14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦用样本估计总体的离散程度参数，系统梳理极差（数据最值差，反映波动）、方差（偏差平方均值）、标准差（方差算术平方根）及分层抽样方差的计算，承接集中趋势估计，构建从基础概念到分层应用的统计学习支架。 以钢筋抗拉强度比较问题引入，设“想一想”互动深化概念，例题涵盖方差计算、数据变换及分层抽样方差，培养数学抽象、数据分析与数学运算素养。课中辅助教师系统教学，课后通过练习题助学生巩固方法，查漏补缺。

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 课标要求 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义（数学抽象、数据分析）. 2.结合具体实例，掌握分层抽样的样本方差（数学运算）. 　　有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 【问题】　哪种钢筋的质量较好？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　极差 1.定义：一组数据的　　　　　　　　　　　称为极差. 2.作用：一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小. 3.范围：极差的取值范围是[0，＋∞）. 知识点二　方差、标准差 1.方差：设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2＝　　　　　　　　为这个样本的方差，简称样本方差. 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1（x1－）2＋p2（x2－）2＋…＋pn（xn－）2. 2.标准差：方差的算术平方根s＝ 　　　　　　　　　为样本的标准差，简称样本标准差. 3.方差、标准差的意义：方差（标准差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差（标准差）越大，数据的离散程度　　　　；方差（标准差）越小，数据的离散程度　　　　；但在解决实际问题时，一般采用标准差；标准差（方差）的取值范围为[0，＋∞），标准差的大小不超过极差. 【想一想】 1.样本方差与样本标准差的区别与联系是什么？ 2.数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为，那么s2与的大小关系如何？ 知识点三　分层抽样数据的方差 1.定义：一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，，第j层的样本量为nj，样本平均数为，样本方差为，j＝1，2，…，k.记nj＝n，那么，所有数据的样本方差为＝ （xjt－）2＝　　　　　　　　　　　　. 2.计算公式：设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为s2＝　　　　　　　　　　　　. 1.（2025·南通期末）下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（　　） A.平均数　　　　　　 B.中位数 C.众数　 D.方差 2.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩与人数分布如图①、②、③，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（　　） A.s3＞s1＞s2　　 B.s2＞s1＞s3 C.s1＞s2＞s3　 D.s3＞s2＞s1 3.为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据，计算得到他们体质指数的平均数为25.1，方差为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们体质指数的平均数为20.3，方差为3.则样本方差是　　　　. 题型一｜方差、标准差的计算 【例1】　（链接教科书第253页例7）（1）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们参加环保知识竞赛的成绩如下（单位：分）： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. 分别计算两组数据的极差、方差和标准差. （2）若k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，试求2（k1－3），2（k2－3），…，2（k6－3）的平均数与方差. 通性通法 1.计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]； （2）简化法：s2＝[（＋＋…＋）－n]. 2.具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为和s2，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜. 特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为±b，方差为s2，标准差为s；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k，方差为k2s2，标准差为｜ks｜. 【跟踪训练】 1.如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图，则样本数据的方差为（结果保留整数）（　　） A.18　 B.19　 　C.20　 D.21 2.某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示： 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 求全班这次考试成绩的平均数和标准差. 题型二｜分层抽样的方差 【例2】　（链接教科书第255页例9）甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 通性通法 计算分层抽样的方差s2的步骤 （1）确定，，，； （2）确定； （3）应用公式s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]，计算s2. 【跟踪训练】 　已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2025年5月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.6万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为　　　　. 题型三｜方差、标准差的应用 【例3】　甲、乙两名运动员在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. （1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出两组数据的方差和标准差； （3）根据计算结果，估计两名运动员的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 通性通法 数据分析要点 （1）平均数反映的是样本的平均水平，方差和标准差则反映了样本的波动、离散程度.对于形如“谁发挥更好”“谁更优秀”的题目，除比较数据的平均数外，还应该比较方差或标准差的大小，以作出更为公正、合理的判断； （2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的. 【跟踪训练】 　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 （1）请你计算这两组数据的平均数、中位数； （2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由. 1.已知数据3，7，a，6的平均数是4，则这组数据的标准差为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 2.〔多选〕甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（　　） A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150为优秀） D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 3.（2025·盐城期末）若k1，k2，…，k8的方差为2，则3k1－2，3k2－2，…，3k8－2的方差为　　　　. 4.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差. 提示：完成课后作业　第十四章　14.4　14.4.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 【基础落实】 知识点一 1.最大值与最小值的差 知识点二 1.（xi－）2　2.　3.越大　越小 想一想 1.提示：区别：定义不同，单位不同.联系：样本标准差是样本方差的算术平方根. 2.提示：因为数据x1，x2，…，xn，比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即＜s2. 知识点三 1.nj[＋（－）2]　2.[＋（－）2]＋[＋（－）2] 自我诊断 1.D　平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，极差、方差、标准差是描述一组数据的离散程度的量.故选D. 2.D　所给题图是成绩分布图，平均分是75分，在图①中，集中在75分附近的数据最多，图③中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图②介于两者之间.由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.故选D. 3.10.2　解析：样本平均数＝≈23.4，方差s2＝ ≈10.2. 【典例研析】 【例1】　解：（1）甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35（分）， 甲组平均分为＝×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80）＝79（分）， 甲组方差为＝×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）2＋（75－79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋（90－79）2＋（95－79）2＋（80－79）2]＝119， 甲组标准差为s甲＝＝≈10.91（分）. 乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30（分）， 乙组平均分为＝×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85）＝81.5（分）， 乙组方差为＝×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－81.5）2＋（70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋（85－81.5）2＋（65－81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－81.5）2]＝75.25， 乙组标准差为s乙＝＝≈8.67（分）. （2）因为k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，则2（k1－3），2（k2－3），…，2（k6－3）的平均数为2×（6－3）＝6，方差为22×3＝12. 跟踪训练 1.C　由频率分布直方图可得样本数据的平均数为4×（0.02×4）＋8×（0.08×4）＋12×（0.09×4）＋16×（0.03×4）＋20×（0.03×4）＝11.52，其方差s2＝（4－11.52）2×0.08＋（8－11.52）2×0.32＋（12－11.52）2×0.36＋（16－11.52）2×0.12＋（20－11.52）2×0.12≈20. 2.解：设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为，标准差为s. 根据题意，有＝＝85， 42＝（＋＋…＋－20×902）， 62＝（＋＋…＋－20×802）， ∴＋＋…＋＝20×（42＋62＋902＋802）＝291 040. ∴s2＝（＋＋…＋－40） ＝×（291 040－40×852）＝51，∴s＝. 【例2】　解：由题意可知＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占权重为＝， ＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占权重为＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68（kg）， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝×[200＋（60－68）2]＋×[300＋（70－68）2]＝296. 跟踪训练 　119.12　解析：记该省所有城市房产均价为，二线城市房价的方差为s2，由题意可知＝1.2（万元/平方米），则20＝×[s2＋（2.4－1.2）2]＋×[10＋（1.6－1.2）2]＋×[8＋（0.8－1.2）2]，解得s2＝119.12，即二线城市房价的方差为119.12. 【例3】　解：（1）＝×（8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7）＝7， ＝×（6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5）＝7. （2）由方差公式s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，得＝3，＝1.2. 故s甲≈1.7，s乙≈1.1. （3）＝，说明甲、乙两运动员的平均水平相当. 又＞，说明甲运动员射击情况波动大. 因此，乙运动员比甲运动员射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛. 跟踪训练 　解：（1） ＝×（95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78）＝85（分）， ＝×（83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95）＝85（分）. 甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分. （2）由（1）知＝＝85分，则 ＝×[（95－85）2＋（82－85）2＋…＋（78－85）2]＝35.5， ＝×[（83－85）2＋（75－85）2＋…＋（95－85）2]＝41. ①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲； ③从方差来看，因为＝，＜，所以甲的成绩较稳定； ④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些； ⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力. 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩. 随堂检测 1.C　由题意得＝4，即a＝0，则s2＝ ＝，所以s＝＝.故选C. 2.ABC　甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，故A正确；＝191＞110＝，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，故B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，故C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，故D错误.故选A、B、C. 3.18　解析：设k1，k2，…，k8的平均数为k，则s2＝［（ki－k）2］＝2.显然3k1－2，3k2－2，…，3k8－2的平均数为3k－2，所以方差为s'2＝［[（3ki－2）－（3k－2）]2］＝9×［（ki－k）2］＝9×2＝18. 4.解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45（岁）， 年龄的方差为＝×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39.2（岁）， 该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是s2＝×[2＋（38－39.2）2]＋×[73＋（45－39.2）2]＝20.64. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $