章末检测（十三）立体几何初步(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

章末检测（十三）　立体几何初步 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知圆柱的底面半径为2 cm，体积为12π cm3，则该圆柱的表面积为（　　） A.12π cm2 B.16π cm2 C.18π cm2 D.20π cm2 2.设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（　　） A.若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m B.若l⊥α，m⊂β，l∥m，则α⊥β C.若l⊥α，m⊥α，则l∥m D.若l∥α，l∥β，则α∥β 3.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角△A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'＝1，则△ABC中BC边上的高为（　　） A.2 B. C.2 D.1 4.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（　　） A.8π B.8π C.9π D.9π 5.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的大小为（　　） A.30°　 　B.45° C.60°　　　D.90° 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点.若AB＝6，则点B到平面ACE的距离为（　　） A.　　　B. C.　 　D.3 7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点，则A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别为A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（　　） A.　　　B.2 C.2　　　D.4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则“m∥n”的充分条件是（　　） A.m⊥l，n⊥l B.m∥α，m⊂β，α∩β＝n C.m⊥α，n⊥β，α∥β D.α∥β，m⊂α，n⊂β 10.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN（不包含端点）上运动时，下列四个结论中恒成立的为（　　） A.EP⊥AC B.EP∥BD C.EP∥平面SBD D.EP⊥平面SAC 11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则下列说法正确的是（　　） A.弧AD长度为 B.曲池的体积为 C.曲池的表面积为20＋14π D.三棱锥A-CC1D的体积为5 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的棱长为　　　　. 13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为　　　　. 14.如图所示，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'＝AD＝2，则直线AB到平面DA'C的距离为　　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，B1C1，A1B1上的点.已知AB＝6，A1B1＝3，B1Q＝B1P＝1，BM＝BN＝4，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为6. （1）证明：直线MQ，BB1，NP相交于同一点； （2）求正四棱台ABCD-A1B1C1D1挖去三棱台BMN-B1QP后所得几何体的体积. 16.（本小题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝CA＝2，PA＝，PB＝PC＝. （1）求三棱锥P-ABC的体积； （2）求点A到平面PBC的距离. 17.（本小题满分15分）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，AC＝5. （1）当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若PA＝3，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 18.（本小题满分17分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD＝4，CD⊥AD，AA1⊥BC，E，F分别是棱AB，BC的中点. （1）证明：BC⊥平面ACC1A1； （2）若AA1⊥AB，直线A1E与平面ACC1A1所成角的正弦值为， ①求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积； ②求二面角F-A1C1-A的余弦值. 19.（本小题满分17分）如图①，已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点.现将△ADC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面BCD，如图②所示. （1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （2）若三棱锥E-DFC的体积为，求a的值； （3）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（十三）　立体几何初步 1.D　设圆柱的高为h，因为圆柱的底面半径为2 cm，体积为12π cm3，则圆柱的底面周长为2πr＝4π，体积V＝Sh＝4πh＝12π，解得h＝3 cm，所以圆柱的表面积为4π×3＋2×4π＝12π＋8π＝20π cm2.故选D. 2.D　对于A，因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又因为m⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若l⊥α，m⊥α，则l∥m，故C正确；对于D，若l∥α，l∥β，则可能α与β相交，故D错误.故选D. 3.A　∵直观图是等腰直角△A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，O'为B'C'的中点，A'O'＝1，∴A'C'＝.根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高AC＝2A'C'＝2.故选A. 4.C　如图所示，圆台上、下底面圆的圆心分别为O'，O，点A，B是圆台的轴截面与球的交点，过点B作BC⊥OA于点C，则OC＝O'B＝4，OB＝5，AC＝1，所以BC＝3，AB＝＝，即圆台的母线长为，所以圆台的侧面积S＝π（4＋5）×＝9π.故选C. 5.D　如图，取CD中点E，连接C1E，ME，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四边形B1C1EM为平行四边形，∴C1E∥B1M，∴异面直线B1M与CN所成角为直线C1E与CN所成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，∴C1E⊥CN，∴直线B1M与CN所成角的大小为90°. 6.B　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，E是BB1的中点，则BE＝3，AE＝CE＝＝3，AC＝6，∴S△ACE＝×6×＝9.设点B到平面ACE的距离为h，由VE-ABC＝VB-ACE，得××6×6×3＝×9h，解得h＝.故选B. 7.B　如图，由题意得，连接A1C，AC1相交于点E，取CC1的中点F，连接EF，DF.根据作图可知，EF＝，DF＝1，且∠DFE＝60°，取AC的中点G，连接EG，BG，可得GE，BD平行且相等，所以四边形BDEG为平行四边形，DE＝BG.在等边△ABC中，因为G是AC中点，所以BG⊥AC，故由勾股定理，BG＝＝＝，所以DE＝BG＝.又因为在△DEF中，DE2＋EF2＝DF2，所以DE⊥EF，因为AA1⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，所以AA1⊥BG，因为DE∥BG，所以AA1⊥DE，因为EF，AA1是平面AA1C1C内的两条相交直线，所以DE⊥平面AA1C1C，所以根据线面角的定义，A1D与平面AA1C1C所成的角为∠DA1E，又因为DA1＝＝＝，所以在Rt△DA1E中，sin∠DA1E＝＝＝. 8.C　如图，取A1D1中点为M，连接ME，MF，取CD，CB中点分别为P，Q，连接PH，PQ，QG.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由题意知四边形PQGH为矩形，且ME∥GH，MF∥QG，因为ME⊄平面PQGH，MF⊄平面PQGH，GH⊂平面PQGH，QG⊂平面PQGH，所以ME∥平面PQGH，MF∥平面PQGH，又ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面PQGH，因为EF⊂平面MEF，所以EF∥平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以PQ＝，QG＝2，所以矩形PQGH的面积为PQ·QG＝2，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为2，故选C. 9.BC　对于A，由m⊥l，n⊥l，则m，n可能相交，可能异面，可能平行，故A错误；对于B，由线面平行的性质定理可知m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n，故C正确；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n异面或者平行，故D错误.故选B、C. 10.AC　如图所示，设AC，BD相交于点O，连接EM，EN，SO.由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，SO⊥AC.因为SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD.因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP，故A正确；因为EM∥BD，EM⊂平面EMN，BD⊄平面EMN，所以BD∥平面EMN.又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正确；平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD，故C正确；由题易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故D不正确.故选A、C. 11.ACD　对于A，设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍，R＝3×r，即R＝3r，∴CD＝R－r＝2r＝2，∴r＝1，R＝3，∴弧AD的长度为，故A正确；对于B，曲池的体积为V＝（πR2－πr2）×AA1＝（π×32－π×12）×5＝10π，故B错误；对于C，曲池的表面积为（πR2－πr2）×2＋（πR＋πr）×5＋2×5×2＝（π×32－π×12）×2＋（π×3＋π×1）×5＋20＝20＋14π，故C正确；对于D，三棱锥A-CC1D的体积为××2×5×3＝5，故D正确.故选A、C、D. 12.2　解析：设正方体棱长为a，则×a2×a＝，解得a＝2. 13. 解析：如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的， 则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为GE1.由题意可知GH＝5，GF1＝，所以GE1＝＝＝，所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是. 14.　解析：如图，取B'C的中点E，连接BE，∵四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，∴AB⊥平面BCB'，又BE⊂平面BCB'，∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E为B'C的中点，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB'⊂平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝. 15.解：（1）证明：在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，因为B1Q＝B1P＝1，BM＝BN＝4，B1Q∥BM，B1P∥BN，所以四边形B1QMB，B1PNB均为梯形，则直线MQ与BB1必相交，直线NP与BB1必相交. 延长MQ，BB1，NP，设MQ的延长线与BB1的延长线交于点E，NP的延长线与BB1的延长线交于点F. 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1，BC∥B1C1， 则＝＝，＝＝，得EB1＝FB1，所以点E，F重合， 即直线MQ，BB1，NP相交于同一点. （2）正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为×（32＋62＋）×6＝126. 由题意可得三棱台BMN-B1QP的高为6， 则三棱台BMN-B1QP的体积为×（×12＋×42＋）×6＝21. 故所求几何体的体积为126－21＝105. 16.解：（1）因为AB＝BC＝CA＝2，PB＝PC＝，PA＝， 所以PB2＝7＝22＋（）2＝AB2＋PA2，PC2＝7＝22＋（）2＝AC2＋PA2， 所以PA⊥AB，PA⊥AC， 又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC， 所以PA⊥平面ABC， 又S△ABC＝×2×2×sin 60°＝， 所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝S△ABC·PA＝××＝1. （2）在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2， 所以BC边上的高为h＝＝， 所以S△PBC＝×2×＝， 设点A到平面PBC的距离为d，所以VP-ABC＝S△PBC·d＝d， 由（1）可得d＝1，解得d＝＝. 所以点A到平面PBC的距离为. 17.解：（1）由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC， 由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD得PA⊥BC， 由PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 则BC⊥平面PAB， 则点C到平面PAB的距离为一个定值BC，BC＝4. （2）设直线PC与平面PAD所成的角为α， 由AD∥BC，AB⊥BC可知AB⊥AD， 又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 则AB⊥平面PAD，则B点到平面PAD的距离为AB＝3， 由BC∥AD知点C与点B到平面PAD的距离相等， 则点C到平面PAD的距离为d＝AB＝3， 由PA＝3，AC＝5知PC＝＝， 故sin α＝＝＝. 18.解：（1）证明：在梯形ABCD中，CD⊥AD，AD＝CD＝2，则AC＝2，∠BAC＝45°， 在△ABC中，AB＝4，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 45°＝8， 则BC2＋AC2＝16＝AB2，BC⊥AC，又AA1⊥BC，AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. （2）①由AA1⊥AB，AA1⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，得AA1⊥平面ABCD， 取AC中点O，连接EO，A1O，由E是AB的中点，得EO∥BC，EO＝BC＝， 由（1）知，EO⊥平面ACC1A1，则∠EA1O即为直线A1E与平面ACC1A1所成的角， 即sin∠EA1O＝，A1E＝＝2，AA1＝＝4， 所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V＝S梯形ABCD·AA1＝×4＝24. ②连接C1F，由①知AA1⊥平面ABCD，CC1∥AA1，则CC1⊥平面ABCD， 因为AC⊂平面ABCD，则AC⊥CC1，而A1C1∥AC，于是A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1， 又CC1，B1C1⊂平面BCC1B1， 所以A1C1⊥平面BCC1B1， 因为FC1⊂平面BCC1B1， 所以FC1⊥A1C1，又AA1⊥A1C1， 所以二面角F-A1C1-A的平面角为∠FC1C， 由F是BC的中点，得cos∠FC1C＝＝＝＝， 所以二面角F-A1C1-A的夹角的余弦值是. 19.解：（1）AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以EF∥AB. 又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF. （2）由题意，知AD⊥CD，又平面ADC⊥平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，所以AD⊥平面BCD. 如图，取CD的中点M， 连接EM，则EM∥AD， 所以EM⊥平面BCD，且EM＝. 因为三棱锥E-DFC的体积为， 所以××＝，解得a＝2. （3）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF.理由如下： 易知△BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作PK∥DA交AC于点P，连接BP，则点P即所求，如图所示. 因为AD⊥平面BCD，PK∥DA， 所以PK⊥平面BCD，所以PK⊥DF. 又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK⊂平面PKB， 所以DF⊥平面PKB，所以DF⊥PB. 又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°， 所以DK＝KF＝KC. 故＝＝，从而＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $