1.4.3诱导公式与对称课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第4节 正弦函数和余弦函数的概念及性质 4.3 诱导公式与对称 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用. 2、理解诱导公式的推导过程. 3、能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 1、能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 1、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用. 2、理解诱导公式的推导过程. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 角α的终边与单位圆的交点为P(u,v), 把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值， 记作v=sinα（称为任意角α的正弦函数） 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值， 记作u=cosα（称为任意角α的正弦函数） 1、正弦函数、余弦函数的定义是什么？ O x P(u,v) α M 1 y 3 新 知 引 入 韦 达 α sinα cosα - - - - - - - - 2、特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值太多了，很不好记忆，而我们最熟悉的是锐角的三角函数值，能否根据锐角的三角函数值快速的得到其他特殊角的三角函数值呢？ 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 sinα、cosα与sin(-α)、cos(-α)的关系 x P(u,v) α M 1 在平面直角坐标系中， 设任意角α的终边与单位圆的交点为点P，则 sinα=v , cosα=u 在平面直角坐标系中，做出角-α, 设角-α的终边与单位圆的交点为P’. 则P’与P关于________对称，即_____坐标相等，______坐标互为相反数。 所以 sin(-α)=______ ,cos(-α)=________. -α P’ x轴 横 纵 -v u sin(-α)=-sinα , cos(-α)=cosα, 正弦函数v=sinα是奇函数;余弦函数u=cosα是偶函数. 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 sinα、cosα与sin(α±π)、cos(α±π)的关系 x P(u,v) α M 1 在平面直角坐标系中， 设任意角α的终边与单位圆的交点为点P，则 sinα=v , cosα=u 当点P沿逆(顺)时针方向旋转π弧度至点P＇时，点P＇就是α±π的终边与单位圆的交点. 则P＇与点P关于_______对称.即_____坐标互为相反数,____坐标互为相反数。 所以 sin(α±π)=_______,cos(α±π)=________. 原点 横 纵 α+π α-π P＇ -v -u sin(α+π)=-sinα , sin(α-π)=-sinα cos(α+π)=-cosα , cos(α-π)=-cosα 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 sinα、cosα与sin(π-α)、cos(π-α)的关系 x P(u,v) α M 1 在平面直角坐标系中， 设任意角α的终边与单位圆的交点为点P，则 sinα=v , cosα=u y O 把OP关于y轴对称，交单位圆于P’， 则∠xOP’=_______,且P’的纵坐标为_____,横坐标为____. 所以 sin(π-α)=_______ , cos(π-α)=______. P’ α π-α -u v v -u sin(π-α)=sinα , cos(π-α)=-cosα 7 学 习 新 知 拉格朗日 sin(α+2kπ)=sinα , cos(α+2kπ)=cosα sin(-α)=-sinα , cos(-α)=cosα sin(α+π)=-sinα , cos(α+π)=-cosα sin(α-π)=-sinα , cos(α-π)=-cosα sin(π-α)=sinα , cos(π-α)=-cosα 诱导公式 注意：1、 2、 3、 这些公式的记忆口诀是“函数名不变、符号看象限”。 “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名； “符号看象限”是指把角α看成锐角时新角在原函数下的符号， 由新角所在象限确定符号. 公式中的角α是任意角. 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，口诀是“负化正，大化小，最终都要变锐角”. 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. (1) 与 (2) 与 关于原点对称。 解： 关于y轴对称。 解： 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系. (1) 与 (2) - 与 关于x轴对称。 解： 关于y轴对称。 解： 10 典 例 引 路 华罗庚 例2、在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=,则sinβ=________. 解：∵α与β的终边关于y轴对称 ∴α+β=π+2kπ,k∈Z ∴β=π-α+2kπ,k∈Z ∴sinβ=sin(π-α+2kπ) =sinα = 11 同 步 练 习 陈景润 练2、（1）已知角α的终边经过点P(2,-3)，若角β与α的终边关于x轴对称，则sinα·cos(π+β)=______． 解:∵角α的终边经过点P(2,-3) ∴sinα = = ∵角β与α的终边关于x轴对称， ∴角β的终边经过点P＇(2,3)，所以cosβ= = ∴sinα·cos(π+β)=sinα(-cosβ)= × = (2)已α∈[,],且α与β的终边关于原点对称，则cosβ的最大值为____ 解:由题意β=α+π+2kπ,k∈Z，从而cosβ=cos(α+π+2kπ)=-cosα， ∵α∈[,] ∴所以cosα的取值范围是[,],cosβ的取值范围是[-,- ] 当且仅当α= ,即β= +2kπ,k∈Z时，cosβ取得最大值，且最大值为- 12 典 例 引 路 柯 西 例3、求下列三角函数值： ⑴ sin(- ) ⑵ cos ⑶ sin ⑷ cos(- ) 解：sin = - sin = -sin = sin = 解：cos = cos = - cos = - cos = - 解：sin = sin = sin = - sin = - 解：cos =cos=cos =cos=cos = -cos = - 13 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练3、（1） 解： C (2)sin2150°2sin210°+ 225° 的值是( ) 解：原式 A 14 典 例 引 路 牛 顿 例4、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-4,3). (1)求sinα,cosα的值。 （2）求f(α)=的值。 解：由三角函数的定义知： sinα= = , cosα= = - 解：f(α)= = = = 15 同 步 练 习 黎 曼 练4、求值： 解：当k=2n(n∈Z)时，  原式 =   当k=2n+1(n∈Z)时， 原式 16 典 例 引 路 狄利克雷 例5、已知 则 ____________ 解: =  17 同 步 练 习 庞加莱 练5、已知sin(α-75º)= - ，求sin(105º+α) 解：sin(105º+α) = sin[180º+(α-75º)] = -sin(α-75º) = 18 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、比较大小：cos ____ cos . 解： cos = cos =cos = cos ， cos = cos = cos， ∵y=cosx在(0，π)上为减函数， ∴cos＞ cos， 即cos ＞ cos . 19 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、估计sin2020°的大小属于区间( ) A. B. C. D. 解：∵sin2020°=sin（360°×6-140°） =sin140°= sin40°， ∵40º∈（30º，90º），且正弦函数在（0º，90º）单调递增。 ∴sin40°∈（sin30º，sin90º），即sin40º∈( ,1) ∴sin2020°=sin40°∈（-1，）． A 20 全 课 总 结 sin(α+2kπ)=sinα , cos(α+2kπ)=cosα sin(-α)=-sinα , cos(-α)=cosα sin(α+π)=-sinα , cos(α+π)=-cosα sin(α-π)=-sinα , cos(α-π)=-cosα sin(π-α)=sinα , cos(π-α)=-cosα 一、诱导公式 二、记忆口诀是“函数名不变、符号看象限”。 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $