精品解析：内蒙古师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期 素质检测数学试题

内蒙古师大附中2025—2026学年九年级下学期开学素质检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题自要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是确定对称轴，中心对称图形的关键是确定对称中心. 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放云南卫视 B. 一个盒子中装有5个黄球和2个红球，从中摸出一个球是黄球 C. 任意一个三角形的内角和是 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播放云南卫视，是随机事件，故此选项不符合题意； B、一个盒子中装有5个黄球和2个红球，从中摸出一个球是黄球，是随机事件，故此选项不符合题意； C、任意一个三角形的内角和是，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，是必然事件，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，再把的长代入可以计算出的长，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 5. 如图，阳光中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为，则道路的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设道路的宽为米，根据要使铺设草坪的面积和为，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设道路的宽为米，由题意，得， 解得或（舍去）； 故道路的宽为. 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 7. 用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ） A. cm B. 3cm C. 4cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长÷2π，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】∵扇形的弧长= cm， ∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm， ∴这个圆锥形筒的高为cm． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，掌握扇形的弧长是对应圆锥的底面周长是解题的关键． 8. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中合理的是_____．（填编号） 【答案】② 【解析】 【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误． 故答案为②． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 10. 已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝5，x1•x2＝2，将其代入x1+x2﹣x1•x2中即可得出结论． 【详解】解：∵方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1，x2， ∴x1+x2＝5，x1•x2＝2， ∴x1+x2﹣x1•x2＝5﹣2＝3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1+x2＝5，x1•x2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 11. 如图：、是的两条切线，、是切点，、是上两点，如果，，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质．根据切线长定理得，则，再根结合内接四边形的对角互补和平角即可求得． 【详解】解：、是的切线， ， 又， ， ， 四边形内接于， ， ． 故答案为：99. 12. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而 =2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断． 【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上， 将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH， ∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确； 在RtABF中，AF==8， ∴DF=AD-AF=10-8=2， 设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4， 在RtGFH中， ∵， ∴， 解得x=3， ∴GF=5， ∴AG+DF=FG=5，所以④正确； ∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠BFE=∠C=90°， ∴∠EFD+∠AFB=90°， 而∠AFB+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠EFD， ∴ABF∽DFE， ∴， ∴， 而 ， ∴， ∴DEF与ABG不相似；所以②错误． ∵=×6×3=9，=×3×4=6， ∴．所以③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质． 三、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 按要求解方程： （1）；（用直接开平方法） （2）；（用配方法） （3）；（用公式法） （4）；（用因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点 中心对称； （4）请计算的面积． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据点平移的规律即可求解； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （3）连接,它们相交于一点，即中心对称点； （4）由题可知：. 【小问1详解】 解：根据题意可得： 【小问2详解】 解：根据题意可得： 【小问3详解】 解：根据题意得： 则与关于点中心对称； 【小问4详解】 解：根据题意得： ， 则. 15. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 【答案】（1） （2） （3）建议小明在第一题使用“求助” 【解析】 【分析】（1）由第一道单选题有个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）分别计算出来第一题使用“求助”和第二题使用“求助”的概率，比较大小，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵第一道单选题有3个选项， ∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：； 故答案为：. 【小问2详解】 解：分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明顺利通关的只有种情况， ∴小明顺利通关的概率为：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为， 如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：， ∵ ∴建议小明在第一题使用“求助”． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 16. 在中，． （1）若，，求a，b的值； （2）若，，求，和c的值． 【答案】（1） ， （2） ，， 【解析】 【分析】（1）先根据求出a，再根据勾股定理求出； （2）先根据勾股定理求出，再根据求出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， 即， 解得； 【小问2详解】 解：根据勾股定理，得， 即， 解得． 在中，， ∴， 则， ∴． 17. 【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 【答案】（）， 证明：如图()，设与交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴； （）将球传给乙，让乙射门好； （）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，切线的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）设经过，，三点的圆的圆心为，过点作的垂线，分别交，于点，连接，证明是等边三角形，则，由，，则，所以，，过点作于点，则，再由勾股定理和线段和差即可求解； 【详解】解：（）略 （）将球传给乙，让乙射门好， 如图，连接， ，   同（）理得：， ∵球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进， ∴将球传给乙，让乙射门好； （）设经过，，三点的圆的圆心为， 如图()，过点作的垂线，分别交，于点，连接， 则，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计濮阳麦秆画的销售方案 素材1 濮阳麦秆画是濮阳一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式 任务2 探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为多少元 任务3 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）？最大总毛利润是多少 【答案】任务一：；任务二：若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元；任务三：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：设总毛利润为元，表示出利润，利用抛物线的性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务． 任务2：由题意，得， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）． ． 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元． 任务3：设总毛利润为元． ∴当时，最大，最大值为4440．此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古师大附中2025—2026学年九年级下学期开学素质检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题自要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放云南卫视 B. 一个盒子中装有5个黄球和2个红球，从中摸出一个球是黄球 C. 任意一个三角形的内角和是 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 4. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. D. 5. 如图，阳光中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为，则道路的宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ） A. cm B. 3cm C. 4cm D. 4cm 8. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中合理的是_____．（填编号） 10. 已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为____． 11. 如图：、是的两条切线，、是切点，、是上两点，如果，，则的度数是______度． 12. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号） 三、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 按要求解方程： （1）；（用直接开平方法） （2）；（用配方法） （3）；（用公式法） （4）；（用因式分解法） 14. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点 中心对称； （4）请计算的面积． 15. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 16. 在中，． （1）若，，求a，b的值； （2）若，，求，和c的值． 17. 【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 18. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计濮阳麦秆画的销售方案 素材1 濮阳麦秆画是濮阳一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式 任务2 探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为多少元 任务3 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）？最大总毛利润是多少 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $