），所以x+1＜1，即x＜0， 所以不等式的解集为（﹣∞，0）． 故选：D． 10.函数f（x）x2﹣lnx的极值点为　　 ． 【解答】解：函数f（x）x2﹣lnx的定义域为：x＞，可得f′（x）＝3x， 令3x0可得x，当x∈（0，），函数是减函数，x∈（，+∞），函数是增函数， x时，函数取得极小值． 故答案为：． 11.已知x0为函数f（x）＝x2ex+e2lnx﹣2e2的零点，则x0+lnx0＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：令f（x）＝0，推得x2ex＝2e2﹣e2lnx，即x2ex＝e2（2﹣lnx），即， 因为x＞0，所以， 令g（x）＝xex（x＞0）， 则g′（x）＝ex（x+1）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 又，所以， x0为函数f（x）＝x2ex+e2lnx﹣2e2的零点， 即x0＝2﹣lnx0，即x0+lnx0＝2． 故选：B． 12.（多选）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（　　） A．x＝3是f（x）的极小值点 B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0 D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x） 【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3）， 易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减， 当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增， 故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确； 对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x， 又f（x）在（0，1）上单调递增， 则f（x2）＜f（x），选项B错误； 对于C，由于1＜x＜2， 一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0， 另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0， 则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确； 对于D，由于﹣1＜x＜0， 则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0， 即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确． 故选：ACD． 13.已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为　　 ． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）， f′（x）＝lnx+1﹣ax﹣1＝lnx﹣ax， 要使函数f（x）有两个极值点，只需f'（x）＝0有两个不同正根x1，x2，并且x1，x2两侧的函数f（x）单调性相反， 由f'（x）＝0得，lnx﹣ax＝0，所以， 由题意可知与y＝a有两个不同的交点， 令，则， 所以当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，e）上单调递增， 当x＞e时，h′（x）＜0，函数h（x）在（e，+∞）上单调递减， 所以，当x→+∞时，h（x）→0， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为． 故答案为：． 14.已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1． （Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）若f（x）≤x2在x∈[0，+∞）上有解，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣1，所以f′（x）＝ex﹣1 当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以当x＝0时，函数f（x）有极小值f（0）＝0，无极大值． （2）因为f（x）≤x2在[0，+∞）上有解， 所以ex﹣x2﹣ax﹣1≤0在[0，+∞）上有解， 当x＝0时，不等式成立，此时a∈R， 当x＞0时，在（0，+∞）上有解， 令，则 由（1）知x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，即ex﹣（x+1）＞0， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以当x＝1时，g（x）min＝e﹣2，所以a≥e﹣2， 综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，+∞）． 15.已知函数（a为常数）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）不等式f（x）＞1在上恒成立，求实数a的最小整数值． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，因为f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＞0时，若x＞a，则f′（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上单调递增， 若0＜x＜a，则f′（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减， 综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减． （2）f（x）＞1在上恒成立等价于在上恒成立， 即恒成立， 令，则g′（x）＝﹣lnx， 当时，g′（x）＞0，g（x）在上单调递增， 当x∈[1，3]时，g′（x）≤0，g（x）在[1，3]上单调递减， 因为g（x）max＝g（x）极大值＝g（1）＝1，所以a＞1， 故实数a的最小整数值是2． 16.已知函数f（x）＝ex1． （1）若在（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，求a； （2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 【解答】解：（1），则f′（1）＝e﹣1﹣a＝﹣1，所以a＝e； （2）恒成立， 因为x＞0，等价于xex﹣lnx+a﹣x≥0恒成立， 令g（x）＝xex﹣lnx+a﹣x，则， 令，，h（x）在（0，+∞）上是增函数， 由于，h（1）＝e﹣1＞0，，h（x0）＝0，即g'（x0）＝0， 当x∈（0，x0），g′（x）＜0，当x∈（x，+∞），g′（x）＞0， 所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 因为h（x0）＝0，所以，lnx0＝﹣x0， 所以， 所以a≥﹣1，即a的取值范围是[﹣1，+∞）． 17.已知函数f（x）＝x2lnx． （1）求f（x）的图象在点（e，f（e））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值； （3）证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥x﹣1； 【解答】解：（1）函数f（x）＝x2lnx，则f′（x）＝2xlnx+x， 则f′（e）＝3e，又f（e）＝e2． 所以f（x）的图象在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e2＝3e（x﹣e），即y＝3ex﹣2e2． （2）因为f′（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1）， 令f′（x）＝x（2lnx+1）＝0，则， 又因为，f′（x）＜0，f（x）单调递减； ，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 所以f（x）的极小值为，无极大值． （3）证明：令， 可得，令， ，m′（x）＞0，m（x）单调递增，m（1）＝0， x∈（0，1），m（x）＝t′（x）＜0，t（x）单调递减； x∈（1，+∞），m（x）＝t′（x）＞0，t（x）单调递增； 所以t（x）min＝t（1）＝0， 所以， 所以，即得x2lnx≥x﹣1， 所以f（x）≥x﹣1． 18.已知函数f（x）＝ln，其中a＞1． （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）的对称中心； （2）若函数g（x）＝f（x）x在区间（a，a2+a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝2时，，定义域为， 其定义域关于对称， 则 ， ∴函数f（x）的对称中心是． （2）由， ∵a＞1，∴，∴g（x）的定义域为， 则， ∵函数g（x）在区间（a，a2+a﹣1）上单调递减， ∴g′（x）≤0在区间（a，a2+a﹣1）上恒成立， 则（ax﹣1）（x﹣a）+9﹣9a2≤0在区间（a，a2+a﹣1）上恒成立， 则， 解得1＜a≤2， 故实数a的取值范围为：（1，2]． 19.（2025上海市高考卷）已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+mlnx，m∈R． （1）若f（1）＝0，求不等式f（x）≤x2﹣1的解集； （2）若函数y＝f（x）满足在（0，+∞）上存在极大值，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，f（1）＝1﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1，所以f（x）＝x2﹣x﹣lnx， 因为f（x）≤x2﹣1，所以x2﹣x﹣lnx≤x2﹣1⇒x+lnx﹣1≥0， 设g（x）＝x+lnx﹣1，x＞0， 因为y＝x与y＝lnx均为增函数，所以g（x）为增函数， 因为g（1）＝0，所以由g（x）≥0，得x≥1， 所以不等式f（x）≤x2﹣1的解集为[1，+∞）； （2）由题意，， 当m≤0时，， 故f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）无极大值，不成立； 当m＞0时，当m＝2时，恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增，故f（x）无极大值，不成立； 当0＜m＜2时，， f（x）在和 （1，+∞）单调递增，在单调递减，故f（x）在处取得极大值； 当m＞2时，或0＜x≤1， f（x）在（0，1）和单调递增，在单调递减，故f（x）在x＝1处取得极大值； 综上，m的取值范围为（0，2）∪（2，+∞）． 20.（2025新高考II卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣xx2﹣kx3，其中0＜k． （1）证明：f（x）在（0，+∞）存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设x1，x2为f（x）在（0，+∞）的极值点和零点， （i）设g（t）＝f（x1+t）﹣f（x1﹣t），证明：g（t）在（0，x1）单调递减； （ii）比较2x1与x2的大小，并证明你的结论． 【解答】证明：（1）因为，， 所以 ＝x2（），当x＞0时，令f'（x）＝0，解得， 所以当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以是f（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，是极大值点． 又因为，， 所以，f（x2）＝0， 即x2是f（x）在（0，+∞）上唯一的零点； （2）（i）因为g（t）＝f（x1+t）﹣f（x1﹣t）， 所以g'（t）＝f'（x1+t）+f'（x1﹣t） ＝（x1+t）2（）+（x1﹣t）2（）（注意到3k，代入） ＝（x1+t）2（）+（x1﹣t）2（） [] • 其中0＜t＜x1，t为正数，x1为正数，x1+1＞t＞0显然成立，因此（x1+1）2﹣t2＞0， 所以g′（t）＜0，即g（t）在t∈（0，x1）上单调递减； （ii）2x1＞x2，证明如下： 由（i）得，g（t）在t∈（0，x1）上单调递减，所以g（x1）＜g（0）， 所以g（x1）＜0， 即f（2x1）﹣f（0）＜f（x1）﹣f（x1）＝0，f（2x1）＜0， 因为x2是f（x）的零点，所以f（x2）＝0， 所以f（2x1）＜f（x2）， 又因为x2＞x1，2x1＞x1，且f（x）在（x1，+∞）上单调递减，所以2x1＞x2． 21.已知函数f（x）＝eaxlnx，其中a＞0． （1）若y＝f（x）在点（1，0）处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； （2）若x＝x0是f（x）的极小值点，证明：f（x0）＜﹣e． 【解答】解：（1）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ， 由f'（1）＝ea， 可得切线方程为y＝ea（x﹣1）， 则切线与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，﹣ea）， 所围成的三角形的面积， 解得a＝1； （2）证明：令， 则， 由φ′（x）＝0，解得， 当时，φ′（x）＜0，则φ（x）单调递减； 当时，φ（x）＞0，则φ（x）单调递增， 可得， 若0＜a≤e，φ（x）min≥0，即φ（x）≥0，则f′（x）≥0，可得函数f（x）单调递增，此时，f（x）无极值； 若a＞e，，φ（1）＝1＞0，且φ（a﹣4）＝a4﹣4alna＝a（a3﹣4lna）＞a（4a﹣4lna）＞0， 可知，存在x1，x2∈R，满足，使得φ（x1）＝φ（x2）＝0， 当x∈（0，x1）时，φ（x）＞0，即f′（x）＞0，则f（x）单调递增； 当x∈（x1，x2）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，则f（x）单调递减； 当x∈（x2，+∞）时，φ（x）＞0，即f′（x）＞0，则f（x）单调递增． 此时，f（x）有两个极值点，且x＝x2是其极小值点，即x0＝x2， 从而． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 导数专题复习 知识点梳理 知识点一、变化率问题 1.从平均速度到瞬时速度 （1）平均速度：一般地，把位移s看成是关于时间t的函数s(t)，当时间从t0变化到t0+Δt（Δt≠0）时，位移的变化量为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)，则这段时间内的平均速度，物体某一段时间的平均速度近似地刻画了物体运动的快慢。 （2）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设Δt是时间改变量，物体在t0时刻附近的某一时间段[t0,t0+Δt](Δt>0)或[t0+Δt,t0](Δt＜0)的平均速度是，当不断缩短上述时间段的长度，即当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t0时的瞬时速度，因此，物体在t=t0时的瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度精确刻画了物体的运动状态. 2.从抛物线的割线斜率到切线斜率 （1）割线的斜率：设点，是抛物线上任意两点，记Δx为自变量从x0变化到x的变化量，则割线PP0的斜率. （2）切线的定义：在抛物线上任取一点，如果当点沿着抛物线无限趋近于点时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. （3）切线的斜率：切线的斜率. 知识点二、导数的概念及其几何意义 1.平均变化率 （1）定义：对于函数，设自变量x从x0变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，x的变化量为，的变化量为=-.我们把叫做函数从x0到的平均变化率. （2）平均变化率的几何意义：平均变化率表示割线的斜率. 2.导数 （1）导数的定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在x=x0处可导，并把这个确定的值叫作在x=x0处的导数（也称瞬时变化率），记作f'(x0)或，即. （2）导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即.如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 知识点三、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex（a>0且a≠1） f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题。（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可。 知识点四、导数的四则运算法则 1.函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. 2.函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. 3.函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 知识点五、简单复合函数的导数 1.复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 知识点六、导函数与原函数的性质关系（拓展） 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。 证明：设是可导的奇函数，则， 两边求导得，化简可得：， 所以是偶函数.同理可证，偶函数的导数是奇函数. 2.周期函数的导数仍是周期函数。 证明：设是可导的周期函数，则， 两边对x求导得，化简可得：， 所以是是以T为周期的周期函数. 知识点七、函数的单调性 1.函数的单调性与导函数的关系 设函数在某个区间(a，b)内有导数，则： （1）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递增； （2）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递减； （3）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上为常函数. 2.求可导函数的单调区间的方法 （1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③解不等式：令，可解得函数的单调递增区间；令，可解得函数的单调递减区间. （2）列表法（求较复杂的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③求零点：令，求定义域范围内的的零点. ④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断在各区间上的符号. ⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间. 3.函数图像的变化趋势与导数的关系 （1）且||越来越大，函数值增加得越来越快； （2）且||越来越小，函数值增加得越来越慢； （3）且||越来越大，函数值减小得越来越快； （4）且||越来越小，函数值减小得越来越慢. 知识点八、函数的极值与最大（小）值 1.函数极值的概念 （1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）解出方程f′(x)＝0的根（可能不止一个）； （4）确定极值点，用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号. ①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． ③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点. 3.函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必 有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. （2）函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. （3）求函数的最大值与最小值的步骤 ①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 典型例题 例1.已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）ex+x． （1）当a＜0时，f（x）有两个零点，求a的取值范围； （2）若x＝0是f（x）的极小值点，求a的取值范围． 例2.（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（　　） A．若f（x）min＝f（1），则a＝1 B．若f（x）min＝f（1），则 C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减 D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增 例3.曲线f（x）＝x3﹣lnx在点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的图形的面积为　 　． 例4.已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣1﹣ax2+2ax，a∈R． （1）当a＝e时，判断f（x）的单调性； （2）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 例5.已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 例6.若曲线y＝（x+a）ex只有一条过原点的切线，则a的值为　 　． 随堂演练 1.（2025新高考I卷）若直线y＝2x+5是曲线y＝ex+x+a的切线，则a＝　 　． 2.（2025新高考II卷）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则（　　） A．f（0）＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2 C．f（x）≥2，当且仅当x D．x＝﹣1是f（x）的极大值点 3.（2025新高考II卷）若x＝2是函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣a）的极值点，则f（0）＝　 　． 4.已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5.函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 6.曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为　 　． 7.若直线y＝k1（x+1）﹣1与曲线y＝ex相切，直线y＝k2（x+1）﹣1与曲线y＝lnx相切．则k1k2的值为（　　） A． B．1 C．e D．e2 8.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 9.已知定义域为R的函数f（x）满足，且f（x）+f′（x）＜0，则不等式的解集是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0） 10.函数f（x）x2﹣lnx的极值点为　 　． 11.已知x0为函数f（x）＝x2ex+e2lnx﹣2e2的零点，则x0+lnx0＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12.（多选）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（　　） A．x＝3是f（x）的极小值点 B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0 D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x） 13.已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为　 　． 14.已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1． （Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）若f（x）≤x2在x∈[0，+∞）上有解，求实数a的取值范围． 15.已知函数（a为常数）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）不等式f（x）＞1在上恒成立，求实数a的最小整数值． 16.已知函数f（x）＝ex1． （1）若在（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，求a； （2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 17.已知函数f（x）＝x2lnx． （1）求f（x）的图象在点（e，f（e））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值； （3）证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥x﹣1； 18.已知函数f（x）＝ln，其中a＞1． （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）的对称中心； （2）若函数g（x）＝f（x）x在区间（a，a2+a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围． 19.（2025上海市高考卷）已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+mlnx，m∈R． （1）若f（1）＝0，求不等式f（x）≤x2﹣1的解集； （2）若函数y＝f（x）满足在（0，+∞）上存在极大值，求m的取值范围． 20.（2025新高考II卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣xx2﹣kx3，其中0＜k． （1）证明：f（x）在（0，+∞）存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设x1，x2为f（x）在（0，+∞）的极值点和零点， （i）设g（t）＝f（x1+t）﹣f（x1﹣t），证明：g（t）在（0，x1）单调递减； （ii）比较2x1与x2的大小，并证明你的结论． 21.已知函数f（x）＝eaxlnx，其中a＞0． （1）若y＝f（x）在点（1，0）处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； （2）若x＝x0是f（x）的极小值点，证明：f（x0）＜﹣e． 1 学科网（北京）股份有限公司 $