广东深圳市盐田高级中学2026届高三数学3月份周考测试卷2

深圳市盐田高级中学2026届高三数学下学期周三模拟测试卷（2）班级： 姓名： 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 5．是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（    ） A． B． C． D． 7．某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为（   ） A．9450 B．22050 C．14700 D．44100 8．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的极大值点是 C．在处的切线为 D．图象的对称中心是 10．设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（    ） A． B．的焦距为 C．的离心率为 D．的面积为 11．在正三棱锥中，，则（   ） A．PA的取值范围是 B．当时，平面平面PAC C．当时，二面角的正切值为2 D．当时，正三棱锥外接球的表面积为 三、填空题 12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________． 14．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，是边上一点，，. （1）证明：； （2）若为的中点，，，， 求三角形的面积. 16. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面， 是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中 ，，． （1）求到平面的距离； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的 余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知正项数列满足且， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 18. 某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为，，. （1）若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求的数学期望； （2）已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率； （3）该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率. 19. 已知函数（，且）、（，且）、. （1）若、，求函数的极值； （2）若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； （3）已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《深圳市盐田高级中学2026届高三数学下学期周三模拟测试卷（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C C B B B BCD ACD 题号 11 答案 BC 7．B【详解】依题意可知3辆车接来宾的人数分配有2，4，4或3，3，4两种， 则这10位来宾坐车的不同安排的种数为. 8．B【详解】，又， ，整理得： ， ，，， 当且仅当时等号成立，又，，，为钝角， ，，，， ，即，，，解得：， ，，． 11．如图，设点在底面的射影为点，则点为正三角形ABC的中心，连接AH，PH， 则，，A错误. 当时，，则，同理可得， 因为平面，所以平面， 又平面PAB，所以平面平面，B正确. 取AB的中点，连接CN，PN，则，， 所以是二面角的平面角，， 当时，， 则，C正确. 设正三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为， 则在直线PH上，当时，，由， 解得，则球的表面积为，D错误. 12．/0.3 13． 14． 14.【详解】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 15.（1）依题意，. （2）由，得，为锐角， 由（1）及为的中点，得，而，， 则，解得，因此，， 所以的面积. 16. （1）取的中点，连接，， 为等边三角形，， 又平面平面，平面平面， 平面， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立下图所示空间直角坐标系， 是边长为2的等边三角形，， ，则，，，，，，，设平面的法向量为， ，，即，令，则， 又， 到平面的距离． （2）假设线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 则，，， 设平面的法向量为，，，， ，令，则，又平面的法向量为， ， 化简得，解得或，又，，（舍去）， 17. （1）由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得，则， 显然， 由于， 故，且， 故，. 18. （1）设新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率为， 则， 由条件，可得，所以的数学期望为（架）. （2）设新式无人机智能检测合格为事件，人工检测合格为事件，则，，所以， （3）设乙箱中有个球的概率为， 第一次抽到红色卡片，新式无人机运送1个匹克球，概率为，即， 乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有个球的情况有： （i）无人机已运送个球，又抽到绿色卡片，其概率为； （ii）无人机已运送个球，又抽到红色卡片，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时数列是公比为的等比数列， 所以， 又，所以当时也成立， 所以，，，， 上述各式相加得， 又，所以，， 经检验，当时上式也成立， 所以， 所以，， 即游戏结束时获得优惠券的概率为. 19.（1），则， 由，得到或，当时，解得或， 所以和为函数增区间，当时，解得， 所以为函数减区间，所以在处取到极大值，极大值为， 在处取到极小值，极小值为0，故函数的极大值为，极小值为0； （2）设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 由题意知，因为，可知，由可得，将其代入可得：，令，则在上有零点，令，则，，， 令，解得；令，解得； 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 当时，，故在上恒有零点，从而恒成立； 当时，，无零点，不成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是； 【小问3详解】 （i）当时与最多有两个交点，不符合题意舍去； 证明如下：， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意； （ii）法1：下面只需考虑时，与交点的个数即可； 两边取对数得， 令，，则， 由于，令，可得，而， 令，所以，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，， 由图象可得有两个解，，且， 那么在，上单调递增，在上单调递减， 又， ， 把看成一个整体，由均值不等式可得，， 所以， 当，所以， 因为，得，所以， 当时，，当时，， 又在，上单调递增，在上单调递减， 则在，，三个区间各有一个零点， 所以曲线与有三个交点， 即：时符合题意，解得：. 法2：当时，此时， 设，， 令，， 令，则，所以在是递增的， 在是递减的，所以； i.若，即时， 此时则，所以，又是增函数， 又，则只有一的零点， ii.若，即时，，， ，所以有两个零点，， 其中，，所以， 在是增区间，是减区间，是增区间， 有零点存在定理得： 取点1：， 设，，则在上递增， 所以，所以， 取点2：，，， 所以一定有，，所以有三个零点. 答案第10页，共10页 答案第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $