第13章 培优课 与球有关的“切”“接”问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

培优课　与球有关的“切”“接”问题 1.长方体的共顶点的三个面的对角线长分别为，，2，则它的外接球的半径为（　　） A.1　 　　B.　　 　C.　 　　D.2 2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（　　） A. B.2 C.3 D. 3.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（　　） A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π（R＋r）2 4.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为（　　） A.10π B.12π C.15π D.18π 5.（2025·无锡期末）正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为（　　） A.4π B.8π C.12π D.16π 6.（2025·泰州期末）已知圆锥的底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　） A.100π B.40π C. D. 7.〔多选〕如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（　　） A.体积之比为 B.体积之比为 C.表面积之比为 D.表面积之比为 8.〔多选〕已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是（　　） A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2 9.（2023·全国乙卷16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　　　　. 10.在四面体ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝BC＝，CD＝2，BD＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为　　　　，四面体ABCD的体积为　　　　. 11.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 12.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积. 13.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. （1）当x＝3时，求三棱锥A-PBC的体积； （2）求四棱锥外接球的表面积的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　与球有关的“切”“接”问题 1.长方体的共顶点的三个面的对角线长分别为，，2，则它的外接球的半径为（　　） A.1　 　　B.　　 　C.　 　　D.2 2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（　　） A. B.2 C.3 D. 3.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（　　） A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π（R＋r）2 4.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为（　　） A.10π B.12π C.15π D.18π 5.（2025·无锡期末）正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为（　　） A.4π B.8π C.12π D.16π 6.（2025·泰州期末）已知圆锥的底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　） A.100π B.40π C. D. 7.〔多选〕如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是（　　） A.体积之比为 B.体积之比为 C.表面积之比为 D.表面积之比为 8.〔多选〕已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是（　　） A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2 9.（2023·全国乙卷16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　　　　. 10.在四面体ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝BC＝，CD＝2，BD＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为　　　　，四面体ABCD的体积为　　　　. 11.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 12.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积. 13.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高，设AB＝x. （1）当x＝3时，求三棱锥A-PBC的体积； （2）求四棱锥外接球的表面积的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $