第4讲 排列组合专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第4讲 排列组合专题复习 知识点梳理 知识点一、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. （2）排列数的公式：. 特例：当时，；规定：. （3）排列数的相关性质：①；②；③ . 知识点二、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. （2）组合数公式： . （3）组合数的常用公式：①；②；；③. 知识点三、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工. 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同. 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题. 排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”. 典型例题 例1.用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A. 6 B.12 C.16 D.18 例2.提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种. 例3.某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（　　）种． A．18 B．36 C．60 D．72 例4.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A．24 B．144 C．48 D．96 例5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（  ） A．6 B．12 C．15 D．30 例6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种. 例7.将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 例8.为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ． 随堂演练 1.在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两 个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（　　） A．42 B．96 C．48 D．124 3.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（　　） A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个 4.如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（    ） A．96 B．84 C．60 D．48 5.重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原 与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵 州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的 图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式． 6.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（  ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 7.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为 ．（用数字作答） 8.红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤 侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出 了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不 同安排方案共有（　　） A．240种 B．188种 C．156种 D．120种 9.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（    ） A．234 B．346 C．350 D．363 10.已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（   ）种 A．186 B．264 C．284 D．336 11.今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 12.某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 13.现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 . 14.若方程，其中，则方程的正整数解的个数为 A．10 B．15 C．20 D．30 15.有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 16.学校安排甲､乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A,B,C这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 种.（用数字作答） 17.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 18.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ） A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 排列组合专题复习 知识点梳理 知识点一、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. （2）排列数的公式：. 特例：当时，；规定：. （3）排列数的相关性质：①；②；③ . 知识点二、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. （2）组合数公式： . （3）组合数的常用公式：①；②；；③. 知识点三、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工. 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同. 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题. 排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”. 典型例题 例1.用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A. 6 B.12 C.16 D.18 解：先排个位，有2种选法，再排百位和十位，有种排法，因此共有种排法.故选：B. 例2.提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种. 解：假定涂色顺序为 若、涂相同颜色，则有种涂法； 若、涂不同颜色，、涂相同颜色，则有种涂法； 若、涂不同颜色，、涂不同颜色，则有种涂法； 故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种. 故答案为：6120. 例3.某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（　　）种． A．18 B．36 C．60 D．72 【解答】解：先排3号位置，有3种方法，其它位置任意任意排，再除以AB的顺序数， 故有3•36种不同的出场次序， 故选：B． 例4.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A．24 B．144 C．48 D．96 解：若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种，物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法.由分步乘法计数原理可知，共有2×48=96种不同的排法.故选：D. 例5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（  ） A．6 B．12 C．15 D．30 解：因为增加了两个新节目，将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，所以原来5个节目形成6个空，新增的2个节目插入到6个空中，共有种插法. 故选：D. 例6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种. 解：先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式； 再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式. 又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.故答案为：18. 例7.将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 解：先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为，故选: D. 例8.为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ． 解：第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案， 其中1、1、4分配方式有种； 1、2、3，分配方式有种； 2、2、2，分配方式有种； 第二步将分好的 3 组毕业生分配到 3 所乡村小学，其分法有种，利用分步计数原理可知，分配方案的总数为.故答案为：540. 随堂演练 1.在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类： ① 两个偶数一个奇数：有 个；② 三个都是奇数：有 个. 根据分类计数原理知共有 个. 故选：B. 2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（　　） A．42 B．96 C．48 D．124 【解答】解：方法一：分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连； 故不同插法的种数为A61A22+A62＝42， 故选：A． 方法二：7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为， 故选：A． 3.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（　　） A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个 解：由题意得，个位数字小于十位数字，所以个位数字只能是共5种类型，每种类型分别为、、、、个，共有.故选：B. 4.如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（    ） A．96 B．84 C．60 D．48 解：分三类：种两种花有种种法； 种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有.故选 B. 5.重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原 与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵 州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的 图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式． 解：根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4种颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色， 共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”}、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”}，共有 5种情况，所以不同的涂色共有种.故答案为：120. 6.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（  ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B. 7.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为 ．（用数字作答） 解：农场主排在最中间，有1种排法，则农场主左边右边各有3个空位可用，两名男生看成一个整体，排在农场主左边，右边各有2种方法，共4种排法，然后两名男生内部可交换，有2种排法，剩下4个空位排女生，共种排法．于是一共有种排法．故答案为：192. 8.红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（　　） A．240种 B．188种 C．156种 D．120种 【解答】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论： ①：A排在第一位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有4×2×6＝48种安排方案； ②：A排在第二位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案； ③：A排在第三位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两 者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案； 则符合题意要求的安排方案有36+36+48＝120种； 故选：D． 9.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（    ） A．234 B．346 C．350 D．363 解：一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两左右相邻的情况. 把可坐的20个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，不同坐法的种数为.故选：B. 10.已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（   ）种 A．186 B．264 C．284 D．336 解：先考虑和不相邻的排法，将、、、四个人进行全排列，有种情况，、、、四个人之间共有个空，选择个排和，有种情况，故有种选择，再考虑和不相邻，且站两端的情况，先从两端选择一个位置安排，有种情况，再将、、三个人进行全排列，有种情况，最后、、三个人之间共有个空，选择 个排和，有 种情况，故有种情况，则要求和不相邻，不站两端，则不同的安排有种情况. 故选：D. 11.今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 解：因为5个球有种排法，因为同色球不加以区分，2个红球有种排法，3个黄球有种排法，所以共有种排法.故选：D. 12.某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 解：英文单词“million”中字母的顺序记错了，因为有两个i, 两个l重复，那么他在书写该单词时，共有种可能，而正确的拼写只有1种，故写错的情况有1259 种.故答案为：1259. 13.现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 . 解：将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型： 第一种是只有一个班分到名额，有3种情况； 第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有种情况， 第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有种情况，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为. 故答案为：. 14.若方程，其中，则方程的正整数解的个数为 A．10 B．15 C．20 D．30 解：∵，其中，则, 将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为，第二组小球数目为，第三组小球数目为，共有种方法 故方程的正整数解的个数为10.故选：A. 15.有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 解：根据题意，分2种情况讨论： ①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况； ②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有 种不同的录用情况；所以共有种不同的录用情况.故选：B. 16.学校安排甲､乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A,B,C这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 种.（用数字作答） 解：依题意，将5名学生分成3组有2、2、1和3、1、1两种分法，然后安排这3组去3个项目做志愿者，所以不同的安排方法有种.故答案为：150种. 17.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 解：每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，于是得，所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.故选：A. 18.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ） A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 解：7个人从左到右排成一排, 共有 种不同的站法, 其中甲、乙、丙3个都相邻有 种不同的站法,甲站在最右端有 种不同的站法,甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法, 故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻, 且甲不站在最右端, 不同的站法有种不同的站法. 故选: D. 学科网（北京）股份有限公司 $