1.4.3 诱导公式与对称+1.4.4 诱导公式与旋转 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.3 诱导公式与对称 4.4 诱导公式与旋转 第一章 三角函数 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 正弦函数、余弦函数的诱导公式 1 正弦函数、余弦函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 推导 角的终边相 同 利用角的终边对称和三角函数 定义 利用角的终边旋转和三角函 数定义 注意 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6 巧学妙记 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. . . 7 2 诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为 的角求值. 公式二 将负角转化为正角求值. 公式三 将 的角转化为 的角求值. 公式四 将~ 的角转化为锐角求值. 公式五、六 实现正弦与余弦的相互转化. 说明 事实上，用诱导公式的目的是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数 值求解.、、 8 学思用·典例详解 例1-1 的值是___. 0 【解析】 . 9 例1-2 ［教材改编P22 T1］ （1） 等于( ) D A. B. C. D. 【解析】 . （2） 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 10 例1-3 (2025·湖南省岳阳市期末)下列各项与 一定相等的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确． 11 例1-4 [教材改编P25 T1]已知角 的终边经过点，求 _ ____. 【解析】因为角 的终边经过点，且 ， 所以 ， 从而 . 12 释疑惑 重难拓展 知识点2 一组重要公式 （1） ; . （2） ; . 说明 对于含有整数 的三角函数求值，可以利用上面的公式直接求解，也可 以对整数分类讨论，当为偶数时， 为奇数时，分别求解. 13 学思用·典例详解 例2-5 求 的值. 【解析】 . 14 题型解析 03 题型1 利用诱导公式化简 例6 [教材改编P25 例9]化简： . 【解析】原式 . 16 例7 设 为整数，化简： . 思路点拨 求解本题时，可以将整数 分为奇数、偶数两种情况进行讨论；也可以 根据 并结合诱导 公式将题目中的角均转化为 ；也可以直接利用公式进行化简. 17 【解析】 当为偶数时，设 ，则 原式 . 当为奇数时，设 ，则 原式 . 综上可得，原式 . 18 由 ， ， 得 ， . 又 ， 故原式 . 原式 . （【学以致用】利用知识点2一组重要公式快速化简） 19 利用诱导公式化简的原则 一般原则为负化正、大化小、异角化同角、异名化同名，对于比较复杂的化简问题， 主要是进行角的转化，将角度统一，能求值的要求出值. 当三角函数式中含有 , ,时，要注意讨论 为奇数或偶数. 20 【学会了吗丨变式题】 1.化简： （1） ; 【答案】原式 . 21 （2） ． 【答案】 当 时， 原式 ； 当 时， 原式 ． 故原式 （利用公式快速化简） , . . 22 当为偶数时，原式 ， 当为奇数时，原式 . 题型2 利用诱导公式求值 1 给角求值 例8 计算下列函数值： （1） ; 【解析】原式 . 24 （2） . 【解析】原式 . 【归纳总结】与，与，与 互补，对于互补的两个角，其余弦值的和为0. , 25 思路点拨 （1）注意观察角，将角化为 ， ， 等形 式后，再利用诱导公式求解. （2）根据两互补角的余弦值互为相反数求解. 26 利用诱导公式求任意角的正、余弦函数的步骤 利用诱导公式将任意角的正、余弦函数转化为锐角的正、余弦函数. 口诀：负化正，大化小，化至锐角再求值. 27 【学会了吗丨变式题】 2. 的值是____. 【解析】 . 28 2 给值求值 例9（1）已知，则 ______. 【解析】由，得 ,所以 . （2）已知,则 _ ____. 【解析】因为 ，所以 . 29 （3）已知，则 ____. 【解析】因为,所以 . 30 31 应用诱导公式解决给值求值问题的一般步骤 （1）定关系.确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有： 与 ; 与 ; 与 等.常见的互补关系有： 与 ； 与 等. （2）定公式.依据确定的关系，选择要使用的诱导公式. （3）得结果.根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案. 32 【学会了吗丨变式题】 3.若，则 的值为______. 【解析】因为 ，所以 , 所以 . 33 题型3 诱导公式在三角形中的应用 例10 已知，，为 的三个内角，求证： . 【解析】 . 在中， , ,即 , ]= , . 34 例11 在中，，试判断 的形状. 【解析】 , , . 又 , , ,即 , 又,为 的内角， ,故 为等腰三角形. 35 三角形中的诱导公式 设，，是的三个内角，则有 ，所以 ， ， ， . 注意：已知三角形中两个内角的余弦值或正弦值相等，则这两个内角相等，即在三 角形中，若或,则 . 36 【学会了吗丨变式题】 4.(2025·浙江省杭州四中期末)已知,,为 的三个内角，下列各式不成立的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，在中， . 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D不正确． 37 新考法 思维创新 例12 新定义 数字黑洞(2025·湖南省邵阳市期中)数字串2024，依次写出该数字串中 偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字 串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称这个反复出现的数 字串为“数字黑洞”.如果把这个数字串看作一个数，将这个数设为 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】数字串2024经过第一步之后为404，经过第二步之后为303，再变为123，再 变为123，123反复出现，所以 ，所以 . 38 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 在求三角函数值的时候常借助诱导公式，转化为求 内的三角函数值.利用诱导公 式对三角函数式进行变形是高考考查的热点，一般与后面将要学习的三角恒等变换 综合命题.题型以选择、填空为主，试题难度简单或中等. 核心素养:逻辑推理（利用诱导公式变形）、数学运算（特值法计算函数值）. 39 考向 诱导公式的应用 例13 (2023·全国甲卷)若为偶函数，则 ___. 2 【解析】 （定义法）因为为偶函数，所以 ，即 ，得 . （特值法）因为 为偶函数， 所以 ， 即，得 . 40 例14 (2024·全国甲卷)函数在区间 的图象大致 为( ) B A. B. C. D. 41 【解析】由题知函数的定义域为 ，关于原点对称， ，所以函数 为偶函数，函数图象关于 轴对称，排除A,C； ， 【详解】通分可 得,又,所以 排除D.故选B. . . 42 素养探源 素养 考查途径 数学运算 特值法计算函数值，排除选项. 逻辑推理 选择诱导公式进行三角变形. 43 变式探源 (2022·全国甲卷)函数 在区间[， 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 44 【解析】 （特值法）取，则；取 ， 则 . 结合选项知选A． （函数奇偶性的应用）令，则 ，所以函数 是奇函数，排除B，D； 取，则 0，排除C.选A． 45 例15 (2024·北京)在平面直角坐标系中，角 与角 均以 为始边，它们的终 边关于原点对称.若，，则 的最大值为____. 给什么 得什么 已知角 与角 的终边关于原点对称，可得 , . 求什么 想什么 求 的最大值，想到角 与角 的关系，又知道角 的范围，所以 可利用诱导公式将 用 表示出来. 差什么 找什么 由可得 的取值范围，即得 的取值范围，从而求得 的最大值. 46 【解析】因为 与 的终边关于原点对称，所以 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，所以 的最大值为 . 47 高考新题型专练 1.[多选题](2025·皖豫名校联盟期中) ( ) BD A. B. C. D. 【解析】对于A， ，故A 错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确.故选 . 48 2.[多选题](2025·辽宁省沈阳市期中)某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题， 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的 上逆 时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与 轴正半 轴的交点，的角速度大小为，起点为射线与 的交点， 则当与重合时， 的坐标可以为( ) ABD A. B. C. D. 49 【解析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点， 的坐标均为 ， 由题意可得， ,，解得, . 当时，，，所以点的坐标为 ，故A正确； 当时，，，所以点 的坐标为 ，故B正确； 当时，，，所以点的坐标为 ， 故C错误，D正确.故选 . 50 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.(2025·四川省乐山市期末)已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】显然，则 . 2.(2025·河北省保定市第一中学月考)已知，则 的值为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 52 3.(2025·安徽省合肥一中期末)已知角 的终边上有一点 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】由点在角 的终边上， 可得, . 故 . 53 4.[多选题](2025·湖南省桃源县第一中学月考)已知 ，则下列等式恒成立的是 ( ) AC A. B. C. D. 【解析】 ，故A成立； ，故B不成立； ，故C成立； ，故D不成立． 54 5.已知,则____， _____． 【解析】因为，所以 , 所以 . 6.(2026·广东省部分学校联考)已知函数，若 ，则 ___. 2 【解析】 ， ， ，则 . 55 7.求值： _ ___. 【解析】 . 8.已知，判断函数 的奇偶性. 【答案】的定义域为 ， ,定义域关于原点对称， . , 函数 是偶函数. 56 高考模拟 05 建议时间：25分钟 9.[多选题](2025·河北省盐山中学月考)在平面直角坐标系中，若角 的顶点为坐 标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 的值可能为( ) BD A. B. C. D.2 58 【解析】因为终边经过点 ，所以由三角函数的定义得 , . 当 时， ； 当 时， 59 . 故选 . 10.新考法 开放探究 若对任意，恒成立，则常数 的一个 取值为_________________. （答案不唯一） 【解析】因为对任意 ， 恒成立，所以 ，，可得，，所以当 时，可 得，常数 的一个取值可以为 ． 61 11.（1）已知函数,.若,求 . 【答案】 . 又,所以 . （2）已知函数，，且，求 的值. 【答案】因为，且 ， 所以 ，所以 . 62 12.化简： （1） ； 【答案】原式 . （2） . 【答案】原式 . 63 13.(2025·黑龙江省牡丹江市第一高级中学月考)已知函数 ，若,，则实数 的取值范围 为________. 【解析】 ， ， 令，得 ，化简 得 . 因为， ， 所以在上有解，又 ， 所以实数的取值范围为 . 64 谢谢观看 北师大数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 65 $