9.2.3 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 1.（2025·南通期中）若a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A.a＝b B.a∥b C.a·b＝1 D.a2＝b2 2.已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则e1·e2＝（　　） A.1 B.－1 C. D.－ 4.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A.－ B. C.－ D. 5.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜｜＝4，则·＝（　　） A.4 B.8 C.8 D.16 6.〔多选〕若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是（　　） A.0 B. C.2 D.3 7.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD的形状是　　　　（填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”）. 8.已知b为一个单位向量，若a在b上的投影向量为－b，｜a｜＝2，则a与b的夹角为　　　　. 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·＝　　　　. 10.在△ABC中，AC＝3，向量在上的投影向量为－2，S△ABC＝3，求BC的长度. 11.定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜＝（　　） A.8 B.－8 C.8或－8 D.6 12.〔多选〕已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是（　　） A.cos θ＞0⇔e1·e2＞0 B.若e1∥e2，则e1·e2＝1 C.若e1∥e2，则e1·e2＝－1 D.｜e1·e2｜≤1 13.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝　　　　. 14.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. （1）若＝，求x，y的值； （2）若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值. 15.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量数量积的概念、 运算及投影向量 1.D　a，b是两个单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，但a，b方向不能确定，故A、B错误；设a，b夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝cos θ，只有a，b同向共线时，才有cos θ＝1，故C错误；∵a2＝｜a｜2＝1，b2＝｜b｜2＝1，∴a2＝b2，故D正确.故选D. 2.B　易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＞0，故cos＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n＞∈（0，），反之，若＜m，n＞∈（0，），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的必要不充分条件，故选B. 3.C　因为e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，所以e1·e2＝·cos 45°＝1×1×＝. 4.A　a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 5.B　法一　依题意，｜｜cos＜，＞＝｜｜，则·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝｜｜×｜｜＝4×2＝8. 法二　结合圆的性质易得在上的投影向量为，所以·＝＝×42＝8. 6.ABC　由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、C正确.故选A、B、C. 7.矩形　解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC􀱀AD，所以四边形ABCD是矩形. 8.　解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由题意知｜a｜cos θ＝－，所以cos θ＝－＝－，所以θ＝. 9.－1　解析：法一　·＝｜｜·｜｜cos（180°－∠B）＝－｜｜｜｜·cos B＝－｜｜｜｜·＝－｜｜2＝－1. 法二　｜｜＝1，即为单位向量，·＝－·＝－｜｜·｜｜cos B，而｜｜·cos B＝｜｜，所以·＝－｜｜2＝－1. 10.解：因为向量在上的投影向量为－2，故∠BAC为钝角， 如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上， 而向量在上的投影向量为＝｜｜×cos∠BAC×＝－｜｜×，故｜｜＝2. 又S△ABC＝3，所以×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝＝＝. 11.A　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A. 12.AD　∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos θ＝cos θ，∴若cos θ＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有cos θ＞0，故A正确；e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正确.故选A、D. 13.18　解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点，·＝·＝2·，因为在上的投影向量为，则·＝·.所以·＝2·＝2｜｜2＝2×32＝18. 14.解：（1）若＝，则＝＋， 故x＝y＝. （2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2. 又因为＝3，所以｜｜＝. 所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝. 设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3. 15.解：（1）由已知可得＝，＝－， 易得OAMB是菱形（图略），则＝＋， 所以＝－＝－（＋）＝－－. （2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，　 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝； 当MC与MO重合时，MC最大， 此时MC＝1，则·＝cos 60°＝， 所以·的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $