第1章 4.4 诱导公式与旋转-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

4.4　诱导公式与旋转 1 1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式（数学抽象）. 2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　我们容易计算像0， ， 这样的角的三角函数值，对于求 －α与 ＋ α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？ 【问题】　（1） －α与α的终边有什么关系？ （2）如何求 ＋α的三角函数值？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　 ±α的诱导公式 　对任意角α，有下列关系式成立： sin ＝ ， cos ＝ ⁠. sin ＝ ， cos ＝ ⁠. cos α　 － sin α　 － cos α　 sin α　 　　提醒： ±α的诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法， ±α的正 弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀，“函数名改变，符号看象限” 或“正变余，余变正，符号象限定”. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 　　函数 角 正弦 余弦 α＋2kπ（k∈Z） sin α cos α α＋π － sin α － cos α －α － sin α cos α π－α sin α － cos α α－π － sin α － cos α α＋ cos α － sin α －α cos α sin α 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） sin （90°＋α）＝－ cos α. （　×　） （2） cos ＝－ sin α. （　×　） （3） cos （180°＋α）＝ sin （90°＋α）. （　×　） （4）诱导公式中的角α只能是锐角. （　×　） 2. sin 95°＋ cos 175°＝（　　） A. sin 5° B. cos 5° C. 0 D. 2 sin 5° 解析：原式＝ cos 5°－ cos 5°＝0. × × × × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若 sin α＝ ，则 cos ＝ 　​ 　. 解析： cos ＝ sin α＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜利用诱导公式化简 【例1】　化简： ，其中k∈Z. 解：当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），则 原式＝ ＝ ＝ ＝1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z）. 仿上化简得：原式＝1.故原式＝1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽可能不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 化简： . 解：∵ sin （4π－α）＝ sin （－α）＝－ sin α， cos ＝ cos ＝ cos ＝－ sin α， sin ＝ sin ＝－ sin α， cos （ π－α）＝ cos ［4π－（ ＋α）］＝ cos （ ＋α）＝－ sin α，∴原 式＝ ＝ ＝1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用诱导公式求值 【例2】　（1）已知f（α）＝ ，则f 的值为（　B　） A. － B. C. － D. B 解析：∵f（α）＝ ＝ ＝ cos α， ∴f ＝ cos ＝ cos ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知 sin ＝ ，则 cos ＝ 　​ 　. 解析： cos ＝ cos ＝ sin ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）将本例（2）的条件中“－”改为“＋”，求 cos 的值. 解： cos ＝ cos ＝－ sin ＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则， 即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以 保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名， 而后一套公式必须变名. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知 sin ＝ ，则 cos ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： cos ＝ cos ＝－ sin ＝－ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 sin ＝ ，那么 cos α＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：sin ＝ sin ＝ sin ＝ cos α＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜利用诱导公式证明恒等式 【例3】　求证： · sin （α－ ） cos （ ＋α）＝－ cos 2α. 证明：左端＝ · sin ［－（ －α）］·（－ sin α）＝ ·［－ sin （ －α）］（－ sin α） ＝ ·（－ cos α）（－ sin α） ＝－ cos 2α＝右端，故原式成立. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的 常用方法有： （1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子； （3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证： cos （ － ）＝ sin （ ＋ ）＝ cos （ － ）. 证明： cos （ － ）＝ sin ［ －（ － ）］＝ sin （ ＋ ）. ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴ ＝ － ，即 ＝ － ， ∴ cos （ － ）＝ cos ［ －（ － ）］＝ cos （－ ＋ ）＝ cos （ － ）， ∴ cos （ － ）＝ sin （ ＋ ）＝ cos （ － ）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 若 sin ＜0，且 cos ＞0，则θ是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：　由于 sin ＝ cos θ＜0， cos ＝ sin θ＞0，所以角 θ的终边落在第二象限，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若 cos （2π－α）＝ ，则 sin ＝（　　） A. － B. － C. D. ± 解析：　∵ cos （2π－α）＝ ，∴ cos α＝ ，∴ sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ cos α＝－ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 化简： sin （π＋α） cos ＋ cos · sin （π＋α）＝ ⁠. 解析：原式＝－ sin α· sin α＋ sin α· sin α＝0. 4. 求证： ＝ sin θ. 0 证明：左边＝ ＝ ＝ sin θ＝右边. ∴原等式成立. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知 sin 25.3°＝a，则 cos 64.7°＝（　　） A. a B. －a C. a2 D. 解析： cos 64.7°＝ cos （90°－25.3°）＝ sin 25.3°＝a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若 sin （3π＋α）＝－ ，则 cos ＝（　　） A. － B. C. D. － 解析：　∵ sin （3π＋α）＝－ sin α＝－ ，∴ sin α＝ .∴ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ sin α＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知角α的终边经过点P（4，－3），则 sin （ ＋α）· cos （ －α）＝ （　　） A. － B. C. － D. 解析：　因为角α的终边经过点P（4，－3），所以 sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，所以 sin （ ＋α）· cos （ －α）＝ cos α sin α＝ ×（－ ）＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若 sin （ ＋α）＝ ，则 cos （ －α）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　因为（ －α）＋（ ＋α）＝ ，所以 cos （ －α）＝ cos ［ －（ ＋α）］＝ sin （ ＋α）＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列与 cos 的值相等的是（　　） A. sin （π－θ） B. sin （π＋θ） C. cos D. cos 解析： cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ sin θ； sin （π－θ）＝ sin θ； sin （π＋θ）＝－ sin θ； cos ＝ sin θ； cos ＝－ sin θ. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立 的是（　　） A. cos （A＋B）＝ cos C B. sin （A＋B）＝ sin C C. cos ＝ sin B D. sin ＝ cos √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， ＝ ， ＝ ，所以 cos （A＋B）＝ cos （π－C）＝－ cos C， sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C， cos ＝ cos ＝ sin ， sin ＝ sin ＝ cos .故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知 sin （π＋α）＝－ ，则 cos ＝ 　－ 　. 解析：因为 sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，所以 sin α＝ . cos ＝ cos ＝－ sin α＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若对任意x∈R， cos （x－φ）＝ sin x恒成立，则常数φ的一个取值 为 ⁠. 解析：因为对任意x∈R， cos （x－φ）＝ sin ［ －（x－φ）］＝ sin （ －x＋φ）＝ sin （π－x）恒成立，所以 －x＋φ＝π－x＋2kπ， k∈Z，可得φ＝2kπ＋ ，k∈Z，所以当k＝0时，可得φ＝ ，常数φ的一 个取值可以为 . （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知 sin （α－3π）＝2 cos （α－4π），则 ＝ ⁠. 解析：∵ sin （α－3π）＝2 cos （α－4π），∴－ sin （3π－α）＝2 cos （4π－α），∴－ sin （π－α）＝2 cos （－α），∴ sin α＝－2 cos α且 cos α≠0，∴原式＝ ＝ ＝ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； 解：f（α）＝ ＝－ cos α. （2）若 cos （α－π）＝ ，求f（α）的值. 解：因为 cos （α－π）＝ ，所以 cos α＝－ ， 所以f（α）＝－ cos α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知 cos （75°＋α）＝ ，则 sin （α－15°）＋ cos （105°－α）的 值是（　　） A. B. C. － D. － 解析：∵ cos （75°＋α）＝ ，∴ sin （α－15°）＋ cos （105°－α）＝ sin [（α＋75°）－90°]＋ cos [180°－（α＋75°）]＝－ cos （75°＋α）－ cos （75°＋α）＝－ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 已知 cos （α＋ ）＝ ，则 cos （ －α）＝ 　－ 　， sin （α－ ） ＝ ⁠. 解析： cos （ －α）＝ cos ［π－（α＋ ）］＝－ cos （α＋ ）＝－ . sin （α－ ）＝ sin ［（α＋ ）－ ］＝－ cos （α＋ ）＝－ . － － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边 与单位圆交于点（ ，－ ）. （1）若角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则 sin β＝ ， cos β ＝ ⁠； ​ ​ 解析：因为角α的终边与单位圆交于点（ ，－ ），所以 sin α＝－ ， cos α＝ . （1）因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以角β的终边与单位圆 交于点（ ， ），所以 sin β＝ ， cos β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则 sin β＝ ， cos β ＝ ⁠； 解析：因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，所以角β的终边与单位圆 交于点（－ ，－ ），所以 sin β＝－ ， cos β＝－ . － － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若角α的终边按顺时针方向旋转 后与角β的终边重合，则 sin β ＝ 　－ 　， cos β＝ 　－ 　. － － 解析：由题意得β＝α－ ＋2kπ，k∈Z，所以 sin β＝ sin （α－ ＋2kπ） ＝ sin （α－ ）＝ sin （α－ －2π）＝ sin （α－ ）＝－ sin （ －α）＝ － cos α＝－ ， cos β＝ cos （α－ ＋2kπ）＝ cos （α－ ）＝ cos （α － －2π）＝ cos （α－ ）＝ cos （ －α）＝ sin α＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x非负半 轴重合，终边与单位圆交于点P（m，n），且 cos ＝ ， α∈ ，求m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ sin α＝ ，即 sin α＝－ . 又因为角α的终边与单位圆交于点P（m，n）， 所以 解得 或 因为α∈ ，所以角α的终边在第三象限，故m＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知f（x）＝ sin x＋ cos x，则下列结论正确的是（　　） A. f（x＋π）＝ sin x＋ cos x B. f（π－x）＝ sin x＋ cos x C. f ＝ sin x＋ cos x D. f ＝ sin x＋ cos x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ cos （x＋π）＝－ sin x－ cos x，f（π－x）＝ sin （π－x）＋ cos （π－x）＝ sin x－ cos x，f ＝ sin ＋ cos ＝ cos x－ sin x，f ＝ sin ＋ cos ＝ cos x＋ sin x，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点P（ ， ），将角α的 终边按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B，其中θ∈（0， ）. （1）求 的值； 解：由题意得 cos α＝ ， 所以 ＝ ＝2 cos α＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由（1）可知 cos α＝ ，且α为锐角， 故α＝ ，f（θ）＝ cos （θ＋ ）， 所以f（θ－ ）＝ cos （θ＋ ）＝ ， 所以 sin （ －θ）－ cos （θ－ ）＝ cos ［ －（ －θ）］－ cos ［（θ＋ ）－π］＝ cos （ ＋θ）－［－ cos （ ＋θ）］＝2 cos （ ＋θ）＝ . （2）记点B的横坐标为f（θ），若f（θ－ ）＝ ，求 sin （ －θ）－ cos （θ－ ）的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $