9.4 向量应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.4　向量应用 1.已知两个力F1＝（1，2），F2＝（－2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝（　　） A.（1，－5）　　　 　　　B.（－1，5） C.（5，－1） D.（－5，1） 2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为（　　） A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 4.正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（　　） A.｜｜2＝· B.｜｜2＝· C.｜｜2＝· D.｜｜2＝ 6.〔多选〕在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中是真命题的有（　　） A.若a·b＜0且b·c＜0，则△ABC为锐角三角形 B.若a·b＞0，则△ABC为钝角三角形 C.若a·b＝c·b，则△ABC为等边三角形 D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形 7.如图所示，在倾斜角为37°，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为　　　　J，重力对物体m所做的功为　　　　J（g＝9.8 m/s2，sin 37°＝0.6）. 8.已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为　　　　. 9.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·（＋）的最小值为　　　　. 10.如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM.求证：NT∥BM. 11.某江南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度的大小｜v2｜＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cos θ＝（　　） A.　　　B.－　　　C.　　　D.－ 12.〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N 13.（2025·盐城期末）已知梯形ABCD中，∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝3，AD＝，DC＝1，若＝λ，＝λ，λ∈，则·的取值范围为　　　　. 14.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注：cos（θ－45°）＝） 15.我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e＝（A，B）是直线l的一个方向向量，那么n＝（－B，A）就是直线l的一个法向量（如图①）.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离. 已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为（｜｜cos θ）（θ为向量n与 的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即d＝（如图②）.据此，请解决下面的问题：已知点A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），求点A到直线BC的距离. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.4　向量应用 1.A　根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝（1，－5）.故选A. 2.D　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. 3.C　如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝.故选C. 4.D　以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝. 5.ABD　由·＝｜｜｜｜cos A＝｜｜·｜｜，由射影定理可知A正确；由·＝｜｜｜｜·cos B＝｜｜｜｜，由射影定理可知B正确；由·＝｜｜｜｜cos（π－∠ACD）＜0，又｜｜2＞0，即C错误；由题意可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜｜｜｜＝｜｜·｜｜，又由A、B可得｜｜2＝，即D正确.故选A、B、D. 6.BD　对于A，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＜0，则cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＞0，则cos C＜0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（－）·＝（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝－＝0，故｜｜＝｜｜，故△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，化简得·＝0，故A＝，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、D. 7.0　98　解析：物体m的位移大小为｜s｜＝＝（m），则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 90°＝0（J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜cos 53°＝5×9.8××0.6＝98（J）. 8.1　解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，｜｜＝｜｜.由⊥得（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜｜＝｜｜＝，所以S△OAB＝××＝1. 9.－2　解析：因为M为BC的中点，所以＋＝2，则·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos 180°＝－2｜｜｜｜.设OA＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），则ymax＝1，所以·（＋）的最小值为－2. 10.证明：记＝a，＝b， 则＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋. 而＝a＋b，＝＋＝a＋b， 所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b， 所以＝4，所以NT∥BM. 11.D　如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－.故选D. 12.ACD　对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝4N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确. 13.　解析：如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（1，），D（0，），＝（3，0），＝（1，），＝（－2，），＝（－1，0），所以＝＋＝＋λ＝（1，）＋λ（－1，0）＝（1－λ，），＝＋＝＋λ＝（3，0）＋λ（－2，）＝（3－2λ，λ），所以·＝（1－λ，）·（3－2λ，λ）＝2λ2－2λ＋3，λ∈，令f（λ）＝2λ2－2λ＋3，λ∈，当λ＝时，f（λ）min＝f（）＝－2×＋3＝，当λ＝0或λ＝1时，f（λ）max＝f（0）＝2×02－2×0＋3＝3，所以·∈. 14.解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴＝（＋）2＝＋＋2·. ∴＝＋－2｜｜｜｜cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得≤（60＋10t）2， 解得12≤t≤24. 从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 15.解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝＝（－3，4）， 则n＝（－4，－3）为BC的一个法向量， 又＝（6，－1）， ∴点A到直线BC的距离d＝＝＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $