9.2.3 第2课时 向量数量积的运算律及性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时　向量数量积的运算律及性质 1.（2025·常州期中）已知单位向量a，b满足＝，则a·（a＋b）＝（　　） A. B. C.4 D.2 2.若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. C.7 D.3 3.已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（　　） A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜ C.a⊥b D.a∥b 4.设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.5 5.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 6.〔多选〕已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，下列结论正确的是（　　） A.a是单位向量 B.∥b C.a·b＝1 D.⊥（4a＋b） 7.设单位向量a，b的夹角的余弦值为－，则（2a－b）·（a＋b）＝　　　　. 8.设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a与b的夹角θ＝　　　　. 9.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，则实数k的值为　　　　. 10.已知平面向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝1，且a与b的夹角为. （1）求a·b和； （2）若（a＋λb）⊥（2a－b），求实数λ的值. 11.（2025·扬州期末）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，AB＝12，AC＝9，∠BAC＝60°，则·＝（　　） A.50 B.80 C.86 D.110 12.〔多选〕已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，它们的夹角为60°，则（　　） A.a·b＝1 B.｜2a＋b｜＝2 C.｜2a－b｜＝2 D.向量a与向量a－b的夹角为90° 13.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则·＝　　　　. 14.已知在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且＝2. 记＝a，＝b. （1）用a，b表示向量； （2）若｜a｜＝｜b｜，且AM⊥CN，求∠BAC的大小. 15.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含C，D点）. （1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值； （2）若AB＝2，当·＝1时，求cos∠EAF的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　向量数量积的运算律及性质 1.B　因为（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4a·b＝2，所以a·b＝，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝1＋＝. 2.B　∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－a·b＝1×1×＝，即a·b＝，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2×＋1＝3，即｜a＋b｜＝.故选B. 3.B　∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜ .故选B. 4.A　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A. 5.A　因为（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，又因为－＝，所以（－）·（＋）＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形. 6.ABD　对于A，因为｜｜＝2，＝2a，所以｜a｜＝＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b，故B正确；对于C，由＝2a＋b，得＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－＝－1≠1，故C错误；对于D，因为＝b，·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以⊥（4a＋b）， 故D正确.故选A、B、D. 7.　解析：因为cos＜a，b＞＝－，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝－，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－－1＝. 8.120°　解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜cos θ＝－｜a｜2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 9.－5　解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5. 10.解：（1）由题意得a·b＝｜a｜｜b｜cos ＜a，b＞＝×1×cos＝1， 所以＝＝＝＝. （2）因为（a＋λb）⊥（2a－b），又由（1）知a·b＝1， 所以（a＋λb）·（2a－b）＝2a2＋（2λ－1）·a·b－λb2＝2×＋（2λ－1）－λ＝3＋λ＝0，解得λ＝－3. 11.B　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝（＋）·（＋）＝＋·＋·＋＝×144＋×12×9×＋×81＝32＋30＋18＝80.故选B. 12.ABD　对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1×2×＝1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝＝＝2，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝＝＝2，故C错误；对于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选A、B、D. 13.13　解析：∵N是BC边的中点，可得＝（＋），∵M是△ABC的外接圆的圆心，∴·＝｜｜·｜｜cos∠BAM＝｜｜2＝×42＝8，同理可得·＝｜｜2＝18，∴·＝（＋）·＝·＋·＝×8＋×18＝13. 14.解：（1）因为在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且＝2， 所以＝－＝－（＋）＝－＝a－b. （2）＝a＋b，＝－＝a－b， 因为AM⊥CN，所以⊥，即·＝0， 故（a＋b）·（a－b）＝0，化简得a2－a·b－b2＝0， 因为｜a｜＝｜b｜，所以a2＝b2， 代入上式得a·b＝a2－b2＝×b2－b2＝0， 即a·b＝0，所以⊥，即∠BAC＝. 15.解：（1）∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， ∴＝＝，＝－＝－， ∴＝＋＝－＋， 又＝λ＋μ， ∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝. （2）设＝m（0≤m≤1）， 则＝＋＝－m， 又＝＋＝＋，·＝0， ∴·＝（＋）·（－m）＝－m＋＝－4m＋2＝1，故m＝. ∴·＝（＋）·（＋）＝＋＝3＋2＝5， 易得｜｜＝，｜｜＝， ∴cos∠EAF＝＝＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $