考点01 不等式与不等式组（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

考点01 不等式与不等式组 考点一：一元一次不等式（组）的相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 例：一元一次不等式5x-10>0（只含有一个未知量，未知量的次数为1） ·不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 ·不等式的解集：不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式 ·一元一次不等式组：由几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 ·不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分 考点二：不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 考点三：不等式解集的表示 ·不等式的解集：所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·不等式解集的表示方法： 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 考点四：解一元一次不等式和解一元一次不等式组 项目 解一元一次不等式 解一元一次不等式组 方法 根据不等式的基本性质求不等式的解集 步骤 ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 ⑤系数化1：应用不等式基本性质2、3，两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. ①分别解出不等式的解集； ②在同一数轴表示不等式的解集； ③找到解集的公共部分； ④写出不等式组的解集。 考点五：一次函数与一元一次不等式的联系 ·用函数思想解一元一次不等式： 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） ①根据解析式解不等式：函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集； ②根据图象解不等式：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集 考点六：列一元一次不等式(组)解实际问题 列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、答 题型一：一元一次不等式的定义 ·一元一次不等式的三个条件: (1)含有一个未知数，(2)未知数的次数是1,(3)不等号两边都是整式,列方程求解.可以简记：“非0双1整”. 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图是某隧道的限高标志，规定通过的车辆高度不能超过，则通过该隧道的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故C正确． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 题型二：利用不等式的基本性质解决问题 ·只有系数为负数时需要变号，其他性质与等式性质相同 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若，则______（填“”或“”）． 【答案】 【难度】0.94 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 题型三：列一元一次不等式并求解 ·解一元一次不等式：类比解一元一次方程，在系数化1的时注意变号； ·常用的不等号转化 ①见到“大于、多于、超过、高于”用“ >” ; ②见到“小于、少于、不足、低于”用“<”;  ③见到“至少、不低于、不小于、不少于”用“≥”；  ④见到“至多、不超过、不大于、不高于”用“≤”。　 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）将点向右平移个单位长度得到点，若点在第一象限，则的取值范围是（　　） A．0 B． C．0 D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查点的平移，象限内点的符号特征，根据平移得到点的坐标，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：由平移可知：， ∵点在第一象限， ∴， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性，将方程转化为不等式求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 解得：． 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）代数式中，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 题型四：不等式（组）的解集的表示 ·一元一次不等式的解集的表示： ·一元一次不等式组的解集： 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题主要考查不等式的数轴表示，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式在数轴上表示出来，再比较得到答案． 【详解】将不等式表示在数轴上，如图所示： 故选：D． 2．（2025·湖北黄冈·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 在数轴上表示为： 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东河源·期中）已知关于的不等式的解集如图所示，则________． 【答案】1 【难度】0.94 【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上遵循“小于向左，大于向右；边界含于解集为实心点，不含于解集为空心点”． 根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为． ∴． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为_______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． 根据数轴，结合不等式组的解集的确定方法，同小取小，即可得出结果． 【详解】解：由数轴表示的解集可得， 根据同小取其小， ∴该不等式组的解集为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式： 【答案】 【难度】0.85 【分析】先去分母，再移项、合并同类项，然后系数化1，即可作答． 本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的性质是解题的关键． 【详解】解： ， ； 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式组： 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求得每个不等式的解集，再确定它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 7．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 8．（24-25八年级下·陕西延安·期中）以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程： 解不等式②，第一步 第二步 第三步 第四步 (1)小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误； (2)解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】(1)一； (2)，数轴见解析． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据运算法则进行解答即可； （2）根据运算法则计算得出解集并画图即可． 【详解】（1）解：由题目的解答过程可知， 第一步，解不等式②，去分母时，左右两边同时乘6，右边的1漏乘最简公分母6， ∴第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集，如图所示： ∴不等式组的解集为． 题型五：根据不等式（组）解的情况求参数 ·求不等式的特殊解的两种方法 方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解. 方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解. ·根据不等式组的整数解的个数确定参数的范围：数形结合求解“已知不等式解集求字母参数”问题 已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，再利用数轴确定大致范围，验证“临界点”是否满足条件，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 ·借助数轴讨论解的取值的步骤： ①确定整数解的值；②确定参数位于哪两个整数区间；③不等号验证整数解 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式的解集为得，求解即可. 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：； 故答案为：. 2．（24-25八年级下·江西吉安·月考）已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为____． 【答案】6 【难度】0.85 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集的情况可得答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组有解， ， 则正整数m的和为． 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于a的不等式，进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组无解， ∴，解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是：正确解出不等式组的解集；根据整数解的个数，分析确定参数 的边界条件． 5．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式，熟练掌握解题法则是解题的关键． 两方程相加可得，根据题意得出关于的不等式，解之可得． 【详解】解：， 将两个方程相加可得，则， ，解得， 故的取值范围是． 题型六：利用一次函数的图象位置关系解不等式 ·根据两条直线的交点求不等式的解集的注意事项 ①明确不等式中的两个一次函数；②将不等式中的大小关系转化为两个一次函数图象的位置关系：大的函数值其对应的图象部分在上方. ·法一：变形为ax+b＞0或ax+b＜0再根据y=ax+b（a≠0）的图象解不等式 ①将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； ②画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； ③根据函数图像确定对应不等式的解集. ·法二：数形结合，根据不等式：，找到对应的两个一次函数，再根据其图象的交点写出x的解 【数形结合思想方法的应用】 = 类比一次方程与一次函数的关系:直线=与直线的交点的横坐标即为方程的解，得出一元一次不等式与一次函数的关系： ①不等式（）的解集就是: 直线=在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. ②如图，的解：；的解：(表示点P的横坐标) 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，和的图象相交于，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点A坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a为常数，且与正比例函数（k为常数，且的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一不等式．直接根据两函数图象的交点写成不等式解集的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合成为解题的关键． 先求出一次函数与x轴交点的横坐标为4，再利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方且在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数，且图象经过， ∴，解得， ∴， 由得， ∴一次函数与x轴交点的横坐标为4， 根据图象得，当时，， ∴关于x的不等式组的解集是． 故选D． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线的交点问题，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先将转化为，再根据函数图象求解即可． 【详解】解：， ， 由图可知，． 故选：C． 5．（24-25八年级下·四川达州·期中）一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是，④，其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【难度】0.65 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数的图象与性质．根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确； 根据题意得：，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由可得，故不等式的解集是，故③不正确； 当时，，则，故④正确； 故正确的有①④； 故选：B． 题型七：新定义解不等式（组）问题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：．已知，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解题意、列出不等式是解题关键． 根据题意由二阶行列式的运算法则列出关于的一元一次不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）对于实数m、n，规定表示m、n中较小的数，例如：，若，，求x的取值范围． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，根据新定义可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴x的取值范围为． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）在实数范围内定义一种新运算：，如：．已知，求的取值范围． 【答案】的取值范围为． 【难度】0.85 【分析】本题考查新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解新定义运算． 根据新定义运算，对进行转化，解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵， ∴，                ∵， ∴， 解得，． 答：的取值范围为． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）对于任意实数，定义一种新的运算如下：， 例如：． (1)若，求的取值范围； (2)已知关于的方程的解满足，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.85 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根据新定义列出关于x的不等式，正确的解一元一次不等式、一元一次方程是解题的关键． （1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）先解关于x的方程得出，再将代入由列出的关于a的不等式中，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得，； （2）解：， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， ∵，关于x的方程的解满足， ∴， 解得，． 题型八：不等式（组）的实际应用 ·一般步骤： ①审题； ②设未知数，找（不等量）关系式； ③（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； ④解不等式组；检验并作答。 ·不等号转化 ①见到“至少、不低于、不小于、不少于”用“≥”；  ②见到“至多、不超过、不大于、不高于”用“≤”。　 1．（24-25八年级下·全国·期中）动物园的入场票价是20元/人，25人或25人以上的团体票八折优惠．如果一个班所有的团员来动物园参观，购买团体票比购买个人票便宜，而团员人数又不足25人，那么这个班共有团员人数至少（    ） A．20人 B．21人 C．22人 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意是解题关键．设该班共有团员人数为，若购买个人票，总费用为元；若购买团体票（需按25人计算），总费用为元。根据题意，需满足团体票更便宜的条件，即，解得。因此，的最小整数值为21． 【详解】解：设该班共有团员人数为， 则， 解得：， 即这个班共有团员人数至少21人， 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，总树数在两种情况下保持不变,当每人植树9棵时，有1名同学植树棵数不到8棵，即该同学植树棵数在0到8之间（包含0，不包含8），由此建立不等式组． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：， 即． 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 【答案】购进商品的件数为19件或20件 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用： 设购进件商品，则购进件商品，根据购进商品的件数不少于商品件数的2倍，利润不低于1770元列出不等式组求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品， 则， 解得， 为整数， 的值为19或20． 答：购进商品的件数为19件或20件． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某商店A品牌衬衫的标价为140元，B品牌衬衫的标价为280元．若按标价销售这两种品牌的衬衫共10件，总收款不低于2500元，则销售B品牌的祄衫最少多少件？ 【答案】销售B品牌的衬衫最少8件 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，设销售B品牌衬衫件，则销售A品牌衬衫件，根据总收款列出不等式求解即可． 【详解】解：设销售B品牌衬衫件，则销售A品牌衬衫件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为8． 答：销售B品牌的衬衫最少8件． 题型九：不等式（组）的实际应用——方案选择与最大利润（最少费用）问题 ·最大利润和最省花费问题的解题思路 （1）列利润（费用）为因变量的一次函数； （2）根据条件表示出自变量的取值范围（难点）； （3）在自变量的范围中选一个值使利润有最大值（费用有最小值）. 方法：一次函数y=kx+b（k≠0）的最值问题 ①k>0，x越大y越大，此时取满足条件的x的最大值即y的最大值； ①k<0，x越大y越小，此时取满足条件的x的最小值即y的最大值； ·购物经济活动中的方案选择问题（二选一） ①列费用y关于数量x的一次函数； ②先对两种方案中的费用y比较大小，分为三种情况：、、； ③解不等式，根据x的取值范围做出决策. 注意：涉及到两种商品的数量为变量时，可根据数量为非负整数列不等式，再确定整数解 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【答案】(1)的值为 (2)有三种方案：方案一：安排工人人，机器人人；方案二：安排工人人，机器人人；方案三：安排工人人，机器人人 【难度】0.65 【分析】本题考查分式方程和不等式组的应用； （1）根据“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”列关于a的分式方程解题即可； （2）设安排工人x人，根据题意列不等式组求出x的取值范围，根据整数解得到方案即可． 【详解】（1）解：根据题意列方程得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：的值为． （2）解：设安排工人x人，则： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x可取，，， 故有三种方案： 方案一：安排工人人，机器人人； 方案二：安排工人人，机器人人； 方案三：安排工人人，机器人人． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）【背景材料】 为推进“公园城市”建设，助力实现“碳中和”目标，我市计划通过植树造林来中和碳排放．经测算，每棵成年银杏树（我市常见裸子植物）每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳．我市某绿化项目计划采购成年银杏树和成年松树共120棵，设采购成年银杏树a棵，这120棵树一年吸收的二氧化碳总量为W千克． 【问题解决】 (1)写出W与a的函数关系式； (2)因成年银杏树种植成本较高，项目预算要求：①成年银杏树不超过50棵；②成年银杏树的棵数不少于成年松树棵数的三分之一．请设计采购方案，使一年内二氧化碳吸收总量W最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)采购成年银杏树50棵、成年松树70棵可使一年内二氧化碳吸收总量W最大，最大值为20500 【难度】0.65 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据120棵树一年吸收的二氧化碳总量棵成年银杏树一年吸收的二氧化碳量棵成年松树一年吸收的二氧化碳量计算即可； （2）根据题意列关于a的一元一次不等式组并求其解集，根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：， ∴W与a的函数关系式为． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵， ∴当时W值最大，， （棵）． 答：采购成年银杏树50棵、成年松树70棵可使一年内二氧化碳吸收总量W最大，最大值为20500． 3．（24-25八年级下·福建·期中）某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆           租金单位：元每辆           (1)租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； (2)在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 【答案】(1)，， (2)需要租甲种车辆，租乙种车辆 【难度】0.65 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到不等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“座位总数不少于”列式计算； （2）先根据“总费用两车费用的和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：设租甲种客车辆，总费用为元， 则， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时需要租甲种车辆，租乙种车辆． 4．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算 【难度】0.85 【分析】本题主要考查不等式，函数关系的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）根据乙家优惠活动计算即可； （2）根据题意，分别得到甲家付款金额，乙家付款金额，由此列式求解即可； （3）根据两家的优惠方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，， ∴； （2）解：顾客购买原价在350元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元， ∴， 解得，， ∴顾客购买原价为元； （3）解：顾客购买原价在600元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， ①∵，即在乙家付款大于甲家付款， ∴，不符合题意； ②当时，， 解得，， ∴； ③当时，， 解得，， ∴； 综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算． 5．（24-25八年级下·陕西安康·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队26名学生，则还剩2名学生没有老师带；若每位老师带队27名学生，就有一位老师少带7名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 30 25 租金（元/辆） 310 270 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2690元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有9人，学生有236人 (2)一共有3种租车方案：租甲型客车4辆，乙型客车5辆或租甲型客车5辆，乙型客车4辆或租甲型客车6辆，乙型客车3辆 【难度】0.65 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为9，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有人， 根据题意，得， 解得， ， 故参加此次劳动实践活动的老师有9人，学生有236人； （2）解：师生总数为（人）， 每位老师负责一辆车的组织工作， 一共租9辆车． 设租甲型客车辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得 ， 解得， 为整数， 的值可取4，5，6， 一共有3种租车方案：租甲型客车4辆，乙型客车5辆或租甲型客车5辆，乙型客车4辆或租甲型客车6辆，乙型客车3辆． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）根据以下索材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本为万元，售价为万元；型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． (1)若该工厂3月生产了2000部型号手机，则最多生产了多少部型号手机？ (2)若该工厂计划4月一共生产3000部手机，总利润不低于249.9万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 【答案】(1)1250 (2)方案一，型号手机1000部，则生产型号手机2000部；方案二，型号手机1001部，则生产型号手机1999部；方案三，型号手机1002部，则生产型号手机1998部；最高利润为250万元 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了有理数的运算，列一元一次不等式组解决实际问题，方案问题，最高利润等内容，解题的关键是找出不等关系列出不等式组． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）设生产型号手机部，则生产型号手机部，根据成本和利润列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解： 2000部型号手机所花费用为（万元）， 则生产型号手机费用最多为（万元）， ∴型号手机最多为， 所以，最多生产了1250部型号手机； （2）解：设生产型号手机部，则生产型号手机部，根据题意得， 解得， 可取1000，1001，1002， ∴由以下三种方案； 方案一，型号手机1000部，则生产型号手机2000部，利润为（万元）； 方案二，型号手机1001部，则生产型号手机1999部，利润为（万元）； 方案三，型号手机1002部，则生产型号手机1998部，利润为（万元）； 所以，共有三种方案，方案一利润最高，最高利润为250万元． 题型十：绝对值不等式与一次函数综合问题 应用分类讨论思想解“绝对值不等式” ①根据绝对值的意义对绝对值里的代数式进行正负分类讨论——去绝对值； ②分别解不等式：在含有其他未知字母的不等式中，必要时可利用数轴进行分析，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 1．（24-25八年级下·北京·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得_______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 （3）写出函数的一条性质________________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________________． （5）若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大；（4）；（5） 【难度】0.65 【分析】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）根据（4）所画函数图象即可得到答案． 【详解】解：（1）把代入得，， ， 故答案为：； （2）如图所示即为所求；    （3）由函数图象可得，在中，当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大； （4）在中，当时，，当时，， 联立，解得； 联立，解得； ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； （5）由函数图象可知，当时，函数与函数有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， 即此时关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解， m的取值范围为：． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【答案】[问题提出] （1）；[知识迁移] （2）；[问题解决]（3）作图见解析；或． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：（1）根据函数图象可得答案； [知识迁移]：（2）先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（3）把函数化为，再画图即可；在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，（1）如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，（2）如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （3）根据题意得： ， 画图如下： 再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）已知关于的方程组，的解满足，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，求出方程组的解后，结合解的情况得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：； 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【分析】根据一次函数与不等式解答即可． 【详解】解：函数和的图象交于点， 且不等式恰好有3个非负整数解， 可得：,且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于的不等式组只有一个正整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查一元一次不等式组的正整数解，明确解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的不等式组只有一个正整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组只有一个正整数解， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是_____________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了一次函数与不等式的应用，先求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵在上， ∴ 解得： 根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，，，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是_______． 【答案】①③④ 【难度】0.65 【分析】本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象交点问题，一次函数与不等式；能熟练利用一次函数的性质，数形结合求解是关键；①由一次函数的性质得，，即可判断；②可得，，，求出，代入后即可判断；③当时， ，，结合图象，即可判断； ④当时， ，，结合图象，即可判断；⑤当时，，，结合图象，即可判断． 【详解】解：①由图象得：，， ， 故此项正确； ②，，，是直线上不重合的两点， ， ， ， ， ， ， ， 故此项不正确； ③当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项正确； ④当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项正确； ⑤当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项错误； 故答案为：①③④． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【难度】0.65 【分析】考查一元一次不等式的解法及求一元一次不等式组解集的方法，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及一元一次不等式组解集的求解法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． （1）根据解一元一次不等式的方法步骤求解，并把解集表示在数轴上； （2）根据解一元一次不等式的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上； （3）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上； （4）根据解一元一次不等式组的方法步骤求解即可得到答案，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为； （4）解： 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）小轩用计算机设计了一个程序运算框图，规定：“输入一个实数x”到“结果是否大于31”为一次操作． (1)若操作只进行一次就停止了，求x的取值范围； (2)若操作进行了两次才停止，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． （1）根据题意可列不等式，解得的取值范围即可， （2）根据题意可得，第二次停止，则可得不等式组，解得的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：． 故操作只进行一次就停止时，的取值范围是； （2）解：前两次操作的结果分别为，． 由题意，得， 解得：． 故操作进行了两次才停止时，的取值范围是． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点．当时，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.85 【分析】此题考查了利用函数图象求不等式的解集，画出函数图象，根据图象的位置即可得到答案． 【详解】解：直线与直线交于点．如图所示， ∴当时，x的取值范围为． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在实数范围内，定义一种新运算：，例如：．已知，求x的取值范围． 【答案】． 【难度】0.85 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据新定义运算可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ， ，即为， 解得． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）下面是小明解不等式的过程： 去分母，得（第一步） 移项、合并同类项，得：（第二步） 两边都除以，得：（第三步） (1)小明的解答过程有错误，他最先出现错误的步骤是________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)过程见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的基本步骤找出小明错误之处， （2）按去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程有错误，他最先出现错误的步骤是第一步，去分母时，漏乘了项． 故答案为：第一步； （2）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，求a的取值范围． （2）在（1）的条件下，关于m，n的二元一次方程组的解为整数，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】（1）（2）所有满足条件的整数a的值为0和6 【难度】0.65 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组，根据解的情况求参数，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解一元一次不等式组得到，然后根据此不等式组有且仅有4个整数解，得到，然后解不等式即可得出答案； （2）运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，找到所有满足条件的整数的值即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ， 此不等式组有且仅有4个整数解， ， ． （2）， 解：得， ， 将代入①得，， ， 此方程组的解为整数，， 所有满足条件的整数的值为0和6． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的结论下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围； （2）根据不等式解集为，求出m的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：， 得， 所以，， 得， 所以，， ∵， ∴， 解得； （2）解：， ∴ ∵原不等式的解集是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 13．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． (1)求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ (2)由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； (2)； (3)商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 【难度】0.65 【分析】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元，根据购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元得：，即可解得哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）由购进哪吒摆件x个，知购进敖丙摆件个，故； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元，可得：，又购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，可得，解得：，再根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元， 根据题意得：， 解得：， 哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）根据题意得：， ； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元， 由题意得， 解得：， 根据题意得， ， 随x的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为元， 商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元。 14．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求，的值； (2)根据图象，则不等式的解集为________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【难度】0.65 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，点的坐标与函数的特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由直线过点，且点的横坐标为，可求得点的坐标，由直线经过、两点坐标，用待定系数法即可求得，的值即可； （2）观察图象，函数图象都位于轴上方且函数的图象位于函数的图象上方时，自变量的取值即为不等式的解集； （3）由直线的解析式可求得点的坐标，从而得的长，设点的横坐标为，则可表示点、的坐标，从而表示，由列方程即可求得的值，则可得点的坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴的值是，的值是． （2）解：由知， 观察图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 故不等式的解集为； （3）解：由（1）知，直线的解析式为， 上式中，当时，， ∴点坐标为， ∴． 设点的横坐标为，则，， ∵， ∴， 解得：或， 即点坐标为或． 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国！某经销商计划购进、两种水果．已知购进种水果的进价比种水果的进价每件多元，且用元购进种水果的件数是用元购进种水果的件数的倍． (1)求、两种水果每件的进价分别是多少元？ (2)该经销商计划用元购进、两种水果，设种水果购进件，种水果购进件．（、为整数） 用含的式子表示； 如果该经销商将购进的水果按照种每件元，种每件元的价格全部售出，若购买种水果的费用不低于种水果的费用，且种水果的件数不超过种水果件数的，请求出该经销商销售完所购两种水果时的最大利润． 【答案】(1)种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元； (2)；该经销商销售完所购两种水果时的最大利润为元． 【难度】0.65 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）设种水果每件的进价是元，则种水果每件的进价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元，则有，整理可得， 设总利润为元，则，由题意得，解得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种水果每件的进价是元，则种水果每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， ∴种水果每件的进价是（元）， 答：种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元； （2）解：由（）得种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元， ∴， ∴； 设总利润为元，则， 由题意得，， 解得：， 由可知，， ∴随的增大而减小， ∵、为整数，， ∴必须为的倍数， ∴当时，有最大利润，为（元）， 答：该经销商销售完所购两种水果时的最大利润为元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 不等式与不等式组 考点一：一元一次不等式（组）的相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 例：一元一次不等式5x-10>0（只含有一个未知量，未知量的次数为1） ·不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 ·不等式的解集：不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式 ·一元一次不等式组：由几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 ·不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分 考点二：不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 考点三：不等式解集的表示 ·不等式的解集：所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集 ·不等式解集的表示方法： 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 考点四：解一元一次不等式和解一元一次不等式组 项目 解一元一次不等式 解一元一次不等式组 方法 根据不等式的基本性质求不等式的解集 步骤 ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 ⑤系数化1：应用不等式基本性质2、3，两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. ①分别解出不等式的解集； ②在同一数轴表示不等式的解集； ③找到解集的公共部分； ④写出不等式组的解集。 考点五：一次函数与一元一次不等式的联系 ·用函数思想解一元一次不等式： 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） ①根据解析式解不等式：函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集； ②根据图象解不等式：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集 考点六：列一元一次不等式(组)解实际问题 列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、答 题型一：一元一次不等式的定义 ·一元一次不等式的三个条件: (1)含有一个未知数，(2)未知数的次数是1,(3)不等号两边都是整式,列方程求解.可以简记：“非0双1整”. 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图是某隧道的限高标志，规定通过的车辆高度不能超过，则通过该隧道的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______． 题型二：利用不等式的基本性质解决问题 ·只有系数为负数时需要变号，其他性质与等式性质相同 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若，则______（填“”或“”）． 2．（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 题型三：列一元一次不等式并求解 ·解一元一次不等式：类比解一元一次方程，在系数化1的时注意变号； ·常用的不等号转化 ①见到“大于、多于、超过、高于”用“ >” ; ②见到“小于、少于、不足、低于”用“<”;  ③见到“至少、不低于、不小于、不少于”用“≥”；  ④见到“至多、不超过、不大于、不高于”用“≤”。　 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）将点向右平移个单位长度得到点，若点在第一象限，则的取值范围是（　　） A．0 B． C．0 D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）代数式中，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 题型四：不等式（组）的解集的表示 ·一元一次不等式的解集的表示： ·一元一次不等式组的解集： 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东河源·期中）已知关于的不等式的解集如图所示，则________． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为_______． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式： 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式组： 7．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 8．（24-25八年级下·陕西延安·期中）以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程： 解不等式②，第一步 第二步 第三步 第四步 (1)小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误； (2)解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 题型五：根据不等式（组）解的情况求参数 ·求不等式的特殊解的两种方法 方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解. 方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解. ·根据不等式组的整数解的个数确定参数的范围：数形结合求解“已知不等式解集求字母参数”问题 已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，再利用数轴确定大致范围，验证“临界点”是否满足条件，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 ·借助数轴讨论解的取值的步骤： ①确定整数解的值；②确定参数位于哪两个整数区间；③不等号验证整数解 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 2．（24-25八年级下·江西吉安·月考）已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为____． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 4．（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 5．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）若关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 题型六：利用一次函数的图象位置关系解不等式 ·根据两条直线的交点求不等式的解集的注意事项 ①明确不等式中的两个一次函数；②将不等式中的大小关系转化为两个一次函数图象的位置关系：大的函数值其对应的图象部分在上方. ·法一：变形为ax+b＞0或ax+b＜0再根据y=ax+b（a≠0）的图象解不等式 ①将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； ②画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； ③根据函数图像确定对应不等式的解集. ·法二：数形结合，根据不等式：，找到对应的两个一次函数，再根据其图象的交点写出x的解 【数形结合思想方法的应用】 = 类比一次方程与一次函数的关系:直线=与直线的交点的横坐标即为方程的解，得出一元一次不等式与一次函数的关系： ①不等式（）的解集就是: 直线=在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. ②如图，的解：；的解：(表示点P的横坐标) 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，和的图象相交于，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a为常数，且与正比例函数（k为常数，且的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川达州·期中）一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是，④，其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 题型七：新定义解不等式（组）问题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：．已知，求的取值范围． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）对于实数m、n，规定表示m、n中较小的数，例如：，若，，求x的取值范围． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）在实数范围内定义一种新运算：，如：．已知，求的取值范围． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）对于任意实数，定义一种新的运算如下：， 例如：． (1)若，求的取值范围； (2)已知关于的方程的解满足，求的取值范围． 题型八：不等式（组）的实际应用 ·一般步骤： ①审题； ②设未知数，找（不等量）关系式； ③（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； ④解不等式组；检验并作答。 ·不等号转化 ①见到“至少、不低于、不小于、不少于”用“≥”；  ②见到“至多、不超过、不大于、不高于”用“≤”。　 1．（24-25八年级下·全国·期中）动物园的入场票价是20元/人，25人或25人以上的团体票八折优惠．如果一个班所有的团员来动物园参观，购买团体票比购买个人票便宜，而团员人数又不足25人，那么这个班共有团员人数至少（    ） A．20人 B．21人 C．22人 D．无法确定 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 答：购进商品的件数为19件或20件． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某商店A品牌衬衫的标价为140元，B品牌衬衫的标价为280元．若按标价销售这两种品牌的衬衫共10件，总收款不低于2500元，则销售B品牌的祄衫最少多少件？ 题型九：不等式（组）的实际应用——方案选择与最大利润（最少费用）问题 ·最大利润和最省花费问题的解题思路 （1）列利润（费用）为因变量的一次函数； （2）根据条件表示出自变量的取值范围（难点）； （3）在自变量的范围中选一个值使利润有最大值（费用有最小值）. 方法：一次函数y=kx+b（k≠0）的最值问题 ①k>0，x越大y越大，此时取满足条件的x的最大值即y的最大值； ①k<0，x越大y越小，此时取满足条件的x的最小值即y的最大值； ·购物经济活动中的方案选择问题（二选一） ①列费用y关于数量x的一次函数； ②先对两种方案中的费用y比较大小，分为三种情况：、、； ③解不等式，根据x的取值范围做出决策. 注意：涉及到两种商品的数量为变量时，可根据数量为非负整数列不等式，再确定整数解 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）【背景材料】 为推进“公园城市”建设，助力实现“碳中和”目标，我市计划通过植树造林来中和碳排放．经测算，每棵成年银杏树（我市常见裸子植物）每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳．我市某绿化项目计划采购成年银杏树和成年松树共120棵，设采购成年银杏树a棵，这120棵树一年吸收的二氧化碳总量为W千克． 【问题解决】 (1)写出W与a的函数关系式； (2)因成年银杏树种植成本较高，项目预算要求：①成年银杏树不超过50棵；②成年银杏树的棵数不少于成年松树棵数的三分之一．请设计采购方案，使一年内二氧化碳吸收总量W最大，并求出最大值． 3．（24-25八年级下·福建·期中）某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆           租金单位：元每辆           (1)租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； (2)在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 4．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 5．（24-25八年级下·陕西安康·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队26名学生，则还剩2名学生没有老师带；若每位老师带队27名学生，就有一位老师少带7名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 30 25 租金（元/辆） 310 270 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过2690元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）根据以下索材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本为万元，售价为万元；型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． (1)若该工厂3月生产了2000部型号手机，则最多生产了多少部型号手机？ (2)若该工厂计划4月一共生产3000部手机，总利润不低于249.9万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 题型十：绝对值不等式与一次函数综合问题 应用分类讨论思想解“绝对值不等式” ①根据绝对值的意义对绝对值里的代数式进行正负分类讨论——去绝对值； ②分别解不等式：在含有其他未知字母的不等式中，必要时可利用数轴进行分析，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 1．（24-25八年级下·北京·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得_______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质________________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________________． （5）若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）已知关于的方程组，的解满足，则应满足（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于的不等式组只有一个正整数解，则的取值范围是___________． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是_____________． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，，，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是_______． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． (1)； (2)； (3) ； (4) 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）小轩用计算机设计了一个程序运算框图，规定：“输入一个实数x”到“结果是否大于31”为一次操作． (1)若操作只进行一次就停止了，求x的取值范围； (2)若操作进行了两次才停止，求x的取值范围． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点．当时，求的取值范围． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在实数范围内，定义一种新运算：，例如：．已知，求x的取值范围． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）下面是小明解不等式的过程： 去分母，得（第一步） 移项、合并同类项，得：（第二步） 两边都除以，得：（第三步） (1)小明的解答过程有错误，他最先出现错误的步骤是________； (2)请写出正确的解答过程． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，求a的取值范围． （2）在（1）的条件下，关于m，n的二元一次方程组的解为整数，求所有满足条件的整数a的值． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的结论下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 13．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． (1)求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ (2)由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 14．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求，的值； (2)根据图象，则不等式的解集为________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国！某经销商计划购进、两种水果．已知购进种水果的进价比种水果的进价每件多元，且用元购进种水果的件数是用元购进种水果的件数的倍． (1)求、两种水果每件的进价分别是多少元？ (2)该经销商计划用元购进、两种水果，设种水果购进件，种水果购进件．（、为整数） 用含的式子表示； 如果该经销商将购进的水果按照种每件元，种每件元的价格全部售出，若购买种水果的费用不低于种水果的费用，且种水果的件数不超过种水果件数的，请求出该经销商销售完所购两种水果时的最大利润． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $