13.3.2 空间图形的体积(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间图形的体积计算核心知识点，以小学初中已知的长方体体积公式为基础，系统梳理柱体、锥体、台体的体积公式推导脉络，延伸至球的表面积与体积公式，并结合简单组合体体积计算，构建完整知识支架。 该资料以问题驱动引导探究，通过题型示例与通性通法（如公式法、等积法）培养数学运算能力，借助正方体、圆柱等实例发展直观想象，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过跟踪训练巩固知识，查漏补缺。

13.3.2　空间图形的体积 课标要求 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积（直观想象、数学运算）. 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积（直观想象、数学运算）. 3.会求简单组合体的体积（数学运算）. 　　在小学和初中，我们已经知道长方体的体积V长方体＝abc＝Sh，这里a，b，c表示长方体的长、宽和高，S，h分别表示长方体的底面积和高.长方体体积公式是计算其他空间图形体积的基础，我们将上述结论作为已知事实来运用，那么，如何推出其他简单空间图形的体积公式呢？ 【问题】　柱体、锥体、台体的体积公式是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式 柱体 V＝　　（S为底面面积，h为柱体的高） 锥体 V＝　　　（S为底面面积，h为锥体的高） 台体 V＝　　　　　　　（S'，S分别为上、下底面面积，h为台体的高） 　　提醒：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： 知识点二　球的体积和表面积 若球的半径为R，则： （1）球的体积V球＝　　　　； （2）球的表面积S球面＝　　　　. 知识点三　球的截面的特点 1.球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截面均为圆面. 2.利用球半径、截面圆半径，球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　） A.48　 B.64　 　C.16　 D.96 2.〔多选〕若一个球的直径为6，则（　　） A.球的表面积是36π　 B.球的表面积是144π C.球的体积是36π　 D.球的体积是144π 3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC的体积是　　　　. 题型一｜柱体、锥体、台体的体积 【例1】　（1）已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则圆柱的体积为（　　） A.4π　 　 B.8π　　C.12π　 D.16π （2）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（　　） A.18＋6　 B.6＋2 C.24　 D.18 （3）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. ①求剩余部分的体积； ②求三棱锥A-A1BD的体积及高. 通性通法 求空间图形体积的常用方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可； （3）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等； （4）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积. 提醒：求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出空间图形的高和底面积. 【跟踪训练】 1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A.5π　 B.6π　　 C.20π　 D.10π 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝　　　　. 题型二｜球的表面积与体积 【例2】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　　） A.12π cm3　 B.36π cm3 C.64π cm3　 D.108π cm3 （2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　　） A.100　 B.400 C.100π　 D.400π 通性通法 　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键. 【跟踪训练】 1.若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为　　　　. 2.长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为　　　　. 题型三｜简单组合体的体积 【例3】　如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积. 通性通法 求空间组合体体积的思路与方法 　　针对此类问题的关键是将该组合体分解为若干个柱、锥、台、球的基本空间图形，然后借助柱、锥、台、球的体积公式分别求解. 【跟踪训练】 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的空间图形的体积. 1.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A.2　　 B.4　　　 C.6　 　 D.12 2.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（　　） A.2倍　 B.倍　　 C.2倍　 D.倍 3.（2025·淮安期末）已知某圆锥的侧面积为2π，母线长为2，则该圆锥的体积为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 4.（2025·扬州期末）已知一个正四棱台的体积为152 cm3，上、下底面边长分别为4 cm，6 cm，则棱台的高为　　　　cm. 提示：完成课后作业　第十三章　13.3　13.3.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.2　空间图形的体积 【基础落实】 知识点一 　Sh　Sh　h（S＋＋S'） 知识点二 　（1）πR3　（2）4πR2 自我诊断 1.B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为a3＝64. 2.AC　由题意知，球的半径r＝3.则S球＝4πr2＝4π×32＝36π，V球＝πr3＝π×33＝36π.故选A、C. 3.　解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝. 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）B　解析：（1）设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，则该圆柱的体积为π×22×4＝16π.故选D. （2）V＝（S＋＋S'）h＝×（2＋＋4）×3＝6＋2.故选B. （3）解：①＝S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3. 故剩余部分的体积V＝V正方体－＝a3－a3＝a3. ②＝＝a3. 设三棱锥A-A1BD的高为h， 则＝··h＝××（a）2h＝a2h，故a2h＝a3，解得h＝a. 跟踪训练 1.D　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 2.7∶5　解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝S，V1＝h（S＋S＋ ）＝Sh，V2＝Sh－V1＝Sh，所以V1∶V2＝7∶5. 【例2】　（1）B　（2）D　解析：（1）设球心为O，截面圆心为O1， 连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3 cm，∴球的体积V＝π×33＝36π cm3.故选B. （2）设大金属球的半径为r，则×23×125＝×r3⇒r＝10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D. 跟踪训练 1.π　解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得即整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π（43－23）＝π. 2.12π　解析：该长方体的体对角线长为＝2，设外接球的半径为R，∴2R＝2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝12π. 【例3】　解：依题意，该空间图形是由一个正六棱柱和一个圆柱组合后再挖去一个小圆柱而成的. 正六棱柱底面边长为4 cm，即由6个边长为4 cm的等边三角形组成，故底面积为6××42＝24 （cm2）， 又高为2 cm，故正六棱柱的体积V1＝24×2＝48（cm3）， 大圆柱底面直径为6 cm，高为3 cm，故体积V2＝π××3＝27π（cm3）， 小圆柱直径为2 cm，高为2＋3＝5（cm），故体积为V3＝π××5＝5π（cm3）， 故该空间图形的体积为V＝V1＋V2－V3＝48＋27π－5π＝（48＋22π）（cm3）. 跟踪训练 　解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，故该空间图形的体积V＝V圆台－V圆锥＝π（＋r1r2＋）·h－πh'＝π（25＋10＋4）×4－π×4×2＝π. 随堂检测 1.B　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4. 2.C　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知＝2，所以R＝r.所以＝＝＝2.即球的体积扩大到原来的2倍，故C正确.故选C. 3.B　设底面半径为r，高为h，母线长为l，l＝2，则×2πr×l＝2π，解得r＝，则h＝＝＝，则该圆锥的体积为V＝πr2h＝π×（）2×＝.故选B. 4.6　解析：设棱台高为h，上、下底面面积分别为S＝42，S'＝62，由棱台的体积公式V＝h（S＋S'＋）得h＝＝6. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $