9.2.2 第2课时 向量共线定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时　向量共线定理 1.已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则（　　） A.A，B，D三点共线　　　B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 2.已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　） ①a＝5e1，b＝7e1； ②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； ③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.（2025·徐州质检）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（　　） A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　） A.－ B.－ C. D. 5.〔多选〕已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，E为线段BC的中点，则＝（　　） A.＋ B.－ C.＋ D.＋ 6.〔多选〕已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（　　） A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 7.（2025·苏州期中）已知a，b为两个不共线的非零向量，若ka＋b与a－2b共线，则k＝　　　　. 8.已知四边形ABCD为正方形，＝3，AP与CD交于点E，若＝m＋n，则m－n＝　　　　. 9.如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若＝x＋y，则x＋y＝　　　　. 10.设不共线向量e1，e2，若＝e1＋2e2，＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2. （1）计算2＋－； （2）判断A，B，D三点是否共线，并说明理由. 11.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝（　　） A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 12.〔多选〕数学家欧拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（　　） A.＋＋＝0 B.＋＝2－4 C.＝3 D.｜｜＝｜｜＝｜｜ 13.已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是　　　　. 14.在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n（m，n∈R），求的值. 15.设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满足＋＝1时，连接p，q两个向量终点的直线是否通过一个定点？证明你的结论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　向量共线定理 1.D　对于A，＝＋＝－a＋3b＋a＋3b＝6b，与不共线，故A错误；对于B，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，故B错误；对于C，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，故C错误；对于D，＝＋＝4a＋6b－a＋3b＝3a＋9b＝3，即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，故D正确.故选D. 2.A　①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A. 3.D　因为E为AB的中点，F为CE的中点，所以＝（＋）＝（＋＋）＝＋.故选D. 4.C　如图，＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋，所以＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝.故选C. 5.AC　如图所示，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋×＝＋.故选A、C. 6.AB　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线.故选A、B. 7.－　解析：若ka＋b与a－2b共线，则ka＋b＝λ（a－2b），λ∈R，则ka＋b＝λa－2λb，因为a，b为两个不共线的非零向量，故k＝λ，1＝－2λ，解得k＝－. 8.　解析：由题作图如图所示，∵＝3，∴BP＝3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，∴m－n＝－＝. 9.1　解析：因为点D是线段BC的中点，所以＝2，所以＝x＋y＝x＋y.因为A，E，D三点共线，所以x＋y＝1. 10.解：（1）2＋－ ＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2 ＝－6e1－10e2. （2）因为＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2， 所以＝＋＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2， 又＝e1＋2e2， 所以＝， 所以和共线，又和有公共点B， 所以A，B，D三点共线. 11.B　由题得＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）.解得＝＋，即＝a＋b.故选B. 12.ABD　如图，因为O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以＝.对于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以＝2.又＋＝2，所以＋＝，即＋＋＝0，故A正确；对于B，由A可得＝3，故＋＝2＝6＝2＋4＝2（－）＋4（－）＝2－4＋4－2＝2－4，即＋＝2－4，故B正确；对于C，＝－＝2－2＝2，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点O到三个顶点的距离相等，即｜｜＝｜｜＝｜｜，故D正确.故选A、B、D. 13.2∶3　解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 14.解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接DM交AC于点N.在▱ABCD中，E是AD的中点，M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD. 在△AND中，E为AD的中点， 所以F为AN的中点，所以AF＝FN. 同理可得FN＝CN. 所以AF＝FN＝CN， 所以＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－. 又因为＝m＋n（m，n∈R）， 所以m＝，n＝－，所以＝－2. 15.解：设＝＋，则C为定点.证明如下： 设p＝，q＝，C'为直线A'B'上任意一点. ∵O，A，B不共线， ∴存在实数m，n使＝m＋n＝mp＋nq，且m＋n＝1. ∵＋＝1，∴可设m＝，n＝，∴＝＋. 又∵＋＝，∴C与C'重合. 故连接p，q两个向量终点的直线通过一个定点C. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $