9.3.3 向量平行的坐标表示(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.3.3　向量平行的坐标表示 1.下列各组向量中，共线的是（　　） A.a＝（－1，2），b＝（，1） B.a＝（3，），b＝（2，） C.a＝（2，3），b＝（2，－3） D.a＝（－3，2），b＝（3，－2） 2.（2025·泰州期末）在△ABC中，A（1，－2），C（t，1），＝（2，6），则（　　） A.t≠－ B.t≠－ C.t≠ D.t≠2 3.已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若a∥b，则b＋c与a的夹角为（　　） A. B. C. D. 4.（2025·盐城期末）已知向量a＝（2，x），b＝（3x，6），则“x＝2”是“a∥b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.〔多选〕已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中正确的是（　　） A.不存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使（a＋b）∥a C.存在实数x，m，使（ma＋b）∥a D.存在实数x，m，使（ma＋b）∥b 6.〔多选〕已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b与3a－2b共线，则下列结论正确的是（　　） A.t＝ B.＝ C.a·b＝－ D.a∥b 7.（2025·南通期末）已知向量a＝（－2，4），b＝（1，x），若a∥b，则｜b｜＝　　　　. 8.已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量｜｜＝　　　　. 9.已知向量＝（3，－4），＝（0，－3），＝（5－m，－3－m），若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为　　　　. 10.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）. （1）若＝，求D点的坐标； （2）设向量a＝，b＝，若向量ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 11.已知a＝（－2，1－cos θ），b＝，且a∥b，则锐角θ＝（　　） A.45° B.30° C.60° D.15° 12.〔多选〕已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正确的是（　　） A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b方向上的投影向量为b C.2m＋n＝4 D.mn的最大值为2 13.设＝（－2，4），＝（－a，2），＝（b，0），a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　　　　. 14.已知向量a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），c＝（sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R. （1）若x∈，a∥（b＋c），求x的值； （2）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 15.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝（4，0），＝（2，2），＝（1－λ）＋λ（λ2≠λ）. （1）求·及在上的投影向量； （2）证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值； （3）求｜｜的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 9.3.3向量平行的坐标表示 1.D选项A中，2×专-(-1)×1≠0，则a与b不共线；同理，B,C中的两向量不共线；选项 D中，2×3一（一3）×(-2)=0，则有a∥b. 2.D由A(1,-2),C(t,1),得AC=(t-1,3),因为AB,AC是△ABC的两条边，所以 AB,A元不共线，所以2×3≠6(t-1),即t≠2.故选D. 3.C因为a∥b,所以m=2,所以a=(-1,2),c=(2,6),b+c=(4,2),所以(b+c) ·a=一4+4=0，则(b十c)⊥a,故b十c与a的夹角为罗. 4.A因为a∥b,所以2×6=3x·x,即x2=4,解得x=±2，则x=2”是a∥b的充分不必要条件. 故选A. 5.AD由a∥b,得x2=-9,无实数解，故A正确：a十b=(x一3,3十x),由(a十b)∥a,得3 (x-3)一x（3十x)=0,即x2=一9，无实数解，故B错误；ma十b=(mx一3,3m十x),由 (ma十b)∥a,得(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解，故C错误；由(ma十b) ∥b,得一3(3m+x)一x(mx一3)=0，即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D正确.故选 A、D. 6.BCD由已知可得a+b=(1,-2)+(t,1)=(t+1,-1),3a-2b=3(1,-2)-2 (t,1)=(3-2t,-8),因为a+b与3a-2b共线，所以-8×(t+1)+1×(3一2t)=0,得 到=-，则b-=学+1-号，ab=-含-2=-3，a=-2b即a/6.故选B、C、D, 7.5解析：因为a∥b,所以-2x-4=0,解得x=-2,所以1b|=√12+（-2=5. 8.82解析：因为a/b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a十b=(6,-3),b-c= (1,-2-y).因为(a十b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0, 所以y=-4.所以向量M=(y-x,x-y)=(-8,8),|M=8V2 9.是解析：A,B,C不能构成三角形，A,B,C三点共线，∴AB与BC共线.又AB=(-3, 1),B元=(5-m,-m)，.(-3)·(-m)-(5-m)=0,即m=是 10.解：(1)设D(x,y).因为AB=Ci,所以(2，-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1)，整 理得(1，-5)=(x-4,y-1), （x-4=1, 1x=5, 所以y-1=-5,解得{y=-4,所以D(5,-4): (2)因为a=AB=(1,-5),b=B元=(4,1)-(2，-2)=(2,3)， 1/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3), a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4). 因为向量ka一b与a+3b平行， 所以7(-5-3)-4(k-2)=0,解得k=-专， 11.A由a∥b,得-2×(-)-(1-cos0)(1+cos0)=0,即号=1-cos20=sim26,得sim6= ±号，又6为锐角，sin0-吗，6=45，救选A 12.CD对于A,.a=（2,1),b=(1,-1),∴.a·b=2-1=1>0,a与b的夹角为锐角， 故A错误；对于B,a=(2,1),b=(1,-1),a·b=1,|a|=V5,1b1=2,.向 量a在b方向上的投影向量为|a·品·合=6，故B错误；对于C,:a=(2,1),b= (1,-1),∴.a-b=(1,2),又（a-b)∥c,c=(m-2,-n),∴.-n=2(m-2),.2m 十n=4,故C正确：对于D,2m+n=4,而m,n均为正数，÷mn=生(2mm）≤(2型)2 2,当且仅当2m=n,即m=1,n=2时等号成立，.mn的最大值为2，故D正确.故选C、D. 13.+2解析：由题意，得=0i-01=(-a+2,-2),AC=0心-OA=(b+2,-4). 又AB∥AC,所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a十b=2,所以是+言=号(2a十b) .(任+名)=(3+号+)≥·(3+2层)=5，当且仅当6=2a时等号成立，即+ 的最小值为42巨 14.解：(1)因为b+c=(simx-1,-1),且a∥(b+c), 所以-(2+sinx)=sinx-l,即sinx=-克. 又x∈[-罗晋]，所以x=一晋 (2)a+d=(3+sinx,1+k),b+c=(sinx-1,-1), 若(a+d)⊥(b+c),则(a+d)·(b+c)=0, 即(3+sinx)(sinx-1)-(1+k)=0, 所以k=sin2x+2sinx-4=(sinx+1)2-5. 由simx∈[-1,1]，可得k∈[-5，-1]， 所以存在k∈[-5，-1]，使得(a+d)⊥(b+c)· 15.解：(1)0A·0=4×2+0×2V3=8, 设0A与0B的夹角为0， 2/3 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 OAOB 则cos6=0=最4=支， 0A在o丽上的投影向量为1Oi1·c0s0路=4X生×色2)=(1，V5)》. 0范 4 (2)'AB=0i-0A=(-2,2V3), B元=0元-0B=(1-)OA-(1-)0B =(元-1)AB,且2≠元， A,B,C三点共线 当AB=BC时，元-1=1，.元=2。 (3)10元12=(1-)26A2+21(1-)OA·0B+20B2 =162-16M+16=16(1-专)+12， ∴.当元=时，10元|取得最小值23， 3/3 ·独家授权侵权必究·