第5讲 三角函数讲义-2026届高三数学二轮复习

第5讲 三角函数专题复习 知识点梳理 1.角度与弧度的换算：. 2.扇形的弧长和面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α（0<α<2），则： ①弧长公式:l=αR；②扇形的面积公式：. 3.三角函数的概念及在各象限的符号：①三角函数的概念：若角α终边过了点P（x,y）,则： ； ； . ②三角函数在各象限的符号，巧记：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.三角函数诱导公式（其中：）： ①诱导公式一： ②诱导公式二： ③诱导公式三： ④诱导公式四： ⑤诱导公式五： ⑥诱导公式六： 5.①两角和与差余弦公式： ； . ②两角和与差正弦公式： ；. ③两角和与差正切公式：； . ④二倍角公式：； ； . ⑤降幂公式：；. 升幂公式：；. ⑥半角公式：；；. ⑦辅助角公式： （其中）. ⑧万能代换公式：；；. ⑨（1）. （2）和差积化公式. 6.三角函数的图像和性质（k）： 三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图 像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 最 值 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 无 周期性 T=2 T=2 T= 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 无对称轴 对称中心： 7.函数的图像的基本变换： 方法一：先平移，后伸缩 ①先画出函数的图像，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度； ②得到函数的图像，然后使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ③得到函数 的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 方法二：先伸缩，后平移 ①先画出函数的图像；再使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变；②得到函数的图像，然后把正弦曲线向左（右）平移个单位长度； ③得到函数的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 8.正弦函数、余弦函数、正切函数的周期： ①的周期； ②的周期； ③的周期. 典型例题 例1.（多选）已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B．为了得到函数的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位长度 C．f（x）在上的值域为 D．f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为π 【解答】解：因为2，所以f（x）＝2sin（2x）的图象关于直线x对称，选项A正确． 由y＝f（x）＝2sin[2（x）]+2＝2sin（2x）+2≠2cos（2x）+2＝g（x）知，选项B错误． 由0＜x，得2x，则2＜2sin（2x）+2≤4，选项C错误． 由f（x）＝0，得，则， 即，所以f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为π，选项D正确． 故选：AD． 例2.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【解答】解：因为，所以， 即，所以， 所以，解得或． 因为，所以， 所以 ．故选：A. 例3.若函数在（0，π）内有2个零点，则ω的最大值为 　　． 【解答】解：由题意可得，． 令f（x）可得． 所以，k∈Z，可得，k∈Z． 因为x∈（0，π）， 当k＝1时，∈（0，π）； 当k＝2时，x2； 当k＝3时，． 由于函数f（x）在（0，π）内有2个零点，所以.解得ω的取值范围是． 可知，ω的最大值为．故答案为：． 例4.设函数(). (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最大值. 【解答】解：函数, (1)函数 ,则最小正周期为; (2)函数 = , 因为,所以, 所以当,即时,. 随堂演练 1.（2025新高考I卷 ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z，因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°．故选：C． 2.已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为0＜α＜π，cos， 所以，所以sin， 所以，即，所以sin，cosα， 则sin（α）cos．故选：D． 3.若在区间[﹣θ，θ]上是增函数，则tanθ的最大值是（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：f（x）＝sinxcosx＝2sin（x）， 因为f（x）在[﹣θ，θ]上为增函数，则，解得0， 所以tanθ的最大值为tan．故选：A． 4.cosα+2sinα＝m，2cosα﹣sinα＝n，则m2+n2的值为（　　） A．3 B．5 C． D． 【解答】解：因为cosα+2sinα＝m，2cosα﹣sinα＝n， 则m2+n2＝（cosα+2sinα）2+（2cosα﹣sinα）2 ＝cos2α+4sin2α+4sinαcosα+4cos2α+sin2α﹣4sinαcosα ＝1+4 ＝5． 故选：B． 5.（　　） A．2 B．4 C．﹣1 D．﹣3 【解答】解：（1）（1） ＝（1）（1）=[1]（1））＝4． 故选：B． 6.已知，则λ＝（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：， 则 ． 故选：C． 7.已知cosβ＝2cos（2α+β），则tan（α+β）tanα＝　　 ． 【解答】解：由已知可得cos（α+β﹣α）＝2cos（α+β+α）， cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝2cos（α+β）cosα﹣2sin（α+β）sinα， 3sin（α+β）sinα＝cos（α+β）cosα， 所以．故答案为：． 8.在平面直角坐标系xOy中，P（3，4）为角α的终边上一点，将角α的终边绕原点O按顺时针方向旋转后得到角β，则tanβ的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，P（3，4）为角α的终边上一点，则，， 所以．故选：D． 9.将函数y＝cos（x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象．若y＝f（x）的图象关于点对称，则|φ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将函数y＝cos（x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，可得， 由于y＝f（x）的图象关于点对称，故， 故，解得， 取k＝﹣1，为最小值，故选：A． 10.已知为锐角，，则 A. 【解答】解：，则， 故，即， 为锐角，，.故选：. 11.（多选）已知函数()的部分图象如图所示，则() A. B.在区间上单调递增 C.将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D.函数的零点个数为 【解答】解：由题意得，， 又，，，， ，，故正确； ， 当时，，单调递增，故正确， 将图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得， 再将所得图象向右平移个单位长度，可得， 而，故错误； 由，得， 令，则， 在处的切线斜率为， 在处切线斜率不存在，即切方程为， 在处图象较缓，同时当时，， 根据图象可以判断有个解，故正确.故选：. 12.（多选）函数，以下正确的是（） A.若的最小正周期为，则 B.若，且，则 C.当时，在单调且在不单调，则 D.当时，若对任意的有成立，则的最小值为 【解答】解：，，，故A错误； ，又，且，， ，，故B正确； 当时，若在单调，则， 且，，又，，则， 由，得，此时在单调且在不单调，故C正确； 当时，，又因为对任意的有成立，则 ，即，当时，取最小值，故D正确. 故选：BCD. 13.已知函数()在区间有且仅有个零点，则的取值范围是 . 【解答】解：，函数的周期为()，，可得， 函数()在区间有且仅有个零点，可得， 所以.故答案为：. 14.若，则cos2α的值为（　　） A． B．. C． D．. 【解答】解：若， 则，解得tan， cos2α． 故选：A． 15.（多选）已知max{a，b}表示a，b中的最大者，则下列区间中是函数f（x）＝max{sinx，cosx}的单调递增区间的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知max{a，b}表示a，b中的最大者，则下列区间中是函数f（x）＝max{sinx，cosx}， 当sinx≥cosx，可得， 所以f（x）＝max{sinx，cosx}＝sinx， 所以f（x）在上单调递增，故A项正确； 当sinx＜cosx，可得（k∈Z）， 所以f（x）＝max{sinx，cosx}＝cosx， 所以f（x）在上单调递增， 所以f（x）的单调递增区间的是和[2kπ，2kπ]（k∈Z），故C项，D项正确． 故选：ACD． 16.已知函数f（x）＝2asinωxcosωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0，a＞0），若f（x）的最小正周期为π，且对任意的x∈R，f（x）≥f（x0）恒成立，下列说法正确的有（　　） A．ω＝2 B．若x0，则a C．若f（x0）＝2，则a D．若g（x）＝f（x）﹣2|f（x）|在（x0，x0﹣θ）上单调递减，则 【解答】解：f（x）＝2asinωxcosωx﹣2cos2ωx+1＝asin2ωx﹣cos2ωx（2ωx﹣φ）， 因为f（x）的最小正周期为π，故ω＝1，A错误； 因为对任意的x∈R，f（x）≥f（x0）恒成立， 所以f（x0）为函数f（x）的最小值， 若x0，则φ，k∈Z， 所以φ，k∈Z， 所以cosφ， 解得a，B正确； 因为f（x0）为函数f（x）的最小值， 所以f（x0）为函数f（x）的最大值，即2， 所以a，C正确； x∈（x0，x0）时，f（x）＞0，g（x）＝﹣f（x）， 因为f（x）在（x0，x0）上单调递增，所以g（x）在（x0，x0）上单调递减， 当x∈（x0，x0）时，f（x）＞0，g（x）＝﹣f（x）， x∈（x0，x0）时，f（x）＞0，g（x）＝﹣f（x）， 因为f（x）在（x0，x0）上单调递减，所以g（x）在（x0，x0）上单调递增， 所以x0x0﹣θ， 所以，D正确． 故选：BCD． 17.已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）． （1）求φ的值； （2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间． 【解答】解：f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）， （1）由已知得，结合0≤φ＜π，所以φ； （2）由（1）知：，所以f（x）＝cos2x， 所以g（x）＝ f（x）+f（x）＝cos2xcossin2xsincos2x cos（2x）， 显然g（x）的值域为[，]，因为y＝cosx在[﹣π+2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ+π]上递减，k∈Z， 所以令，解得g（x）的递增区间为[kπ，kπ），k∈Z， 再令2kπ≤2x2kπ+π，解得g（x）的递减区间为[kπ，kπ），k∈Z． 18.已知向量.图象上相邻的最高点与最低点之间的距离． （1）求ω的值及f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求f（a）的值域． 【解答】解：（1）因为向量 ，， 所以•（﹣cosωx） ， 因为图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为．所以，解得T＝2， 则，解得，所以， 令， 解得，由，知k＝0， 所以f（x）的单调递增区间为． （2）因为，所以由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝4﹣3bc， 又因为，当且仅当b＝c时等号成立，所以1≤a2＜4， 又因为2＝b+c＞a，所以1≤a＜2． 因为， 所以f（a）的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 三角函数专题复习 知识点梳理 1.角度与弧度的换算：. 2.扇形的弧长和面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α（0<α<2），则： ①弧长公式:l=αR；②扇形的面积公式：. 3.三角函数的概念及在各象限的符号：①三角函数的概念：若角α终边过了点P（x,y）,则： ； ； . ②三角函数在各象限的符号，巧记：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.三角函数诱导公式（其中：）： ①诱导公式一： ②诱导公式二： ③诱导公式三： ④诱导公式四： ⑤诱导公式五： ⑥诱导公式六： 5.①两角和与差余弦公式： ； . ②两角和与差正弦公式： ；. ③两角和与差正切公式：； . ④二倍角公式：； ； . ⑤降幂公式：；. 升幂公式：；. ⑥半角公式：；；. ⑦辅助角公式： （其中）. ⑧万能代换公式：；；. ⑨（1）. （2）和差积化公式. 6.三角函数的图像和性质（k）： 三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图 像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 最 值 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 无 周期性 T=2 T=2 T= 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 无对称轴 对称中心： 7.函数的图像的基本变换： 方法一：先平移，后伸缩 ①先画出函数的图像，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度； ②得到函数的图像，然后使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ③得到函数 的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 方法二：先伸缩，后平移 ①先画出函数的图像；再使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变；②得到函数的图像，然后把正弦曲线向左（右）平移个单位长度； ③得到函数的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 8.正弦函数、余弦函数、正切函数的周期： ①的周期； ②的周期； ③的周期. 典型例题 例1.（多选）已知函数，则（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B．为了得到函数的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位长度 C．f（x）在上的值域为 D．f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为π 例2.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 例3.若函数在（0，π）内有2个零点，则ω的最大值为 ． 例4.设函数(). (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最大值. 随堂演练 1.（2025新高考I卷 ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 2.已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　） A． B． C． D． 3.若在区间[﹣θ，θ]上是增函数，则tanθ的最大值是（　　） A． B． C．1 D． 4.cosα+2sinα＝m，2cosα﹣sinα＝n，则m2+n2的值为（　　） A．3 B．5 C． D． 5.（　　） A．2 B．4 C．﹣1 D．﹣3 6.已知，则λ＝（　　） A．1 B． C． D．2 7.已知cosβ＝2cos（2α+β），则tan（α+β）tanα＝　 　． 8.在平面直角坐标系xOy中，P（3，4）为角α的终边上一点，将角α的终边绕原点O按顺时针方向旋转后得到角β，则tanβ的值为（　　） A． B． C． D． 9.将函数y＝cos（x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象．若y＝f（x）的图象关于点对称，则|φ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 10.已知为锐角，，则=（　　） A. 11.（多选）已知函数 ()的部分图象如图所示，则（　　） A. B.在区间上单调递增 C.将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D.函数的零点个数为 12.（多选）函数，以下正确的是（） A.若的最小正周期为，则 B.若，且，则 C.当时，在单调且在不单调，则 D.当时，若对任意的有成立，则的最小值为 13.已知函数()在区间有且仅有个零点，则的取值范围是 . 14.若，则cos2α的值为（　　） A． B．. C． D．. 15.（多选）已知max{a，b}表示a，b中的最大者，则下列区间中是函数f（x）＝max{sinx，cosx}的单调递增区间的是（　　） A． B． C． D． 16.（多选）已知函数f（x）＝2asinωxcosωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0，a＞0），若f（x）的最小正周期为π，且对任意的x∈R，f（x）≥f（x0）恒成立，下列说法正确的有（　　） A．ω＝2 B．若x0，则a C．若f（x0）＝2，则a D．若g（x）＝f（x）﹣2|f（x）|在（x0，x0﹣θ）上单调递减，则 17.已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）． （1）求φ的值； （2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间． 18.已知向量.图象上相邻的最高点与最低点之间的距离． （1）求ω的值及f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求f（a）的值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $