第12讲 解析几何专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第12讲 解析几何专题复习 知识点梳理 知识点一、直线和圆的方程知识点及解题大招 1.直线方程： 形式 方程 局限 已知条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 是直线上一定点，k是斜率 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 ，是直线上的两个点； 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a,b分别是直线在x轴、y轴上的截距 一般式 Ax＋By＋C＝0 2.两条直线的位置关系： 方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 垂直 （当时，可记为） 平行 或 重合 ，，（0） 3.①点到直线距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. ②两条平行线的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 4.对称问题： ①点关于点对称:点关于点的对称点为. 证明：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为. ②点关于直线对称：点关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为： 证明：点关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为，连接，交l于M点，则l垂直平分，所以⊥l，且M为中点，又因为M在直线l上，故可，解出即可. ③直线关于点对称：直线l：Ax＋By＋C＝0关于点对称的直线为： Ax＋By-（2A+2B+C）＝0. 求直线关于点对称的直线方程方法为： 法一：在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 5.圆的方程： ①标准方程：,其中圆心坐标为(a,b),半径为r； ②一般方程：其中圆心坐标为，半径为 (>0). 6.直线与圆的位置关系： 若直线l：Ax＋By＋C＝0，圆C：，圆心C（a,b）到直线的距离: 直线与圆相交 d<r 直线与圆相切 d=r 直线与圆相离 d>r . 7.圆与圆的位置关系，若两圆的半径为，，两圆的圆心距为d： 位置关系 d与，的关系 公切线 外离 d 4条 外切 d 3条 相交 <d< 2条 内切 d= 1条 内含 d< 无 8.两圆公共弦所在的直线方程： 若圆和圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程为：. 9.①直线到角的公式：直线逆时针旋转到与直线重合时所转过的最小的正角为（∈（0，）），则 ().（两直线的斜率存在） ②直线夹角公式：直线与直线相交所成的锐角或直角为（∈（0，]），则 ().（两直线的斜率存在） 10.①过圆上一点的切线方程：与圆相切于的切线方程为： . ②切点弦所在的直线方程：过圆外一点作两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在的直线方程为：. 知识点二、圆锥曲线和方程知识点及解题大招 1.椭圆的标准方程和几何性质： 定义 （P为椭圆上的一点） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 顶点 轴长 短轴长：2b，长轴长：2a a,b,c的关系 范围 ， ， 对称性 对称轴：轴，轴；对称中心：坐标原点 离心率 . 当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁； 当e越接近0时，c越接近0，椭圆越圆. 通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段 通径长：. 2.椭圆焦点三角形的性质： P为椭圆上异于长轴端点的点，为两个焦点，则△称作焦点三角形，设∠. ①△的周长为. ②. ③. 3.直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 4.双曲线的方程和性质： 定义 （P为双曲线上的一点） 焦点位置 焦点在x轴 焦点在y轴 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 顶点 轴长 虚轴长：2b，实轴长：2a 对称性 对称轴：轴，轴；对称中心：坐标原点 离心率 e越大双曲线开口越大，渐近线与实轴的夹角也增大 渐近线 通径 过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段 通径长： 5.双曲线焦点三角形的性质：P为双曲线上异于顶点的点，为两个焦点，则△称作焦点三角形，设∠. 6.直线与双曲线的位置关系： 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点. (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点. 7.抛物线的标准方程与几何性质： 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝ x＝ y＝ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 8.直线与抛物线的位置关系： 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 9.圆锥曲线的弦长公式： 若斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则： . (k≠0). 10.椭圆有关解题大招： （1）与椭圆有关的最值问题：①椭圆上的点P到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c；②当椭圆上的点P在短轴端点时，∠最大. （2）椭圆中点弦的相关结论： 设椭圆的弦AB的中点为P，则：①椭圆方程为，则；②椭圆方程为，则. （3）椭圆的切线方程：过椭圆上一点P(x0,y0)处的切线方程为:. （4）椭圆的切点弦方程：过椭圆外一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在的直线方程为:. （5）椭圆中斜率乘积为定值的相关问题：设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A、B的任一点，则. （6）椭圆与蒙日圆：椭圆的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：. 11.双曲线有关解题大招： （1）双曲线的切线方程：过双曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程为：. （2）双曲线切点弦方程：过双曲线外一点P(x0,y0)作双曲线的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在的直线方程为:. （3）双曲线焦点到渐近线的距离常用结论：设双曲线，焦点为 F（±c,0），渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为b. （4）双曲线中点弦结论：若双曲线与直线l交于AB两点，M为AB中点，且与斜率存在时，（焦点在x轴上）；（焦点在y轴上）. （5）双曲线斜率乘积为定值相关问题：设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A、B的任一点，则. （6）双曲线与蒙日圆：双曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：. 12.抛物线有关解题大招： （1）抛物线焦点弦性质：AB是过抛物线焦点的弦， A(x1,y1)，B(x2,y2)，焦点F，准线l：，AP⊥l，BQ⊥l， 为倾斜角，则：①，； ②，，； ③； ④直角梯形APQB的对角线交于原点O，且； ⑤以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切；以PQ为直径的圆与AB相切于点F. （2）抛物线中点弦结论：设直线l与抛物线相交所得的弦AB的中点M(x0,y0)，则. （3）抛物线的切线方程：过抛物线上的点P(x0,y0)的切线方程是. 典型例题 例1.（2025新高考II卷）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝﹣2x+2，则|AF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：由题知，F（，0），准线方程为：， 设A（x0，y0），则， 因为lBF：y＝﹣2x+2， 所以，解得， 因为点A在C上，所以，即16＝4x0，所以x0＝4， 所以． 故选：C． 例2.（多选）当实数m变化时，关于x，y的方程（m2+1）x2+my2＝m（m2+1）可以表示的曲线类型有（　　） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【解答】解：（m2+1）x2+my2＝m（m2+1）， 当m＝0时，方程为x2＝0，即直线x＝0； 当m＞0时，方程为1，又m2+1﹣m＝（m）20，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆； 当m＜0时，方程为1，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线． 故选：ACD． 例3.（2025天津市高考）已知椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，P为x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为． （I）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB． 【解答】解：（I）设椭圆的半焦距为c， 则左焦点F（﹣c，0），右顶点A（a，0）， 由离心率，得a＝2c， 因为P为x＝a上一点，设P（a，m）， 由直线PF的斜率为，得，即， 所以， 解得m＝c，则P（a，c），即P（2c，c）， 在△PFA中，|AF|＝a﹣（﹣c）＝a+c＝3c，高为|m|＝c， 所以， 解得c＝1，则a＝2c＝2，b2＝a2﹣c2＝3， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）证明：由（1）得P（2，1），F（﹣1，0），A（2，0）， 易知直线PB的斜率存在，设其方程为y＝kx+t，则1＝2k+t，即t＝1﹣2k， 联立， 消去y得，（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ＝（8k•t）2﹣4（3+4k2）•（4t2﹣12）＝0，即4k2﹣t2+3＝0， 则4k2﹣（1﹣2k）2+3＝0，解得，则t＝2， 所以直线PB的方程为， 联立， 解得，则， 所以，（3，1），， 所以， ， 则cos∠BFP＝cos∠PFA， 又∠BFP，∠PFA∈（0，）， 所以∠BFP＝∠PFA，即PF平分∠AFB． 例4.（2025上海市高考）已知椭圆Γ：1（a），M（0，m）（m＞0），A是Γ 的右顶点． （1）若Γ的焦点是（2，0），求离心率e； （2）若a＝4，且Γ上存在一点P，满足2，求m； （3）若AM中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，c＝2，故，故； （2）由题意，A（4，0），不妨设P（xP，yP），故，， 由，得，即， 故，由P在椭圆上，故，解得（负根舍）； （3）由题意，AM斜率为，故|OA|＝2|OM|，a＝2m， 所以可设AM中点为，则l方程为， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由，得（16m2+5）x2﹣24m3x+9m4﹣20m2＝0， Δ＝（﹣24m3）2﹣4（16m2+5）（9m4﹣20m2）＝1100m4+400m2＞0， 所以， 因为，， 因为∠CMD为钝角，且C、D、M不共线， 故， 即5， 解得，所以，又，所以． 随堂演练 1.（2025新高考I卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．2 【解答】解：根据题意可得2b2a， 所以， 所以双曲线C的离心率为． 故选：D． 2.（2025新高考I卷）若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞） 【解答】解：圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心（0，﹣2），半径为r， 圆心到直线yx+2的距离d2， 圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个， 可得d﹣1＜r＜d+1，即r∈（1，3）． 故选：B． 3.（2025新高考I卷）（多选）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　） A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|•|BE|≥18 【解答】解：由题意可得 ， 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，所以A正确； 由通径最短，可得|AB|≥2p＝6，所以C正确； 设，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由， 消x可得y2﹣6my﹣9＝0， y1+y2＝6m，y1y2＝﹣9， 所以， 所以， 当m＝0时，，|AB|＝2p＝6，|AE|3， 此时|AB|＝6，|AE|≠|AB|，所以B不正确； 此时， 当m≠0时，，E， 则|EF|， 所以， ， 综上|AE|•|BE|≥18，所以D正确． 故选：ACD． 4.（2025天津市高考）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|+|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝（　　） A．2 B．5 C． D． 【解答】解：如图，抛物线的准线为F1E，E为过P作准线的垂线，与准线的交点，过P作x轴的垂线，交点为D， 由题意，|PF1|+|PF2|＝3|F1F2|＝6c，|PF1|﹣|PF2|＝2a， 解得|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a，xP＝2c﹣a，|F2D|＝c﹣a，|EP|＝3c﹣a， ， 可得（3c+a）2﹣（3c﹣a）2＝（3c﹣a）2﹣（c﹣a）2， 化简可得2a＝c，所以e． 故选：A． 5.（2025天津市高考）l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝　2　 ． 【解答】解：因为l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B， 所以A（﹣6，0），B（0，6），所以|AB|＝6， 因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|， 因为l1：x﹣y+6＝0与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2交于C，D两点， 且圆心（﹣1，3）到直线的距离为d， 所以，解得r＝2． 故答案为：2． 6.已知点A（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|，|AO|＝2，则此抛物线的准线方程为（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 【解答】解：因为x0，所以x0＝p，y0p． 又|AO|＝2， 因为p2+（p）2＝12， 所以p＝2，准线方程为x＝﹣1． 故选：D． 7.（多选）已知双曲线，则（　　） A．λ的取值范围是（﹣6，3） B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上 C．C的焦距为6 D．C的离心率e的取值范围为（1，3） 【解答】解：对于A，∵表示双曲线，∴（λ+6）（3﹣λ）＞0，解得﹣6＜λ＜3，故A正确； 对于B，由A项可得﹣6＜λ＜3，故λ+6＞0，3﹣λ＞0，∴C的焦点只能在x轴上，故B错误； 对于C，设C的半焦距为c（c＞0），则c2＝λ+6+3﹣λ＝9，∴c＝3，即焦距为2c＝6，故C正确； 对于D，离心率，∵﹣6＜λ＜3，∴，∴e的取值范围是（1，+∞），故D错误． 故选：AC． 8.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，则（　　） A．C的离心率为 B．△PF1F2的周长为5 C．|PF1|的最大值为3 D．的最小值为8 【解答】解：对于选项A．由题意得，，故离心率为，A选项正确． 对于选项B．由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|＝2a＝4， ∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝4+2＝6，B选项错误． 对于选项C．当点P在椭圆的右顶点处时，|PF1|的最大值为a+c＝3，C选项正确． 对于选项D．因，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立， ∴的最小值为8，D选项正确． 故选：ACD． 9.已知直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于（　　） A． B． C． D．或 【解答】解：双曲线的渐近线方程为， 直线y＝2x是双曲线的一条渐近线， 因此，故b＝1， 故离心率为．故选：A． 10.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为A，l交另一条渐近线于点B，且点F在点A、B之间，若BF＝2AF，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设渐近线的倾斜角为θ，则tanθ， 又F到渐近线的距离为AFb， 又OF＝c，∴OA＝a， ∴BF＝2AF＝2b，∴AB＝3b， ∴tan∠AOB＝tan2θ3tanθ， ∴，解得， ∴双曲线C的渐近线方程为y． 故选：B． 11.已知直线l：2x﹣y+5＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B．4 C． D．2 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，可知圆的圆心C（1，2），半径r＝3， 点C到直线l：2x﹣y+5＝0的距离， 直线l与圆C相交，则． 故选：B． 12.设F为双曲线C：的右焦点，α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为1，且满足β＝5α，则双曲线C的焦距为（　　） A． B．2 C． D．4 【解答】解：双曲线，其渐近线方程为， α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角， 不妨设，． 右焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay＝0（不妨取这条）的距离为． 根据双曲线的性质c2＝a2+b2，则，已知点F到其中一条渐近线的距离为1，∴b＝1． ∵α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，且β＝5α，又α+β＝π，∴α+5α＝π，解得，可得，即，解得． 可得，∴c＝2．双曲线的焦距为2c＝4． 故选：D． 13.设点F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，设△AF1F2与△BF1F2的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为 　3　． 【解答】解：设△AF1F2与△BF1F2的内切圆圆心分别为I1，I2， 其横坐标分别为x1，x2，其内切圆半径分别为r1，r2， 过I1，I2向x轴作垂线，垂足分别为M，N，连接I1F2， 在△AF1F2中，有|AF2|+|F1F2|﹣|AF1|＝2|MF2|，所以2a+2c＝2（c﹣x1）， 解得x1＝﹣a，同理可得x2＝a， 因为I1，I2都在∠AF2F1的平分线上，所以I1，I2，F2三点共线， 于是△I1MF2∽I2NF2， 所以， 即． 故答案为：3． 14.（2025新高考II卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|． 【解答】解：（1）椭圆C：1中，2a＝4，所以a＝2， 由e，得ca， 所以b2＝a2﹣c2＝2，椭圆的方程为1； （2）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx﹣2，设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣8kx+4＝0， 所以Δ＝64k2﹣16（1+2k2）＝32k2﹣16＞0，解得k或k； 由x1+x2，x1x2， 设直线l交x轴于点M，则M（，0）， 所以S△OAB|OM|•|y1﹣y2| ||•|（kx1﹣2）﹣（kx2﹣2）| ＝|x1﹣x2| ， 解得k＝±， 所以|AB||x1﹣x2|． 15.在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为． （1）求C的方程； （2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值． 【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为． 则其半径为， 且△OFM外接圆的圆心一定在OF的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即，所以C的方程为y2＝x． （2）设点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点为（a，b）， 则两点连线的中点坐标在直线y＝kx上，即， 化简可得b＝k（a﹣1）﹣1①， 由对称性又可知，（﹣1，1）和（a，b）所在直线与y＝kx垂直，则②， 联立①②可得，，解得， 所以， 又因为（a，b）在抛物线y2＝x上，则b2＝a， 即， 即k4+4k2﹣4k3+1﹣2（k2﹣2k）＝（k2+1）（k2+2k﹣1）， 即3k3﹣k2﹣k﹣1＝0， 所以（3k2+2k+1）（k﹣1）＝0， 所以k﹣1＝0， 即k＝1． 16.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若，求实数k的值及△MON的面积． 【解答】解：（1）已知椭圆C的离心率， 所以， 即，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切， 所以，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆C的方程为； （2）不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 又韦达定理得， 此时， 因为， 整理得k2＝2， 解得， 此时， 则， 又点O到直线的距离，故△MON的面积． 17.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，C上一点与F1、F2的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线C的方程； （2）过点F2作斜率为k的直线l与C交于A、B两点，当∠AF1B为锐角时，求k的取值范围． 【解答】解：（1）依题意， 解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知、， 依题意直线l的斜率k≠0， 则直线l的方程为， 由， 消去y整理得， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 当2﹣k2≠0，即， 由Δ＝48k4+4（12k2+8）（2﹣k2）＝64（k2+1）＞0， 则，， 所以， ， 因为∠AF1B为锐角，所以， 即y1y2 ， 解得或k2＞2， 则或或，又k≠0， 所以k的取值范围为． 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，，Q（2，1）为C上两点，A，B，D为椭圆上三个动点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在点A，B，D使O为△ABD的重心？若存在，请探究△OAB的面积是否为定值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设椭圆C为λx2﹣μy2≠1，λ＞0，μ＞0，λ≠μ， 由题意得解得， 故椭圆C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，取，，D（符合题意， 故存在点A，B，D使O为△ABD的重心，且此时△OAB的面积为， 当直线AB的斜率存在时，设lAB：y＝kx+m，联立lAB， 可得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣6）＝0，、 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2，Δ＝8（6k2﹣m2+3）＞0， 由条件得D（﹣（x1+x2），﹣（y1+y2）），得， 则， 所以． 综上，△OAB的面积为定值，其值为． 19.已知双曲线与直线有唯一的公共点M． （1）若点N（2，9）在直线l上，求直线l的方程； （2）过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于A（x1，0），y轴于B（0，y1）两点．是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点P（x1，y1）使得||PG|﹣|PH||为定值． 【解答】解：（1）点N（2，9）在直线l：y＝kx+m上，则有9＝2k+m， 联立，则（9﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣36＝0， 由9﹣4k2≠0，则Δ＝64k2m2﹣4（9﹣4k2）（﹣4m2﹣36）＝0，可得m2＝4k2﹣9， 所以：（9﹣2k）2＝4k2﹣9，解得， 当时，m＝4；所以直线l的方程：． （2）联立，则（9﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣36＝0， 因为，M是双曲线与直线的唯一公共点， 所以Δ＝64k2m2﹣4（9﹣4k2）（﹣4m2﹣36）＝0，化简得m2＝4k2﹣9， 解得点M的坐标为，即为， 于是，过点M且与l垂直的直线为， 可得，，，即，， 于是， 即P的轨迹方程为：，由双曲线的定义可知， 存在定点，，使得当点M运动时，||PG|﹣|PH||为定值13． 20.（2025新高考I卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆下顶点为A，右顶点为B，|AB|． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|•|AP|＝3． （i）设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）； （ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线的OP斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，A（0，﹣b），B（a，0），所以|AB|，所以a2+b2＝10； 又因为e，所以ca，所以c2＝a2﹣b2a2，所以a2＝9b2； 所以b2＝1，a2＝9，椭圆C：y2＝1； （2）（i）设点P（m，n），R（x，y），由题意知，A（0，﹣1），||•||＝3，（m，n+1），（x，y+1），其中m≠0； 所以•3，即mx+（n+1）y＝2﹣n①， 又因为R在AP上，所以yx﹣1，即（n+1）x﹣my＝m②； 由①②联立求解得， 所以点R的坐标为（，）； （ii）直线OR的斜率为k1，直线OP的斜率为k2， 若k1＝3k2，则，即m2+（n+4）2＝18， 所以点P在以（0，﹣4）为圆心，3为半径的圆上，又Q为椭圆x2+9y2＝9上一点， 设Q（x，y），所以|PQ|长度为333， 因为﹣1≤y≤1，所以y时，|PQ|的长度取得最大值为33． 21.已知直线l：y＝x+1与双曲线及其渐近线分别交于点A，B和点C，D． （1）求实数m的取值范围； （2）证明：AC＝BD； （3）若m＝2，过双曲线M上一点P向双曲线作切线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，问是否存在这样的λ，使得k1•k2为定值？若存在，求出λ的值及定值k1•k2；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：联立，得（3﹣m）x2﹣2mx﹣4m＝0， 由题意可得，，解得0＜m＜3或3＜m＜4； （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由（1）可得， 设AB的中点为E（x0，y0），则， 从而，即， 又双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 同理可得， 则CD的中点为，故CD与AB的中点重合， 则AE＝EB，CE＝ED，即AC＝BD； （3）解：设过P（x3，y3）且与双曲线相切的直线方程为y﹣y3＝k（x﹣x3）， 即y＝kx+y3﹣kx3，联立， 得， 由题意可知， 化简可得， 由题意可知k1，k2为方程的两个根， 则，， 故， 若k1•k2为定值，则有，化简得，此时， 但此时， 故不存在λ，使得k1•k2为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解析几何专题复习 知识点梳理 知识点一、直线和圆的方程知识点及解题大招 1.直线方程： 形式 方程 局限 已知条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 是直线上一定点，k是斜率 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 ，是直线上的两个点； 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a,b分别是直线在x轴、y轴上的截距 一般式 Ax＋By＋C＝0 2.两条直线的位置关系： 方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 垂直 （当时，可记为） 平行 或 重合 ，，（0） 3.①点到直线距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. ②两条平行线的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 4.对称问题： ①点关于点对称:点关于点的对称点为. 证明：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为. ②点关于直线对称：点关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为： 证明：点关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为，连接，交l于M点，则l垂直平分，所以⊥l，且M为中点，又因为M在直线l上，故可，解出即可. ③直线关于点对称：直线l：Ax＋By＋C＝0关于点对称的直线为： Ax＋By-（2A+2B+C）＝0. 求直线关于点对称的直线方程方法为： 法一：在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 5.圆的方程： ①标准方程：,其中圆心坐标为(a,b),半径为r； ②一般方程：其中圆心坐标为，半径为 (>0). 6.直线与圆的位置关系： 若直线l：Ax＋By＋C＝0，圆C：，圆心C（a,b）到直线的距离: 直线与圆相交 d<r 直线与圆相切 d=r 直线与圆相离 d>r . 7.圆与圆的位置关系，若两圆的半径为，，两圆的圆心距为d： 位置关系 d与，的关系 公切线 外离 d 4条 外切 d 3条 相交 <d< 2条 内切 d= 1条 内含 d< 无 8.两圆公共弦所在的直线方程： 若圆和圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程为：. 9.①直线到角的公式：直线逆时针旋转到与直线重合时所转过的最小的正角为（∈（0，）），则 ().（两直线的斜率存在） ②直线夹角公式：直线与直线相交所成的锐角或直角为（∈（0，]），则 ().（两直线的斜率存在） 10.①过圆上一点的切线方程：与圆相切于的切线方程为： . ②切点弦所在的直线方程：过圆外一点作两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在的直线方程为：. 知识点二、圆锥曲线和方程知识点及解题大招 1.椭圆的标准方程和几何性质： 定义 （P为椭圆上的一点） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 顶点 轴长 短轴长：2b，长轴长：2a a,b,c的关系 范围 ， ， 对称性 对称轴：轴，轴；对称中心：坐标原点 离心率 . 当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁； 当e越接近0时，c越接近0，椭圆越圆. 通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段 通径长：. 2.椭圆焦点三角形的性质： P为椭圆上异于长轴端点的点，为两个焦点，则△称作焦点三角形，设∠. ①△的周长为. ②. ③. 3.直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 4.双曲线的方程和性质： 定义 （P为双曲线上的一点） 焦点位置 焦点在x轴 焦点在y轴 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 顶点 轴长 虚轴长：2b，实轴长：2a 对称性 对称轴：轴，轴；对称中心：坐标原点 离心率 e越大双曲线开口越大，渐近线与实轴的夹角也增大 渐近线 通径 过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段 通径长： 5.双曲线焦点三角形的性质：P为双曲线上异于顶点的点，为两个焦点，则△称作焦点三角形，设∠. 6.直线与双曲线的位置关系： 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点. (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点. 7.抛物线的标准方程与几何性质： 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝ x＝ y＝ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 8.直线与抛物线的位置关系： 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 9.圆锥曲线的弦长公式： 若斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则： . (k≠0). 10.椭圆有关解题大招： （1）与椭圆有关的最值问题：①椭圆上的点P到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c；②当椭圆上的点P在短轴端点时，∠最大. （2）椭圆中点弦的相关结论： 设椭圆的弦AB的中点为P，则：①椭圆方程为，则；②椭圆方程为，则. （3）椭圆的切线方程：过椭圆上一点P(x0,y0)处的切线方程为:. （4）椭圆的切点弦方程：过椭圆外一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在的直线方程为:. （5）椭圆中斜率乘积为定值的相关问题：设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A、B的任一点，则. （6）椭圆与蒙日圆：椭圆的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：. 11.双曲线有关解题大招： （1）双曲线的切线方程：过双曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程为：. （2）双曲线切点弦方程：过双曲线外一点P(x0,y0)作双曲线的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在的直线方程为:. （3）双曲线焦点到渐近线的距离常用结论：设双曲线，焦点为 F（±c,0），渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为b. （4）双曲线中点弦结论：若双曲线与直线l交于AB两点，M为AB中点，且与斜率存在时，（焦点在x轴上）；（焦点在y轴上）. （5）双曲线斜率乘积为定值相关问题：设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A、B的任一点，则. （6）双曲线与蒙日圆：双曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：. 12.抛物线有关解题大招： （1）抛物线焦点弦性质：AB是过抛物线焦点的弦， A(x1,y1)，B(x2,y2)，焦点F，准线l：，AP⊥l，BQ⊥l， 为倾斜角，则：①，； ②，，； ③； ④直角梯形APQB的对角线交于原点O，且； ⑤以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切；以PQ为直径的圆与AB相切于点F. （2）抛物线中点弦结论：设直线l与抛物线相交所得的弦AB的中点M(x0,y0)，则. （3）抛物线的切线方程：过抛物线上的点P(x0,y0)的切线方程是. 典型例题 例1.（2025新高考II卷）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝﹣2x+2，则|AF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例2.（多选）当实数m变化时，关于x，y的方程（m2+1）x2+my2＝m（m2+1）可以表示的曲线类型有（　　） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 例3.（2025天津市高考）已知椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，P为x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为． （I）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB． 例4.（2025上海市高考）已知椭圆Γ：1（a），M（0，m）（m＞0），A是Γ 的右顶点． （1）若Γ的焦点是（2，0），求离心率e； （2）若a＝4，且Γ上存在一点P，满足2，求m； （3）若AM中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围． 随堂演练 1.（2025新高考I卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．2 2.（2025新高考I卷）若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞） 3.（2025新高考I卷）（多选）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　） A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|•|BE|≥18 4.（2025天津市高考）双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|+|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝（　　） A．2 B．5 C． D． 5.（2025天津市高考）l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝　 　． 6.已知点A（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O坐标原点，若|AF|，|AO|＝2，则此抛物线的准线方程为（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 7.（多选）已知双曲线，则（　　） A．λ的取值范围是（﹣6，3） B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上 C．C的焦距为6 D．C的离心率e的取值范围为（1，3） 8.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，则（　　） A．C的离心率为 B．△PF1F2的周长为5 C．|PF1|的最大值为3 D．的最小值为8 9.已知直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于（　　） A． B． C． D．或 10.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为A，l交另一条渐近线于点B，且点F在点A、B之间，若BF＝2AF，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 11.已知直线l：2x﹣y+5＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B．4 C． D．2 12.设F为双曲线C：的右焦点，α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为1，且满足β＝5α，则双曲线C的焦距为（　　） A． B．2 C． D．4 13.设点F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，设△AF1F2与△BF1F2的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为　 　． 14.（2025新高考II卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|． 15.在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为． （1）求C的方程； （2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值． 16.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若，求实数k的值及△MON的面积． 17.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，C上一点与F1、F2的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线C的方程； （2）过点F2作斜率为k的直线l与C交于A、B两点，当∠AF1B为锐角时，求k的取值范围． 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，，Q（2，1）为C上两点，A，B，D为椭圆上三个动点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在点A，B，D使O为△ABD的重心？若存在，请探究△OAB的面积是否为定值；若不存在，请说明理由． 19.已知双曲线与直线有唯一的公共点M． （1）若点N（2，9）在直线l上，求直线l的方程； （2）过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于A（x1，0），y轴于B（0，y1）两点．是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点P（x1，y1）使得||PG|﹣|PH||为定值． 20.（2025新高考I卷）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆下顶点为A，右顶点为B，|AB|． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|•|AP|＝3． （i）设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）； （ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线的OP斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 21.已知直线l：y＝x+1与双曲线及其渐近线分别交于点A，B和点C，D． （1）求实数m的取值范围； （2）证明：AC＝BD； （3）若m＝2，过双曲线M上一点P向双曲线作切线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，问是否存在这样的λ，使得k1•k2为定值？若存在，求出λ的值及定值k1•k2；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $