第13章 培优课 与球有关的“切”“接”问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦空间几何体与球的“切”“接”问题，系统梳理外接球（含柱体、锥体、台体及可补成规则几何体）和内切球的求解方法，通过“题型分类—通性通法—例题解析—跟踪训练”的学习支架，构建从基础到综合应用的知识脉络。 资料以“问题情境—模型构建—逻辑推理”为主线，通过圆柱轴截面求直径、三棱锥补形为长方体等实例，培养学生空间观念与几何直观（数学眼光），引导学生用方程思想建立半径关系，提升运算能力与推理意识（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与作业，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

　　空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量建立关系. 题型一｜几何体的外接球 角度1　柱体的外接球 【例1】　（1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（　　） A.　 B. C.　 D. （2）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　. 通性通法 柱体外接球问题的求解策略 （1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； （2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； （3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 角度2　锥体的外接球 【例2】　（1）已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　　　　； （2）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球的体积为　　　　. 通性通法 锥体外接球问题的求解策略 （1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； 　　 （2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可； （3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半径的方法求解即可. 角度3　台体的外接球 【例3】　已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π　 B.128π 　C.144π　 D.192π 通性通法 台体外接球问题的求解策略 （1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径： （2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的方法求解. 角度4　可补成规则几何体的外接球 【例4】　已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　　　　. 通性通法 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图③所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示. 【跟踪训练】 1.在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为（　　） A.　 B.3π　　C.　 D.5π 2.一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的外接球的体积为　　　　. 3.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为　　　　. 题型二｜几何体的内切球 【例5】　（1）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（　　） A.　 B.　　C.　 D.π （2）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（　　） A.　 B.　　C.　 D.9π 通性通法 常见几何体内切球的求解策略 （1）正方体的内切球：正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设正方体的边长为a，其内切球半径为R＝； （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝. 【跟踪训练】 　一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（　　） A.96　 B.16　　 C.24　 D.48 1.已知正方体的内切球的体积是 π，则正方体的棱长为（　　） A.2 　 B.　　 C.　 D. 2.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（　　） A.6π　 B.12π　　 C.8π　 D.16π 3.（2025·镇江期末）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　培优课 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　与球有关的“切”“接”问题 【例1】　（1）B　（2）　解析：（1）法一　如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，∴外接球体积V＝π（）3＝ π.故选B. 法二　由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，∴2R＝＝2，R＝，∴外接球体积V＝π（）3＝π. （2）设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有解得由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，∴外接球的直径2R＝＝2，∴R＝1，∴V球＝. 【例2】　（1）3π　（2）　解析：（1）设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2r－R）2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. （2）法一　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面，外接圆的半径就是外接球的半径，在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球＝. 法二　设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S-ABCD的外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆的半径r＝1，又AS＝，AO1＝r＝1，∴SO1＝＝＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝. 【例3】　A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 【例4】　16π　解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. 跟踪训练 1.C　如图，将三棱锥P-BCD放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P-BCD的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径PD＝＝＝3，所以该球的体积为π×（）3＝. 2.π　解析：设圆台的高为h，由轴截面的面积为6，得 ＝6，解得h＝2，设该圆台外接球的半径为R，由题意得＋ ＝2，解得R＝，所以该圆台的外接球的体积为 πR3＝π×（）3＝π. 3.4π　解析：依题意，作球的轴截面如图所示，其中O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知πR3＝36π，解得R＝3，由于圆柱的高为2，则OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝＝2，母线EC＝＝2，故圆锥的侧面积为S＝π·DC·EC＝π×2×2＝4π. 【例5】　（1）B　（2）C 解析：（1）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为. （2）设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝××3×4×4＝×（×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5）×r，解得r＝，所以球O的体积V＝πr3＝，故选C. 跟踪训练 D　由球的体积为，得πr3＝，解得r＝2，又球与正三棱柱内切，故h＝2r＝4，设正三棱柱的底面边长为a，如图，得r2＋（）2＝（2r）2，解得a＝4，∴正三棱柱的底面积S＝a2＝12，∴该正三棱柱的体积V＝S·h＝48. 随堂检测 1.A　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又 πR3＝π，所以R3＝2 ，所以R＝，所以a＝2 . 2.D　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（）2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 3.24π　解析：由题意得正四棱柱的底面边长为2，则底面正方形的对角线的长度为＝2，所以正四棱柱体对角线的长度为＝2，因为正四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为S＝4πr2＝4π·6＝24π. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $